數(shù)學(xué)學(xué)案：集合的運(yùn)算第課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修1第一章1。2.2集合的運(yùn)算第1課時(shí)1．理解兩個(gè)集合的交集與并集的概念，明確數(shù)學(xué)中的“且”“或”的含義,會求兩個(gè)簡單集合的交集與并集．2．能使用Venn圖表示集合之間的運(yùn)算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用．3．理解集合的交集、并集運(yùn)算的性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用．1．交集與并集的概念知識點(diǎn)自然語言描述符號語言表示Venn圖表示交集對于兩個(gè)給定的集合A，B,由____________元素構(gòu)成的集合A∩B＝__________并集對于兩個(gè)給定的集合A，B，由____________構(gòu)成的集合A∪B＝__________（1）在求集合的并集時(shí)，同時(shí)屬于A和B的公共元素,在并集中只列舉一次．(2)對于“A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝"，不能僅認(rèn)為A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素,同時(shí)還有A與B的公共元素都屬于A∩B的含義,這就是定義中“所有”二字的含義，而不是“部分”公共元素．【做一做1－1】設(shè)集合P＝{－1,0,1｝，Q＝｛－2,4｝,則P∩Q等于()A．B．｛－2，－1，0，1，4｝C．｛4}D．{0,1}【做一做1－2】若集合A＝｛0,1,2，3｝,B＝｛1,2,4}，則集合A∪B＝（)A．｛0,1,2，3，4}B．{1，2，3，4}C．{1，2}D．{0｝2．交集與并集的運(yùn)算性質(zhì)交集的運(yùn)算性質(zhì)并集的運(yùn)算性質(zhì)A∩B__B∩AA∪B__B∪AA∩A＝__A∪A＝__A∩＝∩A＝__A∪＝∪A＝__A?B?A∩B＝__A?B?A∪B＝__【做一做2】設(shè)集合A＝｛7，a｝，B＝｛－1}，若A∩B＝B,則a＝__________。一、集合運(yùn)算中與生活用語中的“且”與“或"的區(qū)別和聯(lián)系剖析：(1)集合運(yùn)算中的“且"與生活用語中的“且”的含義相同，均表示“同時(shí)"的含義,即“x∈A，且x∈B"表示元素x屬于集合A同時(shí)屬于集合B;（2）集合運(yùn)算中的“或"與生活用語中的“或"的含義不同，生活用語中的“或"是指“或此”與“或彼”，只取其中之一，并不兼存;而集合運(yùn)算中的“或”是指“或此”與“或彼”與“或此彼”，可兼有．例如：“x∈A，或x∈B”包含三種情況：①x∈A,但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A，且x∈B．而生活中：“小張或小李去辦公室把作業(yè)本搬來"是指：“小張去”或“小李去"，僅其中一人去．二、教材中的“思考與討論"1．兩個(gè)非空集合的交集可能是空集嗎？舉例說明．剖析：可能．當(dāng)A與B無公共元素時(shí),A∩B＝，此時(shí),A，B這兩個(gè)集合可能至少有一個(gè)為空集，也可能這兩個(gè)集合都是非空的，如：A＝｛1，3,5,7,9}，B＝{2,4，6,8，10}．2．如何用集合語言表示平面內(nèi)的兩條直線平行或重合?剖析：根據(jù)交集的定義與平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系的定義,可以用集合語言表示平面內(nèi)兩條直線的平行或重合．若l1∩l2＝,則l1與l2平行；若l1∩l2＝l1（l2），則l1與l2重合．題型一兩個(gè)集合的交集運(yùn)算【例1】設(shè)A＝｛x|x2－7x＋6＝0｝,B＝｛x｜4＜x＜9,x∈N}，求A∩B．分析:首先明確集合A，B中的元素,集合A是一元二次方程x2－7x＋6＝0的解集，集合B是不等式4＜x＜9的自然數(shù)解集，直接觀察或借助于Venn圖寫出交集．反思：求兩個(gè)集合的交集時(shí)，首先要識別所給集合，其次要簡化集合,即明確集合中的元素，使集合中的元素明朗化，最后再依據(jù)交集的定義寫出結(jié)果．有時(shí)要借助于Venn圖或數(shù)軸寫出交集．題型二兩個(gè)集合的并集運(yùn)算【例2】設(shè)集合A＝{x|x＋1＞0｝，B＝｛x|－2＜x＜2｝，求A∪B．分析：首先明確集合A中的元素,集合A是不等式x＋1＞0的解集,再借助于數(shù)軸找出A∪B．反思:求兩個(gè)集合的并集時(shí)，若用描述法給出集合，要明確集合中的元素，直接觀察寫出并集，也可以借助于數(shù)軸寫出并集;若用列舉法給出集合，則依據(jù)并集的含義，可直接觀察或借助于Venn圖寫出并集．題型三集合運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【例3】集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x｜mx－2012＝0｝，若A∪B＝A,則m能取到的所有值的集合為__________．反思：A∪B＝A?B?A,A∩B＝A?A?B兩個(gè)性質(zhì)常常作為“等價(jià)轉(zhuǎn)化"的依據(jù)，要特別注意當(dāng)A?B時(shí)，往往需要按A＝和A≠兩種情況分類討論，而這一點(diǎn)卻很容易被忽視．如本題中由B?A應(yīng)分B＝和B≠兩種情況考慮，盡管本題中B＝時(shí)，對應(yīng)的方程無解，但滿足B?A，因此也不要遺漏這種情況．題型四集合的交集、并集綜合運(yùn)算【例4】已知集合A＝｛y｜y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝｛y｜y＝－x2＋2x＋13，x∈R｝，求A∩B，A∪B．分析:先利用配方法確定集合A與B，再利用數(shù)軸進(jìn)行集合的交、并集運(yùn)算．反思：此類題目要看清集合的代表元素，先化簡集合,再借助于數(shù)軸進(jìn)行集合運(yùn)算,特別是理解集合的含義，把集合化簡、具體化是解決此類題的關(guān)鍵．例如這一題目,在求A∩B時(shí)，極易出現(xiàn)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝x2－2x－3，,y＝－x2＋2x＋13，))得y＝5，進(jìn)而得出A∩B＝｛5｝的錯(cuò)誤．【例5】設(shè)A＝{x|x2＋4x＝0｝,B＝｛x｜x2＋2(a＋1）x＋a2－1＝0}．（1）若A∩B＝B，求a的值；（2)若A∪B＝B，求a的值．分析：(1)A∩B＝B?B?A，因此集合B可能為，｛0｝，｛－4}，｛0，－4}，分類討論即可；(2)A∪B＝B?A?B，而B中至多有兩個(gè)元素,故應(yīng)有A＝B，然后利用集合相等求解．反思:注意運(yùn)用A∩B＝A?A?B,A∪B＝B?A?B實(shí)現(xiàn)條件轉(zhuǎn)化,同時(shí)包含關(guān)系A(chǔ)?B中，不要漏掉A＝的情況．題型五易錯(cuò)辨析【例6】設(shè)集合A＝｛x∈R|x2＋2x＋2－p＝0},B＝｛x|x＞0｝,且A∩B＝，求實(shí)數(shù)p滿足的條件．錯(cuò)解:由于A∩B＝，則A＝，所以關(guān)于x的方程沒有實(shí)數(shù)根，所以Δ＝22－4(2－p）＜0，解得p＜1.反思：當(dāng)A∩B＝時(shí)，有以下4種情況:①A＝，B＝；②A≠，B＝；③A＝,B≠;④A≠,B≠且A與B沒有公共元素．如果已知條件出現(xiàn)A∩B＝時(shí)，這4種情況都要考慮到，否則容易出錯(cuò)，如本題忽視了情況④。1（2011·安徽阜陽高三統(tǒng)考)已知集合U＝R，集合M＝｛x｜－1≤x≤2}和N＝eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x∈N｜－\f（1,2)〈x<3)）的關(guān)系的維恩（Venn）圖如圖所示，則陰影部分所示的集合的元素共有(）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．無窮多個(gè)2已知集合M＝{x∈N＋｜x＜8},N＝｛－1,4，5,7｝，則M∪N等于（）A．｛4,5，7｝B．{1，2,3,4，5,6，7}C．{1,2，3，4，5,6，7，－1，4,5，7｝D．{－1，1,2，3,4，5，6，7}3若集合A，B，C滿足A∩B＝A,B∪C＝C，則A與C之間的關(guān)系必定是(）A．ACB．CAC．A?CD．C?A4已知集合A＝｛x｜x－a＞0｝，B＝{x|2－x＜0｝，且A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a滿足的條件是________．5(2010·湖南高考）已知集合A＝｛1，2，3｝,B＝｛2，m,4｝，A∩B＝｛2，3｝，則m＝______.答案:基礎(chǔ)知識·梳理1．屬于A又屬于B的所有{x|x∈A，且x∈B}兩個(gè)集合的所有元素｛x｜x∈A，或x∈B｝【做一做1－1】A因?yàn)榧螾和Q沒有公共元素，因此集合P與Q的交集為.【做一做1－2】A2．＝＝AAAAB【做一做2】－1由于A∩B＝B，則B?A。又－1∈B,則－1∈A，又A＝{7，a｝，則有a＝－1.典型例題·領(lǐng)悟【例1】解：A＝｛1，6｝，B＝｛5,6,7,8｝，用Venn圖表示集合A，B,如圖所示．依據(jù)交集的定義，觀察可得陰影部分是A∩B＝｛6｝．【例2】解：A＝｛x｜x＞－1}，用數(shù)軸表示集合A和B如圖所示．則A∪B＝｛x｜x＞－2}．【例3】{0,1006，2012｝解答此題，第一是先利用性質(zhì)A∪B＝A?B?A來轉(zhuǎn)化；二是要弄清楚B＝｛x｜mx－2012＝0}≠｛x|x＝eq\f（2012,m)},要注意對m是否為0進(jìn)行討論．A＝{x｜x2－3x＋2＝0｝＝｛1，2}，A∪B＝A?B?A，因此集合B只能為單元素集或。當(dāng)B＝｛1}時(shí),m－2012＝0，得m＝2012；同理，當(dāng)B＝｛2｝時(shí),2m－2012＝0，得m＝1006;當(dāng)B＝時(shí)，mx－2012＝0無解，得m＝0.綜上，m能取到的所有值所組成的集合為｛0，1006，2012｝．【例4】解：∵A＝｛y｜y＝(x－1）2－4,x∈R}，∴A＝{y|y≥－4｝．∵B＝｛y|y＝－(x－1)2＋14,x∈R}，∴B＝｛y|y≤14}．將集合A，B用數(shù)軸表示如下圖所示．∴A∩B＝｛y|－4≤y≤14}，A∪B＝R?！纠?】解：由題意，得（1)A＝{x|x2＋4x＝0｝＝{0,－4｝．由于A∩B＝B，則有B?A,故集合B可能為，{0}，{－4｝,｛0,－4｝．①若B＝，由Δ＝4(a＋1）2－4（a2－1）＜0，得a＜－1;②若B＝{0}，則0∈B，將0代入方程，得a2＝1,即a＝±1.經(jīng)檢驗(yàn)a＝－1滿足條件；③若B＝{－4｝，則－4∈B,將－4代入方程，得a2－8a＋7＝0，即a＝1或a＝7.當(dāng)a＝7時(shí)，B＝｛－4，－12｝，當(dāng)a＝1時(shí)，B＝｛0，－4}，不合題意，舍去；④若B＝{0，－4}，則0∈B，且－4∈B，此時(shí)a＝1。綜合①②③④,得a＝1或a≤－1。（2)因?yàn)锳∪B＝B，所以A?B。又因?yàn)锳＝｛0,－4}，而B中至多有兩個(gè)元素，因此應(yīng)有A＝B，即B＝｛0,－4｝,由（1），得a＝1。【例6】錯(cuò)因分析：當(dāng)A∩B＝時(shí)，若B≠，則A＝或A≠且A與B沒有公共元素，錯(cuò)解忽視了A與B沒有公共元素的情況，導(dǎo)致出現(xiàn)錯(cuò)誤．正解：由于A∩B＝，且B≠，則A＝或A≠且A與B沒有公共元素，當(dāng)A＝時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根，則Δ＝22－4（2－p）＜0，解得p＜1。當(dāng)A≠且A與B沒有公共元素時(shí),設(shè)關(guān)于x的方程x2＋2x＋2－p＝0有非正數(shù)解x1，x2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Δ≥0，,x1＋x2≤0,，x1x2≥0，））所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（22－4(2－p）≥0，，－2<0,，2－p≥0,））解得1≤p≤2.綜上，實(shí)數(shù)p滿足的條件為p＜1或1≤p≤2，即p≤2.隨堂練習(xí)·鞏固1．C∵M(jìn)∩N＝{x｜－1≤x≤2｝∩｛0,1,2｝＝｛0，1,2},∴陰