【高中數(shù)學(xué)課件】新人教a版兩角和與差的正切

兩角和與差的正切三角函數(shù)的和差公式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在解三角形、證明三角恒等式、求函數(shù)的值域等方面都有廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)兩角和與差的正切公式，并通過實(shí)例講解如何應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算。回顧三角函數(shù)的定義11.正弦正弦是直角三角形中，對邊與斜邊的比值。用sin表示，例如sin(α)。22.余弦余弦是直角三角形中，鄰邊與斜邊的比值。用cos表示，例如cos(α)。33.正切正切是直角三角形中，對邊與鄰邊的比值。用tan表示，例如tan(α)。44.余切余切是直角三角形中，鄰邊與對邊的比值。用cot表示，例如cot(α)。正弦、余弦、正切的關(guān)系正弦直角三角形中，某個(gè)銳角的對邊與斜邊的比值叫做該銳角的正弦，記作sin。余弦直角三角形中，某個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比值叫做該銳角的余弦，記作cos。正切直角三角形中，某個(gè)銳角的對邊與鄰邊的比值叫做該銳角的正切，記作tan。正切的特性周期性正切函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，周期為π。奇函數(shù)正切函數(shù)是奇函數(shù)，即tan(-x)=-tan(x)。漸近線正切函數(shù)在x=(π/2)+kπ(k為整數(shù))處有垂直漸近線。兩角和與差的公式兩角和的正切公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)兩角差的正切公式tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)兩角和的正切公式1公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)2推導(dǎo)利用正切的定義和兩角和的正弦、余弦公式推導(dǎo)得出3應(yīng)用用于計(jì)算兩個(gè)角的和的正切值公式中，α和β為任意兩個(gè)角，且tanα和tanβ均存在。兩角差的正切公式1公式推導(dǎo)從兩角和的正切公式推導(dǎo)出兩角差的正切公式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，將公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化。2公式表達(dá)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，其中α和β為任意角，且tanαtanβ≠-1。3公式應(yīng)用利用兩角差的正切公式，可以計(jì)算兩個(gè)角差的正切值，進(jìn)而解決三角函數(shù)相關(guān)的計(jì)算和證明問題。案例分析：計(jì)算兩角和的正切步驟1：確定已知條件已知兩個(gè)角度及其正切值，目標(biāo)是計(jì)算這兩個(gè)角度之和的正切值。步驟2：應(yīng)用公式使用兩角和的正切公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。步驟3：代入數(shù)值將已知角度的正切值代入公式，并進(jìn)行計(jì)算。步驟4：簡化結(jié)果化簡計(jì)算結(jié)果，得到兩角和的正切值。案例分析：計(jì)算兩角差的正切1已知角已知兩個(gè)角的正切值2公式運(yùn)用兩角差的正切公式3計(jì)算代入已知值，計(jì)算結(jié)果例如，已知角α和β的正切值，求α-β的正切值。首先，利用兩角差的正切公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。然后，將已知值代入公式中，進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果。兩角和與差的正切應(yīng)用場景三角函數(shù)計(jì)算在三角函數(shù)計(jì)算中，兩角和與差的正切公式可以簡化復(fù)雜公式，快速求出三角函數(shù)值。幾何圖形求解在處理幾何圖形時(shí)，兩角和與差的正切公式可以用于求解角度、邊長等未知量。物理學(xué)應(yīng)用物理學(xué)中，兩角和與差的正切公式可以用于分析波動(dòng)、振動(dòng)等物理現(xiàn)象。工程應(yīng)用工程領(lǐng)域中，兩角和與差的正切公式可以用于解決力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)等相關(guān)問題。習(xí)題1：求兩角和的正切已知α和β的正切值，求α+β的正切值。該問題可以利用兩角和的正切公式解決。公式為：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)通過將已知α和β的正切值代入公式，即可計(jì)算出α+β的正切值。習(xí)題2：求兩角差的正切本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)如何利用兩角差的正切公式求解三角函數(shù)的值。通過練習(xí)，學(xué)生能夠熟練運(yùn)用公式，并能將公式靈活應(yīng)用到實(shí)際問題中。習(xí)題3：應(yīng)用兩角和的正切公式解題本節(jié)練習(xí)將重點(diǎn)考察學(xué)生對兩角和的正切公式的理解和應(yīng)用能力，并引導(dǎo)學(xué)生將公式與實(shí)際問題相結(jié)合，鍛煉解決實(shí)際問題的能力。習(xí)題的難度將循序漸進(jìn)，逐步提高，幫助學(xué)生深入理解和掌握兩角和的正切公式。同時(shí)，本節(jié)還將提供一些解題技巧和思路，幫助學(xué)生更好地應(yīng)對考試中可能出現(xiàn)的相關(guān)題目。為了更直觀地理解兩角和的正切公式的應(yīng)用，本節(jié)將通過一些具體的案例進(jìn)行講解，例如求解三角形中某角的正切值、利用兩角和的正切公式化簡三角函數(shù)表達(dá)式等。通過這些案例分析，學(xué)生可以更好地掌握兩角和的正切公式的應(yīng)用方法，并提高解題效率。習(xí)題4：應(yīng)用兩角差的正切公式解題本節(jié)課將通過例題講解如何將兩角差的正切公式應(yīng)用于解題。例題：已知α=60°，β=30°，求tan(α-β)的值。解題思路：根據(jù)兩角差的正切公式，可得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。將已知條件代入公式，即可求解。小結(jié)：兩角和與差的正切重點(diǎn)11.公式推導(dǎo)理解兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)過程，掌握公式的變形和應(yīng)用。22.靈活運(yùn)用將兩角和與差的正切公式應(yīng)用于三角函數(shù)的化簡、求值和證明等問題。33.注意事項(xiàng)注意公式的使用條件和適用范圍，避免錯(cuò)誤運(yùn)用。拓展：其他三角函數(shù)和的差公式正弦和差公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ余弦和差公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ正切和差公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)拓展：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式的應(yīng)用誘導(dǎo)公式將不同角度的三角函數(shù)值聯(lián)系起來，可以簡化三角函數(shù)的計(jì)算。誘導(dǎo)公式的原理誘導(dǎo)公式基于三角函數(shù)的周期性、對稱性和奇偶性等性質(zhì)推導(dǎo)而來。拓展：三角函數(shù)的加法定理加法定理公式加法定理是三角函數(shù)中重要的公式，它描述了兩個(gè)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。應(yīng)用范圍加法定理可用于化簡三角函數(shù)表達(dá)式、求值、證明等多種場景，在數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。鞏固練習(xí)1請計(jì)算以下兩角和的正切值：tan(30°+45°)。提示：使用兩角和的正切公式進(jìn)行計(jì)算。鞏固練習(xí)2已知tan(α+β)=2，tan(α-β)=1/2，求tanα和tanβ的值。運(yùn)用兩角和與差的正切公式展開tan(α+β)和tan(α-β)，并聯(lián)立方程組解出tanα和tanβ。鞏固練習(xí)3已知角A和角B的正切值，求角A+B的正切值。例如：已知tanA=2，tanB=3，求tan(A+B)的值。鞏固練習(xí)4已知tan(α+β)=2，tan(α-β)=1/3，求tan2α的值。本題主要利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行解題，首先根據(jù)公式將tan(α+β)和tan(α-β)展開，然后聯(lián)立方程組解出tanα和tanβ的值。最后利用兩角和的正切公式計(jì)算tan2α的值。鞏固練習(xí)5已知α，β是銳角，且tanα=2/3，tanβ=1/5，求tan(α+β)的值。利用兩角和的正切公式，將tan(α+β)表示為tanα和tanβ的表達(dá)式，并代入已知條件進(jìn)行計(jì)算。該題考查了三角函數(shù)的加法公式，以及三角函數(shù)的計(jì)算方法。解題關(guān)鍵在于熟練掌握兩角和的正切公式，并能夠靈活運(yùn)用。鞏固練習(xí)6已知α，β滿足tan(α+β)=2，tan(α-β)=1/3，求tan2α的值。利用兩角和與差的正切公式，可以將tan2α表示為tan(α+β)和tan(α-β)的表達(dá)式，然后代入已知條件即可求得結(jié)果。該題考查了三角函數(shù)的和差公式的應(yīng)用。首先需要根據(jù)已知條件，利用兩角和與差的正切公式將tan2α表示為tan(α+β)和tan(α-β)的表達(dá)式，然后代入已知條件即可求得結(jié)果。鞏固練習(xí)7三角函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛，從日常生活中的工程建設(shè)到科學(xué)研究，都能看到它的身影。例如，在建筑行業(yè)中，利用三角函數(shù)可以計(jì)算建筑物的傾斜度和高度。在航海中，利用三角函數(shù)可以計(jì)算船舶的航行路線和距離。在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，利用三角函數(shù)可以分析心電圖和腦電圖等生理信號(hào)。通過不斷地練習(xí)，我們可以更好地理解和掌握三角函數(shù)的知識(shí)，并將它應(yīng)用到實(shí)際生活中。鞏固練習(xí)8已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)的值。利用兩角和的正切公式，可得：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(2+3)/(1-2*3)=-5/5=-1所以，tan(α+β)=-1鞏固練習(xí)9求函數(shù)f(x)=tan(x+π/4)的定義域，并判斷其奇偶性。本題考查三角函數(shù)的定義域和奇偶性，需要利用兩角和的正切公式以及三角函數(shù)的定義。首先，求函數(shù)f(x)的定義域，即求解不等式x+π/4≠kπ+π/2（k為整數(shù)）。解得x≠kπ-π/4，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠kπ-π/4，k∈Z}。然后，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。將x替換為-x，得到f(-x)=tan(-x+π/4)，根據(jù)兩角和的正切公式，可以化簡為f(-x)=-tan(x-π/4)。因?yàn)閠an(x-π/4)≠-tan(x+π/4)，所以f(-x)≠-f(x)，也不等于f(x)，所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。鞏固練