2024屆海南省臨高縣新盈中學(xué)高三假期自主綜合能力測試（一）數(shù)學(xué)試題

2023屆海南省臨高縣新盈中學(xué)高三假期自主綜合能力測試（一）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三個(gè)貧困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲被派遣到縣的分法有（）A．6種 B．12種 C．24種 D．36種2．已知函數(shù)，若則（）A．f(a)<f(b)<f(c) B．f(b)<f(c)<f(a)C．f(a)<f(c)<f(b) D．f(c)<f(b)<f(a)3．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（）A． B． C． D．4．在中，角的對邊分別為，若，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰非等邊三角形C．等腰或直角三角形 D．鈍角三角形5．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則方程的最小實(shí)根的值為（）A． B． C． D．6．已知集合，，則（）A． B．C． D．7．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知的共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．拋物線的焦點(diǎn)為，則經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)且與拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．0個(gè) D．無數(shù)個(gè)10．平行四邊形中，已知，，點(diǎn)、分別滿足，，且，則向量在上的投影為（）A．2 B． C． D．11．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．12．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．14．已知F為雙曲線的右焦點(diǎn)，過F作C的漸近線的垂線FD，D為垂足，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則C的離心率為________.15．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說“是乙或丙獲獎.”乙說：“甲、丙都未獲獎.”丙說：“我獲獎了”.丁說：“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是__________．16．已知△的三個(gè)內(nèi)角為，，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為__________，最大值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．18．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若函數(shù)最小值為，且，求的最小值.19．（12分）在中,角、、所對的邊分別為、、，角、、的度數(shù)成等差數(shù)列，.（1）若，求的值；（2）求的最大值.20．（12分）已知圓：和拋物線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）已知直線和圓相切，與拋物線交于兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程；（2）過拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切，且分別交拋物線于兩點(diǎn)，若直線的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．21．（12分）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，在橢圓上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

分成甲單獨(dú)到縣和甲與另一人一同到縣兩種情況進(jìn)行分類討論，由此求得甲被派遣到縣的分法數(shù).【詳解】如果甲單獨(dú)到縣，則方法數(shù)有種.如果甲與另一人一同到縣，則方法數(shù)有種.故總的方法數(shù)有種.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡答排列組合的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

利用導(dǎo)數(shù)求得在上遞增，結(jié)合與圖象，判斷出的大小關(guān)系，由此比較出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增；在同一坐標(biāo)系中作與圖象，，可得，故.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3．A【解析】

首先畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值．【詳解】解：作出實(shí)數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡單線性規(guī)劃問題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題．4．C【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由，化簡可得，最后分類討論可得；【詳解】解：因?yàn)樗运运运运援?dāng)時(shí)，為直角三角形；當(dāng)時(shí)即，為等腰三角形；的形狀是等腰三角形或直角三角形故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．5．C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實(shí)根的范圍結(jié)合此時(shí)的，通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，故當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以，又當(dāng)時(shí)，的極大值為1，所以當(dāng)時(shí)，的極大值為，設(shè)方程的最小實(shí)根為，，則，即，此時(shí)令，得，所以最小實(shí)根為411.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.6．A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運(yùn)算可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，求得，再求其對應(yīng)點(diǎn)即可判斷.【詳解】，故其對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.其位于第四象限.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，屬綜合基礎(chǔ)題.8．D【解析】

設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，解得：，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．9．B【解析】

圓心在的中垂線上，經(jīng)過點(diǎn)，且與相切的圓的圓心到準(zhǔn)線的距離與到焦點(diǎn)的距離相等，圓心在拋物線上，直線與拋物線交于2個(gè)點(diǎn)，得到2個(gè)圓．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，又焦點(diǎn)，，由拋物線的定義知，過點(diǎn)、且與相切的圓的圓心即為線段的垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)，這樣的交點(diǎn)共有2個(gè)，故過點(diǎn)、且與相切的圓的不同情況種數(shù)是2種．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的簡單性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是求出圓心的位置，看出圓心必須在拋物線上，且在垂直平分線上．10．C【解析】

將用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.【詳解】解：，得，則向量在上的投影為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義，考查向量的線性運(yùn)算，將用向量和表示是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.11．B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.12．B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱則故，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對稱性來求值的問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對稱中心，屬中檔題．14．2【解析】

求出焦點(diǎn)到漸近線的距離就可得到的等式，從而可求得離心率．【詳解】由題意，一條漸近線方程為，即，∴，由得，∴，，∴．故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是求出焦點(diǎn)到漸近線的距離，從而得出一個(gè)關(guān)于的等式．15．丙【解析】若甲獲獎，則甲、乙、丙、丁說的都是錯的，同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況，可知獲獎的歌手是丙．考點(diǎn)：反證法在推理中的應(yīng)用.16．【解析】

根據(jù)正弦定理可得，利用余弦定理以及均值不等式，可得角的范圍，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)，可得結(jié)果.【詳解】由，，成等差數(shù)列所以所以又化簡可得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號又，所以令，則當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，則在遞增，在遞減所以由，所以所以的最小值為最大值為故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、正弦定理、余弦定理，還考查了不等式、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)余弦定理以及不等式求出，考驗(yàn)分析能力以及邏輯思維能力，屬難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后根據(jù)首項(xiàng)和公差即可求出數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和；（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和求出，根據(jù)的表達(dá)式即可證明.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由題意有，且，所以，；（2）因?yàn)?，所以?【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列基本量的求解，裂項(xiàng)求和法，屬于基礎(chǔ)題.18．（1）（2）【解析】

（1）利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集.（2）先求得，即，再根據(jù)“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式，求得的最小值.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，無解；當(dāng)時(shí)，，即，得；當(dāng)時(shí)，，即，得.故所求不等式的解集為.（2）因?yàn)?，所以，則，.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查零點(diǎn)分段法解絕對值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.19．(1)；(2)．【解析】

(1)由角的度數(shù)成等差數(shù)列，得.又.由正弦定理，得,即.由余弦定理，得,即，解得.(2)由正弦定理，得.由，得.所以當(dāng)，即時(shí)，.【方法點(diǎn)睛】解三角形問題基本思想方法：從條件出發(fā)，利用正弦定理(或余弦定理)進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化．逐步化為純粹的邊與邊或角與角的關(guān)系，即考慮如下兩條途徑：①統(tǒng)一成角進(jìn)行判斷，常用正弦定理及三角恒等變換；②統(tǒng)一成邊進(jìn)行判斷，常用余弦定理、面積公式等．20．（1）;（2）或．【解析】試題分析:直線與圓相切只需圓心到直線的距離等于圓的半徑，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且滿足，只需數(shù)量積為0，要聯(lián)立方程組設(shè)而不求，利用坐標(biāo)關(guān)系及根與系數(shù)關(guān)系解題，這是解析幾何常用解題方法，第二步利用直線的斜率找出坐標(biāo)滿足的要求，再利用兩直線與圓相切，求出點(diǎn)的坐標(biāo).試題解析：（1）解：設(shè)，，，由和圓相切，得．∴．由消去，并整理得，∴，．由，得，即．∴．∴，∴，∴．∴．∴或（舍）．當(dāng)時(shí)，，故直線的方程為．（2）設(shè)，，，則．∴．設(shè)，由直線和圓相切，得，即．設(shè)，同理可得：．故是方程的兩根，故．由得，故．同理，則，即．∴，解或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故或．21．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標(biāo)，表示出，根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【詳解】（1）因?yàn)椋蓹E圓的定義得，，點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設(shè)，，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問