2024-2025學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附中朝陽學(xué)校高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市中國人民大學(xué)附中朝陽學(xué)校高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合M={x|(x+3)(x?1)≤0}，N={x||x|<2}，則M∪N=(

)A.(?2,1] B.[?3,2) C.(?2,3] D.[?1,2)2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=1x?1 B.f(x)=2|x| C.3.若|a|=1,|b|=2,(a?b)⊥A.30° B.60° C.120° D.150°4.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知S3=aA.2 B.?2 C.12 D.5.下列命題中，真命題的是(

)A.若a<b，則1a>1b B.若a>b，則a2>ab>b2

C.若0<a<b<c6.設(shè)α，β，γ是三個不同平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，則“l(fā)//m”是“α//β”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.函數(shù)f(x)=2cos2(ωx+φ)+b的部分圖象如圖所示，則以下說法正確的是(

)A.ω=π2,b=1

B.ω=π2,b=?1

C.ω=π，8.已知向量a，b滿足|a+b|=3，a?b=0，若c=λA.3 B.2 C.12 D.9.十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕?jīng)典樣式之一，圖1中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部可視為由兩個相同的直三棱柱交疊而成的幾何體(圖2).這兩個三棱柱有一個公共側(cè)面ABCD.在底面BCE中，若BE=CE=3，∠BEC=120°，則該幾何體的體積為(

)

A.272 B.2732 C.10.2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運(yùn)飛船在發(fā)射3小時后成功對接于空間站天和核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動交會對接的記錄.某學(xué)校的航天科技活動小組為了探索運(yùn)動物體追蹤技術(shù)，設(shè)計了如下實(shí)驗(yàn)：目標(biāo)P在地面軌道上做勻速直線運(yùn)動；在地面上相距7m的A，B兩點(diǎn)各放置一個傳感器，分別實(shí)時記錄A，B兩點(diǎn)與物體P的距離.科技小組的同學(xué)根據(jù)傳感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離?時間”函數(shù)圖像，分別如曲線a，b所示.t1和t2分別是兩個函數(shù)的極小值點(diǎn).曲線a經(jīng)過(0,r0)，(t1,r1)和(t2,r0)，曲線b經(jīng)過(t2,r2).已知r1A.67,134m/s B.6二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.復(fù)數(shù)2+i1?2i=______；對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為______；虛部是______；模長為______；共軛復(fù)數(shù)是______．12.已知角x在第二象限，且sin(x+π2)=?4513.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且a+c=2b，則角B的取值范圍為______．14.設(shè)函數(shù)f(x)=x?2+a,x≥2|ax?2|,x<2(a>0且a≠1).給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)a=2時，存在t，方程f(x)=t有唯一解；

②當(dāng)a∈(0,1)時，存在t，方程f(x)=t有三個解；

③對任意實(shí)數(shù)a(a>0且a≠1)，f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)；

④存在實(shí)數(shù)a，使得15.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1且an+1=Sn2+1,(n∈N?)，給出下列四個結(jié)論：①長度分別為1三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2sinxcosx?cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)從條件①，條件②，條件③選擇一個作為已知條件，求m的取值范圍．

①f(x)在(0,m)有恰有兩個極值點(diǎn)；

②f(x)在(0,m)單調(diào)遞減；

③f(x)在(0,m)17.(本小題13分)

若△ABC同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選擇一組這樣的三個條件并解決下列問題：

(1)求邊a的值；

(2)求△ABC的面積．

條件①：acosA=bsinA；

條件②：b=a+2；

條件③：sinC=12；

條件④：c2?cosC=?1018.(本小題14分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC=AB1=2，AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D，E分別是AC，B1C1的中點(diǎn)

(Ⅰ)證明：AC⊥B119.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=xalnx，其中a為常數(shù)且a≠0．

(1)求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)當(dāng)a=1時，若過點(diǎn)M(x0,f(x0))(x0>1e)的切線l分別與x軸和20.(本小題15分)

已知f(x)=(2x?1)eax?x在x=0處的切線方程為x+y+b=0．

(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；

(2)證明：f(x)僅有一個極值點(diǎn)x0，且f(x0)<?34．

(3)若g(x)=(kx?1)21.(本小題15分)

已知有限數(shù)列{an}，從數(shù)列{an}中選取第i1項、第i2項、……、第im項(i1<i2<…<im)，順次排列構(gòu)成數(shù)列{ak}，其中bk=ak，1≤k≤m，則稱新數(shù)列{bk}為{an}的長度為m的子列．規(guī)定：數(shù)列{an}的任意一項都是{an}的長度為1的子列．若數(shù)列{an}的每一子列的所有項的和都不相同，則稱數(shù)列{an}為完全數(shù)列．

設(shè)數(shù)列{an}滿足an=n，1≤n≤25，n∈N?．

(Ⅰ)判斷下面數(shù)列{an}的兩個子列是否為完全數(shù)列，并說明由；

數(shù)列(1)：3參考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.D

6.B

7.B

8.D

9.C

10.B

11.i

(0,1)

1

1

?i

12.?2413.(0,π14.①②④

15.②

16.解：(1)因?yàn)閒(x)=sin2x+2sinxcosx?cos2x

=2sinxcosx?(cos2x?sin2x)

=sin2x?cos2x

=2sin(2x?π4)，

所以f(x)的最小正周期為2π2=π；

(2)因?yàn)閤∈(0,m)，

所以2x?π4∈(?π4,2m?π4)，

選擇①，因?yàn)閒(x)在(0,m)有恰有兩個極值點(diǎn)，

所以3π2<2m?π4≤5π2，17.解：(1)若選①，因?yàn)閍cosA=bsinA，由正弦定理得sinAcosA=sinBsinA，

又因?yàn)锳∈(0,π)，所以sinA≠0，所以cosA=sinB，

由于sinB>0，所以cosA>0，又因?yàn)锳∈(0,π)，

當(dāng)A∈(0,π4)時，B=π2?A或B=A+π2，

此時C=π2或C=π2?2A∈(0,π2)，

當(dāng)A∈[π4,π2)時，因?yàn)棣??2A∈(?π2,0]，所以C=π2，即∠C不可能為鈍角，

由條件④知，cosC<0，∠C為鈍角，

所以條件①和條件④不能同時滿足，

因此有兩種情況的解答：

選擇條件①②③，

因?yàn)椤螩不可能為鈍角，

又因?yàn)閟inC=12，所以∠C=π6，

因?yàn)閏osA=sinB，且sinB=sin(A+C)，

所以cosA=sin(A+C)=sin(A+π6)=32sinA+12cosA，

所以12cosA=32sinA，即tanA=33，

又因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π6，B=π?A?C=2π3，

在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，

又因?yàn)閎=a+2，所以a12=a+232，

解得a=3+1；

選擇條件②③④，

由條件④知，cosC<0，∠C為鈍角，

又因?yàn)閟inC=12，所以∠C=18.證明：(Ⅰ)因?yàn)锳B1⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AB1⊥AC．

因?yàn)锳C1⊥AC，AB1∩AC1=A，AB1，AC1?平面AB1C1，

所以AC⊥平面AB1C1．

因?yàn)锽1C1?平面AB1C1，所以AC⊥B1C1．

(Ⅱ)取A1B1的中點(diǎn)M，連接MA、ME．

因?yàn)镋、M分別是B1C1、A1B1的中點(diǎn)，所以ME//A1C1，且ME=12A1C1．

在三棱柱ABC?A1B1C1中，AD//A1C1，且AD=12A1C1，

所以ME/?/AD，且ME=AD，

所以四邊形ADEM是平行四邊形，所以DE/?/AM．

又AM?平面AA1B1B，DE?平面AA1B1B，

所以DE/?/平面AA1BB．

解：(Ⅲ)在三棱柱ABC?A1B1C1中，BC/?/B119.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，

所以f′(x)=axa?1lnx+xa?1，

此時f′(1)=1，

又f(1)=0，

則曲線y=f(x)在x=1處的切線方程為y?0=1×(x?1)，

即y=x?1；

(2)易知f′(x)=(alnx+1)xa?1，

令f′(x)=0，

解得x=e?1a，

當(dāng)a>0時，

當(dāng)x∈(0,e?1a)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(e?1a,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，

當(dāng)x∈(0,e?1a)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(e?1a,+∞)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)a>0時，f(x)在(0,e?1a)上單調(diào)遞減，在(e?1a,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，f(x)在(0,e?1a)上單調(diào)遞增，在(e?1a,+∞)上單調(diào)遞減；

(3)當(dāng)a=1時，f(x)=xlnx，

可得f′(x)=1+lnx．

此時切線方程為y=(lnx0+1)(x?x0)+x0ln20.解：(1)f(0)=?1，f′(x)=2eax+a(2x?1)eax?1，

所以f′(0)=1?a，f(x)在x=0處的切線方程為y+1=(1?a)x，

所以a=2，b=1；

(2)證明：f(x)=(2x?1)e2x?x，f′(x)=4xe2x?1，

當(dāng)x<0時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

f“(x)=4e2x+8xe2x，

當(dāng)x>0時，f“(x)>0，f′(x)單調(diào)遞增；

f′(0)=?1<0，f′(14)=e?1>0，

所以存在x0∈(0,14)，使得f′(x0)=0，即4x0e2x0=1.且當(dāng)x<x0時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>x0時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

所以f(x)僅有一個極值點(diǎn)x0，使得f(x0)=(2x0?1)e2x0?x0=2x0?14x0?x0=12?(14x0+x21.解：(Ⅰ)數(shù)列(1)不是{an}的完全數(shù)列；數(shù)列(2)是{an}的完全數(shù)列．

理由如下：

數(shù)列(1)：3，5，7，9，11中，因?yàn)?+9=5+7=12，所以數(shù)列(1)不是{an}的完全數(shù)列；

數(shù)列(2)：2，4，8，16中，所有項的和都不相等，數(shù)列(2)是{an}的完全數(shù)列．

(Ⅱ)假設(shè)數(shù)列{bk}長度為m≥7，不妨設(shè)m=7，各項為b1<b2<b3<…<b7．

考慮數(shù)列{bk}的長度為2，3