2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語1.1命題學(xué)案含解析北師大版選修2-11

PAGE第一章常用邏輯用語本章學(xué)問要覽本章主要講解并描述常用邏輯的基本學(xué)問，包括命題、充分條件和必要條件、全稱量詞與存在量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”等一些基礎(chǔ)學(xué)問．邏輯是探討思維形式及其規(guī)律的一門基礎(chǔ)學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)須要全面地理解概念，正確地表述概念和結(jié)論，進(jìn)行推理和論證都要運(yùn)用邏輯用語，這就離不開對(duì)邏輯學(xué)問的駕馭和運(yùn)用．學(xué)習(xí)一些邏輯用語，可以使我們正確理解數(shù)學(xué)概念，合理論證數(shù)學(xué)結(jié)論，精確表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容．本章的重點(diǎn)學(xué)問：充分條件與必要條件的推斷，全稱量詞和全稱命題、存在量詞和特稱命題，含有量詞的命題的否定，邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”的應(yīng)用．本章的難點(diǎn)學(xué)問：充分條件與必要條件的應(yīng)用，對(duì)一些代數(shù)命題真假的推斷，含有量詞的命題的否定等．本章的易錯(cuò)學(xué)問：復(fù)合命題的真假推斷，充分條件與必要條件的推斷，否命題與命題的否定的關(guān)系．1．留意和初中及中學(xué)已學(xué)過的學(xué)問相連接，形成良好的學(xué)問體系，在此基礎(chǔ)上再依據(jù)本章學(xué)問特點(diǎn)，較快地汲取新的學(xué)問，形成新的學(xué)問結(jié)構(gòu)．2．反復(fù)推敲思索本章各學(xué)問點(diǎn)的含義和各種表示方法，對(duì)簡單混淆的學(xué)問點(diǎn)細(xì)致辨識(shí)、區(qū)分，達(dá)到嫻熟駕馭，逐步建立和邏輯學(xué)問結(jié)構(gòu)相適應(yīng)的理論體系和思索方法．3．通過本章的學(xué)習(xí)，要努力培育自己的視察、比較、抽象、概括實(shí)力，提高精確表述數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題的意識(shí)和實(shí)力，培育科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)看法．§1命題學(xué)問點(diǎn)一命題的概念[填一填](1)可以推斷真假、用文字或符號(hào)表述的語句叫作命題．(2)命題“2∈N”，“eq\r(2)∈N”可以推斷真假，命題“2∈N”是正確的，是真的，叫作真命題．命題“eq\r(2)∈N”是錯(cuò)誤的，是假的，叫作假命題．(3)通常把命題表示為“若p，則q”的形式，其中p是條件，q是結(jié)論．[答一答]1．是不是全部語句都能推斷真假？全部命題都可改寫成“若p，則q”的形式？提示：不是．如π是無理數(shù)嗎？(未涉及真假)；x>1(不能推斷真假)，所以并不是全部語句都能推斷真假．全部命題都可改寫成“若p，則q”的形式，真命題是p成立，則q肯定成立，而假命題是p和q相沖突，或p成立，而q不肯定成立．2．如何說明一個(gè)命題是假命題？提示：明顯違反定理、定義、概念或事實(shí)的命題是假命題，或者能夠舉出符合命題的條件p，而不符合命題的結(jié)論q的特別例子(反例)的，也是假命題．學(xué)問點(diǎn)二四種命題[填一填](1)假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆命題，其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)命題就叫作原命題的逆命題．(2)假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題叫作互為否命題，其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)命題就叫作原命題的否命題．(3)假如一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題叫作互為逆否命題，其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)命題叫作原命題的逆否命題．(4)四種命題間的相互關(guān)系如圖所示[答一答]互為逆命題的兩個(gè)命題的真假狀況，互為否命題的兩個(gè)命題的真假狀況，以及互為逆否命題的兩個(gè)命題的真假狀況是否一樣？提示：四種命題：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假假假假假真真假因此：兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題互逆或互否，它們的真假性沒有關(guān)系．1．“用文字或符號(hào)表述的語句”的含義是：用文字語言敘述、數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)關(guān)系式(如方程、不等式、函數(shù)關(guān)系式)等表述的語句．如“若x2＋y2＝0(x∈R，y∈R)，則x＝0，y＝0”就是一命題．2．如：x2－1＝0，x>2，上述語句中含有變量x，在沒有給定變量的值之前，是無法確定其真假的．像這種含有變量的語句，叫開語句．開語句不是命題．3．要推斷一個(gè)語句是不是命題，還要看它是否符合“可以推斷真假”這個(gè)條件．例如，a：“12>5”；b：“3是12的約數(shù)”；c：“0.5是整數(shù)”都是命題，其中a，b是真的，叫作真命題；c是假的，叫作假命題．又如，d：“這是一棵大樹”；e：“x<2”．由于“大樹”沒有界定，就不能推斷“這是一棵大樹”的真假；由于x是未知數(shù)，也不能推斷“x<2”是否成立．故d，e都不是命題．4．?dāng)?shù)學(xué)中有一些命題雖然表面上不是“若p則q”的形式，但是把它的表述作適當(dāng)變更，也可以寫成“若p，則q”的形式．5．在把命題改寫成“若p，則q”的形式時(shí)，應(yīng)分清命題的條件和結(jié)論分別是什么，然后將條件寫在前，結(jié)論寫在后即可．留意命題形式的變更并不變更命題的真假．6．將含有大前提的命題改寫成“若p，則q”的形式時(shí)，大前提仍要作為大前提，不能寫在條件中．7．學(xué)習(xí)四種命題時(shí)，原命題與它的逆否命題等價(jià)，否命題與逆命題等價(jià)，兩個(gè)等價(jià)命題具有相同的真假性．8．在同一個(gè)命題的四種命題中，真命題的個(gè)數(shù)要么是0個(gè)，要么是2個(gè)，要么是4個(gè)．9．四種命題之間的關(guān)系，還供應(yīng)了一個(gè)推斷命題真假的方法，由于互為逆否命題的兩個(gè)命題是等價(jià)命題，它們同真假，所以當(dāng)一個(gè)命題不易推斷真假時(shí)，可以通過推斷其逆否命題的真假來推斷原命題的真假．類型一命題的概念與命題真假的推斷【例1】推斷下列語句哪些是命題．若是命題，則推斷其真假．(1)地球是太陽系的一顆行星．(2)0?N.(3)空集是任何非空集合的子集．(4)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？(5)求|x＋a|.(6)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)．(7)求證：eq\r(2)為無理數(shù)．【思路探究】(4)(5)(7)不是陳述句，故肯定不是命題；其他都是陳述句，且都能推斷其真假，故都是命題．【解】(1)是命題，且為真命題．(2)是命題，且為假命題．(3)是命題，且為真命題．(4)是疑問句，不是命題．(5)是祈使句，不是命題．(6)是命題，且為假命題．(7)是祈使句，不是命題．規(guī)律方法依據(jù)命題的定義，推斷一個(gè)語句是否為命題，一要看其是否為陳述句，二要看其是否能推斷真假，兩者缺一不行．(1)“紅豆生南國，春來發(fā)幾枝？愿君多采擷，此物最相思．”這是唐代詩人王維的詩《相思》，在這四句詩中，可以作為命題的是(A)A．紅豆生南國 B．春來發(fā)幾枝C．愿君多采擷 D．此物最相思(2)已知下列三個(gè)命題：①若一個(gè)球的半徑縮小到原來的eq\f(1,2)，則其體積縮小到原來的eq\f(1,8)；②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；③直線x＋y＋1＝0與圓x2＋y2＝eq\f(1,2)相切．其中真命題的序號(hào)為(C)A．①②③ B．①②C．①③ D．②③解析：(1)“紅豆生南國”是陳述句，所述事務(wù)在唐代是事實(shí)，所以本句是命題，且是真命題；“春來發(fā)幾枝”是疑問句，“愿君多采擷”是祈使句，“此物最相思”是感嘆句，都不能推斷真假，不是命題，故選A.(2)對(duì)于命題①，設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))3＝eq\f(1,8)·eq\f(4,3)πR3，故體積縮小到原來的eq\f(1,8)，命題正確；對(duì)于命題②，若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差不肯定相同，例如數(shù)據(jù)：1,3,5和3,3,3的平均數(shù)相同，但標(biāo)準(zhǔn)差不同，命題不正確；對(duì)于命題③，圓x2＋y2＝eq\f(1,2)的圓心(0,0)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，等于圓的半徑，所以直線與圓相切，命題正確．類型二四種命題的關(guān)系【例2】分別寫出下列命題的逆命題、否命題及逆否命題，并推斷這四個(gè)命題的真假．(1)若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0，則這個(gè)整數(shù)能被5整除；(2)若k>0，則方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0必有兩個(gè)相異實(shí)根；(3)四條邊相等的四邊形是菱形．【思路探究】eq\x(\a\al(找出原命題的,條件和結(jié)論))→eq\x(\a\al(依據(jù)定義寫出,另外三種命題))→eq\x(\a\al(推斷,真假))【解】(1)逆命題：若一個(gè)整數(shù)能被5整除，則這個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0；否命題：若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字不是0，則這個(gè)整數(shù)不能被5整除；逆否命題：若一個(gè)整數(shù)不能被5整除，則這個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字不是0.逆命題和否命題是假命題，原命題和逆否命題是真命題．(2)逆命題：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有兩個(gè)相異實(shí)根，則k>0.否命題：若k≤0，則方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0沒有兩個(gè)相異實(shí)根．逆否命題：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0沒有兩個(gè)相異實(shí)根，則k≤0.原命題和逆否命題是真命題，逆命題和否命題是假命題．(3)原命題可以改寫成：若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是菱形．逆命題：若一個(gè)四邊形是菱形，則它的四條邊相等；否命題：若一個(gè)四邊形的四條邊不全相等，則它不是菱形；逆否命題：若一個(gè)四邊形不是菱形，則它的四條邊不全相等．原命題和逆否命題是假命題，逆命題和否命題是真命題．規(guī)律方法依據(jù)原命題寫出其他命題的方法：要寫出一個(gè)“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題、逆否命題，只須要依據(jù)定義把命題的條件和結(jié)論進(jìn)行交換即可得逆命題，把條件和結(jié)論同時(shí)否定即可得否命題，把條件和結(jié)論互換后同時(shí)否定即可得逆否命題．寫其他命題時(shí)須要留意以下幾點(diǎn)：(1)對(duì)于不是“若p，則q”形式的命題，要寫出其他三種命題，應(yīng)先把命題改寫成“若p，則q”的形式，以分清原命題的條件和結(jié)論．(2)當(dāng)一個(gè)命題有大前提時(shí)，寫其他三種命題時(shí)必需保留大前提，也就是大前提始終不動(dòng)．(3)對(duì)于由多個(gè)并列條件組成的命題，在寫其他三種命題時(shí)，應(yīng)把其中一個(gè)(或幾個(gè))作為大前提．分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并推斷其真假．(1)若x2＋y2＝0，則x，y全為零；(2)已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若a＝b，則ac＝bc.解：(1)逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，真命題．否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，真命題．逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0，真命題．(2)逆命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ac＝bc，則a＝b，假命題．否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若a≠b，則ac≠bc，假命題．逆否命題：已知a，b，c為實(shí)數(shù)，若ac≠bc，則a≠b，真命題．類型三逆否命題的應(yīng)用【例3】推斷命題“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，則a≥1”的逆否命題的真假．【思路探究】本題可干脆寫出其逆否命題并推斷其真假，也可干脆推斷原命題的真假來推斷其逆否命題的真假．【解】解法1：其逆否命題為：已知a，x為實(shí)數(shù)，假如a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集．推斷如下：拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的開口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因?yàn)閍<1，所以4a－7<0，即Δ<0.所以拋物線y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無交點(diǎn)，所以關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集，故逆否命題為真命題．解法2：先推斷原命題的真假．因?yàn)閍，x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4).因?yàn)閑q\f(7,4)>1，所以a≥1.所以原命題為真命題．又因?yàn)樵}與其逆否命題真假相同，所以逆否命題為真命題．規(guī)律方法由于互為逆否命題的兩個(gè)命題有相同的真假性，當(dāng)一個(gè)命題的真假不易推斷時(shí)，可以通過推斷其逆否命題真假的方法來推斷該命題的真假．推斷命題“若a>0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根”的逆否命題的真假．解：解法1：原命題：若a>0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根．逆否命題：若x2＋x－a＝0無實(shí)根，則a≤0.∵x2＋x－a＝0無實(shí)根，∴Δ＝1＋4a<0，即a<－eq\f(1,4)，∴“若x2＋x－a＝0無實(shí)根，則a≤0”為真命題．解法2：∵a>0，∴方程x2＋x－a＝0的根的判別式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有實(shí)根，∴原命題“若a>0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根”為真命題．∵原命題與其逆否命題等價(jià)，∴“若a>0，則x2＋x－a＝0有實(shí)根”的逆否命題為真命題．類型四由命題的真假確定參數(shù)的取值范圍【例4】已知p：5x－1>a，q：x>1，試確定實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得：(1)“若p，則q”為真命題；(2)“若q，則p”為真命題．【思路探究】eq\x(由p，q建立不等式)→eq\x(\a\al(解不等式確定,a的取值范圍))【解】(1)“若p，則q”即“若x>eq\f(1＋a,5)，則x>1”，由命題為真命題可知eq\f(1＋a,5)≥1，解得a≥4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[4，＋∞)．(2)“若q，則p”即“若x>1，則x>eq\f(1＋a,5)”，由命題為真命題可知eq\f(1＋a,5)≤1，解得a≤4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，4]．規(guī)律方法已知命題的真假求參數(shù)的解題思路：利用命題的真假求參數(shù)取值范圍的題目常與不等式相結(jié)合．(1)命題“若p，則q”為真命題，即由p可以推出q，依據(jù)題意建立相應(yīng)的不等式或方程求解．若命題是假命題，則命題的“對(duì)立面”就是真命題，命題與其“對(duì)立面”的關(guān)系是“交集為空集，并集為全集”．(2)涉及兩個(gè)命題的題目往往是先假設(shè)命題甲和乙都是真命題，求出參數(shù)的取值范圍．若為假命題，則參數(shù)的取值范圍就是設(shè)之為真命題時(shí)的補(bǔ)集．若題中命題甲、乙一真一假，則需分類探討：甲真乙假、甲假乙真，分別求出參數(shù)的取值范圍，最終取并集．已知命題：若x2＋3x＋2<0，則－2<x<m.若其逆命題是真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：逆命題：若－2<x<m，則x2＋3x＋2<0.解不等式x2＋3x＋2<0，得－2<x<－1，所以－2<m≤－1，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2，－1].——數(shù)學(xué)思想——分類探討數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用“命題一真一假”是?？碱}型，應(yīng)引起重視，其解決方法是分兩種狀況探討：一種是p真且q假，另一種是p假且q真．然后求兩部分的并集．【例5】設(shè)有兩個(gè)命題p：|x|＋|x＋1|≥m的解集為R，q：函數(shù)f(x)＝－(7－3m)x是減函數(shù)，若這兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【思路分析】先把命題p和命題q的m的范圍解出來．再分狀況探討．【解】若命題p為真，則可得m≤1；若命題q為真，則7－3m>1，即m<2.∵命題p和q中有且只有一個(gè)為真命題有兩種狀況：①p真，q假；②p假，q真．由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m≥2，))∴m∈?，由②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1，,m<2，))∴1<m<2.故m的取值范圍為{m|1<m<2}．P：對(duì)隨意實(shí)數(shù)x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0有實(shí)數(shù)根，假如P與Q中有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：P真：a＝0時(shí)明顯成立；a≠0時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a2－4a<0))?0<a<4，所以0≤a<4；Q真：Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤eq\f(1,4).因?yàn)镻與Q中有且僅有一個(gè)為真命題，因此P真Q假或P假Q(mào)真，當(dāng)P真Q假時(shí)，eq\f(1,4)<a<4；當(dāng)P假Q(mào)真時(shí)：a<0.所以a的取值范圍是{a|a<0或eq\f(1,4)<a<4}．1．下列語句不是命題的有(C)①x2－3＝0；②與一條直線相交的兩直線平行嗎？③3＋1＝5；④5x－3>6.A．①③④ B．①②③C．①②④ D．②③④解析：命題是能夠推斷真假的語句．①②④不能推斷真假，故①②④不是命題．2．有下列四個(gè)命題，其中