2025年新高考數(shù)學突破新定義壓軸題綜合講義專題07 線性代數(shù)背景下的新定義（三大題型）（學生版）

專題07線性代數(shù)背景下的新定義【題型歸納目錄】題型一：行列式背景題型二：矩陣背景題型三：向量組背景【典型例題】題型一：行列式背景【典例1-1】(2024·高三·云南曲靖·階段練習)定義行列式運算：，若函數(shù)

(，)的最小正周期是，將其圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)數(shù)列的前項和，且，求證：數(shù)列的前項和.【典例1-2】(2024·高一·北京·期末)對于任意實數(shù)a，b，c，d，表達式稱為二階行列式(determinant)，記作，(1)求下列行列式的值：①；②；③；(2)求證：向量與向量共線的充要條件是；(3)討論關(guān)于x，y的二元一次方程組()有唯一解的條件，并求出解.(結(jié)果用二階行列式的記號表示).【變式1-1】(2024·高二·全國·單元測試)我們用(，、、、)表示矩陣的第行第列元素.已知該矩陣的每一行每一列都是等差數(shù)列，并且，，.(1)求；(2)求關(guān)于，的關(guān)系式；(3)設(shè)行列式，求證：對任意、，、、時，都有.題型二：矩陣背景【典例2-1】(2024·廣東·一模)數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計算，是計算數(shù)學的一個重要分支，其主要研究對象包括向量和矩陣.對于平面向量，其模定義為.類似地，對于行列的矩陣，其?？捎上蛄磕Ｍ卣篂?其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號)，記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機器學習等前沿領(lǐng)域有重要的應用.(1)，，矩陣，求使的的最小值.(2)，，，矩陣求.(3)矩陣，證明：，，.【典例2-2】(2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學考試)由個數(shù)排列成行列的數(shù)表稱為行列的矩陣，簡稱矩陣，也稱為階方陣，記作：其中表示矩陣中第行第列的數(shù)．已知三個階方陣分別為，，其中分別表示中第行第列的數(shù)．若，則稱是生成的線性矩陣．(1)已知，若是生成的線性矩陣，且，求；(2)已知，矩陣，矩陣是生成的線性矩陣，且．(i)求；(ii)已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和記為，是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由．【變式2-1】(2024·高二·北京豐臺·期末)已知數(shù)表，，，其中，，分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．(1)若數(shù)表，，且是，的生成數(shù)表，求；(2)對，，數(shù)表，，與滿足第i行第j列的數(shù)對應相同().是，的生成數(shù)表，且．(ⅰ)求，；(ⅱ)若恒成立，求的最小值．【變式2-2】(2024·高二·北京·學業(yè)考試)已知和數(shù)表，其中.若數(shù)表滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)表由生成.①任意中有三個，一個3；②存在，使中恰有三個數(shù)相等.(1)判斷數(shù)表是否由生成；(結(jié)論無需證明)(2)是否存在數(shù)表由生成？說明理由；(3)若存在數(shù)表由生成，寫出所有可能的值.題型三：向量組背景【典例3-1】(2024·高一·上?！るA段練習)對于一組向量，，，…，，(且)，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長向量”．(1)設(shè)，且，若是向量組，，的“長向量”，求實數(shù)x的取值范圍；(2)若，且，向量組，，，…，是否存在“長向量”?給出你的結(jié)論并說明理由；(3)已知，，均是向量組，，的“長向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標系中有一點列，，，…，滿足，為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與(且)關(guān)于點對稱，求的最小值．【典例3-2】(2024·高一·上海奉賢·期末)對于一個向量組，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“好向量”(1)若是向量組的“好向量”，且，求實數(shù)的取值范圍；(2)已知，，均是向量組的“好向量”，試探究的等量關(guān)系并加以證明．【變式3-1】(2024·高三·上海寶山·期末)對于一組向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”.(1)設(shè)，若是向量組，，的“向量”，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，向量組，，，…，是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；(3)已知??均是向量組，，的“向量”，其中，.設(shè)在平面直角坐標系中有一點列，，…滿足：為坐標原點，為的位置向量的終點，且與關(guān)于點對稱，與關(guān)于點對稱，求的最小值.【過關(guān)測試】1．(2024·高一·四川成都·期中)定義行列式運算：，若函數(shù)()的最小正周期是.(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)數(shù)列的前項和，且，求證：數(shù)列的前項和.2．(2024·高二·上海寶山·階段練習)已知數(shù)列和滿足：，且成等比數(shù)列，成等差數(shù)列．(1)行列式，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)在(1)的條件下，若不是常數(shù)列，是等比數(shù)列，①求和的通項公式；②設(shè)是正整數(shù)，若存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，求的最小值．3．(2024·高一·吉林延邊·期中)已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且在上是增函數(shù);又定義行列式;函數(shù)(其中)(1)證明:函數(shù)在上也是增函數(shù)；(2)若函數(shù)的最大值為，求的值；(3)若記集合恒有，恒有,求滿足的的取值范圍.4．(2024·湖北孝感·模擬預測)定義矩陣運算：．已知數(shù)列，滿足，且．(1)證明：，分別為等差數(shù)列，等比數(shù)列．(2)求數(shù)列的前n項和．5．(2024·高二·陜西西安·期中)有個正數(shù)，排成矩陣(行列的數(shù)表)：，表示位于第行，第列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，已知，，.(1)求公比.(2)用表示.(3)求的值.6．(2024·高二·江蘇蘇州·期中)設(shè)2階方矩陣，則矩陣A所對應的矩陣變換為：，其中，，其意義是把點變換為點，矩陣M叫做變換矩陣.(1)當變換矩陣時，點，經(jīng)矩陣變換后得到點分別是，，求經(jīng)過，的直線的方程；(2)當變換矩陣，點經(jīng)矩陣的作用變換后得到點，求實數(shù)m，n的值.7．(2024·上?！つM預測)設(shè)A是由個實數(shù)組成的2行n列的矩陣，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零．記為所有這樣的矩陣構(gòu)成的集合．記為A的第一行各數(shù)之和，為A的第二行各數(shù)之和，為A的第i列各數(shù)之和．記為、、、、…、中的最小值．(1)若矩陣，求；(2)對所有的矩陣，求的最大值；(3)給定，對所有的矩陣，求的最大值．8．(2024·高三·河南·期末)三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：若，則稱為空間向量與的叉乘，其中，，為單位正交基底.以為坐標原點、分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，已知，是空間直角坐標系中異于的不同兩點(1)①若，，求；②證明.(2)記的面積為，證明：.(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的倍.9．(2024·高一·貴州·期末)如圖一，在平面直角坐標系中，為坐標原點，，，請根據(jù)以下信息，處理問題(1)和(2).信息一：為坐標原點，，若將順時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則，且；信息二：與的夾角記為，與的夾角記為，則；信息三：；信息四：，叫二階行列式.(1)求證：，(外層“”表示取絕對值)；(2)如圖二，已知三點，，，試用(1)中的結(jié)論求的面積.10．(2024·高二·上海浦東新·期中)對于一組向量，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”；(1)設(shè)，若是向量組，，的“向量”，求的范圍；(2)若，向量組是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由.11．(2024·高一·山西大同·階段練習)元向量()也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對于，記，定義如下運算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．(1)設(shè)，解決下面問題：①求；②設(shè)與的夾角為，求；(2)對于一個元向量，若，稱為維信號向量．規(guī)定，已知個兩兩垂直的120維信號向量滿足它們的前個分量都相同，證明：．12．(2024·高一·遼寧撫順·開學考試)在第六章平面向量初步中我們學習了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運算，以及由它們組合成的線性運算.那向量乘法該怎樣運算呢？數(shù)學中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都