電大《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》考試題庫(kù)期末復(fù)習(xí)

電大《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》期末復(fù)習(xí)題

第一部分微分學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)y=)、的定義域是(D).

igU+i)

A.x>-1B.xW0C.x>0D.x>-1且RWO

2.設(shè)需求量q對(duì)價(jià)格p的函數(shù)為式p)=3-R萬(wàn)，則需求彈性為4=(B).

1一43-2后3-2赤

3-2，〃3-2jpJpy/p

3.下列各函數(shù)對(duì)中，（D)中的兩個(gè)函數(shù)相等.

x2-l

A.f(x)=(Vx)2,g(x)=xB.f(x)=，g(x)=x+I

x-i

C.y=]nx2,g(x)=2\nxD./(x)=sin2x+cos2x,g(x)=l

4.設(shè)/⑶7則/s().

XI

A.B.----c.—+iD.----

l+xl+xl+x

5.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（C

x-1

A.y=x-xB.y=er+e~xC.y=InD.y=xsinx

x+1

6.下列函數(shù)中,(）不是基本初等函數(shù).

y=2?D.T

A.B.y=C.y=ln(x-l)

7.下列結(jié)論中，（）是正確的.

A.基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)B.偶函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

C.奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.周期函數(shù)都是有界函數(shù)

8.當(dāng)xf0時(shí),下列變量中（B)是無(wú)窮大量.

xn1+2X

A.B.-----C.y[xD.2r

0.001x

x

9.已知/*）一1,當(dāng)（）時(shí)，f（x）為無(wú)窮小量.

tanx

A.xf0B.x―>1C.D.大f+oo

sinx八

----,xwO

10.函數(shù)/*)=<x在x=（）處連續(xù)，貝!1A=（C).

k,x=0

A.-2B.-1C.1D.2

1,x>0_

11.函數(shù)/*)=<在”0處(B).

-1,x<0

A.左連續(xù)B.右連續(xù)C.連續(xù)D.左右皆不連續(xù)

12.曲線）在點(diǎn)（0,1）處的切線斜率為（A).

dx+T

11

A.B.-c.D.

222V(x+l)3

13.曲線,y=sinx在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為（A）.

A..y=xB.y=2xC.y=-xD.y=~x

2

14.若函數(shù)/(一)=X，則((幻二(B).

X

11cl

A.——B.——C.-D.

xx~xx

15.若/(X)=XCOSX,則/"*)=(D).

A.8sx+xsinxB.cosx-xsinx

C.2sinx+xcosxD.-2sinx-xoosx

16.下列函數(shù)在指定區(qū)間(-8,+<)。)上單調(diào)增加的是(B).

A.sinxB.exC.x2D.3-x

17.下列結(jié)論正確的有(A).

A.xo是/(x)的極值點(diǎn)，且f'(xo)存在，則必有f'(xo)=0

B.xo是/(x)的極值點(diǎn)，則沏必是/(x)的駐點(diǎn)

C.若/'(沏)=0，則沏必是/(X)的極值點(diǎn)

D.使r(x)不存在的點(diǎn)Xo，一定是/(%)的極值點(diǎn)

二、填空題

上-P-

1.需求■:夕對(duì)價(jià)格P的函數(shù)為式p)=100xe2,則需求彈性為耳、=2.

2.函數(shù)/(幻=ln(x+5)--的定義域是一(52).

—x

3.若函數(shù)/。+1)=工2+21一5,則〃x);.

_3

4.設(shè)函數(shù)/(〃)=〃2—1,W(x)=-,則〃〃(2))=」.

X

10'+10-v

5.設(shè)〃x)=2，則函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱?

6.已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=80+2q,則當(dāng)產(chǎn)量q=50時(shí)，該產(chǎn)品的平均成本為3.6.

7.已知某商品的需求函數(shù)為9=180-4p,其中〃為該商品的價(jià)格，則該商品的收入函數(shù)R0)=—

45a-0.25a2.

,S8X

9.已知/(X)=1一2吧，當(dāng)一XT°時(shí),/(幻為無(wú)窮小量.

X

x2-\.

10.已知/*)='x-1，若f(x)在(—2+8)內(nèi)連續(xù)，則a=2.

ax=1

P

II.已知需求函數(shù)為夕=日-|〃，其中p為價(jià)格，則需求彈性或=〃—10.

12.函數(shù)〃k=---1-----的連續(xù)區(qū)間是(一8,—1),(T,2),(2,+ao).

(x+\)(x-2)

13.曲線y=4在點(diǎn)在1)處的切線斜率是一y‘(D=°>.

14.函數(shù)y=12+i的單調(diào)增加區(qū)間為(o,+8).

15.已知f(x)=ln2x,則"(2)Y=0.

16.函數(shù)y=3(x-l)2的駐點(diǎn)是x=l,

三、計(jì)算題

x2-3x4-2

lim

.r—>2X2-4

x2-3x+2..x-1

解:limhm----------

x->2X2-4

12(x-2)(x+2)12(x+2)4

Vx-1

2.lim

ix-3x+2

解：limG'x-\12

=lim=lim

I]x2-3x+2X->1(X_1)(X_2.)(y/~X+1)XTl(x-2)(V^+D2

3.已知y=cos2*-sinx?,求y'(x).

解：yr(x)=-sin2v(2v)f-cosx2(x2)r=-2Xsin2rIn2-2xcosx2

4.已知y=1/冗+?一"，求y'(x).

ai2

解：y\x)=31n2x(lnx)r+e-5x(-5x)z=^-^-5e-5x

x

5.設(shè)y=e8mx+cos5x,求dy.

解：因?yàn)閥=es,nv(sinx),4-5cos4x(cosx)r=esulAcosx-5cos4xsinA

所以dy=(ednvcosx-5cos4xsinx)dx

6.設(shè)>=12111+2-。求dy

2

1Qr

解：因?yàn)閥=-z—r(x3)1+2-xIn2(-x)z=-TxIn2

COS?X'COSX

32

所以dy=(:Xa-2-rln2)(u-

COS?X'

…COSXq\

7.己知y=2'-------,求y'(x).

x

解：y⑨二。=2，2--'incos工二2-2+心EHCOSN

XX~X'

8.已知/(x)=2，sinx+lnx,求廣(x).

解：//(x)=2'In2-sinx+2Xcosx+—

x

9.已知yuSZc08',求)，’(；)；

解：因?yàn)?(52COSA)Z=52costln5(2cosx)z=-2sinx52costln5

ITTT2cos工

所以/(1)=-2siny52ln5=-21n5

10.已知y=-In」x,求dy.

2--2--22

解：因?yàn)?=-(lnx)3(lnx)f=一(Inx)3=-------j=所以dy=------j^=dr

33「3xVh^3x標(biāo)

四、應(yīng)用題

1.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位時(shí)的成本函數(shù)為：C（X）=100+0.25X2+6X（萬(wàn)元），

求：（1）當(dāng)x=10時(shí)的總成本、平均成本和邊際成本；（2）當(dāng)產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均成本最小?

解：（1）因?yàn)榭偝杀?、平均成本和邊際成本分別為：

C（x）=100+0.25x2+6x

C(x)=---+0.25x+6,C\x)=0.5x+6

x

所以，CaC^nlOO+O.ZSxlO2+6x10=185

-1(V)

C(10)=—+0.25xlO+6=18.5,

10

Cz(l0)=0.5x10+6=11

inn

(2)令C。)=一號(hào)+0.25=0,得x=20(x=-20舍去)

x

因?yàn)閤=20是其在定義域內(nèi)唯一駐點(diǎn)，且該問(wèn)題確實(shí)存在最小值，所以當(dāng)x=20時(shí)，平均成本最小.

2.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對(duì)這種產(chǎn)品的市場(chǎng)需求規(guī)律

為4=1000—10〃(,為需求量，P為價(jià)格).試求：

(1)成本函數(shù)，收入函數(shù)；(2)產(chǎn)量為多少噸時(shí)利潤(rùn)最大？

解：(1)成本函數(shù)C(q)=60^+2000.

因?yàn)?=1000—10〃，即〃=100-*4，

所以收入函數(shù)R(q)=pxg=(1004)夕二100夕一正夕上

⑵因?yàn)槔麧?rùn)困數(shù)乙(4)=冬夕)-。(4)=100^-^^2-(60<7+2000)

12

=40^-—^~-2000

且L,(c/)=(40q-—q2-2000)z=40-0.2q

令L<q)=0,BP40-0.2g=0,得q=200,它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).

所以，夕=200是利潤(rùn)函數(shù)"0的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為200噸時(shí)利潤(rùn)最大.

3.設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品，成本增加100元.又已知需求函數(shù)

9=2000-4〃，其中〃為價(jià)格，q為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場(chǎng)上是暢銷的，試求：

(1)價(jià)格為多少時(shí)利潤(rùn)最大？(2)最大利潤(rùn)是多少？

解：⑴C(p)=50000+100〃=50000+100(2000-4”)

=250000-400/7

R(p)=pq=p(2000-4p)=2000p-4P2

利潤(rùn)函數(shù)L(p)=R(p)-C(p)=2400p-4p2-250000,且令Lf(p)=2400-8p=0

得〃二300,該問(wèn)題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)價(jià)格為p=300元時(shí)，利潤(rùn)最大.

(2)最大利潤(rùn)"300=2400x300-4x300?-250000=1100C(元).

4.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時(shí)的總成本函數(shù)為。(4)=20+4妙0.01必(元)，單位銷售價(jià)格為p=14-0.01q(元/件)，

試求：(1)產(chǎn)量為多少時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大？(2)最大利潤(rùn)是多少？

解：(1)由已知火=初=4(14—0.00)=14^—0.002

利潤(rùn)函數(shù)心=/?一。=1%—0.01夕2一20—4q一0.002=1%一20—0.0%2

貝］￡'=10-0.0%,令￡/=10-0.047=0,解出唯一駐點(diǎn)g=250.

因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)存在著最大值，所以當(dāng)產(chǎn)量為250件時(shí)可使利潤(rùn)達(dá)到最大，

(2)最大利潤(rùn)為:〃25。=10x250-20-0.02x25(f=2500-20-1250=1230(元)

5.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品"牛的成本函數(shù)為。(4)=0.5/+3S+9800(元).為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應(yīng)

為多少？此時(shí)，每件產(chǎn)品平均成本為多少？

解：因?yàn)椤?q)=9^=0.5g+36十處如(夕>0)

qq

C(q)=(0&+36+亞竺尸0.5-曾

qq

9800

令C(g)=0,即0.5—0=0,得名=140,%=-140(舍去)?

q-

%=140是?、龋┰谄涠x域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且該問(wèn)題確實(shí)存在最小值.

所以d=140是平均成本函數(shù)Gq）的最小值點(diǎn),即為使平均成本最低.每天產(chǎn)曷應(yīng)為140件.此時(shí)的平均成

9800

本為。(140尸0.5x140+36+=176（元/件）

140

6.已知某廠生產(chǎn)q件產(chǎn)品的成本為C"）=250+20g+備（萬(wàn)元）.問(wèn)：要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)

解：（1）因?yàn)樾摹埃┒?二型+20+且

品？

qqio

?）二（空+20+Q-粵+白

q10q10

令二（g）=0,即一粵+」■=（）,得％=50,%=-50（舍去），

9210

名=50是C（q）在其定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn).

所以，％=50是心（,）的最小值點(diǎn)，即要使平均成本最少，應(yīng)生產(chǎn)50件產(chǎn)品.

第二部分積分學(xué)

一、單項(xiàng)選擇題

在切線斜率為2%的積分曲線族中，通過(guò)點(diǎn)（1,4）的曲線為（A).

A.y=x2+3B.y=x1+4C.v=2x+2D.y=4x

2.若，(2x+Z)dr=2,則(

A).

A.1B.C.0D-I

3.下列等式不成立的是(D).

A.e'dx=d(eA)B.-sinxdv=d(cosr)

=

C.—dxdyfxD.Inxdx=d(—)

2VxX

若jf(x)dx=-e

4.2+C,貝=D).

11

B.—eC*D.—e

24

x

Jw)=(B).

A.xe~x+cB.xe~x+e-t+cC.-^e+cD.xe~x-t~x+c

6.下列定積分中積分值為0的是(A).

A.1]——-——drB.----~~dr

"2

C.[(x3+cosx)dxD.[(x24-sinx)dx

Jr

7.若F5）是/（x）的一個(gè)原函數(shù)，則下列等式成立的是（D）.

A.f(x)dx=F(x)B.Vf(x)dx=F(x)-F(a)

Ja

C.[l，F(xiàn)(x)dx=f(b)-f(a)^f(x)dx=F(b)-F(a)

D.

Ja

二、填空題

I.de'dr

2.函數(shù)f(x)=sin2x的原函數(shù)是--cos2x+c(c是任意常數(shù))

3.若J/(x)dx=(x+l)2+c,則f(x)2(x+l)

4.若J/(x)dx=尸(工)十c,貝ij拒_"/3~m=.-F(e-x)+c

5.^j^ln(x2+l)dx=

0

6.--------ax=0

(x2+1)2

三、計(jì)算題

1.1

sm—sin—[11

1.f—解：f—^dr=-fsin-d(-)=cos-+c

JXJXJXXX

解：席=小、％4)=『+，

3.j；ln(x+l)dx

解法一：J1ln(x+l)dx=xln(x+1)|7—J：-^-dx=e-l-ffc—1(1----,--)dr

。。X"I"1Jox+1

=e-1-[A:-ln(x+1)]|o-1=lne=l

解法二：令〃=x+l,則

e

j；In(x+l)cLv=Inudu=wInM|-J(u—du=e-z/|f=e-e+l=1

4.j(x+l)lnxdx

解：j(x+1)lnrdx=-i(x+l)2lnr--^|^X+^dx=^(x2+2x)\nx-^-x+c

Cln3c

5.Iev(l+e*)d￥

Jo

:￡n3ev(l+ev)2dr=￡n3(l+er)2d(l+er)=^(l+ex)3In356

解。=T

6.Ji

解：In必2五)=26In$-2Vxd(lnx)

=2ve

=2Ve=4-2Ve

7.

解：「/[近=「/[d(l+]nx)=2jl+lnx「=2(癢1)

xyl\+\nxJivi+lnx11

四、應(yīng)用題

1.投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬(wàn)元)，且邊際成本為C'(%)=2x+40(萬(wàn)元/百臺(tái)).試求產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)

時(shí)總成本的增量，及總成本函數(shù).

解：當(dāng)產(chǎn)量由4百臺(tái)增至6百臺(tái)時(shí)，總成本的增量為

AC=j^(2x+40)dx=(x2+40x)|6=100(萬(wàn)元)

口、J；CU)也+%f+40x+36

又C(x)=------------------=-----------------

2.已知某產(chǎn)品的邊際成本C'(x)=2(元/件)，固定成本為0,邊際收益R'(x)=12-0.02x,問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)

最大？在最大利潤(rùn)產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)50件，利潤(rùn)將會(huì)發(fā)生什么變化？

解：因?yàn)檫呺H利潤(rùn)Z/(x)=H'(x)-C'(x)=12-0.02x-2=10-0.02x

令Z/(x)=0,得x=500

x=500是惟一駐點(diǎn)，而該問(wèn)題確實(shí)存在最大值.所以，當(dāng)產(chǎn)量為500件時(shí)，利潤(rùn)最大.

當(dāng)產(chǎn)量由500件增加至550件時(shí)，利潤(rùn)改變量為

AL=f55O(l0-0.02x)dx=(1Ox-0.0Lr2)|550=500-525=-25(元)

即利潤(rùn)靠減少25元.

3.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C'(x)=8x(萬(wàn)元/百臺(tái))，邊際收入為R'(x)=100-2x(萬(wàn)元/百臺(tái)),其中x為產(chǎn)量，

問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)有什么變化？

解：L'(x)=Rr(x)-C(x)=(100-2x)-8x=100-lOx

令Z/(x)=O,得x=10(百臺(tái))

又x=10是L(x)的唯一駐點(diǎn)，該問(wèn)題確實(shí)存在最大值，故x=10是L(x)的最大值點(diǎn)，即當(dāng)產(chǎn)量為10(百臺(tái))

時(shí)，利潤(rùn)最大.

又L=J>'(x)dv=「(100-1Ox)dx=(10(k-5x2)|：=-20

即從利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺(tái)，利潤(rùn)將減少20萬(wàn)元.

4.設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為。(％)=3+尢(萬(wàn)元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸.銷售x百噸時(shí)的邊際收入

為“。)=15-2不(萬(wàn)元/百噸)，求：

(1)利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量；

(2)在利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量的基礎(chǔ)上再生產(chǎn)1百噸，利潤(rùn)會(huì)發(fā)生什么變化？

解：(1)因?yàn)檫呺H成本為C(x)=1,邊際利潤(rùn)L'(x)=R'(x)—C'(x)=14-2x

令￡'(幻=0,得x=7

由該題實(shí)際意義可知，x=7為利潤(rùn)函數(shù)2。)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn).因此，當(dāng)產(chǎn)量為7百噸時(shí)利潤(rùn)最大.

(2)當(dāng)產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時(shí)，利潤(rùn)改變量為

AL=JJ14-2x)dx=(14x-x2)|^=112-64-98+49=-1(萬(wàn)元)即利潤(rùn)將減少1萬(wàn)元.

第三部分線性代數(shù)

一?單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)線性方程組AY=〃有唯一解，則相應(yīng)的齊次方程組AY=。(C).

A.無(wú)解B.有非0解C.只有0解D.解不能確定

西+2X2+3X3=2

2.線性方程組《x2-x3=6B).

-3X2+3X3=4

A.有唯一解B.無(wú)解C.只有0解D.有無(wú)窮多解.

二、填空題

-1-6

1325

1.設(shè)4=，則1-2A

-2

2-12

2.矩陣402的秩為.2

0-33

3.已知〃元線性方程組AX=。有解，且r(A)<〃，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為

n-r(A)

x+x=\

4.當(dāng)義=1時(shí)，方程組4l?2有無(wú)窮多解.

-Xj—AX^——1

121

5.線性方程組AX=O的系數(shù)矩陣A化成階梯形矩陣后為A—04-1

00d+1

則當(dāng)d二I.時(shí)，方程組AX=O有非。解.

三、計(jì)算題

1.設(shè)矩陣A2,計(jì)算

42

解：

問(wèn)：r(MT+C)=?

--112

2.設(shè)矩陣4=104/為單位矩陣,求逆矩陣(/+A)，

2-1-1

012

解：因?yàn)?+4114且

20

012100--114010

(1+A/)114010->012100

2-100010-3-80-21

102-1101002-1

012100—0104-2

00-23-2100-23-2

1002-11

->0104_21

001-3/21T/2

所以A1

1-1

3.設(shè)矩陣A-12求A"

22

解：利用初等行變換得

0001-10100

-12100—01110

223001043-20

1-101001-10100

011110010-5-31

00-1-6-4100164-1

I00-4-31

->00-5-31

00164-1

-4-3

即-5-31

64-1

-4-35

由矩陣乘法得A-]B=-5-35