2021-2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修五課后鞏固提升

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理

課后篇鞏固提升

基礎(chǔ)鞏固

1.在AABC中，若A：B：C=4；1；1,則a：b：c=（）

A.4/I：\B.2：\：\

C.：\：\D.：\：\

解析|由A'13!C=4/IZ1JLA十。十C=JI,得人二,8=,。二,所以sinA=,sinB=,sinC=,

又由q:bc=sinA'sinB/sinC,得a：b：c=/I/1.

2.在A48C中，若。=3/=4=，則角C的大小為（）

A.B.C.D.

廨薪|由正弦定理，得sin8=.因?yàn)?。池所?＞反所以8=,所以C=n~.

3.在"SC中，角A,C的對(duì)邊分別為4c,024,cosA=,則的值為（）

A.2B.C.D.1

解析|由正弦定理，得=2cosA=2x.

4.在“8。中，已知5C=AC,BW,則侑4的取值范圍為（）

A.B.

C.D.

解析：/C=AC,?：sinA=sinB.

丁吟」sin吟

.：sinA￡，,:在ZkABC中,4￡.

到D

5.已知AA8C外接圓的半徑為1,則sin4：BC={）

A.l：1B.2：1C.1：2D.無(wú)法確定

廨薪|由正弦定理，得=2R=2,所以sinA：BC=\：2.

gUc

6.在"BC中，若，則該三角形一定是（）

A.等腰直角三角形

B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰三角形但不是直角三角形

D.直角三角形但不是等腰三角形

麗根據(jù)正弦定理，得.

又,所以，

則sin8二costanB=l,則B=45°,

同理可得C=45°.所以A=180"-C-B=90".

故AABC為等腰直角三角形.

甌A

7.在AABC中,，則的值為.

髭也由正弦定理，得+1=+1=+1=.

矗

8.在AABC中,8=45°,C=60°,c=l,則最短邊的長(zhǎng)等于.

隆明由三角形內(nèi)角和定理，得A=75°.由三角形的邊角關(guān)系，得8所對(duì)的邊b為最短邊.由正弦

定理，得b=.

9.在&ABC中,lg(sinA+sinQ=21gsinB-lg(sinC-sinA),判斷"BC的形狀.

網(wǎng)由題意，得(sinA+sinC)(sinC-sinA)=sirrB,

即-sin2A+sin2C=sin2R

由正弦定理，得一+，二尻即。。序二已

所以是直角二角膨.

10.在A4BC中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,瓦%且acosC+c=b.

(1)求角4的大?。?/p>

⑵若。=1/=，求c的值.

解(1)由acosC+c=b和正弦定理，得sinAcosC+sinC=sinB.

:'sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

.：sinC=cosAsinC.丁sinC^Q,.^cosA=.

**0<A<TC,ZA=.

(2)由正弦定理，得sinB=

；.B二.

①當(dāng)8=時(shí)，由A=，得C=，?:c=2.

②當(dāng)8=時(shí)，由A=，得C=,.*c=a=l.

綜上可得,c=l或c=2.

能力提升

1.在“8。中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若2cMe=60°,則8=()

A.450B.450或135°

C.30°D.30°或150°

^§在448。中，：ZRCMGO。，,：b二,

?：由正弦定理，得sinB=.

:為Vc,B為銳角，,：B=45°.故選A.

量A

2.在aABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若c=l,8=45°,cosA=，則力=()

A.B.C.D.

解析|因?yàn)閏os4=,0<4<兀,所以sinA=，所以sinC=sin[180°-(A+B)]=sinG4+B)=sinAcos8+cos

AsinB=cos450+sin450=.

由正弦定理，得b=xsin45°=.

3.在aAAC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為ahe,若3AosC=c(l-3cos8),則=[)

A.B.C.3D.

解析已知3AcosC=c(l-3cosB),

由正弦定理，得3sinBcosC=sinC(1-3cos8),

化簡(jiǎn)可得sinC=3sin(B+C).

又4+B+C=?t,.：sinC=3sinA,

二二3.故堂.

4.(2020?全國(guó)/高考)已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),。。1為AABC的外接圓.若。。]的

面積為47M3=8C=AC=001,則球O的表面積為()

A.64兀B.487cC.367cD.32兀

懈新由題意知。。1的半徑片2.由正弦定理知二2匕

:XB=BC=4G.：ZUBC為等邊三角形.

?\OO\=AB=2rsin600=2,

?:球。的半徑R==4.

.:球O的表面積為4兀/？2=64兀

^]A

5.在AABC中力+c=12,A=60°,8=30°,則。=.

隆畫由已知，得C=180°48=90°,

則.：4+c=12,?：b=4,c=8.

藕8

6.&.AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。力,c,已知，則=.

解析|由正弦定理及已知，得，即(cosA-3cosC)sinB=(3sinC-sinA)cosB,整理可得

sin(A+B)=3sin(B+C).

所以sinC=3sinA,即.

7.在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為“力,c,且5sin=cosC+2.

⑴求tan(A+8)的值；

(2)若+1=,c=2,求a的值.

廨(1)由已知，得5sin=l-2sin2+2,^PZsirr2+5sin-3=0,解得sin或sin=-3(舍去).

國(guó)為0°<<90°，所以=30°，即C=60°,

于是tan(A+B)=tan(1800-C)=tan120°=-.

(2)由+1=及正弦定理，

得，

即，

因?yàn)閟in(4+B)=sinC#),sin瓊0,所以cosA=,

所以sinA=.

由正弦定理，得4=.

8.(選做題)在AABC中,406,COSB=,C=.

(1)求A5的長(zhǎng)；

⑵求cos的值.

解1)因?yàn)閏os8=,0<8<兀,所以sinB=.由正弦定理，得，所以A5==5.

(2)因?yàn)樵凇礎(chǔ)BC中,A+8+C=TI,

所以4=TT-(8+C),

于是cosA=-cos(B-t-C)=-cos=-cosBCOS+sin5sin,又cosB=,sinB=,

所以cosA=-=-.

因?yàn)樗詓inA=.

故cos=cosAcos+sinAsin

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.2余弦定理

課后篇鞏固提升

基礎(chǔ)鞏固

1.在“3。中，角ABC所對(duì)的邊分別為。力c若。=力=34=60°,則c=（）

A.lB.2C.4D.6

解析|由余弦定理，得a2=o2+c2_2bc8sA,即13=9+d-3c，即＜?-304=0,解得c=4（負(fù)值舍去）.

2.在"BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。力c若決戶二曲則疝c的值為（）

A.B.C.D.

麗由余弦定理的推論，得cosC=

因?yàn)??！辏?,兀），

所以C二,sinC=.故選C.

ggc

3.在ZkABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別是邊的,若〃=3,c=2/+C=,則b=（）

A.B.6C.7D.8

解析|7人+0,?：〃=幾-（人+。=.：Z=3,c=2,?：由余弦定理可得b=.

故選A.

四A

4.在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為〃力《,若8=60°則AABC一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.等邊三角形D.等腰直角三角形

解析|由余弦定理可得tr=a2+（r-2aecos化為（a-c）2=0,解潺a=c.又B=60",可得

△ABC是等邊三角形，故選C.

ggc

5.（2020?全國(guó)加高考）在AABC中,COSC=4C=4,8C=3,則cosB=（）

A.B.C.D.

解析|：ZB2=4C2+Bd2ACBCcosC=16+9-24x=9,.：AB=3,

?:cosB=.

蠲A

6.AA^C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a,b,c滿足護(hù)二%且c=2a則cos8=()

A.B.C.D.

解也由余弦定理的推論及已知可得cosB=.

H]B

7.在△ABC中，。力,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，若/七2二26,且sinB=6cosAsin。，則b的值為_(kāi).

曖畫由正弦定理及余弦定理的推論，得sinB=6cosAsinC可化為力=6y化簡(jiǎn)得

/=3(〃+。2y2)

*/a2-ci=2b,JL厚0,

飆3

A

8.如圖，在AABC中，已知點(diǎn)。在邊BC上,AD_L4C于點(diǎn)A,sinNBAC=4B=3,4O=3〃JBD的長(zhǎng)

為.

解析|因?yàn)閟inN84C=,且AO_LAC,所以sin,所以cos/BAO=.

在△84。中，由余弦定理，得

矗

9.在"BC中，角人民C所對(duì)的邊分別為〃力,c,已知〃=2,c=3,cosB=

(1)求匕的值；

⑵求sinC的值.

網(wǎng)(1)由余弦定理序=必陷.2480$8,得戶=22+32-2X2X3X=10,."二.

(2)由余弦定理的推論及(1),得cosC=.

丁C是AABC的內(nèi)角，?：sinC=

10.在AABC中,C=2A,〃+C=10,COSA=，求h.

隨由正弦定理，得=2cosA=2x,：Z+c=10,?：a=4,c=6.

由余弦定理的推論，得，解得6=4或6=5.當(dāng)6=4時(shí)，：Z=4,?：A=8.又C=2A,且4+8+。=兀

.：A=，與已知cosA=矛盾，不合題意，舍去.當(dāng)b=5時(shí)，滿足題意微b=5.

能力提升

1在&ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為4力,c.若sin2B+sin2C-sin2A+sinBsinC=0,則tanA的值

是()

A.B.-C,D.-

國(guó)明由已知利用正弦定理，得從+上/=.反.由余弦定理的推論，得cosA=二?.因?yàn)?<A<0所以

4二,lanA=tan=-，故選D.

量D

2.有一個(gè)內(nèi)角為120。的三角形的三邊長(zhǎng)分別是桃仙+1。+2,則實(shí)數(shù)機(jī)的值為()

A.lB.C.2D.

隆明由已知利用余弦定理的推論可得cos120°=,

可得

化簡(jiǎn)可得2加-"3=0,解得加二或?1(舍去).故選B.

3.在中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知B=,cosA=,b=3,則邊c的長(zhǎng)為(

A.2B.2

C.2D.2

解析|:力二,cosA=,0=3,

?:sinA=,

由正弦定理，可得。==4,

由余弦定理4f2=b2+e2-2Z?c'COS4,

可得32=27+，-2x3xcx,

可得?-2c-5=0,

解得c=2-2(舍去).

^1B

4.在△ABC中,a,dc分別為角A,B,C的對(duì)邊，若c,cosB=bcosC,且cos4=，則sinB=()

A.±B.

C.±D.

解析|由正弦定理和ucosB=bcosC得sinCeosB=sinBeesC,「sin(B-O=0,又

-180°<B-C<180°,/.B=Cy/.b=c.

^_ycosA=，由余弦定理可得4=2戶2序>：a=b.由余弦定理的推論得cos8二，故sinB=.

答案|D

5.(2020全國(guó)/卷，理16)

如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中40148=4。=48_14。/3_14),/。4￡>30°,則cos

NFCB=___________.

庭畫由題意得BD=AB=,BC==2.

:力年嚴(yán)重合于一點(diǎn)P,

t

..AE=AD=,BF=BD=i.：hACE中，由余弦定理，得。爐二從d+人序一乂0斗七以^/

CAE=12+()2-2x1xcos300=1,

?：CE=CF=L

.:在ABC尸中，由余弦定理的推論，得

cosNFCB==-.

6.在△ABC中，角A,B.C的對(duì)邊分別為a,b,c,若。=2力=3,G2A,則cosC的值為_(kāi)_______.

解析|:Z=2,b=3,C=2A,

?：由正弦定理,可得，

可得cosA二,.：由余弦定理的推論可得cosA=，解得^=10,

.：可得cosC=.

7.在^ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知cosC+(cosA-sinA)cos8=0.

(1)求角8的大?。?/p>

⑵若a+c=l,求b的取值范圍.

^|(1)由己知，得?cos(A+6)十cosAcosB-sinAcos8=0,即sinAsinB-sinAcos5=0.

:‘sinA#),ZsinB-cosB=0,

由此，得tanB=.

又B￡((U),.：B=.

(2)由⑴得cosB=，又a+c=\,

?淪2=。2+/-2。805B=3a2-3a+l=3(a-)2+.V0<a<1,

?：W3(a12+vl,即W)vl,

?：Wkl,?：b的取值范圍是L).

第一章解三角形

1.2應(yīng)用舉例

第1課時(shí)距離和高度問(wèn)題

課后篇鞏固提升

1.如圖，要測(cè)吊某湖泊兩側(cè)A出兩點(diǎn)間的距離，若給出下列數(shù)據(jù),則其中不能唯一確定A,B兩點(diǎn)

間的距離的是（）

A.角A,B和邊b

B.角A,B和邊4

C.邊4/和角C

D.邊a力和角A

庭畫根據(jù)正弦定理，可知當(dāng)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí),解三角形得白的結(jié)果不一定唯一，

故選D.

函D

A

DB

2.如圖,AC上三點(diǎn)在地面同一直線上，從地面上CQ兩點(diǎn)望山頂A,測(cè)得它們的仰角分別為

45°和30°,已知CD=200米，點(diǎn)C位于BO上，則山高4B等于()

A.100米B.50(十1)米

C.100(+1)米D.200米

解析|設(shè)AB=h，在RSACB中,N4C8=45°,

所以BC=AB=h.

在RtZkAB。中,NO=30°,

所以BD=h.

又因?yàn)锽D-BC=CD,即力-%=200,

解得/尸=100(+1).

ADR

3.如圖，在河岸一側(cè)取A,B兩點(diǎn),在河岸另一側(cè)取一點(diǎn)C,若AB=\2m,借助測(cè)角儀測(cè)得/

CAZ;=45°,NCbA=60°,則C處河而寬CO為()

A.6(3+)mB.6(3-)m

C.6(3+2)mD.6(3-2)m

由=48=4。+8。=。。=12=。0=6(3-)111,故選B.

薄B

4.

如圖所示，為了測(cè)量A,8兩處島嶼間的距離,小明在。處觀測(cè)工方分別在。處的北偏西15°,

北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向A在C處的北

偏西60°方向，則A,B兩處島嶼間的距離為()

A.20海里B.10海里

C.10(1+)海里D.20海里

隆陰連接A比如圖所示，

由題意可知CO=20,N4￡)C=105°,NBQC=45°,NBCO=90°,ZACD=30°,.：Z

CAD=45°,ZADB=60°.

在AACD中，由正弦定理，得，

I

ZAD=10.

在RSBCO中，：28DC=45°,Z5CD=90",

.\BD=CD=20.

在△A8Q中，由余弦定理，得AB==10(海里).故選B.

g§B

5.如圖，地平面上有一根旗桿。尸，為了測(cè)得它的高度〃，在地面上取一基線Aa"二20m,在A處

測(cè)得點(diǎn)P的仰角NOAP=30°,在B處測(cè)得點(diǎn)尸的仰角NO8P=45°,又測(cè)得乙4。8=60°,則旗

桿的高度為()

A.20()mB.m

C.mD.10()m

|解析|由已知，得40=卅80=力,則在4480中，由余弦定理，得AB2=AO1+BO2-2AOBOCOS60°,

即400=342+必/2,解得力=(m).

6.江岸邊有一炮臺(tái)高30m,江中有兩條船，由炮臺(tái)頂部測(cè)得兩條船的俯角分別為45°與60°,

且兩條船與炮臺(tái)底部的連線成30c角，則兩條船之間的距離為m.

陵畫設(shè)炮臺(tái)頂部為4,兩條船分別為8,C,炮臺(tái)底部為Z)(如圖)，

則N8AQ=45°,ZC4D=30°,ZBDC=30°/。=30m.

在RSA8D與RtAACD中,tan45°=,tan300=,

則。8=30m,DC=10m.

在&DBC中，由余弦定理，得BC2=DB2+DC2-2DBDCCOS30°，即fiC2=302+(10)2-2x30x!0,

解得BC=10(m).

答案|10

7.臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20km的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危

險(xiǎn)區(qū)，城市8在A的正東40km處,8城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為小時(shí).

解析|設(shè)t小時(shí)時(shí),B城市恰好處于危險(xiǎn)區(qū)，則由余弦定理，得(20/)2+4()2-2X20，X40COS45°=30\

即4產(chǎn)?8f+7=0,?:t\+t2=2,trt2=.故|力"2I==L

舂］

A

D

R

8.如圖，某炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面C處和。處，己知CD=6000m,Z

4c￡>=45°,N4DC=75°,目標(biāo)出現(xiàn)于地面B處,測(cè)得NBCD=30°,NBDC=15°,求炮兵陣地

與目標(biāo)的距離.

圈由NACO=45°,N4OG75°,得NG4O=60°.

在AACD中，由正弦定理，得，則AO=CD在△BCD中，可得NC8O=135°,

由正弦定理，得8O=CD又乙4O8=NAOC+N3OC=750+15°=90°，連接A氏則在

△ABD中,A8=CO=x6000=1000(m).

故炮兵陣地與目標(biāo)的距離為1000m.

如圖,A,aC,。都在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)(與水平面垂直的平面),民。為海島二兩座燈塔的塔頂.測(cè)

量船于A處測(cè)得點(diǎn)B和點(diǎn)O的仰侑分別為75°,30°,于。處測(cè)得點(diǎn)3和點(diǎn)D的仰角均為

60°AC=\km,求點(diǎn)B,D間的距離.

解法一|在"8中,NADC=60。-ZD4C=60°-30°=30°.由正弦定理，得AO=.

在AABC中,NABC=75°-60°=15°,ZACB=60°,

由正弦定理，得A8=.在ZUOB中,/加。=180°-75°-30°=75°,由余弦定理，得

二.即點(diǎn)8Q間的距離為km.

解法二|如圖，過(guò)點(diǎn)。作DH垂直于水平線于點(diǎn)凡過(guò)點(diǎn)8作BE垂直于水平線于點(diǎn)E,記A。與

8C的交點(diǎn)為M.由已知，得NCO4=NOCH-NOAC=60°-30°=30°,

所以ND4C=NCOA=30°,

所以AOOC.

又易知NMCO=NMC4=60°,所以△AMCZADMC,

所以M為A。的中點(diǎn)，所以BA=BD.

又在AABC中,NA8C=75°-69°=15°,

所以48=,

所以BD=

所以點(diǎn)3Q間的距離為km.

第一章解三角形

1.2應(yīng)用舉例

第2課時(shí)角度問(wèn)題

課后篇鞏固提升

1.在靜水中劃船的速度是40m/min,水流的速度是20m/min,如果船從岸邊4處出發(fā)，沿著與水

流垂直的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游，且與河岸垂直方向所成的角為

()

A.150B.30°C.45°D.60°

顫如圖所示，

7sinZCAB=,.：ZG4S=30°.

量B

2.有一攔水壩的橫斷面是等腰梯形，它的上底長(zhǎng)為6m,下底長(zhǎng)為10m,高為2m,那么此攔水壩

斜坡的坡度和坡角分別為()

A.,60°B.,60°

C.,30°D.,30°

DC

解析如圖所示，橫斷面是等腰梯形ABCDyAB=\Om,CD=6m,高DE=2m,則八￡"==2(m),

「tanND4E=,?：ND4E=60°.

3.一艘船上午9:30在A處，測(cè)得燈省S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8nmile,之后

它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方

向，則此船的航速是()

A.8()nmile/hB.8()nmile/h

C.16()nmile/hD.l6()nmile/h

曖畫由題意，得在ASAB中,NBAS=30°,NS8A=180°-75°=105°,ZBSA=45°.

由正弦定理，得，

即，解得AB=8()(nmile),

故此船的航速為二16()(nmile/h).

4.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉，在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，

在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20nmile的C處的乙船，現(xiàn)

乙船朝北偏東0的方向即沿直線CB前往B處救援，則cos0等于（）

北

+東

解析|在&ABC中,A8=40nmile/C=20nmile,ZBAC=120°.

由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACCOS120°=2800,所以BC=20nmile.

由正弦定理，得

sinZ4CB=-sinZ^4C=.

由N8AC=120°,得/AC8為統(tǒng)角，故cosNACB=.

故cos?=cos(NACB+300)

=cosZACficos300-sin/ACBsin30°=.

答案B

如圖所示，兩座相距60m的建筑物AB,CO的高度分別為20m,50m,8O為水平面，則從建筑物

AB的頂端4看建筑物CD的視角NCA。等于（）

A.300B.45°

C.6O0D.750

麗|依題意可得AZ）==20（m）,

AC==30（m）.

義因?yàn)?=50m,所以在AACO中，由余弦定理的推論，得COSNC4D=.

又因?yàn)?°vNC4Dvl80°,所以NCAO=45°,所以從頂端A看建筑物CO的視角為45°.

答案B

6.已知甲船在島B的正南方A處工B=10nmile,甲船以4nmile/h的速度向正北方向的島B航

行,同時(shí)乙船自島8出發(fā)以6nmile/h的速度向北偏東60°的方向航行,當(dāng)甲、乙兩船距離最

近時(shí),它們所航行的時(shí)間是h.

廨稿如圖，設(shè)甲、乙兩船距離最近時(shí)航行時(shí)間為/h,距離為snmile,此時(shí)甲船到達(dá)C處,則甲船

距離B島（104）nmile,乙船距離8島6,nmile,所以由余弦定理的推論，得cos1200==?，化簡(jiǎn),

得SuZ^-ZOf+lOO,所以當(dāng)勺時(shí)取最小值和當(dāng)甲、乙兩船距離最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間

是h.

7.某人見(jiàn)一建筑物A在正北方向，另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西700方向行

走了3km后到達(dá)C,則見(jiàn)A在其北偏東56c方向上乃在其北偏東740方向上，試求這兩個(gè)建

筑物間的距離.

凰如圖，在ABCO中，N8OC=70°-30°=40°,ZBCO=(180°-70°)-74°=36°

080=180°-40°-36°=104°.

roc=3km,由正弦定理，得，

則80=1<01.在44。0中,/40。=70°/040=56°,則/4。0=54°.由正弦定理,得,則

A0=km.在△ABO中，由余弦定理，得AB=R.630(km)=l630(m).

故這兩個(gè)建筑物間的距離約為1630m.

8.平面內(nèi)三個(gè)力Fi,F2F3作用于同?點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài).已如Fi,F2的大小分別為1N,N,F,

與F2的夾角為45°,求F3的大小及F3與用的夾角的大小.

圈如圖，設(shè)F］與F2的合力為F,則F3=-F.

：*ZBOC=45°，?:450=135°.

2

在AOBA中，由余弦定理，得|F|2=|FIF+|F2|2-2|FI|?|F21cos1350=l+-2xlxCos1350=4+2.

?：|F|=1+,即IF3Q+I.

又由正弦定理，得

sinZBOA=ZBOA=30°.ZBOD=150°.

故F3的大小為(+l)N,Fi與F3的夾角為150°.

9.某海上養(yǎng)殖基地A,接到氣象部門預(yù)報(bào)，位于基地南偏東60°方向相距20(+l)nmile的海面

上有一臺(tái)風(fēng)中心，影響半徑為20nmile,正以1()nmile/h的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)

臺(tái)風(fēng)中心將從基地東北方向刮過(guò)且(+l)h后開(kāi)始影響基地持續(xù)2h.求臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向.

平D

60W

南

魁如圖，設(shè)預(yù)報(bào)時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為3,開(kāi)始影響基地時(shí)臺(tái)風(fēng)中心為C,基地剛好不受影響時(shí)臺(tái)風(fēng)中心

為。，則8,。,。在一條直線上，且4D=20nmile,AC=20nmile.由題意，得4B=20(+l)n

mile,DC=20nmile,8c=10+l)nmile.

在MOC中，VDC2=AD2+AC\

.：NDAC=90°,NAOC=45°.

在AABC中，由余弦定理的推論，得

cosN84C=..：NBAC=30°.

:超位于4的南偏東60°方向，且60°+30°+90°=180°,,：￡)位于4的正北方向.

又NAZ)C=45°,,：臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的方向?yàn)橄蛄康姆较?，即北偏?5°方向.

第一章解三角形

1.2應(yīng)用舉例

第3課時(shí)三角形中的幾何計(jì)算

課后篇鞏固提升

基礎(chǔ)鞏固

1.已知△ABC的面積5=，則角C的大小是()

A.B.C.D.

解析|由S=absinC=，得sinC==cosC.又因?yàn)镃?(0,兀),所以C=.

四A

2.

z

^20mzzi^?*****>>>

某市在“舊城改造”工程中計(jì)劃在如圖所示的一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境.已知這

種草皮的價(jià)格為〃元/nR則購(gòu)買這種草皮需要()

A.450a元B.225a元C.150。元D.300a元

回明由已知可求得草皮的面積為S=x20x30sin150°=150(0?),則購(gòu)買草皮的費(fèi)用為150。元.

3.在AABC中，〃力，。分別為角A,B,C的對(duì)邊，若2b=〃+c,B=30°^ABC的面積為，則b=()

A.1+B.C.D.2+

解析|由acsin30°二，得ac=6.由余弦定理，得b2=a2+(r-2accos30°=(。+，)2-2。。訛=4戶12-6,得

b=+\.

軸A

4.在“8C中，若AC=BC,C=,SM8c=sin2A,則S^ABC=()

A.B.C.D.2

商|因?yàn)閺?2=8。2+38(72?2又8。乂8。乂=8。2,所以4=。二,所以5必阮=$山24=，故選A.

量A

5.已知AA8C的面積為/C=,NA8C=，則AABC的周長(zhǎng)等于()

A.3+B.3

C.2+D.

解析|由已知得ABBCsini.\ABBC=2.

由余弦定理得，

AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZABC=AB2+BC2-ABBC=(AB+BC)2-3ABBC=(AB+BC)2-6.^

AC=,?：AB+BC=3.

?：AB+BC+AC=3+.

宣A

6.已知“8。的三邊分別為a,九c,且面積S=，則角。=.

在△A3C中,S”8C=,

而S△八BC=G加inC,?：〃力sinC.

由余弦定理，得C2=fl2+Z?2-2^COSC,

?：cosC=sinC,?:C=45°.

國(guó)45。

7.已知三角形的面積為，其外接圓面積為九則這個(gè)三角形的三邊之積等于.

解析|設(shè)三角形的外接圓半徑為R,則由兀網(wǎng)二兀，得R=1.由S=a加in。=，故abc=1.

Sgl

8.在"BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為。力,c,求證:二c.

證明由余弦定理的推論，得cosB二,

cos4=，代入等式右邊，得

右邊二c

==左邊,故原式得證.

如圖，在A4BC中出C=5,AC=4,cosNCAO=,且40=8。,求ZUBC的面積.

網(wǎng)設(shè)CO=x,則AD=BO=5-x

在△C4￡＞中，由余弦定理，得

cosNCA。=，解得x=L

,：CD=1^\D=BD=4.

在ACAD中，由正弦定理，得，

則sinC==4.

/?S^ABC=AC-BC-sinC=x4x5x,故AABC的面積為.

10.若AABC的三邊長(zhǎng)分別為4,b,c,面積為S,且Sud-g-b)n,a+A=2,求面積S的最大值.

邸=/_(44)2=/-4242+2時(shí)=2"-(/+從-6?2).由余弦定理,得"+從_/=2aAosC,

.：d-S-b)?=2ab(1-cosC),

即S=2^(l?cosC).

丁S=a加inC,?：sinC=4(1-cosC).

又sin2C+cos2C=l,.^17COS2C-32COSC+15=0,

解得cos。=或cosC=l(舍去)..：sinC=,

?\S=absinC=a(2-a)=-(a-1)2+.

：Z+b=2,?：0＜。＜2,?：當(dāng)時(shí),Smax=.

能力提升

1.在鈍角三角形ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知a=7,c=5,sinC=，則"BC的面

積等于（）

AJOB.C.D.

解析[在鈍角三角形ABC中，7。=7,c=5,sinC=,.*A>C,C為銳角，且cosC=.由c2=cr+b2-2abcos

C,得從/6+24=0,解得b=3或8=8.當(dāng)b=8時(shí)，角B是鈍角,cosB=>0,?1=8舍去.同理驗(yàn)證可

知6=3符合條件..：S“8c=，bsinC=x7x3x.

|^1c

2.設(shè)MBC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a力,c,且3acosC=4csin4,若AWC的面積S=10力=4,

則。的值為（）

A.B.C.D.

解析|由3acosC=4csinA,得.又由正弦定理，得，?：tanC=，?:sinC=.又S=bcsinA=10,Z?=4,Zcsin

A=5.根據(jù)正弦定理，得a=，故選B.

量B

3.在^AbC中/C=乃C=2]=60°,則3c邊上的高等于（）

A.B.C.D.

解析|設(shè)A8=c,由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB,

即7=d+4-2x2xcx,即〃一203=0,

所以c=3或c=-l（負(fù)值舍去）.

設(shè)8。邊上的高等于人

由三角形面積公式SAABC=ABBCSEB=8C九即x3x2xsin60°=x2x/?,解得力=.故選B.

^1B

4.在AABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,6,c.已知AABC的面積為3Q-c=2,cosA=-，則a的

值為.

解析|rSAABC=bcs\nA=bc%x=3,?：bc=24.

又Z>-c=2,Z?2=Z>2+C2-2Z>CCOSA=（b-c）2+2bc-2bcx=4+2x24+x24=64.

Ya為A48C的邊,.：a=8.

前8

5.

如圖,四邊形ABC。中,NB=NC=12004B=4,BC=CD=2.則該四邊形的面積等于

解析|連接BO(圖略)，在△48中,由余弦定理得SZ)2=22+22-2X2X2COS120°=12,則80=2.

rBC=CD=2,ZC=120°,

/.ZCBD=30°，.:NA8O=90°.

?:SB邊"八"C￡＞=S"8D+SA/?ci)=x4x2sin90°+x2x2xsin1200=5.

飆5

6.

D

A

BY----------

如圖所示，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為A8=2,BC=6,CQ=OA=4,求四邊形ABCD

的面積.

回連接80,則四邊形ABCD的面積S=ShABD+S^cDB=ABADsinA+BCCDsinC.

:'A+C=180°,.：sinA=sinC,

?：S=(48AO+6CCO)sin4=(2x4+6x4)sinA=16sinA及zU8。中，由余弦定理，得

BD1=AB2+AD2-2ABADCOSA=22+42-2X2X4COSA=20-16COSA.

在△COB中，由余弦定理，得BD1=CB2+CD2-2CBCDCOSC=62+42-2?6X4COSC=52-48COS

C.

.：20-16cosA=52-48cosC.

:'cosC=-cosA,?：64cosA=-32,Zcos4=-.

又A￡(0°,180°),.：A=120°,.：S=16sin120°=8.

7.已知△ABC的外接圓半徑為R,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a力,c,且滿足

2/?(sin2A-sin2C)=(a-b)sin8,求AABC面積的最大值.

解由正弦定理，得即/+從-/=時(shí).由余弦定理的推論，得

cosC=.

rce(o,7t),zc=

?:S=a加inC=x2/?sin42RsinB-

=/?2sinAsinB=R2sinA

=/?2(sinAcosA+sin2A)=/?2Gin2A+)=/?2.

:小￡.?：24-,

?：sin,二S￡,

「△ABC面積的最大值為R2.

第二章數(shù)歹lj

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第1課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

課后篇鞏固提升

1.有下列命題：

①數(shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=\

②數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)；

③數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列-1,1,-1,1,…是同一數(shù)列；

④數(shù)列，…,是遞增數(shù)列.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2C.3D.0

國(guó)畫由通項(xiàng)公式知。尸,故①不正確;易知②正確;由于兩數(shù)列中數(shù)的排列次序不同，因此不是

旦二色列,故③不正確;④中的數(shù)列為遞減數(shù)列，所以④不正確.

宣A

2.已知數(shù)列-1”-,…它的第5項(xiàng)的值為()

A.B.-C.D.-

畫I第5項(xiàng)為(-l)5x=-.

ggD

3.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為二則。2。3等于()

A.70B.28C.20D.8

麗|由叫二

得a2a3=2x10=20.故選C.

ggc

4.設(shè)4產(chǎn)+…+(〃￡N*),則42=()

A.B.

CD.

解析|:%”=+…+(〃￡1>1*),?：42=.故選C.

5.下面四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()

A.1”…B.sin,sin,sin,…

C.-1,…D.I,,…，

解近|A中數(shù)列是遞減數(shù)列,B中數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列,D中數(shù)列是有窮數(shù)列,C中數(shù)列符合條件.

^~|c

6.下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是()

Aa”=〃2.〃+iB.a”=

C.an=D.an=

國(guó)畫從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，當(dāng)n=\葉，有1個(gè);當(dāng)n=2時(shí)，有3個(gè);當(dāng)〃=3時(shí)，有6個(gè);

當(dāng)n=4時(shí)，有10個(gè);....

?：a〃=5￡N*).故選C.

|^1c

7.數(shù)列，…中，有序數(shù)對(duì)3,力可以是.

廨嗣由已知，各項(xiàng)可寫為，…,

____可得a=3x5=15力=24+2=26,故數(shù)對(duì)3力)為(15,26).

客氮15,26)

8.數(shù)列-1,1,22,-3,3,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為.

廨球主意到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的特點(diǎn)即可得a,尸

|答案卜產(chǎn)

9.寫出以下各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

⑴…；

(2)10,9,8,7,6,…；

(3)2,5,10,17,26,…;

(4),…；

(5)3,33,333,3333,-.

釀)5(/嚴(yán)；

⑵斯二11-〃；

(3)即=/?+1;

(4)%=;

(5)%

10.已知數(shù)列｛an｝,%=/-〃〃+q,且。尸0,。2=4

⑴求。5；

(2)判斷150是不是該數(shù)列中的項(xiàng)?若是，是第幾項(xiàng)？

幽1)由已知，得

解得所以小二〃2.7〃+6,

所以的二52-7x5+6=4

(2)令=〃2_7〃+6=150,解得w=16(/?=-9舍去)，所以150是該數(shù)列中的項(xiàng)，并且是第16項(xiàng).

n.在數(shù)列｛%｝中,°n=.

(1)求數(shù)列的第7項(xiàng)；

⑵求證:此數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間(0』)內(nèi)；

⑶區(qū)間內(nèi)有沒(méi)有數(shù)列中的項(xiàng)?若有，有幾項(xiàng)？

⑴解(17

(2)證明|:，斯==1-,

.：0＜?。?,故數(shù)列的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi).

⑶網(wǎng)令，則V〃2〈2,〃￡N*,

故〃=1,即在區(qū)間內(nèi)有且只有I項(xiàng)a\.

第二章數(shù)列

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式

課后篇鞏固提升

基礎(chǔ)鞏固

1.數(shù)列，…的遞推公式可以是()

A.a”=(〃￡N*)B.a”=(〃￡N*)

C.a“+i=〃“(〃￡N")Dae=2a”(〃￡N*)

解析數(shù)列從第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的，故遞推公式為a〃+i="”(〃eN).

答案C

2.符合遞推關(guān)系式斯=4,泊的數(shù)列是()

A.1,2,34…B.1”2,2，…

C.,2,2…D.0,,2,2,…

解析］B中從第2項(xiàng)起，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍,符合遞推公式4尸斯

■B

3.在數(shù)列｛4〃｝中,0=2,以2=5,且為+產(chǎn)?！?2+如,則〃6的值為()

A.-3B.-llC.-5D.19

解析|由題知,4〃+2=知+1S,

將=2/2=5代入得,。3=〃2-〃1=3,

。4=的-。2=-2,45=時(shí)的=-5,

46=的-。4=-3.

軸A

4.己知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為a產(chǎn)〃?7+2,則此數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是()

A.第10項(xiàng)B.第11項(xiàng)C.第12項(xiàng)D.第13項(xiàng)

隆粉因?yàn)閙二小7+2=，所以易知當(dāng)n=12時(shí)取得最小值，即此數(shù)列中數(shù)值最小的項(xiàng)是第12

項(xiàng).故選C.

5.已知。產(chǎn)1,“=〃3”+1心)(〃￡^1*),則數(shù)列｛4“｝的通項(xiàng)公式是()

A.2〃-lB.C.n2D.〃

麗解法一(構(gòu)造法).

由已知整理，得(〃+1)小=〃?！?|,

?：,?：數(shù)列是常數(shù)列，

且二l,?：0i=〃.

解法二(累乘法).

當(dāng)〃22時(shí),，

兩邊分別相乘，得=〃.：'。產(chǎn)1,?"”二〃.

6.設(shè)函數(shù)於尸數(shù)列｛?。凉M足小且數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.(,3)B.［,3)

C.(I,3)D.(2,3)

曲由斯是遞增數(shù)列可得再得2<a<3.

薪D

7.已知數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式斯=〃-,則該數(shù)列是.(填“遞增數(shù)歹廣遞減數(shù)列”“擺動(dòng)數(shù)

列”或“常數(shù)列”)

解析［；=〃-=-,當(dāng)〃增大時(shí),〃+增大，-增大，所以該數(shù)列是遞增數(shù)列.

疆遞增數(shù)列

8.若數(shù)列｛4〃｝滿足為+1=Mr1，且。8=16,則06=

解析|:Z”+1=2所1,?:678=2?7-1=16,

解得。7二,又〃7=2。6?1二，解得06=-

9.在數(shù)列｛〃〃｝中,0=2,斯+i=a“+ln,求an.

魁由題意，得an+i-an=ln,

.：a”-a,“=ln("22),a“T-a〃-2=】n,

?2-?i=ln,

?:當(dāng)時(shí),a”?ai=ln=ln〃,.：斯=2+ln〃(幾22).

當(dāng)n=l時(shí),ai=2+ln1=2,符合上式，

?：a〃=2+ln

10.已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列｛斯｝滿足。1=,4."-1=。"-1-?！?〃22,〃￡1>0,求數(shù)列｛4”｝的通項(xiàng)公式.

凰S'altan.\=an.｝-an,且各項(xiàng)均不為0,

?：=1..：當(dāng)“22時(shí),+???+

=2+=n+\.

?：二〃十1,.：當(dāng)〃，2時(shí),q=.

:Z尸也符合上式,?：斯=.

能力提升

1.已知數(shù)列｛〃"｝,0=2,02=1,。"+2