高等數(shù)學(xué)課件 D7-3平面與直線

第三節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面與直線

第七章一、空間直線方程因此其一般式方程1.一般式方程直線可視為兩平面交線，(不唯一)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.對(duì)稱式方程故有說(shuō)明:

某些分母為零時(shí),其分子也理解為零.設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為則此式稱為直線的對(duì)稱式方程(也稱為點(diǎn)向式方程)直線方程為已知直線上一點(diǎn)例如,當(dāng)和它的方向向量機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.用對(duì)稱式及參數(shù)式表示直線解:先在直線上找一點(diǎn).再求直線的方向向量令x=1,解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故所給直線的對(duì)稱式方程為參數(shù)式方程為解題思路:先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、線面間的位置關(guān)系1.兩直線的夾角

則兩直線夾角

滿足設(shè)直線兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別有:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求以下兩直線的夾角解:直線直線二直線夾角

的余弦為從而的方向向量為的方向向量為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束當(dāng)直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角

稱為直線與平面間的夾角;

2.

直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線

L的方向向量為平面

的法向量為則直線與平面夾角

滿足直線和它在平面上的投影直︿機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別有:解:

取已知平面的法向量則直線的對(duì)稱式方程為直的直線方程.

為所求直線的方向向量.垂例3.求過(guò)點(diǎn)(1,－2,4)

且與平面機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.空間直線方程一般式對(duì)稱式參數(shù)式

內(nèi)容小結(jié)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束直線2.線與線的關(guān)系直線夾角公式:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束平面

:L⊥

L//

夾角公式：3.面與線間的關(guān)系直線L:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解：相交,求此直線方程

.的方向向量為過(guò)A

點(diǎn)及面的法向量為則所求直線的方向向量方法1利用叉積.所以一直線過(guò)點(diǎn)且垂直于直線又和直線備用題機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)所求直線與的交點(diǎn)為待求直線的方向向量方法2利用所求直線與L2的交點(diǎn).即故所求直線方程為則有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束代入上式,得由點(diǎn)法式得所求直線方程而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束①一、平面的點(diǎn)法式方程設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn)且垂直于非零向稱①式為平面

的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.法向量.量則有故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求過(guò)三點(diǎn)即解:取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面

的方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況:過(guò)三點(diǎn)的平面方程為說(shuō)明:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為分析:利用三點(diǎn)式按第一行展開得即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特殊情形?當(dāng)

D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示

通過(guò)原點(diǎn)的平面;?當(dāng)

A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于

y

軸的平面;平行于

z

軸的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求通過(guò)x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解:因平面通過(guò)

x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡(jiǎn),得所求平面方程機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別有下列結(jié)論：機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束因此有例4.一平面通過(guò)兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束外一點(diǎn),求例5.設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為(點(diǎn)到平面的距離公式)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面

x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.平