2018-2019學(xué)年高中三維設(shè)計(jì)一輪復(fù)習(xí)文數(shù)版：第十三單元 橢圓、雙曲線、拋物線

第十三單元橢圓、雙曲線、拋物線

教材復(fù)習(xí)課/“橢圓、雙曲線、拋物線”相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)一課過

rms橢圓

［過雙基］

1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于I尸i&l）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓-這兩

個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的版匚

集合「={M||Mg|+|MF2l=2a},四尸2l=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數(shù)：

⑴當(dāng)2a>|b1gl時(shí),尸點(diǎn)的軌跡是橢圓；

⑵當(dāng)2a=|尸逮時(shí)，尸點(diǎn)的軌跡是線段；

（3）當(dāng)2a<四歹21時(shí)，P點(diǎn)不存在.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)

標(biāo)準(zhǔn)方程方+*=l(〃>b>0)p+^i=l(?>A>0)

y

B2

圖形於

%

范圍一bWyWb—W4——bWxWb,

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸,對(duì)稱中心：他曲

(

4(—a,0),A2a,0),4(0,—a),42(0,d)9

頂點(diǎn)

Bi(0,~fc),B2(0,b)B(一40),5,(-0)

軸長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為2a,短軸的長(zhǎng)為助

性質(zhì)ArA2BB

焦距|FIF2|=2C

離心率e=f,ee(0,l)

a,b,c

c2=a2-b2

的關(guān)系

［小題速通］

22

1.（2017?浙江高考）橢圓方+；=1的離心率是（）

A.乎B當(dāng)

c.|D.|

解析：選B根據(jù)題意知，a=3,b=2,則c=7J_b2=下,二橢圓的離心率e=：=半.

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△A3C上的點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(-4,0),(4,0),若點(diǎn)B

_^L^r-.x2,V2.?,sinA+sinC

259—1上則sin(A+C)—()

A3B3

5

C-5D.7

22

解析：選D由橢圓樂+卷=1,得橢圓的半焦距為4,

22

則4(—4,0)和C(4,0)為橢圓三+2"=1的兩個(gè)焦點(diǎn).

22

???點(diǎn)5在橢圓三+2~=1上，作出示意圖如圖所示，

.sinA+sinCsinA+sinC2a5

**sin(A+Q-sinB_2c-4,

22

3.已知橢圓3+±=1(%>0)的焦距為8,則小的值為()

nr

A.3或加B.3

0.^41D.±3或±\［ii

解析：選A當(dāng)mV5時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距2c=8,則c=4,

由25—77/2=16,得機(jī)=3;

當(dāng)機(jī)>5時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，焦距2c=8,則c=4,

由〉一25=16,得加=麗，

故m的值為3或4石.

221

4.若焦點(diǎn)在x軸上的橢圓彳+\=1的離心率為右則機(jī)=________.

乙III乙

解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)在工軸上，所以0V%V2,

所以d=2,b2=m,c2=a2—b2=2—m.

因?yàn)闄E圓的離心率為e=T,

1-2q

所以°2=W=￡=-2-，解得m=2,

答案送

［清易錯(cuò)］

22

1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)易忽視判斷焦點(diǎn)的位置，而直接設(shè)方程為夕+5=1(心方>()).

22

2.注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓夕+%=13>%>0)上點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y)時(shí)，|x|Wa,

這往往在求與點(diǎn)尸有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯(cuò)誤的原因.

224

1.已知橢圓卷+占=1的離心率為去則左的值為()

A.-21B.21

C.一||或21D.要或一21

解析：選D當(dāng)9>4一左>0,即一5<?<4時(shí)，

Q=3,c2=9—(4—k)=5+k,

.?.呼解得人工；

當(dāng)9V4—k,即kV—5時(shí)，a=y[4—k,c2=-k—5,

--.^^=1解得人一21,

y)4—k3

:.k的值為黑或一21.

2.已知橢圓C：亍苣■=：!的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,橢圓C上的點(diǎn)A滿足

尸1p2,若點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則不?瓦1的最大值為()

A坐B.羊

解析：選B由橢圓方程知c=-4—3=1,

所以乙(一1,0),F2(l,0).

因?yàn)闄E圓C上點(diǎn)A滿足4/2，尸1尸2,則可設(shè)A(l,Jo),代入橢圓方程可得顯=不所以

3

%=±5?

設(shè)P(X1,J1),則瓦力=(?+1,J1),瓦4=(0,Jo),

所以尸iP-F2A=yijo.

因?yàn)辄c(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，所以一小WyiW小,

故不?瓦X的最大值為羋.

雙曲線

［過雙基］

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)距、于I居外|)的點(diǎn)的軌跡叫

做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距.

集合P={M|||MFi|一|MF2ll=2a},向三片？。，其中a,c為常數(shù)且a>0,c>0.

⑴當(dāng)2a<1001時(shí),尸點(diǎn)的軌跡是雙曲線；

⑵當(dāng)2a=|耳述J時(shí)，尸點(diǎn)的軌跡是兩條射線；

(3)當(dāng)2a>|尸建2|時(shí)，尸點(diǎn)不存在.

2.標(biāo)準(zhǔn)方程

22

(1)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為力一方=1(“>0,/?0)；

⑵中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為方一條=l(a>0,fe>0).

3.雙曲線的性質(zhì)

2222

標(biāo)準(zhǔn)方程3一方=l(Q>0,Z?0)p=l(?>0,fe>0)

圖形

AM,QK>42IF2x

乃一

范圍或a,y￡Ry<一〃或x^R

對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸,對(duì)稱中心：原點(diǎn)

頂點(diǎn)Ai(—a,0),Ai(a,0)4(0,—a),Ai(0,d)

ba

漸近線產(chǎn)土戶

Jy=±~ax

性質(zhì)離心率e=%e￡(L+°°)

4,兒C的

c2=a2+b2

關(guān)系

線段44叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)以141=2”；

實(shí)虛軸線段5避2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)四的1=2仇

a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)

［小題速通］

22

L(2017?天津高考)已知雙曲線/一齊=1(〃>0,>>0)的右焦點(diǎn)為凡點(diǎn)A在雙曲線的

漸近線上，廠是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形(0為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為()

謂一丁=1D.±1

解析：選D由△0AF是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形可知，c=2,g=tan60。=[5.又,2=/

2

+b2,聯(lián)立可得Q=1,b=小,???雙曲線的方程為f—、=1.

2.已知雙曲線過點(diǎn)(2,3),其中一條漸近線方程為)=審心則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

解析：選C由雙曲線的一條漸近線方程為丁=小匚

2

可設(shè)其方程為1—”2=4(220).

32

又雙曲線過點(diǎn)(2,3),則可一22=7,解得)=—1,

22

所以雙曲線的方程為*2=—1,即——、=].

3.(2018?張掖一修)如圖，F(xiàn)i，尸2分別是雙曲線方一方=13>0，6>0)

的左、右焦點(diǎn)，過尸1的直線/與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)5,4若4

為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()

A.市B.4

L.3D.^3

解析：選A依題意得|A8|=|A尸21=盜尸2I,結(jié)合雙曲線的定義可得|BFil=2a,尸2尸4”，

\F!F2\=2C,因?yàn)锳AB尸2為等邊三角形，所以二歹14=120°,由余弦定理，可得4/+16/

+2X2aX4ax1=4c2,整理得*=由，故選A.

/a

22

4.已知尸為雙曲線C：方一太=1的左焦點(diǎn)，P,。為C上的點(diǎn).若尸。的長(zhǎng)等于虛軸

長(zhǎng)的2倍，點(diǎn)4(5,0)在線段P。上，則歹的周長(zhǎng)為.

解析：由題意得，尸尸|一區(qū)4|=6,|尸。|一|。4|=6,兩式相加，利用雙曲線的定義得|歹尸|

+|尸。|=28,所以△PQF的周長(zhǎng)為|尸P|+\FQ\+\PQ\=44.

答案：44

[清易錯(cuò)]

1.注意區(qū)分雙曲線中的a,b,c大小關(guān)系與橢圓中的a,b,c關(guān)系，在橢圓中后二戶

+C2,而在雙曲線中。2=“2+戶.

2.易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置關(guān)系.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，漸近線斜率為4,

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，漸近線斜率為土務(wù)

22

1.雙曲線號(hào)^三一B=l（0Vm<3）的焦距為（）

36—mm

A.6B.12

C.36D.2yj36-2m

解析：選BVC2=36-m2+m2=36,/.c=6,

???雙曲線的焦距為12.

2.已知直線4x+3y—20=0經(jīng)過雙曲線C：,一方=1的一個(gè)焦點(diǎn)，且與雙曲線。的

一條漸近線平行，則雙曲線。的實(shí)軸長(zhǎng)為（）

A.3B.4

C.6D.8

22

解析：選C?.?雙曲線C:^1—5=1的焦點(diǎn)在X軸上，直線1:4x+3y—20=0與X軸

的交點(diǎn)為（5,0）.

：.a+b2=c2=25.?

?直線］:4x+3y—20=0與雙曲線C:，一齊=1的一條漸近線平行，二、：.②

由①②解得a=3,

雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=6.

拋物線

［過雙基］

1.拋物線的定義

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線/（/不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相篁的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)

尸叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線/叫做拋物線的迤線一

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

y2=2px(p>0)y2=—2px[p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

p的幾何意義：焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的距離

圖形1nJ二

17rj

頂點(diǎn)0(0,0)

對(duì)稱軸y=0x=0

哈。）代,。）電,尸（。，一（

焦點(diǎn)9I

離心率e=l

準(zhǔn)線方程r=-2此以

^=—2----2^2

范圍y20,x^RyWO,x^R

開口方向向右向左向上向下

焦半徑（其中

\PF\=x0+^|PF|=-x0+§\PF\=y0+^|PF|=-Jo+f

尸（Xo,Jo））

［小題速通］

1.已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為雙曲線七一七=1的右焦點(diǎn)，則此拋物線的方程為

（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y^=10xD.y2=20x

22

解析：選D雙曲線臺(tái)一±=1的右焦點(diǎn)為（5,0）,

由題意，設(shè)拋物線方程為丁=2內(nèi)（p>0）,

?.?拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線三一號(hào)=1的右焦點(diǎn)，

in■乙

為=5,.=10,

二拋物線方程為J2=20X.

2.若拋物線y=4f上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)"的縱坐標(biāo)是（）

,17?15

A16B16

7

C.GD.0

o

解析：選B點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線方程為y=一表，設(shè)

M（x,y）,則y+表=1,

,,15

故產(chǎn)石

3.若點(diǎn)P為拋物線y=2f上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則|產(chǎn)尸|的最小值為（）

A.2B2

1

CiD

JU.8

解析：選D設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d,則有|PF|=d,

又拋物線的方程為y=2x2,即f=5，

則其準(zhǔn)線方程為》=一1，

所以當(dāng)點(diǎn)尸在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，d有最小值

O

即IP尸I的最小值為5.

O

4.已知拋物線J=6x上的一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是到y(tǒng)軸距離的2倍，則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

解析：可知拋物線y2=6x的焦點(diǎn)pg,0),設(shè)P(x,j),x>0.

由拋物線的定義，得點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離di=x+^=x+^9

點(diǎn)尸到y(tǒng)軸的距離d2=x.

333

由X+7=2X,解得,該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為刀.

答案：;

［清易錯(cuò)］

1.拋物線的定義中易忽視”定點(diǎn)不在定直線上”這一條件，當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，動(dòng)

點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)且與直線垂直的直線.

2.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p,易忽視只有p>0才能證明其幾何意義是焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線

/的距離，否則無幾何意義.

L動(dòng)圓過點(diǎn)(1.0),且與直線x=-l相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為.

解析：設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x,y),則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線*=-1的距離相等，

根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為J2=4X.

答案：丁=標(biāo)

2.拋物線8#+》=0的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

解析：由8f+y=0,得f=一

：.2p=；,。=七.\焦點(diǎn)為(0,一擊)

答案：(。，一色

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

［過雙基］

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

判斷直線/與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線/的方程Ax+5y+C=0(A,5不同

時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或變

量y)的一元方程.

Ax+Bj+C=0,

BP1消去y,得ax2+bx+c=0.

［F(x,y)=0,

(1)當(dāng)aWO時(shí)，設(shè)一元二次方程。/+數(shù)+‘=0的判別式為4則/>00直線與圓錐曲線

C相交;

4=0臺(tái)直線與圓錐曲線C相切;

/<00直線與圓錐曲線C相離.

(2)當(dāng)。=0,時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則直線/與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)

交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線/與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是壬任；若C為拋物線,

則直線/與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平任或重合」

2.圓錐曲線的弦長(zhǎng)

設(shè)斜率為-AWO)的直線/與圓錐曲線C相交于A,B兩點(diǎn),A(Xi，W)，B(X2,力)，貝U

\AB|=,1+左?1—X2I

=，1+必7(X1+型)2-4*1*2

-ql+6?JUi+%)2-4yly2.

［小題速通］

22

1.直線產(chǎn)丘f+1與橢圓方+號(hào)=1的位置關(guān)系為()

A.相交B.相切

C.相離D.不確定

解析：選A因?yàn)橹本€》=區(qū)一上+1=左。-1)+1恒過定點(diǎn)(1,1),又點(diǎn)(1,1)在橢圓內(nèi)部，

故直線與橢圓相交.

2.過拋物線d=8y的焦點(diǎn)尸作直線/交拋物線于A,8兩點(diǎn)，若線段A5中點(diǎn)M的縱

坐標(biāo)為4,則|A3|=.

解析：由題意，可得焦點(diǎn)尸(0,2),設(shè)A(xi,ji),B(X2,J2),則刈+及=8,過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)

|AB|=JI+J2+P=8+4=12.

答案：案

22

3.已知雙曲線C：也一方=13>0,Q0)的漸近線與圓(L2)2+/=I相交，則雙曲線

C的離心率的取值范圍是

解析：雙曲線的漸近線為bx±ay=09其與圓相交，則圓心(2,0)到漸近線的距離小于半徑，

.,.3b2<a2,J,c2=a2+b2<^a2,：.e=^<r^-.

又e>l,'IVeV4

答案：(1,甯

［清易錯(cuò)］

L直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，易誤認(rèn)為直線與雙曲線相切，事實(shí)上不一定相切，當(dāng)直

線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn).

2.直線與拋物線交于一點(diǎn)時(shí)，除直線與拋物線相切外易忽視直線與拋物線的對(duì)稱軸平

行時(shí)也相交于一點(diǎn).

h22

1.直線y=/+3與雙曲線，一齊=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.1B.2

C.1或2D.0

解析：選A因?yàn)橹本€y=5+3與雙曲線的漸近線平行，所以它與雙曲線只有1

個(gè)交點(diǎn).

2.過點(diǎn)(0,1)作直線，使它與拋物線J=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有()

A.1條B.2條

C.3條D.4條

解析：選C結(jié)合圖形分析可知，滿足題意的直線共有3條：直線x=0,過點(diǎn)(0,1)且平

行于x軸的直線以及過點(diǎn)(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x=0).

□雙基過關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其上一點(diǎn)P(%1)到焦點(diǎn)的距離為5,則拋物線

的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.)=8“2B.)=16“2

C.x2=8yD.x2=16y

解析：選D根據(jù)題意知，點(diǎn)P(m,l)在X軸上方，則拋物線開口向上，

2

設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x=2py9

其準(zhǔn)線方程為》=一§,

由點(diǎn)尸到焦點(diǎn)的距離為5,得1一（一。=5,

解得p=8,

則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為X2=16J.

22

2.橢圓器+\=1的焦距為2由，則m的值為（）

A.9B.23

C.9或23D.16一巾或16+巾

22

解析：選C由橢圓器+1=1的焦距為25，

可得，2:16一m=2巾或2小"-16=2市,

解得m=9或23.

3.過拋物線/=4x的焦點(diǎn)的直線/交拋物線于尸（xi，ji）,g（x2,力）兩點(diǎn)，如果*1+必

=6,則|P?|=（）

A.9B.8

C.7D.6

解析：選B拋物線/=4x的焦點(diǎn)為尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為*=-1.根據(jù)題意可得，|PQ|

=|PF|+ieF|=Xi+l+x2+l=x1+x2+2=8.

丫2____>___>

4.若雙曲線C：j~y2=l的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，尸2,尸為雙曲線C上一點(diǎn)，滿足PFi?尸叢

=0的點(diǎn)尸依次記為Pl，P1，尸3,尸4,則四邊形P1P2P3P4的面積為（）

8乖

A.B.2乖

，5

84

15

解析：選C設(shè)P（X,y）,由已知得尸1（一下，0）,尸2（裂，0）,

則（一部一x,—y）-（y[5~x,-j）=x2_5+J2=0,

2

即X2+J2=5,與雙曲線方程亍一,2=1聯(lián)立，

（2而叼（2而引

可得交點(diǎn)分別為

2而<2^30_西

5，―5>I5，—5>

它們構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)為雪，寬為平的長(zhǎng)方形，

所以四邊形PiP2P3P4的面積為生鑼乂￥=苧.

5.若雙曲線￡一1i=l（a>0,》>0）的離心率為皿，則其漸近線方程為（）

A.y=±3xB.j=±^x

C.y=±2xD.y=±"r

22

解析：選D因?yàn)殡p曲線力一#=l（a>0,8>0）的離心率為4私所以e=%=〈Id,

2c?a2+b2b2b

即e=/=—^=1+滔=1°，所以￡=3?

22

因?yàn)殡p曲線?一張=1的焦點(diǎn)在y軸上，其漸近線方程為y=±齊，所以該雙曲線的漸近

線方程為y=±+.

6.已知橢圓C：力+5=13乂>0）的左、右焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2,離心率為坐，過歹2的直線

/交C于A,B兩點(diǎn),若44尸皮的周長(zhǎng)為4小，則橢圓C的方程為（）

222

A.y+^-=lB.y+/=1

諄+[=1D.g+51

解析：選A由橢圓的性質(zhì)知|Abi|+|A歹2l=2a,|BFi|+|BF2|=2a,又V|A尸i|+|A尸2I+

22

G222

IBFi|+IBF21=4^/3,...a=q§.又e=g,/.c=l,/.b=a—c=2,工橢圓的方程為5+'=

1.

22

7.已知雙曲線臺(tái)一1=1的右焦點(diǎn)為尸，若過點(diǎn)歹的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)

交點(diǎn)，則此直線斜率的取值范圍是（）

r亞

r3

Ac.

r近

n3D.[—巾，班]

解析：選C由題意知F（4,0）,雙曲線的兩條漸近線方程為y=土坐

x.當(dāng)過點(diǎn)尸的直線與漸近線平行時(shí)，滿足與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，畫出圖

象，數(shù)形結(jié)合可知應(yīng)選C.

8.已知西，巴是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，尸是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且NgPF2=￡，

則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（)

A1B-2

C.1D.「

解析：選B如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為由,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為r

a2,則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，

|PFi|+|PF2l=2“i,

1PBi-1尸入1=2。2,

???|尸尸1|=。1+〃2,1尸方2尸。1—。2?

設(shè)內(nèi)尸2l=2c,又"依2=%

在△PF1尸2中，由余弦定理得，

2

4c2=(〃1+?2)+31—。2)2—2(。1+。2)(〃1-?2)C0S

化簡(jiǎn)得：(2—也屆+(2+也欣=4。2,

2~Ji2+^/2

即^-=4?

..2—#2+#>2yfi^_2小

9

e―ei―—el—/eye2~ere2

4,即「》申，

；.”ere2、ee22

橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為

二、填空題

2

9.(2017?北京高考)若雙曲線/一］=1的離心率為方，則實(shí)數(shù)帆=.

2

解析：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知d=i,b=m9所以a=l,c=yjl+m,所以

="\/3,解得機(jī)=2.

答案：2

22q

10.(2017?全國(guó)卷III)雙曲線，一方=1(〃>0)的一條漸近線方程為尸鏟，則〃=.

22

解析：?.?雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，一方=13>0),

，雙曲線的漸近線方程為產(chǎn)土和

3

又雙曲線的一條漸近線方程為j=-x,Aa=5.

答案：5

11.與橢圓看+1=1有相同的焦點(diǎn)，且離心率為坐的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

解析：由橢圓g+；=l,得/=9,52=%

:.。2=°2一52=5,

，該橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4話，0).

22

設(shè)所求橢圓方程為3+方=1,a>b>09

則。=鄧,又:=坐,得a=5,，.=25—5=20.

22

所求橢圓方程為文+為=1.

22

答案：運(yùn)+會(huì)=1

12.(2018?西安中學(xué)模擬)如圖，過拋物線y=1x2的焦點(diǎn)F的直線I與拋物線和圓x2+(y

-1)2=1交于A,B,C,。四點(diǎn)，則前?虎=.

。=1,

解析：不妨設(shè)直線的方程為y=l,聯(lián)立<12解得x=±2,則4(一2,1),0(2,1),

y=4x,

因?yàn)镃(l,l),所以就'=(1,0),DC=(-1,O),所以瓦濟(jì)?比=一1.

答案：一1

三、解答題

13.已知橢圓C：5+￡=1(心>&>0)的短軸長(zhǎng)為2,且函數(shù)一黑的圖象與橢圓C

僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線/與橢圓C交于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)尸為線段MN的中垂線與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，求面積的最小值，并求

此時(shí)直線I的方程.

解：(1)由題意可得，2b=2,所以b=L

聯(lián)立也+丁=13>1)與一詬消去y,

整理得，+(A為小空=。，

根據(jù)橢圓。與拋物線—魯?shù)膶?duì)稱性，可得/=6一竽J-4義號(hào)看罡=o,a>l9

解得〃=2.

2

工橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+丁=1.

(2)①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，SgMN=4x2bXa=2;

當(dāng)直線/的斜率為0時(shí)，SAPMN=Wx2aXb=2;

②當(dāng)直線/的斜率存在且不為0時(shí).

(y=kxf

設(shè)直線，的方程為y=fcr,由j廿+2_]

2

解得*戶

/.IMNI=2yp+/=4yj

由題意可得，線段的中垂線方程為>=一上,

.-.|OPI=V?+P=2

14(1+好)4(1+*2)8,,,,

ENRMI”尸而森瑞市山屋亙飛當(dāng)且僅當(dāng)k=±l時(shí)取

2

Q

等號(hào)，此時(shí)△PMN的面積的最小值為

QQ

*/2>g,的面積的最小值為于直線/的方程為y=±x.

14.已知點(diǎn)廠為拋物線E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)4(2,⑼在拋物線

E上，且|4尸|=3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點(diǎn)G(—1,0),延長(zhǎng)A歹交拋物線E于點(diǎn)3,證明：以點(diǎn)尸為

圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.

解：(1)由拋物線的定義得

|AF|=2+與

因?yàn)閨A尸1=3,即2+弓=3,解得0=2,

所以拋物線E的方程為J2=4X.

(2)因?yàn)辄c(diǎn)4(2,加)在拋物線E：V=4x上，

所以m=±2巾.

由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)4(2,2、位).

由A(2,2yf2),F(1,O)可得直線AF的方程為y=2啦。一1).

由＜2得2*—5x+2=0,

b=4x,

解得x=2或x=g,從而5&—g)

又G(—1,0),

圻以〃2^2-02^2

所以初一2-(—1廠3,

-^2-0_2^2

^GB—1一—q，

廠(T)

所以AGA+AGB=0,從而NAG尸=N5G尸，這表明點(diǎn)尸到直線GA,G8的距離相等，故

以廠為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切.

高考研究課(一)

橢圓命題3角度——求方程、研性質(zhì)、用關(guān)系

［全國(guó)卷5年命題分析］

考點(diǎn)考查頻度考查角度

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程5年2考求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的幾何性質(zhì)5年5考求離心率，求參數(shù)

直線與橢圓的位置關(guān)系5年4考弦長(zhǎng)問題、面積最值、斜率范圍

03橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

［典例］⑴若橢圓C:=1的焦點(diǎn)為尸1，尸2,點(diǎn)P在橢圓C上，且|PF1|=4,則/

FiPF2=()

A匹G九

A6B.§

—57r

c號(hào)DT

(2)(2018?大慶模擬)如圖，已知橢圓C：=l(a>/?0),其

中左焦點(diǎn)為粗一24，0),尸為。上一點(diǎn)，滿足|OP|=|。川，且|PF|

=4,則橢圓C的方程為()

22

B?福+2=1

Jo1O

［解析］(1)由題意得。=3,c=?則|P/21=2.

在△尸2P尸1中，由余弦定理可得

|PB『+|PB『一n0|2

COSZFPFI=

22|尸尸1||尸尸2l

_42+22~(2^7)2__1

=-2X4X2-=~2'

又；N尸22歹16(0,it),：.ZF2PFi=y.

(2)設(shè)橢圓的焦距為2c,右焦點(diǎn)為Fi,連接尸尸1,如圖所示.

由尸(一24，0),得c=2小.

由|OP|=|OF|=|OFil,

PFPF.

在RtZkPFiF中，由勾股定理，

得|PFil=1向一|PF『=7(44)-2=8.

由橢圓定義,得|P尸1醫(yī)|尸尸|=2a=4+8=12,

從而a=6,得“2=36,

于是b2=a-c2=36~(2y［5)2=16,

22

所以橢圓。的方程為2+上=1.

36lo

［答案］(1)C(2)B

［方法技巧］

(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定

焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a,b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，可把橢圓

方程設(shè)為znx2+ny2=1(/M>0,?>0,mWn)的形式.

(2)橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形問題常利用

橢圓的定義和正弦定理、余弦定理.

［即時(shí)演練］

22

1.在平面直角坐標(biāo)系9中，P是橢圓^+會(huì)=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)4(1,1),5(0,-1),

則|"L|+|P3|的最大值為()

A.2B.3

C.4D.5

22

解析：選D?.?橢圓方程為號(hào)+半=1,

焦點(diǎn)坐標(biāo)為5(0,-1)和5'(0,1),

連接,AB',根據(jù)橢圓的定義，)

得IPBI+IPB'|=2"=4,寫”

可得|「為=4一|「8'|,

因此因4|+|尸3|=因4|+(4一|尸3'|)

=4+(\PA\~\PB'|).

'：\PA\~\PB'I,

.,.|PA|+|PB|^4+|AJB,|=4+1=5.

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸在A5'延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立.

綜上所述，可得|E4|+|P陰的最大值為5.

2.已知Fi，歹2是橢圓C：3+￡=1(“>6>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓C上的一點(diǎn)，且宙

±PK.^APF]F2的面積為9,則b=.

rl+r2=2a,

解析:設(shè)|尸尸1|=打,\PF\=r,貝/

22ri+d=4c2,

2222

2rtr2=(^+r2)—(rj+rl)=4a—4c=4b,

1,

2

X.,/SAPFiFz=Tnr2=b=9,：.b=3.

答案：3

橢圓的幾何性質(zhì)

［典例］(1)(2016?江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，歹是

22?

橢圓》+右=1(〃>8>0)的右焦點(diǎn)，直線)=不與橢圓交于5,C兩點(diǎn)，

且N5尸C=90。，則該橢圓的離心率是.

⑵如圖，橢圓5+5=13>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,過尸2的直線交橢圓于尸，

。兩點(diǎn)，B.PQ±PF1.

①若|尸四=2+也，|PBI=2—也，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

34—

②若|PQ|=4|尸尸也且wWaV］,求橢圓離心率e的取值范圍.

［解析］(1)將＞=亭代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,

從

24

x

得

十

「2-7=

a

所以x=

又因?yàn)槭?c,0),所以B尸

因?yàn)镹5尸C=90°,所以笳?/=(),

所以Q+乎-羋