四川省遂寧市大英中學2024-2025學年高二上學期10月月考數(shù)學試題

大英中學創(chuàng)新部高2023級十月素質(zhì)測評數(shù)學試卷一、單選題本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．復數(shù)，則z的虛部為（

）A． B． C． D．2．數(shù)列滿足，若，，則（）A． B． C．1 D．23．以橢圓的長軸端點為焦點、以橢圓焦點為頂點的雙曲線方程為（

）A． B． C． D．4．已知空間三點，，，若向量PA與PB的夾角為60°，則實數(shù)（

）A．1 B．2 C． D．5．已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．2 B．4 C．6 D．86．已知橢圓的兩個焦點為，為橢圓上一點，.若的內(nèi)切圓面積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．已知直線與直線相交于點，則到直線的距離的取值范圍是（

）A．B．C．D．8．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．10二、二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次擲出的點數(shù)之和是3”，表示事件“第二次擲出的點數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次擲出的點數(shù)相同”，D表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”，則（

）A．與互斥B．與對立C．與獨立 D．與獨立10．數(shù)學美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊藏于特有的抽象概念，公式符號，推理論證，思維方法等之中，揭示了規(guī)律性，是一種科學的真實美．平面直角坐標系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對于此曲線，下面結(jié)論正確的是：（

）A．直線與曲線一定有交點B．曲線圍成的圖形的周長是C．曲線圍成的圖形的面積是D．曲線上的任意兩點間的距離不超過211．在長方體中，，，動點在體對角線上（含端點），則下列結(jié)論正確的有（

）A．當為中點時，為銳角B．存在點，使得平面C．的最小值D．頂點到平面的最大距離為三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則C的離心率為.13．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為.14．已知拋物線的焦點為，點為拋物線上任意一點，為圓上任意一點，則的最小值為.四、解答題本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）已知等差數(shù)列中，，前項和為，為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，.(1)求與；(2)定義新數(shù)列滿足，，求前10項的和.16．（15分）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且.(1)求角的大??；(2)若，的外接圓直徑為，求的周長.17．（15分）如圖，圓內(nèi)有一點，為過點且傾斜角為的弦.(1)當時，求的長;(2)當時，寫出所在的直線的方程.18．（17分）已知平面邊形中，，，且.以為腰作等腰直角三角形，且，將沿直線折起，使得平面平面.(1)證明：平面；(2)若是線段上一點，且平面，①求三棱錐的體積；②求平面與平面夾角的余弦值.19．（17分）已知點在橢圓上，橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程；(2)若不過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，且，①求證直線AB經(jīng)過定點；②求面積的取值范圍（為坐標原點）.大英中學創(chuàng)新部高2023級十月素質(zhì)測評數(shù)學試卷參考答案：題號12345678910答案BCABBCAAACDAC題號11答案ABD6．【詳解】根據(jù)勾股定理得到：，即；的內(nèi)切圓面積為，故.根據(jù)等面積法得到：，故.故，即，解得或（舍去）.故選：7．【詳解】解法一：直線整理可得，，即直線恒過，同理可得恒過，又，直線和互相垂直，兩條直線的交點在以，為直徑的圓上，即的軌跡方程為，（去掉，（這是因為不能表示直線，不能表示直線，）設(shè)該圓心為，則，則，由于垂直于直線，故M到的距離即為，而，即，而當時，點的坐標為，不符合題意。故的取值范圍是，故選：A．解法二：聯(lián)立兩條直線的方程，解得交點的坐標為，∴，由，故得的取值范圍是,故選：A．8．【詳解】設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當且僅當（或）時，取等號.點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉(zhuǎn)化到準線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，所以.10．AC【詳解】曲線可化為，當變換為，變換為時，方程不變，故曲線的對稱軸為軸，軸，對稱中心為原點.當時，即為，它表示一段半圓及原點，其中半圓的圓心為，半徑為，故曲線如下圖實線所示：對于A：可化為，令可得，故直線過定點，且在曲線內(nèi)部，故動直線與曲線一定有交點，故A正確.對于B：如圖，曲線由4段相同的半圓及原點構(gòu)成，故曲線的弧長為，故B錯誤.對于C：曲線圍成的區(qū)域由個半圓及一個正方形構(gòu)成，故其面積，故C正確.對于D，取點，則均為上的點，而，故D錯誤.故選：AC11．【詳解】解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，設(shè)，則，則，故，則，，對于A，當為中點時，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當平面，因為平面，所以，則，解得，故存在點，使得平面，故B正確；對于C，當時，取得最小值，由B得，此時，則，，所以，即的最小值為，故C錯誤；對于D，，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則點到平面的距離為，當時，點到平面的距離為0，當時，，當且僅當時，取等號，所以點到平面的最大距離為，故D正確.故選：ABD.14．【詳解】由題意知，焦點，設(shè)存在定點，使得點在圓上運動時，均有，設(shè)，則，由，知，聯(lián)立兩式，消去可得，令，則，滿足上式，所以，所以，當且僅當，三點共線時，等號成立，設(shè)，則，所以，當且僅當時，等號成立，所以，即的最小值為．故答案為：．15．（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由可得，，解得：故（2）由（1）得，，，則16．（1）由，得，整理得，所以由余弦定理，得，因為，所以；（2）由（1）根據(jù)正弦定理，得，解得，由余弦定理，得，解得，所以的周長為.17．【詳解】（1）當時，直線的斜率為，又直線過，所以直線的方程為，整理有；根據(jù)圓的方程為，得圓心，半徑，設(shè)圓心到直線距離為，則，所以.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，此時，符合題意；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，此時直線方程為，整理有，圓心到直線的距離，因為，所以有，整理有，即，解得，所以直線的方程為，即；綜上所述當時，寫出所在的直線的方程為或.18．【詳解】（1）因，，故,又，且，故在直角梯形中，，由可得；因平面平面，，平面平面，則平面，又平面，則，又，因平面，故平面.（2）

①如圖，連接,設(shè)，連接,因平面，且平面,平面平面，則，故，在四邊形中，由,可得,故，即，即點是線段上靠近點的三等分點，故②

如圖，以點為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則,所以，,,設(shè)平面的法