江西省贛州市高三模考押題卷（二）數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期模擬考試

高三數(shù)學(xué)試題

卷I（選擇題）

一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.）

1.已知全集。={12345},集合"={L2},N={3,4},則加（M=N）=（）

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.{1,2,3,4}

【答案】A

【解析】

【分析】首先進行并集運算，然后進行補集運算即可.

【詳解】由題意可得:MUN={1,2,3,4},則洋（MUN）={5}.

故選：A.

2.己知（a+/?i）i=2-3i,a"E斤，則（）

A.tz=-3,b=—2B.a=3,b=—2C.a=3,b=2D.?=-3>b=2

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)相等的概念求解即可.

【詳解】解：因為（4+歷）i=2—3i,所以—〃+ai=2—3i,貝Ua=-3,〃=—2.

故選：A.

3.若角〃的終邊經(jīng)過點"）,則如°（"2嘰（）

sin夕+cos，

66「22

A.-B.--C.-D.--

5555

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sindcos。，再將-（1+sin2，）化簡,代入《nacose的值計算

sin0+cos0

即可.

/、?八一22^-11

【詳解】若角。的終邊經(jīng)過點（一1,一2）,則=-一方,cosO=i=^=一f，

V1+5、/5Vl+5V5

故選：A.

4.圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60。，底面圓的半徑為8,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.3847rB.3927rC.398兀D.4047r

【答案】A

【解析】

【分析】運用扇形的弧長公式及圓錐的側(cè)面積公式計算即可.

【詳解】設(shè)圓錐的半徑為「，母線長為/,則1=8,

71

由題意知，2口=一/,解得：7=48,

3

所以圓錐的側(cè)面積為?！?8x48k384兀.

故選:A.

x+y<2

5.設(shè)x,『滿足約束條件，工一.y<2,則z=x+2y的最大值為（）

x-2^+4>0

A.IB.2C.4D.8

【答案】C

【解析】

【分析】作出可行域，利用其幾何意義轉(zhuǎn)化為截距最值即可得到答案.

【詳解】作出可行域如圖中陰影部分所示，

1z

27+2），化為y=——x+—,

22

當(dāng)直線經(jīng)過點A時，縱截距三最大，

2

x-2y+4=0[x=0/、

聯(lián)立〈c，解得<一則4（0,2）,

x+y=2[y=2v7

此時Zm”=0+2x2=4.

故選：c.

6.已知正項等比數(shù)列｛〃“｝滿足如為2d與%的等比中項，則」--=（)

4+a3

A.旦B.JC.V2D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等比中項定義和等匕數(shù)列通項公式得a%4=2a46,解得/=;，化簡色±生=/=：.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9，

由題意得〃3?=24?&，即4，"=2q%6，

??,q>0,</>0,夕？=；,

小十生二4夕2(1+夕2)=2=1_

4+%4(1+9?)2'

故選:B.

7.某校隨機抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計，這些學(xué)生的體重數(shù)據(jù)(單位：kg)全部介于45至70

之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.頻率分布直方圖中。的值為0.07

B.這100名學(xué)生中體重低于60kg的人數(shù)為70

C.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的第78百分位數(shù)約為62

D.據(jù)此可以估計該校學(xué)生體重的平均數(shù)約為56.25

【答案】D

【解析】

【分析】運用頻率分布直方圖中所有頻率和為1，求出〃值，再根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率、百分位數(shù)、

平均數(shù)的計算公式進行計算.

【詳解】對于選項A：因為5x(0.01+0.02+0.04+0.06+4)=1,解得a=0.07,所以A正確.

對于選項B：體重低于60kg的頻率為5x(001+0.06+0.07)=0.7,所以人數(shù)為0.7x100=70,所以B

正確.

對于選項C：因為5x(001+0.06+0.07)=0.7,5x(0.01+0.06+0.07+0.04)=0.9,

所以體重的第78百分位數(shù)位于［60,65)之間，設(shè)體重的第78百分位數(shù)為八

則(Q01+0.07+0.06)x5+3-60)x0.04=0.78,解得工=62,所以C正確.

對干選項D：體重的平均數(shù)約為

0.01x5x47.5+0.07x5x52.5+0.06x5x57.5+0.04x5x62.5+0.02x5x67.5=57.25,

所以D錯誤.

C.MNLCDD.平面MNP_L平面45。

【答案】D

【解析】

【分析】求得MN與AR位置關(guān)系判斷選項A；求得平面MNP與平面8G。位置關(guān)系判斷選項B：求得

MN與CD位置關(guān)系判斷選項C；求得平面MNP與平面八出。位置關(guān)系判斷選項D.

【詳解】對A,在VABG中，因為用，N分別為AB,AG的中點，

所以MN//BQ.又BCJ/AD、,所以MN//AR,A正確.

對B,在中，因為M,尸分別為人乃，4。的中點，

所以MP//BD.因為平面5G。，BDu平面BCQ,

所以M/"/平面8Go.

因為MN〃BC「仞72平面以；。，B?u平面BC"),

所以MN//平面BQ。.又因為MPcMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP//平面BQ。，B正確.

對C,因為MN//AQ,AD,1CD,所以MN_LCD,C正確.

對D,取3D的中點E，連接AE,EG，則NA^G是二面角AD-G的平面角?

設(shè)正方體棱長為。，則cosNAEG二

3

又(TCNAEG<180。，則NAEGW90。，所以平面4乃。與平面8G。不垂直.

又平面MNP//平面BCQ,所以平面mVP與平面A］。不垂直，D錯誤.

故選：D.

10.已知圓C(x-l)2+(y-2)2=5,圓C'是以圓Y+y2=1上任意一點為圓心，半徑為1的圓.圓c

與圓C交于4,B兩點，則當(dāng)/AC8最大時，|CC'|=()

A.IB.V2c.V3D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.

【詳解】依題意，在.A3C中，|AO|8C|=JL如圖,

Z4C3是銳角，j二|明,乂函數(shù)y=sinx在（0,三、上遞增,

顯然0＜|48區(qū)2,

-M一雙12）

因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦A8最大時，NAC8最大，此時弦A3為圓。'的直徑，

在RtZXACC中，ZACC=90.\AC\=\,所以|CC[二J|一|=2.

故選：D

98e

11.已知a=—Iog3e,〃=-log2e,c=—，則(

232

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】A

【解析】

98p-V

【分析】變換〃=丁不，b=—J,構(gòu)造/（x）二—，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到

ln9In8Ine-Inx

/（9）＞/（8）＞/（e2）,得到答案.

9.9Ine9,8.8Ine_8e2e2

(W］，=-loge=--=—,^=-Ioge=-c=---=-------

32In2-ln82Ine2

/、trr/\InX-1/、/

設(shè)f（x）=比，則/（"）=（]n.2，當(dāng)XE（e，+°°）時，/可用＞o,函數(shù)單調(diào)遞增,

故/（9）＞/（8）＞/（。2）,即q泌,c.

故選：A

【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的

內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

12.已知函數(shù)），=。-21。乂（,工工"。）的圖象上存在點“，函數(shù)y=Y+i的圖象上存在點",且用，

e

N關(guān)于x軸對稱，則。的取值范圍是（）

A.[1—e~,—2]B.-3一一

c-

【答案】A

【解析】

【詳解】因為函數(shù)y=犬+1與函數(shù)y=_x2_,的圖象關(guān)于X軸對稱，

根據(jù)已知得函數(shù)丁=。-21|］蒼(14工49)的圖象與函數(shù)丁二一/一1的圖象有交點，

e

即方程。一21nx=—V—1在xw—工上有解，

e_

即〃=2比尤一/一1在XE-,e上有解.

e

令g(x)=2lnx-f-］,XG-,e,

e

加，/、2c2-2x22(l-x2)

則g(%)=——2x=-------=----------,

XXX

可知g(x)在-,1上單調(diào)遞增,在［l,e］上單調(diào)遞減，

e

故當(dāng)x=l時，g(x^^=且(1)=一2，

/1A11

由千g-=-3一一2>g(e)=l-e2,且一3一一>l-e2,

leje-e-?

所以l-e?4。4一2.

故選：A.

卷II(非選擇題，共90分)

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)

13.已知向量;二(1,2),/?=(-2,-1),寫出一個與垂直的非零向量。=

【答案】(1,-1)(答案不唯一)

【解析】

【分析】首先計算。一8二(3,3),設(shè)c=(x,y),利用垂直則數(shù)量積為0有3x+3y=0,賦值即可.

詳解】由題意可知。一8二(3,3),設(shè)c=(x,)，),則3x+3y=0,

取4=1廁,，=-1，則與〃_〃垂直的非零向量可以為c=(l,-l),

故答案：(L-D.

14.從A,8等5處水樣監(jiān)測點中能機選3處進行水樣檢測，則4,8不同時入選的概率為.

7

【答案】歷

【解析】

【分析】對另外3處水樣監(jiān)測點編號，利用列舉法結(jié)合古典概率求解作答.

【詳解】設(shè)5處水樣監(jiān)測點分別為A,3,C,D,E，從中隨機選擇3處的結(jié)果有：

ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE，共10種情況，

其中A,8同時入選的有ABC,ABD,ABE,共3種情況，

37

所以A,4不同時入選的概率P=1--=—.

7

故答案為：—

15.已知的內(nèi)角A,B,。所對邊的長分別為a,b,c,已知的面枳S滿足

(匕+C)2=(4G+8)S+〃2,則角A的值為.

【答案】Y

6

【解析】

【分析】根據(jù)余弦定理和三角形面積公式化簡已知條件，得cosA+l=(g+2)sinA

求解cosA可得角4的值.

【詳解】由已知得從+。2-/+2歷=(46+8)5,

根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，

2/?ccosA+2hc=(V3+2)-2/;csinA,

化簡為cosA+1=(6+2)sinA,

由于Aw(O,兀)，所以cosA+l=(K+2)Ji^嬴7，

化簡得(4+2\/5)cos2A+cosA-(3+2G)=0,

即［(4+26卜osA-(3+2#)(cosA+l)=0,

解得cosA=@，或cosA=-l(舍)，

2

由于4?0,兀)，所以A=g.

故答案為：—

6

16.已知函數(shù)/(力及其導(dǎo)困數(shù)/'(力的定義域均為R,記g")3"(X)，若/停一2人)，g(2+x)均為

偶函數(shù)則下面各選項中一定正確的序號是_______.

①"0)=0；②g卜￡|=0；③〃_1)=/(4)；④g(—l)=g(2).

【答案】②③

【解析】

【分析】將題干轉(zhuǎn)化為抽象函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系可得解.

【詳解】因為/仁一2:|,g(2+x)均為偶函數(shù)，

I//

所以’/I",=/,|+2、,即/(|一'=/1|+為,g(2+x)=g(2—x),

所以〃3—x)=/(x),g(4-x)=g(x),則〃-1)=/(4),故③正確；

函數(shù)/(“，g(x)的圖象分別關(guān)于直線戶|，尸2對稱，

又g(x)^'(x)，且函數(shù)可導(dǎo)，由函數(shù)”力圖象關(guān)于直線產(chǎn)1對稱，所以其單調(diào)性在行|處改

變，導(dǎo)數(shù)值為零，所以且仁］=0，g(3—x)=-g(x),所以g(x)關(guān)于點自8］對稱，又g(x)圖象關(guān)

、乙):乙)

(31(1

于m2對稱，所以g(x)的周期為7=4x2--=2,所以g--0,

\)I，

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(—l)=g(l)=—g(2),故②正確，④錯誤；

若函數(shù)/(x)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)/(x)+C(。為常數(shù))也滿足題設(shè)條件，所以無法確定/("的函數(shù)

值，故①錯誤；

故答案為：②③.

三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.1721

題為必考題，2223為選考題.

（一）必考題：共60分

17.在.MC中，。是邊4c上一點，CO=1,BD=2,AB=3,cosZBDC=-.

8

（1）求AO的長；

（2）求的面積.

【答案】（1）2（2）見彳

8

【脩析】

【分析】（1）△A8O中，根據(jù)余弦定理求的長；

（2）/XAB。中，根據(jù)余弦定理求cosA,即可求sinA,再根據(jù)三角形的面積公式求解.

【小問I詳解】

因為cosN8OC'='，

8

McosZADB=COS（H-ZBDC）=-cosZBDC=-^,BD=2,48=3,

△ABD中，AB2=AD2+BD1-2AD-BD-cosZADB,

即9=AO2+4—2X2X4OX（一；）,解得：AD=2^AD=-^（舍），

所以AD=2；

【小問2詳解】

AB2+AD2-BD29+4-43

cosA=----------------=--------=—，

2ABAD2x3x24

因為0vA＜兀，

所以sinA=71-cos2A=,AC=AD±DC=2+1=3,

4

1AD4廠?A1c@9手

帆以5c=—xAAxACxsinA=—x3x3x=----.

M2248

18.近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可.回收物和其他垃圾三類,

并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱.為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計

10C0噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱

廚余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

(I)試估計廚余垃圾投放正確的概率

(n)試估計生活垃圾投放錯誤的概率

(III)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾''箱、"可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a.b,c,其中a>0,

a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a.b,c,的方差s?最大時，寫出a,b,c的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時/的值.

(注：s2=_L[(x㈤2+(再㈤2++(七㈤2],其中?為數(shù)據(jù)％、的平均數(shù))

n

2

【答案】(I)(II)0.3;(III)。=6008=0,。=0,時，方差取得最大值8000.

【解析】

【詳解】(I)廚余垃圾一共有400+1(X)+100=600噸，其中投放正確的有40()噸，所以概率為

400_2

400+100+100-3

(II)生活垃圾一共有KMX)噸，其中投放錯誤有30+20+100+20+1(X)+30=300噸，所以概率為

幽=0.3

1000

(III)由題意得：

2222222

J=200,S=^[(a-200)+(/?-200)+(c—200f]=1[?+/?+c-400(。+/?+c)+3x200]

當(dāng)且僅當(dāng)時a=600力=c=0取等號

19.如圖1,在直角梯形A8CO中，AD//BC,。，點E為3c的中點，點尸在AD,EF//

AB,BC=EF=DF=4,將四邊形CDEE沿E/邊折起，如圖2.

(1)證明，圖2中的AE〃平面4CO；

(2)在圖2中，若4。=26，求該幾何體的體積.

【答案】(1)證明見解析

⑵型

3

【解析】

【分析】（1）取。尸中點G,連接AG,EG,CG,分別證得AG//3C和GE7/QC,結(jié)合面面平行的判

定定理，證得平面AGE7/平面8C。，即可證得4E〃平面8CQ.

（2）由AO=2百，得到O"2=A￡）2+A”2,證得AD_LA尸，連接OE，把該幾何體分割為四棱錐

力-AHE7和三棱錐。-BCE,結(jié)合錐體的體積公式，即可求解.

【小問1詳解】

證明：取力/中點G,連接AG,EG,CG,

因為CE//GF,CE=GF,所以四邊形CE尸G平行四邊形，

所以CG//EF//AB且CG=EF=AB,

所以四邊形ABCG是平行四邊形，所以AG//8C，

因為AGu平面4GE,且8co平面3c。，所以AG//平面8c。，

同理可知：四邊形CEGO是平行四邊形，所以GE//DC,證得GE〃平面5CQ,

因為AG,GEU平面AGE,且AGCGE=G,BCQCU平面8CZ）,8CCOC=C,

所以平面AGE//平面BCD,

因為AEu平面AGE,所以AE〃平面8CO.

【小問2詳解】

解：若4。=26，

因為A尸=2,DF=4,則力/2=A。？+A/S,故AOJ_A/，

所以兩兩垂直，

連接。E,該幾何體分割為四棱錐。-/和三棱錐D-BCE,

則匕）.A班/=：S矩形ABErSOugxZxdxZGuW/'

JJ

2

因為平面BCE〃平面AOF,故%RCF=V,RCF=-SRCF-AB=-X—X2X4=^-^

。-HC匕A-DLC,3occ343

所以該幾何體的體積為V="的十%“=節(jié)1?

20.已知橢圓：七：￡+工=1（〃＞方＞0）的左、右頂點分別為A，A,,上、下頂點分別為與，&,|4a1=2,

a~b~

四邊形444員的周長為4遍.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)斜率為k的直線/與“軸交于點尸，與橢圓E交于不同的兩點“，M點M關(guān)于，，軸的對稱點為

AT、直線例N與），軸交于點Q.若AOP。的面積為2,求A的值.

2

【答案】（1）上+）,2=]

5，

（2）±-

4

【解析】

【分析】（1）由短軸長，即四邊形生的周長得小人的值，得橢圓的方程；

（2）設(shè)直線/的方程為），=奴+〃?，由題攵工0,加工0,與橢圓聯(lián)立方程，得%+%=-一；—,

-5個+1

%%=咚9，表示出△OP。的面積，解得&的值.

5k+1

【小問1詳解】

由陽闖=2,得必=2,即0=1,

由四邊形A44生的周長為4?，得4行了=4幾，即/=5,

所以橢圓的方程為三+丁=1.

5

【小問2詳解】

設(shè)直線/的方程為丁=6+機（k。0,〃-0）,M（N，Y）,Mw，%），

/77

則2-5,0），

，2

X2[

—+V-1

聯(lián)立方程組，5,，消去）得，（5公+1）/+10加優(yōu)+5〃/-5=0,

y=kx-\-m

A=(10bw)2-4(5公+1)(5m2-5)>0,得5k2>m2-1.

10k〃5m2-5

X］卜X)-9""，XiX^-z

5&2+11-5代+1

直線WV的方程為)，一%二品(A%),

令工=。，得),=9(or)f=包3,

xi+x2%+x2

-10A_

又因為％NA+%K=%(仇+〃z)+占(區(qū)i+，〃)=2kxi+m(x}+x2)=

5公+1

所以。(0,L),△OPQ的面積?xv-=2?得攵=±』，經(jīng)檢驗符合題意,

m2kin4

所以及的值為土

4

21.已知函數(shù)〃x)=xlnx-ox2,尸(力為的導(dǎo)數(shù).

(1)討論/(元)的單調(diào)性:

2

(2)若直線,，=三與曲線y=/(x)有兩個交點，求。的取值范圍.

(31

【答案】(1)見解析(2)0,六

I2eJ

【解析】

【分析】(1)設(shè)g(x)=.r*)=lnx-2or+l,對g(x)求導(dǎo),分〃W0和。>0討論即可；

(2)分離參數(shù)得。二小一二，設(shè)夕")二皿一￡:，利用導(dǎo)數(shù)研究其值域與圖像即可.

x2x2x2x2

【小問1詳解】

設(shè)g(x)=f\x)=1。]一2以+1,8(工)的定義域為((),+<?),，。)」-24.

x

當(dāng)。S0時,g'@)>0,8。)在((),十⑹上為增函數(shù)，在(0,十⑹上些調(diào)遞增；

當(dāng)〃>0時，令g'*)=。，得x=—.

2a

若》」0,J],則gf(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

(1、

若XW—,+<?則g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

12a；

綜上，當(dāng)。40時,在(0,+8)上單調(diào)遞增;

(IA(1

當(dāng)〃〉0吐/'(X)在區(qū)間。，不二單調(diào)遞增,在區(qū)間丁,+8上單調(diào)遞減.

k2a)y2aJ

【小問2詳解】

八p2

直線,二萬與曲線—有兩個交點，即關(guān)于，的方程皿*=萬有兩個解,

整理方程，得。二電2-二

x2x2

令破幻二止一二,其中文＞0,

x2x2

，/、1-Inxe2x-x\nx+e2

則rlltlp(x)=——+—=-----；------

令s(x)=x-xlnx+e?,則s(x)=-lnx.

當(dāng)0VXV1時,s'(x)＞。，此時函數(shù)s(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)x>1吐s\x)<0,此時函數(shù)S*)單調(diào)遞減.

由$⑴=1+?2,$卜2)=0,

得0vxv1時,x-xlnx+e?=x(l-lnx)+e?>0,則(p{x}>0,

當(dāng)1cxve?時s(x)>5(e2)=0,則(p(x)>0,

當(dāng)x>e?時,s(x)<s(e2)=0廁0(x)<0,

則函數(shù)。(幻在區(qū)間(0"2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(e?,+8)上單調(diào)遞減,

貝l」9(X)nm=°(/)=*

\/2e

當(dāng)/趨近于+8時,叭X)趨近于0,即當(dāng)X>/時,(p(x)>0；

當(dāng)1趨近于0吐(P(x)趨近于-co,

作出如圖所示圖象：

23

故要使直線)，=]e■與曲線)，=/(A)有兩個交點，則需0＜?！绰?，

即〃的取值范圍是（。，奈）.

【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是首先將題意轉(zhuǎn)化為方程有兩解，再通過分離參數(shù)法得

則轉(zhuǎn)化為直線丁=。與夕（］）二膽-￡:在圖象上有兩交點，再利用導(dǎo)數(shù)研究

x2x2x2x2

以口二處一邑的圖象與值域即可.

（二）選考題，共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第

一題計分.

［選修44：坐標系與參數(shù)方程|

X=COS（Z

c.（a為參數(shù)）.以坐標原點為極點，X

{y=2s\na

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的