《小學(xué)奧數(shù)幾何常用方法》共23講

《小學(xué)奧數(shù)幾何專題常用方法》目錄

（適合5、6年級(jí)）

第一講：長(zhǎng)度與角度綜合

第二講：等積變形（上）

第三講：等積變形（下）

第四講：復(fù)合圖形的分拆

第五講：復(fù)合圖形的分

第六講：格點(diǎn)與割補(bǔ)

第七講：共邊模型

第八講：共角模型之鳥頭定理

第九講：共角模型

第十講：蝴蝶模型（上）

第十一講：蝴蝶模型（下）

第十二講：新概念幾何（上）

第十三周：新概念幾何（下）

第十四講：幾何圖形的認(rèn)知

第十五講：長(zhǎng)度與角度的計(jì)算

第十六講：巧求周長(zhǎng)

第十七講：曲線型面積進(jìn)階

第十八講：曲線型面積

第十九講：三角形的認(rèn)識(shí)

第二十講：三角形的認(rèn)知技巧提高

第二十一講：四邊形中的基本圖形（上）

第二十二講：四邊形中的基本圖形（下）

第二十三講：弦圖（上）

第二十四講：弦圖（下）

第一講：長(zhǎng)度與角度綜合

【課前熱身】

角的分類

一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這條射線

⑴周角

回到它的原來的位置時(shí)，就形成了一個(gè)周角。

一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到和原

⑵平角

來位置成為一條直線，這時(shí)所成的角，叫做平角。

⑶直角等于平角一半的角，叫做直角。

一個(gè)比平角小又比直角大的角叫做鈍角，鈍角的度數(shù)

⑷鈍角

大于90°,小于180°□

⑸銳角小于直角的角叫做銳角，銳角小于90°o

把一個(gè)角的兩邊分別向相反方向延長(zhǎng)，這兩條延長(zhǎng)線

⑹對(duì)頂角所夾的角，叫做原角的對(duì)頂角。

（第三屆小學(xué)“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽四年級(jí)第1試）

直線AB、CD相交，若/I、/2和/3的關(guān)系如圖所示。則/3—/1=

A

如圖A8CDJ為正五邊形，OEFGHJ為正六邊形，試求/A/H的度數(shù)。

海海家有一個(gè)花壇，如圖。海海從A點(diǎn)出發(fā)，逆時(shí)針繞花壇一周回到A點(diǎn)，那么海

海在行走過程中共轉(zhuǎn)了多少度？

古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠(yuǎn),1

（千里專程前來向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問題：如圖，將軍從甲地出發(fā)到河邊?

飲馬，然后再到乙地軍營(yíng)視察，顯然有許多走法。問走什么樣的路線最短呢？

甲地

乙地

河流

如圖，4B兩個(gè)電話機(jī)到電話線I的距離分別為3米和5米,

上一點(diǎn)分別向A、8連電話線，最短為o

本講總結(jié)

1”邊彩內(nèi)角和=5-2)X18O-o

2一多邊彩外角和=360?。

3一勾股定理：

直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊

的平方。

4一將軍飲馬：

兩看間直線距離最揍。

第二講：等積變形(上)

本講

5(

(★★)

⑴圖中每個(gè)小正方形面積都是1平方厘米，那么下面的三角形面積各是多少？

(★★★)

正方形ABC。和正方形CEPG,且正方形ABC。邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積

為多少平方厘米？

、例4

(★★★)

下圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的,小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求三角形48c的"

1面積。

1

1”!

1D

11

______________________.

==_==

■■……、

和(★★★★)

|如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)。、G、K恰好在同一條直線上，其中正方形GPEB的"

邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影部分的面積oII

?

?，1

F———————

^(★★★)

在平行四邊形ABC。中，直線CT交A8于E,交D4延長(zhǎng)線于尸，若SAADE=1，

M求△BE尸的面積。

(★★★★)

如圖，A8C。為平行四邊形，E尸平行AC,如果△ADE的面積為4平方厘米。

"求三角形C￡甲的面積。

II

【本講總結(jié)】

常見結(jié)論：

⑴等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。

⑵若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形

的底是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三

角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

⑶若兩個(gè)三角形的底相茅，其中一個(gè)三角形

的高是另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三

角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

【甘別注意】

當(dāng)三角形的面積變化時(shí),

它的底和南之中至少有

一個(gè)要發(fā)生變化。

2.當(dāng)三角形的底而南同時(shí)

發(fā)生變化時(shí)，三角形的

面積不一定變化。

3.一個(gè)三角形在面積不改

變的情況下，可以有無

數(shù)多個(gè)不同的形狀。

O常用技巧C7

⑴夾在一組平行線之間的等積變形，如下圖，AACL）和ABC。夾在一組平行線之間，且有公共

底邊CD,反之，如果SAACD=SAB8,且A、8在CO同側(cè)，則可知直線AB平行于C。。

⑵平行線藏在哪里？

——并列正方形的同方向?qū)蔷€

【先睹為快】

■■■■

(★★★★)

如圖，已知三角形ABC面積為1,延長(zhǎng)AB至。，使BZ)=A&延長(zhǎng)BC至E,使

CE=BC；延長(zhǎng)C4至尸，使A尸=2AC,求三角形。EF的面積。

第三講：等積變形(下)

結(jié)論㈡:

⑴若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另

一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另

一個(gè)三角形面積的幾倍。

⑵若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另

一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另

一個(gè)三角形面積的幾倍。

(!)(★★)

如圖，三角形ABC的面積是24,D、E和歹分別是BC、AC和的中點(diǎn)。求：三

角形。EF的面積。

如圖，在長(zhǎng)方形A8CD中，y是8。的中點(diǎn)，Z是。Y的中,點(diǎn)，如果48=24厘米,

8C=8厘米，求三角形ZCY的面積。

UF)

II

"A

l______________________________________________________________________________________

如圖，已知三角形ABC面積為1,延長(zhǎng)至。，使BZ)=A&延長(zhǎng)8c至E,使n

CE=BC；延長(zhǎng)CA至R使A尸=2AC,求三角形。跖的面積。

■■

e

(★★★★)

如圖，梯形ABC。被它的一條對(duì)角線BD分成了兩部分。三角形的面積比三角"

形A3。的面積大10平方分米。已知梯形的上底與下底的長(zhǎng)度之和是15分米，它們

的差是5分米。求梯形ABC。的面積。

A

(★★★★★)

如圖，。是三角形A3C一邊上的中點(diǎn)，兩個(gè)長(zhǎng)方形分別以5、。為頂點(diǎn)，并且有一個(gè)公

共頂點(diǎn)E,已知兩塊陰影部分的面積分別是100和120,則三角形石的面積是多少？

14

U大海點(diǎn)、晴13

一、重袈結(jié)論

1.結(jié)論㈠：等底等高的兩個(gè)三角形面積相等

結(jié)論㈠拓展：夾在平行線間的一組同底三角形面積相等

如下圖，△/CD和△6CD夾在一組平行線之間，且

有公共底邊CD,那么￡MCO=S/\BCZ>

2.結(jié)論㈡：

⑴若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是

另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也

是另一個(gè)三角形面積的幾倍。

⑵若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是

另一個(gè)三角形的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也

是另一個(gè)三角形面積的幾倍

二、技巧方法

1.平行線的來源：

⑴平行四邊形（包括長(zhǎng)方形和正方形）和梯形

⑵并排擺放的正方形的同方向?qū)蔷€

2.已知做底邊，等高優(yōu)先找

3.差的處理方式：

⑴差不變?cè)?/p>

⑵差值具體化

第四講：復(fù)合圖形的分拆

知識(shí)要點(diǎn)屋

（一半模型

鳥頭模型

梯形蝴蝶定理

【燕尾模型

i.一半模型

=-S*方筋Si+$3=S2+S4長(zhǎng)才給

乙

2.鳥頭模型

兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形

叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角

（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比

S-^,ABC*S^tDt-=(ABXAO:(ADXAE)

3.梯形蝴蝶定理

①$2=$4

②Si:S3：St：S4：S黑形ABCD=a2*b2-ab?ab*(a4-ft)2

③梯形面積的對(duì)應(yīng)份數(shù)是俗+。)2

4.燕尾模型:

A

S^ABG:Sj/GC—S^BCE-=BE:EC

S..BGA?S.BGC^S/IAGF:SAFGC=/尸：FC

S:SdBCG=>SziiM；:Sam。=ADDB

(★★)

圖中的大正方形ABCD的面積是18平方厘米，灰色正方形MNPQ的邊MN在對(duì)角

線8。上，頂點(diǎn)尸在邊BC上，。在邊C。上。問灰色正方形MNP。的面積是多少

平方厘米？

D

(★★★)

在四邊形ABC。中，線段BC長(zhǎng)為6厘米，角ABC為直角，角BCD為135：而且

點(diǎn)A到邊C。的垂線AE的長(zhǎng)為12厘米，線段即的長(zhǎng)為5厘米，四邊形ABC。的

面積為多少平方厘米？

17

(★★★)(2007年第5屆走美杯6年級(jí)決賽)

如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6,AE=1.5,CF=2。長(zhǎng)方形EFGH的面積為

/[(★★★)(2007年第12屆華杯賽五年級(jí)初賽)

如圖，已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)是12厘米，E是CQ邊上的中點(diǎn)，連接對(duì)角線AC,

n交BE于點(diǎn)O,則三角形A0B的面積是(

■

e

(★★★★)

直角三角形A5C的三邊長(zhǎng)分別為AC=30分米，A8=18分米，BC=24分米，ED垂

(★★★★)

已知△Z)EF的面積為7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,

積。

J

知識(shí)怠結(jié)樹

一半模型：找與長(zhǎng)方形等底等高的三角形

鳥頭模型：找共角

梯形蝴蝶定理：找比例

，燕尾模型：找三角形內(nèi)的分點(diǎn)

第五講：復(fù)合圖形的分

【內(nèi)容提要】

基本圖形—三角形，正方形，長(zhǎng)方形，梯形，圓形，

扇形……

復(fù)合圖形f由基本圖形組成的圖形

復(fù)合圖形的拆分f把圖形拆成基本圖形f怎么拆？

加輔助線!

幾種復(fù)合圖形的拆分

1.一半面積模型

s陰影長(zhǎng)方形S+S3=S2+S4=S長(zhǎng)方形

2.鳥頭模型

S^ABC:SAADE=(ABXAC):(ADXAE)

即：面積比=共角兩夾邊的乘積比

3.梯形蝴蝶定理

①Sz=84

②S：S3：S2：S4：S^ABCD=a2：b2：ab：ab：(?+Z?)2

4.圖形的分割

J'雙基鞏固

一半模型

,■■■■■■■■

/(★★★)0

如圖，有一個(gè)長(zhǎng)6cm,寬4cm的長(zhǎng)方形ABC。。在各邊上取點(diǎn)E,F,G,H,再連,,

結(jié)H,F的線上取點(diǎn)P,與點(diǎn)E和點(diǎn)G相連。當(dāng)四邊形AEP”的面積是5cm2時(shí)，求

四邊形尸F(xiàn)CG的面積。

,--------

(★★★★)

連結(jié)任意四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，求四邊形EFGH的面積是四邊形ABCD的幾

分之幾?

看例1一例2小絢

一半模型通常在四邊形(尤其是平行四邊形中)

沒有四邊形i構(gòu)造四邊形

4----、

(★★★★)e

如圖，已知三角形ABC面積為1,延長(zhǎng)至。，使BD=AB；延長(zhǎng)5C至￡,使CE11

=2BC；延長(zhǎng)CA至尸，^AF=3AC,求三角形。EF的面用

F、1

II

1。

，__________________________

(★★★★)\!

如圖，已知四邊形ABC。中，E、M是AO的三等分點(diǎn)，N、尸是5C的三等分點(diǎn),

連結(jié)EN、MF,四邊形EN廠M的面積是四邊形ABCD的面積為幾分之幾？

圖形分割

11(★★★★)\1

在右圖的長(zhǎng)方形ABCD中AE=EF

BABC。面積的幾分之幾？

學(xué)而時(shí)習(xí)之

復(fù)合圖形的拆分：

拆分成若干個(gè)常見的基本圖形

分割的原則：

幾何幾大模型(鳥頭，燕尾，蝴蝶，三角形等積變形)

尤其注意：

三角形的等積變形(一直是幾何中的重點(diǎn))

第六講：格點(diǎn)與割補(bǔ)

本耕地田

正方形格點(diǎn)三角形格點(diǎn)卜

常前熱身

什么是格點(diǎn)多邊形？

這是一張由水平線和垂直線組成的方格紙，我們把水平線和垂直線的交點(diǎn)稱為“格點(diǎn)”，水

格點(diǎn)多邊形：圖形的邊必須是直線段，頂點(diǎn)要在格點(diǎn)上。

(★★)e

下面那個(gè)圖形是格點(diǎn)多邊形?

畢克定理

若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn)，它的邊界上有乙個(gè)格點(diǎn)，則它的面積為S=N+L+2

-1O

(★★★)

圖中有21個(gè)點(diǎn),其中相鄰三點(diǎn)所形成的等邊三角形的面積為1,試計(jì)算四邊形的11

面積。

物(★★★)

■■

(★★★★)

如圖，三角形A3C和。所是兩個(gè)完全相同的等腰直角三角形,其中。尸長(zhǎng)9厘米,II

CF長(zhǎng)3厘米，那么陰影部分的面積是多少平方厘米?

*/(★★★★)

正六邊形ABC。燈的面積是6平方厘米。M是中點(diǎn)，N是中點(diǎn)，P是EF

?中點(diǎn)。問：三角形MVP的面積是多少平方厘米？

正方多早克定理

若一個(gè)格點(diǎn)多邊年內(nèi)在有N

它的邊界上有個(gè)格電,

22.三色形格點(diǎn)多造影的畢克定理：

則它的曲敘為S-N+L+2-1,如果用S*不毛枳，.V皋承田方內(nèi)

〃杳的格敏，2裊*由多用界上的

格?.敏，端么有S=(N+2+2-l)x2.

3.割補(bǔ)----化整為零

4.分割技巧——與邊平行

【先睹為快】

第七講：共邊模型

口、瞿說事兒】

「等積變形

共邊模型，一半模型

、燕尾模型

一、等積變彩

⑴直線AB平行于CD,可出現(xiàn)三對(duì)面積相等的三角形，如圖⑴

⑵兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比;

兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比;

二、一半模型

三、燕尾定理

（★★）

正方形48C。和正方形CEFG,且正方形4BC。邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘

米？

^^.（★★★）____________________________________________________________________

圖中的日尸、G分別是正方形A8CD三條邊的三等分點(diǎn)，H是任意點(diǎn)。如果正方形的邊長(zhǎng)是12,

那么陰影部分的面積是o

(★★★★)

（2008年仁華考題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為10,四邊形EFGH的面積為5,那么陰影部分的面積

是O

面積是..平方厘米。

.4B

EF

D

⑵(第三屆“華杯賽”初賽試題)一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面

積的15%,黃色三角形面積是21cHi2。問：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？

(★★★★)

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,AE=1.5,CF=2?長(zhǎng)方形EEGH的面積為.

(★★★★★)

如圖，已知8O=Z)C,EC=2AE,三角形48c的面積是30,求陰影部分面積。

在線測(cè)試題

1.如下圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長(zhǎng)分別為10厘米和12厘米。求陰影部分的面

積。

A.45cmzB.50cm2

C.60cm2D.48cm2

2.下圖是一個(gè)長(zhǎng)為8cm,寬為6cm的長(zhǎng)方形，其中區(qū)尸、G、H分別為AB、BC、CD、邊

上邊上的中點(diǎn)，求陰影部分的面積？

A.12cm2

C.14cm2

3.長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8cm2,AD=15cm2,四邊形的

面積為多少？

A.12cm2B.10cm2

C.15cm2D.18cm2

4.下圖是一個(gè)矩形，長(zhǎng)為10厘米，寬為5厘米，則陰影部分面積為多少平方厘米。

A.30cm2B.35cm2

C.25cm2D.20cm2

5.如圖，A2CD是梯形，ABFD是平行四邊形，所是正方形，AG/ff1是長(zhǎng)方形。又知

14厘米，2C=22厘米，那么，陰影部分的總面積是多少平方厘米？

A.45cm2B.50cm2

C.60cm2D.56cm2

6.如圖，AD=DE=EC,尸是2C中點(diǎn)，G是FC中點(diǎn)，如果三角形ABC的面積是24平方厘米,

則陰影部分是多少平方厘米。

A.14cm2B.13cm2

C.12cm2D.11cm2

第八講：共角模型之鳥頭定理

",=========））

知識(shí)要點(diǎn)屋

前）（★★）鳥頭模型推導(dǎo)________________________________________________________

如圖，△ABC中，AD：AB=2：3,AE：AC=4：5,求：△AOE的面積是△ABC面積的幾分之

幾？

-34

如圖，三角形ABC中，AB是的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形AOE的面積等于1,

那么三角形A8C的面積是多少？

^^(★★★)___________________________________________________________________

如圖，已知三角形ABC面積為1,延長(zhǎng)至。，使BO=A8；延長(zhǎng)BC至E,使CE=2BC；延

長(zhǎng)CA至尸，使AF=3AC,求三角形DEF的面積。

(★★★★)

已知，AC:AE=5：1,BC：CD=4：1,AB：BF=6：1,那么，LDEF的面積是△ABC的幾

分之幾？

把四邊形ABC。的各邊都延長(zhǎng)2倍，得到一個(gè)新的四邊形EFGM如果ABC。的面積是5平方

厘米，則EFGH的面積是多少？

知識(shí)總結(jié)樹

鳥頭模型（共角模型）

在線測(cè)試題

1.★★

如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面積

是甲部分面積的（）倍？

A.5B.6

C.1D.2

2.★★

如圖，三角形A3。中，AB是AD的4倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面積等于12,

那么三角形ABC的面積是多少？

A

A.120B.144

C.96D.156

3.★★★

如下圖，將三角形ABC的BA邊延長(zhǎng)1倍至I」D,CB的邊延長(zhǎng)2倍至ljE,AC邊延長(zhǎng)1倍至！JF。

如果三角形A3C的面積等于1,那么三角形。所的面積是多少？

A.10B.8

C.9D.11

4.★★★★

設(shè)AD=gAB,BE=；BC,FC=：AC,如果三角形DEF的面積為19平方厘米，那么三角形ABC

的面積是多少平方厘米？

A.46.7B.45.3

C.45.6D.46.5

5.★★★★★

如圖，把四邊形A3CO的各邊都延長(zhǎng)3倍，得到一個(gè)新四邊形由G”，如果A8CD的面積是6,

則EFGH的面積是（）?

A.130145

C.160150

第九講：共角模型

QJ翊收口

.點(diǎn)在邊上，一點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上

SaS￡_CD*CE

立BC^AC

1^7）★★（2008年四中考題）______________________________________________________

如右圖，AD=DB,AE=EF=FC,已知陰影部分面積為5平方厘米，△ABC的面積是

平方厘米。

★★★

⑴如圖在△A3C中，D、E分別是AB,AC上的點(diǎn)，且AD：48=2：5,AE：AC=4：7,AADE

的面積是16平方厘米，求△ABC的面積。

⑵如圖在△ABC中，。在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且A8：AO=5：2,AE：￡C=3：2,△

AOE的面積是12平方厘米，求AABC的面積。

已知△￡）跖的面積為7平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面積。

★★★★

一只小鳥ABC,后來長(zhǎng)成大鳥XYZ了。

先長(zhǎng)出一倍到X；8C再長(zhǎng)出兩倍到匕CA再長(zhǎng)出三倍到Z；

問大鳥是小鳥面積的幾倍？

硒）★★★★★（2009年清華附中入學(xué)試題）_______________________________________

長(zhǎng)方形ABC。面積為120,為上的三等分點(diǎn)，G、H、/為。C上的四等分點(diǎn)，陰影面積

是多大？

★★★★★

如右圖，過平行四邊形48CD內(nèi)的一點(diǎn)作邊的平行線EGGH,若△P83的面積為8平方分米,

求平行四邊形PHCF的面積比平行四邊形PGAE的面積大多少平方分米？

在線測(cè)試題

溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诰€作答，以便及時(shí)反饋孩子的薄弱環(huán)節(jié)。

1.如圖，三角形A8C被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部

分面積是甲部分面積的（）倍？

A

BDc

A.5B.6C.1D.2

2.如圖，三角形ABC中，是AD的4倍,AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面積等于

12,那么三角形A3C的面積是多少？

A

2

A.120B.144C.96D-6

?????.

1

3.設(shè)㈤如果三角形DEF的面積為19平方厘米,那么三角形ABC

5

的面積是多少平方厘米?

A.46.7B.D.46.5

4.如下圖，將三角形A3C的BA邊延長(zhǎng)1倍到D,CB的邊延長(zhǎng)2倍到E,AC邊延長(zhǎng)1倍至！JF。

A.10B.8C.9D.11

5.如圖，已知長(zhǎng)方形A8C。的面積是96,E是邊上靠近。點(diǎn)的三等分點(diǎn)，戶是8邊上靠

近。點(diǎn)的四等分點(diǎn)，G、〃分別是A3,邊上的中點(diǎn)，圖中陰影部分的面積是（）

E

D

B

A.48B.50C.36D.56

6.如圖，在平行四邊形A8CD中，BE=EC,CF=2FDO求陰影面積和空白面積的比？

A.1：1D.

第十講：蝴蝶模型

知識(shí)要點(diǎn)屋

一、任意O邊形中的比例關(guān)京("蝴蝶定理")：學(xué)

\也就是SiX$3=§2*S4

5\②4。-℃=(8+&)：(S4+S3)

4

//^\\③BO:OD=(S2+S3)：(5I+54)

B匕----------------------------^C

二、梯形中比例關(guān)樂("梯形蝴蝶定理"):

4aD①s：5,=O2：爐

②&=Ss

③：：z2

/\$:Sj$2S4=abab'.ab

//5\\④梯形面積S的對(duì)應(yīng)份數(shù)是(a+b)2

Bb'

硒(★★)

如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求:

⑴三角形8GC的面積；

(2)AG：GC=?

/^^(★★★)__________

如圖，某公園的外輪廓是四邊形A8CQ,被對(duì)角線AC、8。分成四個(gè)部分，△AOB面積為1平

方千米，△80C面積為2平方千米，△C。。的面積為3平方千米，公園由陸地和人工湖組成，

其中陸地面積是6.92平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？

裾★★)

在圖的正方形A8CO中，E是8C邊的中點(diǎn)，AE與8。相交于尸點(diǎn)，三角形8EF的面積為1平

方厘米，那么正方形A8CD面積是多少平方厘米？

(★★★)

如圖，在長(zhǎng)方形A8CZ）中，AB=6,AD=2,AE=EF=FB,求陰影部分的面積。

（★★★★）

如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形AZJG的面積是11,三角形BCH

的面積是23,求四邊形EGF”的面積。

識(shí)總結(jié)樹

一、任意。邊形中的比例關(guān)京（"蝴蝶定理"）：聲

①Si:5,2=5,4:S3,

也就是SiXS3=$2XS4

②NO：OC=(S+S2)：(S4+S3)

③50：OD=(S2+S^):($+&)

BC

二、梯形中比例關(guān)原（"梯形蝴蝶定理”）:中

在線測(cè)試題

溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诰€作答，以便及時(shí)反饋孩子的薄弱環(huán)節(jié)。

1.四邊形ABC。的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)。（如圖）所示。如果三角形A3。的面積等于三角

形BCD的面積的,,且A0=2,￡>0=3,那么C。的長(zhǎng)度是。。的長(zhǎng)度的倍。

3

2.如圖所示，三角形8DF、三角形CER三角形的面積分別是2、3、4,問四邊形AOEE

的面積是多少？

3.如圖，在梯形A8CD中，AD:BE=4：3,BE：EC=2.3,且△BOE的面積比△49。的面

4.如圖，正方形ABC。面積為1,/是邊上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積。

5.已知長(zhǎng)方形ADEF的面積是16,三角形AZ汨的面積是3,三角形ACF的面積是4,那么三

角形ABC的面積是o

第十一講：蝴蝶模型

￡少崔說事少

使不規(guī)則四邊形的面

積關(guān)系與與四邊形內(nèi)X

NQA

凡曷兄+S?oc

兄_S\+S&_OD

凡凡+凡OB

提供了解決舉彩面積與

S協(xié)OB_A0*50

S48DCOxDO

￡奧數(shù)練練看|

/1^7）★★________________________________________________________________

如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABC。，被對(duì)角線AC、8。分成四個(gè)部分，△AOB面積為1平

方千米，△BOC面積為2平方千米，△COO的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平

方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

^2）★★★（。6年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng)）___________________________________________

如下圖，梯形ABCD的AB平行于CD,對(duì)角線AC,BD交于O,已知△AOS與△BOC的面積

分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是多少平方厘米？

至玲★★★（2007年“迎春杯”高年級(jí)初賽）_______________________________________

如圖，長(zhǎng)方形ABC。被CE、。尸分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那

么余下的四邊形OFBC的面積為平方厘米。

_________

如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則

三角形1的面積為o

________________________________________________________________________

如圖所示，BD、CT將長(zhǎng)方形ABC。分成4塊，△￡)￡尸的面積是5平方厘米，△<?￡1)的面積是

10平方厘米。問：四邊形4BEF的面積是多少平方厘米？

^6)★★★★

平行四面形ABC。中，對(duì)角線AC、BD交于一點(diǎn)、0。E是A。中點(diǎn)，尸是A8中點(diǎn)。CE交BD

于點(diǎn)M,CF交BD于點(diǎn)、N。求陰影部分面積占平行四邊形面積的幾分之幾？

★★★★★

如下圖，在梯形ABC。中，與CD平行，且CZ)=2AB,點(diǎn)E、F分別是A。和8c的中點(diǎn)，已知

陰影四邊形EMFN的面積是54平方厘米，則梯形ABCD的面積是多少平方厘米？

在線測(cè)試題

溫馨提示：請(qǐng)?jiān)诰€作答，以便及時(shí)反饋孩子的薄弱環(huán)節(jié)。

1.如圖所示，三角形班加、三角形CEA三角形的面積分別是2、3、4,問四邊形AOFE

的面積是多少？

A.2.5B.4.5C.6.5D.8.5

3.如圖：在邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，BE==2EC,DF=2FC；求四邊形A8GQ的面積。

A.-B.-C.-D.-

3424

A|T

1c2

4.如圖，在梯形A8CD中，AD：BE=4：3,.BE:EC=2:3,且△BOE的面積比的面

積小10平方厘米。梯形ABC。的面積是—一平方厘米。

A.115B.110C.100D.120

A____________D

BEC

5.ABC。是平行四邊形，面積為72平方厘米,E、產(chǎn)分別為A3,的中點(diǎn)，則圖中陰影部分

的面積為___平方厘米。

A.12B.24C.48D.56

AG__________________D

BFc

6.如圖，正方形ABC。面積為1,M是邊上的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積。

A.-B.-

34

」???

第十二講：新概念幾何

（2008年第十三屆“華羅庚金杯賽”初賽）

將等邊三角形紙片按圖⑴所示的步驟折疊3次（圖⑴中的虛線是三邊中點(diǎn)的連線）,

然后沿兩邊中點(diǎn)的連線剪去一角（圖⑵）。

將剩下的紙片展開、鋪平，得到的圖形是（）。

A.TB.g*D.

e

如圖，已知△ABC的面積是12平方厘米，以正六邊形的邊長(zhǎng)為正方形的邊長(zhǎng)，向外

做了6個(gè)正方形,最后以正方形的邊長(zhǎng)為等邊三角形的邊長(zhǎng)，做了6個(gè)小等邊三角形,

這六個(gè)小三角形的面積之和是平方厘米。

,長(zhǎng)方形A8CZ）的長(zhǎng)為25,寬為15。四對(duì)平行線截長(zhǎng)方形各邊所得的線段

的長(zhǎng)已在圖上標(biāo)出，且橫向的兩組平行線都與平行。求陰影部分的面積。

—：口圖，四個(gè)相疊的正方形，邊長(zhǎng)分別是5、7、9、11。問灰色區(qū)與黑色區(qū)的面積的

..差是________

如圖，平行四邊形被分成三角形A。歹和梯形A2CT兩部分，它們的面積相

差14平方厘米，已知AE=7cm,那么FC厘米。

如圖，折線A—8—C—。的每一條線段都平行于矩形的邊，它把矩形分成面積不'

等的兩部分。點(diǎn)E在矩形的邊上，使得線段AE也平分矩形的面積。已知線段48II

=30,8C=24,CD=10,求。E的長(zhǎng)。