湖北省鄂東南省級(jí)示范高中2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省鄂東南省級(jí)示范高中學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：2024年11月14日下午15:00-17:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A．2i B． C．2 D．2．已知三點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．已知，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．已知平面向量滿足.則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．6．一個(gè)不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球，從中任意摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不超過(guò)6”，事件“摸出的兩個(gè)球的編號(hào)都大于3”，事件“摸出的兩個(gè)球中有編號(hào)為4的球”，則（

）A．事件與事件是相互獨(dú)立事件 B．事件與事件是對(duì)立事件C．事件與事件是互斥事件 D．事件與事件是互斥事件7．如圖，在正四棱臺(tái)中，.直線與平面EFG交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問(wèn)題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為B．不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線，其方程一定可以寫成兩點(diǎn)式C．是直線與直線垂直的充要條件D．是直線與直線平行的充要條件10．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的最小值為B．當(dāng)與垂直時(shí)，直線與平面所成的角的正切值為C．三棱錐體積的最小值為D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為11．已知曲線，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，則（

）A．曲線的圖象表示兩個(gè)圓 B．的最大值是C．的取值范圍是 D．直線與曲線有且僅有2個(gè)交點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距為軸上截距的2倍的直線方程為.13．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，圓上存在點(diǎn)到點(diǎn)的距離為2，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．在中，已知點(diǎn)邊上的高線所在的直線方程為，角的平分線所在的直線方程為.(1)求直線AC的方程；(2)求直線AB的方程.16．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，.(1)求；(2)若的面積為，求BC邊上中線的長(zhǎng).17．黃石二中舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽校內(nèi)選拔賽（滿分100分），為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)的情況，隨機(jī)抽取了100名參賽學(xué)生的成績(jī)，并分成了五組：第一組50,60，第二組60,70，第三組，第四組，第五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同.(1)求出頻率分布直方圖中a，b的值，并估計(jì)此次競(jìng)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值代替）；(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，第二組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為65和40，第四組考生成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為83和70，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有參賽學(xué)生成績(jī)的方差；(3)甲、乙、丙3名同學(xué)同時(shí)做試卷中同一道題，已知甲能解出該題的概率為，乙能解出而丙不能解出該題的概率為，甲、丙都能解出該題的概率為，假設(shè)他們?nèi)耸欠窠獬鲈擃}互不影響，求甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率.18．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，，為AD的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），設(shè)平面平面，當(dāng)直線與平面所成角取最大值時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.19．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)且，那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，直線，點(diǎn)為和的交點(diǎn).(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)點(diǎn)為曲線與軸正半軸的交點(diǎn)，直線交曲線于A，B兩點(diǎn)，與A，B兩點(diǎn)不重合，直線MA、MB的斜率分別為，且，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；(3)當(dāng)點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最小值.1．C解析：因?yàn)椋?，其虛部為?.故選：C2．B解析：運(yùn)用兩點(diǎn)間的斜率公式，，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，如圖所示，直線斜率的取值范圍是.

故選：B.3．D解析：因?yàn)?，所以，，所以，所以在方向上的投影向量的坐?biāo)為.故選：D.4．C解析：圓①與圓②，①－②得，即公共弦方程為，又圓的半徑為，圓心為，圓心到直線距離，所以公共弦長(zhǎng)為.故選：C.5．A解析：已知，根據(jù)向量模長(zhǎng)公式.因?yàn)?，將其兩邊平方可?根則有.，所以；，所以.代入上式可得，化簡(jiǎn)得，所以.，解得.因?yàn)椋?故選：A.6．D解析：解：由題意可知：所以基本事件為：，；；，所以，，，對(duì)于A，因?yàn)椋?，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋允录c事件不是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋瑒t，所以事件與事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以，所以事件與事件是互斥事件，故正確.故選：D.7．A解析：依題意，，在四棱臺(tái)中，，設(shè)，則四點(diǎn)共面，.故選：A8．B解析：依題意，平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)直線的方向向量為，，，∴，令，∴直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.9．ACD解析：對(duì)于A選項(xiàng)，直線的斜率為時(shí)，傾斜角的范圍是.當(dāng)不在這個(gè)區(qū)間時(shí)，不能直接說(shuō)直線的傾斜角為.例如時(shí)，，但直線傾斜角.所以A選項(xiàng)說(shuō)法不正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，不與坐標(biāo)軸平行或重合的直線，它有兩個(gè)不同的點(diǎn).兩點(diǎn)式方程（且）適用于這種直線，所以其方程一定可以寫成兩點(diǎn)式，B選項(xiàng)說(shuō)法正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)于直線和，若兩直線垂直，則.對(duì)于直線與直線，由垂直條件可得，即，解得或.所以是兩直線垂直的充分不必要條件，C選項(xiàng)說(shuō)法不正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，若兩直線平行，則.對(duì)于直線與直線，由平行條件可得.由得，即，解得.當(dāng)時(shí)，，，，不滿足，所以兩直線不平行.所以不是兩直線平行的充要條件，D選項(xiàng)說(shuō)法不正確.故選：ACD.10．ABC解析：如圖，令中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接MN，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得，平面平面，又，且平面平面平面，又平面，且平面平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，的軌跡為線段，對(duì)A，將平面和平面展開(kāi)到一個(gè)平面內(nèi)，的最小值即點(diǎn)和點(diǎn)連線的距離，由題意易得，所以，從而可得取最短距離時(shí)，是的中點(diǎn)，且，又，所以，所以，故A正確；對(duì)B，的軌跡為線段與平面ABCD所成的角即與平面所成的角，F(xiàn)點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)在平面的射影P在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，，故直線與平面ABCD所成的角的正切值為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，此時(shí)，所以體積最小值為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí)，所以在底面的射影為底面外心，，所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為，由，可得外接球半徑，其外接球的表面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC.11．ACD解析：對(duì)于A，由得，即，所以或，所以曲線表示以為圓心，為半徑的兩個(gè)圓．故A正確.對(duì)于表示到原點(diǎn)距離的平方再加1，如圖，根據(jù)兩圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故最大值考慮一種情況即可，即為.故B錯(cuò)誤.對(duì)于表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率.如圖，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線為，由直線與圓相切得或故C正確.對(duì)于D，由C知，時(shí)，則直線為，與圓M相切.圓心N到直線距離，故直線為，與圓N相切.直線與曲線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn).故D正確.故選：ACD.12．或解析：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí),因?yàn)橹本€過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)，則斜率.直線方程為，即.

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線在軸上的截距為，則在軸上的截距為，直線的截距式方程為.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入截距式方程.解得.所以直線方程為，化為一般式為.

故所求直線方程為或.故答案為：或.13．解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓是以為圓心，1為半徑的圓，的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓.依題意，兩圓有交點(diǎn)，則，兩邊平方得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.14．解析：設(shè)Ax1,因?yàn)?，，所以、為圓上的兩點(diǎn).如圖：

則.又，所以，取中點(diǎn)，則.作直線：，作，，，，垂足分別為，，，.所以又，所以.即.所以.故答案為：15．(1)(2)解析：（1）邊上的高線所在的直線方程為，邊可設(shè)為又點(diǎn)在AC邊上，，求得直線AC的方程為.（2）由，解得設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，解得,又點(diǎn)在直線AB上，，則求得直線AB的方程為：，即.16．(1)(2)解析：（1）由題設(shè)得于是故由正弦定理得又，故.（2）由（1）知，所以是頂角為，底角為的等腰三角形，即，，設(shè)BC邊上中線的長(zhǎng)為，則有..17．(1)，(2)第二組、第四組的方差是(3)解析：（1）由題意可知：，解得可知每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)等于，（2）設(shè)第二組、第四組的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的平均數(shù)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差，故估計(jì)成績(jī)?cè)诘诙M、第四組的方差是.（3）設(shè)“甲解出該題”為事件A，“乙解出該題”為事件B，“丙解出該題”為事件，“甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題”為事件，由題意得，所以，所以，所以乙、丙各自解出該題的概率為，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以，所以甲、乙、丙3人中至少有1人解出該題的概率為.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)解析：（1）證明：連，又，即，均為等邊三角形，，所以四邊形為菱形．取中點(diǎn)，連.為等邊三角形，，又，即，又平面.平面.又平面平面平面.（2）解：平面平面平面PCD又平面平面，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，易得，，令，，令平面法向量為，，令，可得：，即，，令，當(dāng)，，所以平面的法向量，，設(shè)平面的法向量，令，，得設(shè)二面角的夾角為，19．(1)(2)證明見(jiàn)解析，（）(3)解析：（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，交點(diǎn)為當(dāng)時(shí)，由，斜率為t，由，斜率為，綜上，.直線恒過(guò)，直線恒過(guò)，若為的交點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以EF為直徑的圓，又因?yàn)楫?dāng)代入方程得到不成立，所以點(diǎn)的軌跡不包含點(diǎn).則圓心為EF的