24.1.2垂直于弦的直徑 (公開課版)

24.1.2垂直于弦的直徑(公開課版)問題：趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．

趙州橋主橋拱的半徑是多少？問題情境

實(shí)踐探究剪一個圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對折,重復(fù)做幾次,你發(fā)現(xiàn)了什么?由此你能得到什么結(jié)論?你能證明你的結(jié)論嗎？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸．活動一證明：分析：要證明圓是軸對稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對稱軸）的對稱點(diǎn)也在圓上。連接OA，OA'.在?OAA’中：∵OA=OA'∴?OAA’是等腰三角形。又AA'⊥CD∴AM=MA’即CD是AA'的垂直平分線。這就是說，對于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A',因此⊙O關(guān)于直線CD對稱。如圖，設(shè)CD是⊙O的任意一條直徑，A為⊙O上點(diǎn)C，D以外的任意一點(diǎn)。過點(diǎn)A作AA'⊥CD,交⊙O于點(diǎn)A'，垂足為M，·OAA'CDM垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。矗簣A是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸。你能從上面的證明中，找到哪些等量？AM=A’M弧AC=弧A’C弧AD=弧A’D判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？【解析】定理中兩個條件（直徑垂直于弦）缺一不可，故前兩個圖均不能，第三四個圖可以！定理辨析1．如圖，在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE練習(xí)解：答：⊙O的半徑為5cm.

例2

趙州橋是我國隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋拱是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦的長)為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m，求趙州橋主橋拱的半徑（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．

分析：解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)趙州橋的實(shí)物圖畫出幾何圖形．解：如下圖，用表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與相交于點(diǎn)C，連接OA，根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，CD就是拱高．由題設(shè)可知

AB＝37m，CD＝7.23m，所以

OD＝OC－CD＝R－7.23．在Rt△OAD中，由勾股定理，得

OA2＝AD2＋OD2，即

R2＝18.52＋(R－7.23)2．解得

R≈27.3m．因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m．AD＝AB＝×37＝18.5（m），弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為

.本節(jié)課我們學(xué)了些什么？作業(yè)：課本P83頁練習(xí)2，P89習(xí)題1-2垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，