2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第八章 立體幾何初步 8.6 空間直線、平面的垂直 8.6.3 第1課時(shí) 平面與平面垂直的判定（教學(xué)用書）教案 新人教A版必修第二冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線、平面的垂直8.6.3第1課時(shí)平面與平面垂直的判定（教學(xué)用書）教案新人教A版必修第二冊主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容來自2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6節(jié)中的8.6.3第1課時(shí)，主題為“平面與平面垂直的判定”。教學(xué)內(nèi)容主要包括平面與平面垂直的定義、判定定理及其應(yīng)用。這一部分內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系在于，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間中的點(diǎn)、線、面的基本性質(zhì)，掌握了平面幾何中直線與直線的垂直關(guān)系，并了解如何運(yùn)用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生從二維空間拓展到三維空間，理解并掌握平面與平面垂直的判定方法，深化對立體幾何中垂直關(guān)系的認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)空間幾何體的垂直關(guān)系打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生以下能力：一是空間想象與抽象思維能力，通過平面與平面垂直的判定，使學(xué)生能夠?qū)⒖臻g關(guān)系抽象為幾何模型，并在大腦中構(gòu)建出相應(yīng)的立體圖形；二是邏輯推理與證明能力，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用定義和定理進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯推理，學(xué)會如何證明平面與平面的垂直關(guān)系；三是問題解決與創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生將理論知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題，鼓勵學(xué)生在解決問題時(shí)探索新方法，增強(qiáng)創(chuàng)新意識。這些目標(biāo)針對新高二學(xué)生群體，旨在幫助他們扎實(shí)掌握立體幾何基礎(chǔ)知識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-核心內(nèi)容一：平面與平面垂直的定義及其直觀理解。重點(diǎn)講解平面α垂直于平面β的概念，即平面α的法向量與平面β所在直線垂直。

-核心內(nèi)容二：平面與平面垂直的判定定理。強(qiáng)調(diào)并解釋判定定理的內(nèi)容，即當(dāng)兩個(gè)平面相交成直角時(shí)，它們互相垂直。

-核心內(nèi)容三：判定定理的應(yīng)用。通過典型例題，展示如何運(yùn)用判定定理解決實(shí)際問題，特別是如何從給定的信息中識別出垂直關(guān)系。

舉例：在講解定義時(shí)，可以通過教室墻壁與地面的關(guān)系，直觀說明平面與平面的垂直；在定理應(yīng)用上，可以給出具體圖形，讓學(xué)生識別哪些線段或平面是垂直的。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-難點(diǎn)一：空間想象能力的培養(yǎng)。學(xué)生往往難以在腦海中形成清晰的空間模型，特別是在處理非直觀的立體圖形時(shí)。

-難點(diǎn)二：理解并運(yùn)用判定定理。學(xué)生在理解和記憶判定定理時(shí)可能存在困難，特別是在定理的條件和結(jié)論之間的邏輯推理。

-難點(diǎn)三：從實(shí)際問題中抽象出幾何模型。學(xué)生在面對具體問題時(shí)，可能不知道如何將問題轉(zhuǎn)化為幾何模型，以及如何應(yīng)用判定定理。

舉例：針對空間想象能力的難點(diǎn)，可以通過制作和展示三維模型，幫助學(xué)生建立直觀感受；對于定理的理解，可以通過動畫或?qū)嵨锊僮?，演示定理的推?dǎo)過程；在問題抽象上，可以設(shè)計(jì)一系列由淺入深的練習(xí)題，指導(dǎo)學(xué)生如何從題目描述中提取關(guān)鍵信息，構(gòu)建幾何模型。學(xué)具準(zhǔn)備Xxx課型新授課教法學(xué)法講授法課時(shí)第一課時(shí)師生互動設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法選擇

-講授法：通過精講平面與平面垂直的定義、判定定理及其應(yīng)用，為學(xué)生提供系統(tǒng)的知識框架。

-討論法：針對判定定理的理解和應(yīng)用，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，鼓勵發(fā)表不同觀點(diǎn)，促進(jìn)思維碰撞。

-案例研究：選取與實(shí)際生活密切相關(guān)的案例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行分析，提高問題解決能力。

-項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)：設(shè)計(jì)項(xiàng)目任務(wù)，讓學(xué)生在完成項(xiàng)目過程中自主探究、合作交流，培養(yǎng)空間想象和創(chuàng)新能力。

2.教學(xué)活動設(shè)計(jì)

-角色扮演：設(shè)置情景，讓學(xué)生扮演幾何元素（如點(diǎn)、線、面等），通過互動演示平面與平面垂直的關(guān)系。

-實(shí)驗(yàn)活動：借助幾何模型、教具等，讓學(xué)生動手操作，直觀感受平面與平面的垂直關(guān)系。

-游戲競賽：設(shè)計(jì)幾何知識競賽，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鞏固所學(xué)知識。

-小組合作：分組進(jìn)行討論、研究、展示，促進(jìn)學(xué)生之間的互動和協(xié)作。

3.教學(xué)媒體和資源使用

-PPT：制作包含定義、定理、例題等內(nèi)容的PPT，方便學(xué)生直觀學(xué)習(xí)。

-視頻：播放與立體幾何相關(guān)的教學(xué)視頻，幫助學(xué)生形象地理解空間關(guān)系。

-在線工具：利用幾何畫板、3D建模軟件等在線工具，讓學(xué)生自主探索空間幾何形狀和關(guān)系。

-教具：使用實(shí)體模型、紙質(zhì)卡片等教具，增強(qiáng)學(xué)生對空間幾何的直觀感受。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（5分鐘）

1.教師準(zhǔn)備：制作PPT，收集與平面與平面垂直相關(guān)的實(shí)際案例，準(zhǔn)備教具和實(shí)驗(yàn)材料。

2.學(xué)生準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)課本8.6.3節(jié)內(nèi)容，完成預(yù)習(xí)作業(yè)，提前思考平面與平面垂直的定義和判定。

（二）課中教學(xué)（40分鐘）

1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

-教師通過展示生活中常見的垂直現(xiàn)象，如墻面與地面、桌面與墻面等，引發(fā)學(xué)生對平面與平面垂直的思考。

-學(xué)生分享預(yù)習(xí)成果，提出對平面與平面垂直的初步認(rèn)識。

2.基本概念與定理學(xué)習(xí)（15分鐘）

-教師精講平面與平面垂直的定義、判定定理，結(jié)合PPT和教具進(jìn)行演示。

-學(xué)生跟隨教師思路，記錄關(guān)鍵知識點(diǎn)，對定義和定理進(jìn)行思考。

舉例：教師使用教室墻壁和地面作為模型，解釋平面與平面的垂直關(guān)系。

3.應(yīng)用與實(shí)踐（10分鐘）

-教師給出典型例題，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用判定定理分析和解決問題。

-學(xué)生分組討論，合作解決例題，教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問。

舉例：通過分析教室中各種物體的相對位置，識別并證明平面與平面的垂直關(guān)系。

4.實(shí)踐活動（5分鐘）

-學(xué)生利用教具（如三角板、量角器等）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證判定定理的正確性。

-教師觀察學(xué)生操作過程，給予及時(shí)反饋和指導(dǎo)。

舉例：學(xué)生用三角板和直尺搭建模型，觀察并測量角度，驗(yàn)證兩平面垂直的判定定理。

5.歸納總結(jié)（5分鐘）

-教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)知識，梳理判定定理的運(yùn)用方法。

-學(xué)生總結(jié)自己的學(xué)習(xí)收獲，提出仍存在的疑問。

（三）課后鞏固（15分鐘）

1.作業(yè)布置：布置與平面與平面垂直相關(guān)的習(xí)題，要求學(xué)生獨(dú)立完成。

2.反饋與評價(jià)：教師收集學(xué)生作業(yè)，及時(shí)給予評價(jià)和反饋，針對共性問題進(jìn)行講解。

3.自主學(xué)習(xí)：鼓勵學(xué)生利用在線資源和教具，進(jìn)行自主探究，提高空間想象和創(chuàng)新能力。教學(xué)資源拓展1.拓展資源

-推薦閱讀：《幾何原本》中關(guān)于平面與平面垂直的相關(guān)章節(jié)，了解幾何學(xué)基本原理的起源和發(fā)展。

-實(shí)踐活動：鼓勵學(xué)生參觀建筑工地或博物館，觀察建筑結(jié)構(gòu)中的垂直關(guān)系，感受幾何學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。

-視頻資料：查找并觀看有關(guān)立體幾何的教學(xué)視頻，如空間幾何基礎(chǔ)、平面與平面垂直的判定等，加深對知識點(diǎn)的理解。

-研究性學(xué)習(xí)：引導(dǎo)學(xué)生查找有關(guān)立體幾何在工程、藝術(shù)等領(lǐng)域中的應(yīng)用，了解幾何學(xué)的實(shí)際價(jià)值。

2.拓展建議

-鼓勵學(xué)生在課后進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，深入研究立體幾何的相關(guān)知識，如空間向量、坐標(biāo)表示等，提高幾何素養(yǎng)。

-組織學(xué)生開展小組合作，共同探討生活中的立體幾何問題，將理論知識應(yīng)用于實(shí)際情境。

-建議學(xué)生利用課余時(shí)間，通過制作幾何模型、繪制立體圖形等方式，提高空間想象力和創(chuàng)新能力。

-鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽、科技活動等，將所學(xué)知識與其他學(xué)科相結(jié)合，培養(yǎng)跨學(xué)科的綜合素養(yǎng)。課堂1.課堂評價(jià)

-提問：在教學(xué)過程中，教師應(yīng)設(shè)計(jì)不同難度的問題，通過個(gè)別提問、集體回答等方式，了解學(xué)生對平面與平面垂直定義、判定定理的理解程度，以及他們能否將理論知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題。

-觀察：教師應(yīng)密切觀察學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，包括他們的參與度、合作交流情況、動手操作能力等，以此評估學(xué)生對空間幾何知識的掌握和空間想象力的培養(yǎng)情況。

-測試：通過隨堂小測驗(yàn)或課堂作業(yè)，檢測學(xué)生對本節(jié)課知識點(diǎn)的掌握情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決學(xué)生在理解上的誤區(qū)和盲點(diǎn)。

-反饋：根據(jù)學(xué)生的回答和測試結(jié)果，教師應(yīng)及時(shí)給予反饋，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和不足，指導(dǎo)他們?nèi)绾胃倪M(jìn)學(xué)習(xí)方法。

2.作業(yè)評價(jià)

-批改：教師應(yīng)認(rèn)真批改學(xué)生的作業(yè)，不僅關(guān)注答案的正確性，還要關(guān)注解題過程、思維邏輯和表達(dá)清晰度。

-點(diǎn)評：對學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行詳細(xì)點(diǎn)評，指出解題過程中的亮點(diǎn)和錯誤，為學(xué)生提供具體的改進(jìn)建議。

-反饋：及時(shí)將作業(yè)評價(jià)結(jié)果反饋給學(xué)生，鼓勵他們在下一次作業(yè)中取得進(jìn)步，同時(shí)對表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生給予表揚(yáng)，增強(qiáng)他們的自信心。

-進(jìn)步鼓勵：對于進(jìn)步空間較大的學(xué)生，教師應(yīng)給予更多的關(guān)注和鼓勵，幫助他們建立學(xué)習(xí)幾何的信心，提高學(xué)習(xí)積極性。板書設(shè)計(jì)1.標(biāo)題：平面與平面垂直的判定

-左側(cè)：定義與定理

-平面與平面垂直的定義

-平面與平面垂直的判定定理

-右側(cè)：應(yīng)用與例題

-典型例題及解題步驟

-實(shí)際案例解析

2.中間區(qū)域：圖示與模型

-空間圖形示意（含教具模型圖）

-判定定理的圖解說明

3.板書結(jié)構(gòu)：

-頂部：引入與背景

-生活實(shí)例引出垂直概念

-主體部分：分塊展示

-定義、定理、例題清晰劃分

-底部：總結(jié)與作業(yè)

-本節(jié)課重點(diǎn)知識總結(jié)

-布置相關(guān)作業(yè)練習(xí)

4.設(shè)計(jì)特點(diǎn)：

-目的明確：板書圍繞平面與平面垂直的核心知識點(diǎn)展開，幫助學(xué)生構(gòu)建知識框架。

-結(jié)構(gòu)清晰：內(nèi)容分塊明確，邏輯層次分明，便于學(xué)生理解和記憶。

-簡潔明了：關(guān)鍵詞、關(guān)鍵步驟用不同顏色粉筆標(biāo)注，突出重點(diǎn)，一目了然。

-準(zhǔn)確精煉：用簡練的文字和圖形表達(dá)復(fù)雜的概念，概括性強(qiáng)，易于學(xué)生接受。

-藝術(shù)性與趣味性：適當(dāng)使用幾何圖形、色彩對比，使板書更具視覺吸引力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。重點(diǎn)題型整理-題目：給定平面α和平面β，已知平面α的法線l垂直于平面β，證明平面α垂直于平面β。

-解答：根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，如果兩個(gè)平面的法線相互垂直，則這兩個(gè)平面垂直。由于l是平面α的法線，且垂直于平面β，根據(jù)判定定理，可以得出平面α垂直于平面β。

-補(bǔ)充說明：此題考查學(xué)生對判定定理的理解和應(yīng)用，通過證明過程，學(xué)生需要明確法線與平面的關(guān)系，以及判定定理的條件和結(jié)論。

2.題型二：求解平面垂直條件

-題目：已知平面α和平面β的方程，求證兩平面垂直的條件。

-解答：設(shè)平面α的方程為Ax+By+Cz+D1=0，平面β的方程為A1x+B1y+C1z+D2=0。兩平面垂直的條件是它們的法向量垂直，即兩平面的系數(shù)向量的點(diǎn)積為0，即A*A1+B*B1+C*C1=0。

-補(bǔ)充說明：此題考查學(xué)生對平面方程的理解，通過求解垂直條件，學(xué)生需要掌握平面方程的一般形式，以及法向量的概念。

3.題型三：應(yīng)用判定定理解決實(shí)際問題

-題目：一個(gè)正方體放置在水平地面上，求證正方體底面與地面垂直。

-解答：由于正方體底面是一個(gè)平面，地面也是一個(gè)平面，且正方體底面與地面相交成直角，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理，可以得出正方體底面與地面垂直。

-補(bǔ)充說明：此題考查學(xué)生對判定定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，通過分析正方體與地面的相對位置，學(xué)生需要明確判定定理的條件，并能夠?qū)?shí)際問題抽象為幾何模型。

4.題型四：證明線段垂直于平面

-題目：已知線段AB垂直于平面α，點(diǎn)C在平面α上，證明線段AC垂直于平面α。

-解答：由于線段AB垂直于平面α，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)，線段AB所在的直線與平面α垂直。點(diǎn)C在平面α上，因此線段AC所在的直線與平面α垂直，根據(jù)判定定理，可以得出線段AC垂直于平面α。

-補(bǔ)充說明：此題考查學(xué)生對判定定理的理解，以及如何將線段與平面的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段所在的直線與平面的垂直關(guān)系。

5.題型五：應(yīng)用判定定理解決空間幾何問題

-題目：已知空間四邊形ABCD，AB垂直于平面BCD，CD垂直于平面ABD，求證四邊形ABCD是一個(gè)矩形。

-解答：由于AB垂直于平面BCD，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)，AB垂直于BC和BD。同理，CD垂直于平面ABD，因此CD垂直于AB和AD。根據(jù)矩形定義，如果一個(gè)四邊形的對邊相互垂直，則這個(gè)四邊形是一個(gè)矩形。因此，四邊形ABCD是一個(gè)矩形。

-補(bǔ)充說明：此題考查學(xué)生對判定定理在空間幾何中的應(yīng)用，通過分析四邊形的對邊關(guān)系，學(xué)生需要明確判定定理的條件，并能夠?qū)⒖臻g幾何問題抽象為幾何模型。教學(xué)反思在完成這節(jié)課的教學(xué)后，我對教學(xué)效果進(jìn)行了反思。首先，我注意到學(xué)生對平面與平面垂直的定義和判定定理的理解還存在一些困難。在課堂討論和作業(yè)批改中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對這些概念的理解不夠深入，無法準(zhǔn)確運(yùn)用到實(shí)際問題中。為了幫助學(xué)生更好地理解這些概念，我計(jì)劃在下節(jié)課中通過更多的實(shí)例和練習(xí)來加深他們的理解。

其次，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在空間想象能力方面還有待提高。在課堂活動和作業(yè)中，有些學(xué)生難以在腦海中構(gòu)建出清晰的空間模型，特別是在處理復(fù)雜的立體圖形時(shí)。為了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，我計(jì)劃在下節(jié)課中增加一些空間模型制作和三維圖形繪制的活動，讓學(xué)生通過親自動手來提高他們的空間想象能力。

另外，我也