黑龍江省綏化市哈爾濱師范大學(xué)青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

哈師大青岡實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。1.直線的斜率為A.2B.-2C.-122.拋物線的準(zhǔn)線方程為A.B.C.D.3.若圓：過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為A.2或1B.-2或-1C.2D.-14.已知雙曲線，則A.雙曲線C的焦距為B.雙曲線C的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的6倍C.雙曲線與雙曲線C的漸近線相同D.直線與雙曲線C有公共點(diǎn)5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在橢圓上，當(dāng)?shù)拿娣e為1時(shí)，等于A.0B.1C.2D.6.已知雙曲線E：，若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線E的漸近線的距離為，過(guò)焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的值為A.B.C.8D.7.已知直線，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若直線上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A.B.C.D.8.已知雙曲線(a>0，b>0)的左?右焦點(diǎn)分別為F1(﹣c，0)，F(xiàn)2(c，0)，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且滿足，則該雙曲線離心率的取值范圍是A.(2，+∞)B.C.D.(1，2)二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列四個(gè)命題中真命題有A.直線在軸上的截距為；B.經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線都可以用方程表示；C.直線必過(guò)定點(diǎn)(2，－4)；D.已知直線與直線平行，則平行線間的距離是；10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是A.存在點(diǎn)，使得B.存在點(diǎn)，使得C.對(duì)于任意點(diǎn)Q，Q到的距離的取值范圍為D.對(duì)于任意點(diǎn)，都不是銳角三角形11.橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.一束光線從F1射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至F2，若兩段光線總長(zhǎng)度為6，且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若點(diǎn)P在橢圓上，則sin∠FC.若點(diǎn)P在橢圓上，BP的最大值為D.過(guò)直線上一點(diǎn)M分別作橢圓的切線，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，則直線PQ恒過(guò)定點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是. 13.已知橢圓()的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是.14.如圖，兩個(gè)正方形，的邊長(zhǎng)都是8，且二面角為，M為對(duì)角線AC靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，N為對(duì)角線DF的中點(diǎn)，則線段.四、解答題：本題共5小題，共77分。15.(13分)已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，求：(1)邊上的高所在直線的方程；(2)的垂直平分線所在直線的方程.16.(15分)已知圓(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；(2)若圓的半徑為3，圓心在直線上，且與圓外切，求圓的方程.17.(15分)已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，且橢圓C過(guò)點(diǎn)P.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若與直線OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))平行的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)OA⊥OB時(shí)，求△AOB的面積.18.(17分)如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，，平面平面.(1)求證：平面；(2)若，點(diǎn)在棱上，且二面角的大小為.①求證：；②設(shè)是直線CD中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.19.(17分)(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.(i)試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；(ii)求的取值范圍.數(shù)學(xué)試卷答案1——8BDCCAABB9、CD10、BCD11、ACD12、13、14、15．（13分）解：（1）由斜率公式易知，直線的斜率．——————3分又直線過(guò)點(diǎn)，代入點(diǎn)斜式得直線的方程為：．——————6分，．——————8分又線段的中點(diǎn)為，——————10分所在直線的方程為，——————12分整理得所求的直線方程為：．——————13分16．（15分）解：（1）由圓，可得原心，半徑為，——————1分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；——————3分當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，——————4分由圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，——————5分此時(shí)直線的方程為，——————6分綜上可得，所求直線的方程為或.——————7分（2）解：由圓的半徑為3，圓心在直線上，設(shè)，且圓的圓心，半徑為，——————9分由兩圓相外切，可得，即，——————11分解得或，——————13分所以或，——————14分所以所求圓的方程為或.——————15分17.（15分）解：(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，——————1分由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1，))——————3分解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1.))——————5分故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.——————6分直線OP的方程為y＝eq\f(\r(3),2)x，——————7分設(shè)直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),2)x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．——————8分將直線AB的方程代入橢圓C的方程并整理得x2＋eq\r(3)mx＋m2－1＝0，由Δ＝3m2－4(m2－1)>0，得m2<4，——————9分所以x1＋x2＝－eq\r(3)m，x1x2＝m2－1.——————10分由OA⊥OB，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，——————11分eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x1＋m))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)x2＋m))＝eq\f(7,4)x1x2＋eq\f(\r(3),2)m(x1＋x2)＋m2＝eq\f(7,4)(m2－1)＋eq\f(\r(3),2)m·(－eq\r(3)m)＋m2＝eq\f(5,4)m2－eq\f(7,4)＝0，得m2＝eq\f(7,5).——————12分又|AB|＝eq\r(1＋\f(3,4))eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\f(\r(7),2)·eq\r(4－m2)，——————13分O到直線AB的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋\f(3,4)))＝eq\f(|m|,\f(\r(7),2))，——————14分所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(7),2)×eq\r(4－m2)×eq\f(|m|,\f(\r(7),2))＝eq\f(\r(91),10).——————15分18.（17分）解：（1）在四棱錐中，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所?因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫?，所以平面，—————?分因?yàn)槠矫?，所以，—————?分因?yàn)槠矫?，且，—————?分所以平面.——————4分（2）①以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，所以，——————5分因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以設(shè)或顯然不滿足題設(shè)，——————6分因?yàn)椋?，所以，—————?分設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，所以，——————8分是平面的一個(gè)法向量，——————9分所以，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，即，解得，—————?0分此時(shí)，，，所以，——————11分所以，即.——————12分②因?yàn)槭侵本€CD的中點(diǎn)，則——————13分由①可得，所以，平面的一個(gè)法向量.——————14分設(shè)直線與平面所成角為，則——————16分即直線與平面所成角的正弦值為.——————17分（17分）解：（1）由題意可設(shè)雙曲線，——————1分則，解得，——————3分所以雙曲線的方程為.——————4分（2）（i）設(shè)，直線的方程為，——————5分由，消元得.則，且，——————6分，——————8分或由韋達(dá)定理可得，即,，—————9分即與的比值為定值.——————10