經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案 3.5參數(shù)估計2

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課題參數(shù)的區(qū)間估計（2學(xué)時）時間年月日教學(xué)目的要求1．理解區(qū)間估計的相關(guān)概念。2．掌握不同類型的區(qū)間估計的方法和步驟。重點理解區(qū)間估計的相關(guān)概念。難點掌握不同類型的區(qū)間估計。教學(xué)方法手段結(jié)合案例，講授為主。主要內(nèi)容時間分配參數(shù)的區(qū)間估計1.概念5分鐘2.方法和步驟10鐘二、正態(tài)總體均值的置信區(qū)間1.方差已知時10分鐘例1-210分鐘2.方差未知時10分鐘例3-410分鐘三、正態(tài)總體方差的區(qū)間10分鐘例510分鐘練習(xí)10分鐘小結(jié)5分鐘作業(yè)備注【主要內(nèi)容】一、參數(shù)的區(qū)間估計1.置信區(qū)間定義1設(shè)及是由樣本觀測值確定的兩個統(tǒng)計量，如果對于給定的概率，有則稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù)的雙側(cè)置信區(qū)間，稱為置信度（或置信概率），稱分別為雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限．這種估計未知參數(shù)的方法稱為參數(shù)的區(qū)間估計．注意：置信區(qū)間的含義是在隨機(jī)抽樣中，若重復(fù)抽樣多次，得到樣本的多個樣本值，對應(yīng)于每個樣本值都確定了一個置信區(qū)間，每個這樣的區(qū)間可能包含或不包含的真值．例如,給定，重復(fù)抽樣100次，則其中大約有95個區(qū)間包含的真值,大約有5個區(qū)間不包含的真值．2.求置信區(qū)間的步驟（1）選取未知參數(shù)的某個較優(yōu)估計量；（2）圍繞構(gòu)造一個依賴于樣本與參數(shù)的函數(shù)；（3）對給定的置信度，確定和，使通?？蛇x取滿足的與，在常用分布的情況下，可由附表查得；（4）對不等式作恒等變形后化為則就是的置信度為的雙側(cè)置信區(qū)間．二、單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間1.正態(tài)總體方差已知，參數(shù)的置信區(qū)間設(shè)總體～，其中已知，為未知參數(shù)，是取自總體的一個樣本．構(gòu)造統(tǒng)計量，則～對于給定的置信度為，可查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表求出使成立的臨界值，由，得即因此，均值的置信度為的置信區(qū)間為．【例1】2020年一場突如其來的新冠肺炎疫情，使得國民經(jīng)濟(jì)受到了一定沖擊，為了促進(jìn)消費，恢復(fù)國民經(jīng)濟(jì),現(xiàn)調(diào)查當(dāng)?shù)鼐用竦钠骄M額，隨機(jī)訪問了100名居民，得知平均消費額元．根據(jù)經(jīng)驗，已知居民消費服從正態(tài)分布，且標(biāo)準(zhǔn)差元，求該地居民平均消費額的置信度為95%的置信區(qū)間．解本題是正態(tài)總體的方差已知，對總體均值行區(qū)間估計，故選擇統(tǒng)計量～對于給定，查表得．代入置信區(qū)間公式，則有.所以，該地居民平均消費額的置信度為95%的置信區(qū)間為．【例2】已知某藥品中某成分的含量在正常情況下服從正態(tài)分布．現(xiàn)測定9個樣本，其含量均值，試估計藥品中這種成分含量的總體均值的置信區(qū)間（置信度=0.95）.解本題是正態(tài)總體的方差已知，對總體均值行區(qū)間估計，故選擇統(tǒng)計量～當(dāng)時，查表得．已知，代入置信區(qū)間公式，則有.所以，藥品中該成分平均含量在置信度為時的置信區(qū)間為．2.正態(tài)總體方差未知，參數(shù)的區(qū)間估計設(shè)總體～其中未知，)是取自總體的樣本．構(gòu)造統(tǒng)計量，則～對于給定的置信度為，可查分布表求出使成立的臨界值，由即因此，均值的置信度為的置信區(qū)間為．【例3】對某型號的飛機(jī)的飛行速度進(jìn)行16次試驗，測得最大飛行速度樣本均值，樣本方差.已知最大飛行速度服從正態(tài)分布，試對最大飛行速度的數(shù)學(xué)期望作置信度為0.95的區(qū)間估計.解本題是正態(tài)總體的方差未知，對總體均值行區(qū)間估計，故選擇統(tǒng)計量～當(dāng)時，查分布表得．已知，代入置信區(qū)間公式，則有.所以，最大飛行速度的均值的置信區(qū)間為．【例4】某地九月份的氣溫觀察9天，得，求置信度為0.95的此地九月份平均氣溫的置信區(qū)間.解本題是正態(tài)總體的方差未知，對總體均值行區(qū)間估計，故選擇統(tǒng)計量～當(dāng)時，查分布表得.代入置信區(qū)間公式，則有.所以，該地九月份平均氣溫的置信區(qū)間為．三、總體方差的區(qū)間估計設(shè)總，其中未知，是取自總體的一個樣本．構(gòu)造統(tǒng)計量,則～對于給定的置信度，可查分布表得到雙側(cè)臨界值，使得即因此，方差的置信度為的置信區(qū)間為，而標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為的置信區(qū)間為．【例5】某廠生產(chǎn)的鋼絲，設(shè)鋼絲折斷力服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機(jī)抽取10根檢查，樣本均值，求鋼絲折斷力方差的置信區(qū)間.解本題是對正態(tài)總體方差進(jìn)行區(qū)間估計，故選擇統(tǒng)計量～當(dāng)時，查分布表得，，.已知，代入置信區(qū)間公式，則有.所以，鋼絲折斷力方差的95%置信區(qū)間為．【課堂練習(xí)】1.從一批釘子中抽取16根，測得長度（單位：厘米）為：2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.設(shè)釘子長度服從正態(tài)分布，已知，求釘子平均長度的置信度為95%的置信區(qū)間．2.某工廠滾珠車間，從長期經(jīng)驗知道，滾珠直徑服從正態(tài)分布.現(xiàn)從生產(chǎn)的滾珠中任取6個，測得直徑為（單位：毫米）14.9,14.6,15.1,14.8,15.