《含期末15套》東北師范大學(xué)某中學(xué)2019-2020學(xué)年高二年級下冊數(shù)學(xué)期末模擬試卷含解析

東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下數(shù)學(xué)期末模擬試卷

一、選擇題：（本題共12個小題，每小題5分，共60分）

1,已知函數(shù)/（x）=x+xlnx,若kwZ,且然x—2）</（x）對任意的x>2恒成立，貝必的最大值為

A.3B.4C.5D.6

2.如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個水果，且從這周的第二天開始，每天所吃水果的個

數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個”或“持平”或“少一個”，那么，小明在這一周中每天所吃水

果個數(shù)的不同選擇方案共有（）

A.50種B.51種C.140種D.141種

3.一個停車場有5個排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進這個停車場，若停好后恰有2個相鄰的

停車位空著，則不同的停車方法共有

A.6種B.12種C.36種D.72種

n3

4.一于5>sinor=-5,貝！|cos（-a）的值為（）

4433

A.---B.-C.一D.--

5555

i7

5.隨機變量X服從正態(tài)分布X-N(l(),cr”P(X>12)=m,P(8WX<1())=〃，則上+±的最小

mn

值為（）

A.3+40B.6+2&C.3+2后D.6+4夜

6.通過隨機詢問111名性別不同的中學(xué)生是否愛好運動，得到如下的列聯(lián)表：

男女總計

愛好412131

不愛好212151

總計3151111

n(ad-心得_"OxaOxJO-ZOxZOy?&

(a+b\c+d\a+c\b+d)60x50x60x50

>左）1.1511.Ill1.Ill

k2.8413.32511.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）

A.在犯錯誤的概率不超過1.111的前提下，認(rèn)為“愛好運動與性別有關(guān)”

B.在犯錯誤的概率不超過LH的前提下，認(rèn)為“愛好運動與性別有關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過1.111的前提下，認(rèn)為“愛好運動與性別無關(guān)”

D.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好運動與性別無關(guān)”

7.某班級在一次數(shù)學(xué)競賽中為全班同學(xué)設(shè)置了一等獎、二等獎、三等獎以及參與獎，且獎品的單價分別

為：一等獎20元、二等獎10元、三等獎5元、參與獎2元，獲獎人數(shù)的分配情況如圖所示，則以下說法

正確的是（）

A.參與獎總費用最高B.三等獎的總費用是二等獎總費用的2倍

C.購買獎品的費用的平均數(shù)為9.25元D,購買獎品的費用的中位數(shù)為2元

8.如果根據(jù)是否愛吃零食與性別的列聯(lián)表得到K?=5.852,所以判斷是否愛吃零食與性別有關(guān)，那么這

種判斷犯錯的可能性不超過（）

注：

1

p(K>90.1000.0500.0250.0100.001

k2.7063.8415.0246.63510.828

A.2.5%B.0.5%C.1%D.0.1%

9.甲、乙兩支女子曲棍球隊在去年的國際聯(lián)賽中，甲隊平均每場進球數(shù)為3.2,全年比賽進球個數(shù)的標(biāo)

準(zhǔn)差為3；乙隊平均每場進球數(shù)為1.8,全年比賽進球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,下列說法中，正確的個數(shù)為（）

①甲隊的進球技術(shù)比乙隊好；②乙隊發(fā)揮比甲隊穩(wěn)定；

③乙隊幾乎每場都進球；④甲隊的表現(xiàn)時好時壞.

A.1B.2C.3D.4

10.已知復(fù)數(shù)1z是共扼復(fù)數(shù)，若萬。=1—3其中i為虛數(shù)單位，則同=（）

15

A.-B.\C.V2D.2

22

11.已知圓。：/+丁2-2%=0,在圓。中任取一點P,則點P的橫坐標(biāo)小于1的概率為（）

21|

A.—B.-C.—D.以上都不對

）42

12.在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線°為正態(tài)分布YLLL的密度曲線）

的點的個數(shù)的估計值為（）

附：若丫~貝DQ-a<X<n+a）=0.6826,P（ji-2a<X<n+2a）=0.9541

1

A.1193B.1359C.2718D.3413

二、填空題：（本題共4個小題，每小題4分，共16分）

13.已知隨機變量4?N（（）,，），若尸（一1＜《＜0）=0.3,則。值＜1）=.

Ixlx＜m

14.已知函數(shù)/1（無）={丁一其中帆＞0,若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f（x）=b

x-2mx+4m,x＞m

有三個不同的根，則m的取值范圍是.

15.將一顆骰子拋擲兩次，用機表示向上點數(shù)之和，則〃壯10的概率為.

x-l+2t

16.將參數(shù)方程三，（tcR，t為參數(shù)）化為普通方程____________.

y=2-「

三、解答題：（本題共6個小題，共74分）

17.（本題共12分）

如圖，在三棱錐P—ABC中，兩兩垂直，PA=A6=AC=3,且。為線段BC的中點.

（1）證明：8C_L平面PAO；

（2）若==求平面P4B與平面尸OE所成角的正弦值.

2

18.（本題共12分）

v2

已知點尸是雙曲線C:尤2一2_=1上的點.

4

（1）記雙曲線的兩個焦點為耳F2,若居,求點P到x軸的距離；

（2）已知點M的坐標(biāo)為（0,2）,。是點P關(guān)于原點的對稱點，記;l=求2的取值范圍.

19.（本題共12分）

為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成48兩組，每組

100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，8組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾

濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到

如下直方圖：

記。為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.7().

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中的值；

(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

20.(本題共12分)

為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，

其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.

(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)

生的概率；

(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

21.(本題共12分)

已知函數(shù),f(x)=g|x-a|(aeR).

(1)當(dāng)。=2時，解不等式x-g+/(x)21；

(2)設(shè)不等式卜一j+的解集為何，若求實數(shù)〃的取值范圍.

22.(本題共14分)

某市要對該市六年級學(xué)生進行體育素質(zhì)調(diào)查測試，現(xiàn)讓學(xué)生從“跳繩、短跑400米、長跑1000米、仰臥

起坐、游泳100米、立定跳遠”6項中選擇3項進行測試，其中“短跑、長跑、仰臥起坐”3項中至少選

擇其中1項進行測試.現(xiàn)從該市六年級學(xué)生中隨機抽取了50名學(xué)生進行調(diào)查，他們選擇的項目中包含“短

跑、長跑、仰臥起坐”的項目個數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如下表：(其中x<)‘)

選擇的項目中包含“短跑、長跑、

123

仰臥起坐”的項目個數(shù)

人數(shù)5Xy

已知從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名'他們選擇“短跑、長跑、仰臥起坐”的項目個數(shù)不相等概率為石'

記&為這2名學(xué)生選擇“短跑、長跑、仰臥起坐”的項目個數(shù)之和.

(1)求x的值;

(2)求隨機變量J的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：(本題共12個小題，每小題5分，共60分)

1.B

【解析】

由x〉2，則k(x-2)<f(x)=尤+xln_r可化簡為k<空，構(gòu)造函數(shù)

,、x+x\nx-，/、(lnx+2)(x-2)-(x+xlnx)x-21nx-4

g(“卜丁f'Q2，g(*匹牙=FF'令a

2x—2

/z(x)=x-21nx-4,貝?。?/(%)=1——=---->0,即/i(x)在(2,+oo)單調(diào)遞增，設(shè))=0,因為

"8)=4-21118<0,耳9)=5-2也9>0,所以8<飛<9,且111%=當(dāng)±故8(力在(2,%)上單調(diào)遞

“0一4

x+xlnx_x°+x°,

減，(事,內(nèi))上單調(diào)遞增，所以8⑺=g(x°)Qo02」。仁百又

---------——t

/一2工。-22

k<^(x)niin,/.k<4,即k的最小值為4,故選B.

點睛:本題考查函數(shù)的恒成立和有解問題，屬于較難題目.首先根據(jù)自變量x的范圍，分離參數(shù)和變量,轉(zhuǎn)化為

新函數(shù)g(X)的最值，通過構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判斷單調(diào)性，可知g(x)在(2,X。)上單調(diào)遞減，(小,+8)上單調(diào)遞增，

所以gUUn=g(毛)，且In%=百/，8<%<9,通過對最小值化簡得出g(%)的范圍，進而得出k的范

圍.

【解析】

試題分析：小明共有6次選擇，因為第一天和第七天均吃3個水果，所以在這6次選擇中“多一個”和“少

一個”的次數(shù)應(yīng)相同、“持平”次數(shù)為偶數(shù).當(dāng)6次選擇均為“持平”時，共有以=1種方案；當(dāng)6次選擇中

有4次“持平”時，選擇“多一個”和“少一個”各一次，共有個C：=30種方案；當(dāng)6次選擇中有2次“持平”

時，選擇“多一個”和“少一個”各2次，共有京戲仁=90種方案；當(dāng)6次選擇中有0次“持平”時，選擇“多

一個,，和“少一個,，各3次，共有盤=20種方案.綜上可得小明在這一周中每天所吃水果個數(shù)的不同選擇

方案共有1+30+90+20=141種方案，故D正確.

考點：排列組合，考查分類討論思想.

3.B

【解析】

【分析】

分類討論,利用捆綁法、插空法，即可得出結(jié)論.

【詳解】

把空著的2個相鄰的停車位看成一個整體，即2輛不同的車可以停進4個停車場,

由題意,若2輛不同的車相鄰,則有用號=4種方法

若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個相鄰的停車位空著,利用捆綁法，

所以有(8+用)用=8種方法，不同的停車方法共有：￡=4x3=12種，

綜上,共有12種方法，

所以B選項是正確的.

本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用,注意空位是相同的,是關(guān)鍵.

【解析】

【分析】

利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算出cosa的值，再利用誘導(dǎo)公式可得出cos(-?)的值.

【詳解】

34

QcrG，cosa>0,且cosa=Jl-sin'a=

55

由誘導(dǎo)公式得cos(—a)=

【點睛】

本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，同時也考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時,

先要確定角的象限，確定所求三角函數(shù)值的符號，再結(jié)合相應(yīng)的公式進行計算，考查運算求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

【解析】

【分析】

利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出加+〃=』，再將代數(shù)式2m+2〃與工+2相乘，展開后可利用基本不等

2mn

式求出工+2的最小值.

mn

【詳解】

由于X:N（10,〃），由正態(tài)密度曲線的對稱性可知，P（X>12）=P（X<8）=m,

所以，P（X<8）+P（8<X<10）=1,即加+〃=g,:乜根+2〃=1,

由基本不等式可得_L+2=j_L+2]⑵篦+2〃）=攸+&+6N2、叵互+6

mnn）nmynm

—4\/-24-G

41%2A7

當(dāng)且僅當(dāng)一=一（m>0,〃>0）,即當(dāng)〃=可時，等號成立，

nm

12r-

因此，—?—的最小值為6+4廠2）故選D.

mn

【點睛】

本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性得出定值，

以及對所求代數(shù)式進行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計算能力，屬于中等題.

6.B

【解析】

【分析】

【詳解】

試題分析：根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得到7.8,發(fā)現(xiàn)它大于3.325,得到有99%以上的把握認(rèn)為“愛好這項運動與性

別有關(guān)”，從而可得結(jié)論.

解：V7.8>3.325,

.?.有1.11=1%的機會錯誤，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好這項運動與性別有關(guān)”

故選B.

點評：本題考查獨立性檢驗的應(yīng)用，考查利用臨界值，進行判斷，是一個基礎(chǔ)題

7.D

【解析】

【分析】

先計算參與獎的百分比，分別計算各個獎勵的數(shù)學(xué)期望，中位數(shù)，逐一判斷每個選項得到答案.

【詳解】

參與獎的百分比為：1—30%—10%—5%=55%

設(shè)人數(shù)為單位1

一等獎費用：20x5%=l

二等獎費用：10xl0%=l

三等獎費用：5x30%=1.5

參與獎費用：2x55%=l.l

購買獎品的費用的平均數(shù)為：4.6

參與獎的百分比為55%,故購買獎品的費用的中位數(shù)為2元

故答案選D

【點睛】

本題考查了平均值，中位數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.

8.A

【解析】

【分析】

根據(jù)片”5.852得到網(wǎng)片上5.024卜0.025,得到答案.

【詳解】

心儀5.852,故。(片35.024卜().025,

故判斷”是否愛吃零食與性別有關(guān)”出錯的可能性不超過2.5%.

故選：A.

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗問題，意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.

9.D

【解析】

分析：根據(jù)甲隊比乙隊平均每場進球個數(shù)多，得到甲對的技術(shù)比乙隊好判斷①；根據(jù)兩個隊的標(biāo)準(zhǔn)差比較,

可判斷甲隊不如乙隊穩(wěn)定；由平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差進一步可知乙隊幾乎每場都進球，甲隊的表現(xiàn)時好時壞.

詳解：因為甲隊每場進球數(shù)為3.2,乙隊平均每場進球數(shù)為1.8,甲隊平均數(shù)大于乙隊較多，所以甲

隊技術(shù)比乙隊好，所以①正確；

因為甲隊全年比賽進球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3,乙隊全年進球數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3，乙隊的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲隊,

所以乙隊比甲隊穩(wěn)定，所以②正確；

因為乙隊的標(biāo)準(zhǔn)差為0.3,說明每次進球數(shù)接近平均值，乙隊幾乎每場都進球，甲隊標(biāo)準(zhǔn)差為3,說

明甲隊表現(xiàn)時好時壞，所以③④正確，

故選D.

點睛：本題考查了數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，其中數(shù)據(jù)的平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，方差

與標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度，一般從這兩個方面對數(shù)據(jù)作出相應(yīng)的估計，屬于基礎(chǔ)題.

求空田對比乙隊平均每場逛球的個數(shù)多.遇到甲隊的技術(shù)比乙隊好判斷①；限38兩個隊的標(biāo);隹差比較.

10.B

【解析】

【分析】

1111

原等式兩邊同乘以T,可求得z=-7-從而可得z=-7+：7i，利用復(fù)數(shù)模的公式可得結(jié)果.

2222

【詳解】

因為23z=1—i，

即22=(T>(1T)=-1-i,

-11.?11.

z=--------1,可得z=——+—1,

2222

所以，歸=、工1=走，故選B.

【點睛】

復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算.要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、

共粗復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，

運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.

11.C

【解析】

分析：畫出滿足條件的圖像，計算圖形中圓內(nèi)橫坐標(biāo)小于1的面積，除以圓的面積。

詳解：

由圖可知，點P的橫坐標(biāo)小于1的概率為《，故選C

2

點睛：幾何概型計算面積比值。

12.B

【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，圖中陰影部分的面積

S=°—=0.1359

則落入陰影部分(曲線「為正態(tài)分布「的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為

N=10000x^7^=1359

本題選擇B選項.

點睛：關(guān)于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率求法

①熟記P（M-G<X<|I+G）,P（II-2G<X<JI+2G）,P（JI—3C<XWH+3G）的值.

②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.

二、填空題：（本題共4個小題，每小題4分，共16分）

13.0.8

【解析】

【分析】

直接根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到答案.

【詳解】

隨機變量《?N（O.er）,

故P（J<1）=P（O<J<1）+P（JWO）=P（T<J<O）+P（JWO）=O.8.

故答案為：0.8.

【點睛】

本題考查了正態(tài)分布，意在考查學(xué)生對于正態(tài)分布對稱性的靈活運用.

14.（3,+oo）

【解析】

試題分析：由題意畫出函數(shù)圖象如下圖所示，要滿足存在實數(shù)b,使得關(guān)于X的方程f（x）=1）有三個不

同的根，則4加一加2<加，解得相>3,故m的取值范圍是（3,+co）.

【考點】分段函數(shù)，函數(shù)圖象

【名師點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)與方程、分段函數(shù)的概念.解答本題，關(guān)鍵在于

能利用數(shù)形結(jié)合思想，通過對函數(shù)圖象的分析，轉(zhuǎn)化得到代數(shù)不等式.本題能較好地考查考生數(shù)形結(jié)合思

想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、基本運算求解能力等.

1

15.-

6

【解析】

分析：利用列舉法求出事件“根210”包含的基本事件個數(shù)，由此能出事件“〃讓10”的概率.

詳解：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）先后拋擲兩次，用機表

示向上點數(shù)之和，貝!)基本數(shù)值總數(shù)〃=6x6=36,

事件“加210”包含的基本事件有：

(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)共6個，

事件“加210”的概率。=二=’.

366

即答案為5.

0

點睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用.

16.x+2_y—5=0

【解析】

【分析】

可將y=2-/左右同乘2,再消參即可求解普通方程

【詳解】

y=2T=2y=4-2f,結(jié)合x=1+2/可得工+2)，一5=0

故答案為：x+2y-5=0

【點睛】

本題考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程，屬于基礎(chǔ)題

三、解答題：(本題共6個小題，共74分)

17.(1)見解析；(2)叵.

11

【解析】

分析：(1)由題意得又從而即可證明；

(2)以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系型，即可運用空間向量的方法求得答案.

詳解：(1)證明：因為AB=AC,。為線段的中點，

所以A￡>_LBC.

又PA,PB,PC兩兩垂直，且ABcAC=A

所以PAL平面ABC,則PA_LBC.

因為A￡)cPA=A,

所以BC,平面PAD.

(2)解：以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-型，

則A(0,0,0),8(3,0,0),C(0,3,0),P(0,0,3),OB，|,0).

,:AE=AAC>

（33

可設(shè)E（O,t,0）,則PE=（0,/,—3）,AD=匕,5,0

33

PEAD=-t=-：.t=\,

22

則ED=（m，；,0）,PE=（0,l,-3）,

設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,y,z),

31

n-ED=0—x+—y=n0

則,即｛22

n-PE=0

y-3z=0

令z=l,得〃=(-1,3,1).

平面PAB的一個法向量為m=(0,1,0),

n?33日

則cos"2,n=—,==-----

Vn11

故平面PAB與平面PDE所成二面角的正弦值為叵.

11

點睛：求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的

法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

18.(1)勺5

5

(2)(-co,3]

【解析】

【分析】

(1)利用PR±P乃，結(jié)合向量知識，可得P的軌跡方程，結(jié)合雙曲線方程，即可得到點P到X軸的距離.(2)

用坐標(biāo)表示向量，利用向量的數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)雙曲線的范圍，可求得4的取值范圍.

【詳解】

⑴設(shè)P點為(%,為)，而斗->5,0),僅6,0),

則P4=(一石一天,-y0),尸6=(石一毛，一%).

PFi±PF2,：.PFtPF2=O,

即(―-%)(75-%)+(—%)(—%)=()，

整理，得看+$=5①

又P(x°,%)在雙曲線上，

???片_慈=1②

聯(lián)立①得y；=t，即1%1=?

因此點P到x軸的距離為拽.

5

(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(%,%),則。的坐標(biāo)為(-A-o,-%),

彳=(入),>,()-2)-2)=-片-y：+4=-；y：+3.

.?.九的取值范圍是(-8,3].

【點睛】

本題主要考查向量的運算，考查雙曲線中點的坐標(biāo)的求法和范圍問題的解法，意在考查學(xué)生對這些知識的

理解掌握水平.

19.(1)。=0.35,/?=0.10；(2)4.05,6.

【解析】

【分析】

⑴由P(C)=0.70及頻率和為1可解得。和b的值；(2)根據(jù)公式求平均數(shù).

【詳解】

⑴由題得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35,由0.05+、+0.15=1-P(C)=1-0.70,解得b=0。0.

(2)由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙離子殘留百分比的平均值為0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

65

20.(1)一；(2)-

352

【解析】

(I)由已知，有

C泣+C泣_6

P(A)

35

所以事件A發(fā)生的概率為三.

35

(n)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4

「k「4-A

p(X=k)=T^(Z=I,2,3,4)

所以隨機變量X的分布列為

X1234

131

P2

147714

1331S

所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=lx立+2x,+3x,+4xq=；

考點：古典概型、互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

J_4

21.(1){x|xW0或x，l}；(2)

253

【解析】

【分析】

(1)使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.

(2)利用等價轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式|3x-l|+|x-a|W3x在H恒成立，然后解出解集，根據(jù)集

[32J

合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.

【詳解】

(1)當(dāng)a=2時，

原不等式可化為|3x-l|+|x-2|N3.

①當(dāng)時，

則一3x+1+2—xN3xK0,所以尤〈0；

②當(dāng)；<龍<2時，

則3x-l-2+x23=xi1,所以14x<2；

⑧當(dāng)時，

3

貝！13x—1—2+x>3=>x—,所以x22.

2

綜上所述：

當(dāng)。=2時，不等式的解集為{x|x40或x，l}.

(2)由|元一§|+/(x)Wx,

則13%—11+|%—?|<3x,

由題可知：

13x—11+1x-a區(qū)3x在—恒成立,

32

所以3x-l+|x-a區(qū)3x,Bp|x-tz|<l,

即a-lWxVa+l,

,1

a-\<—

34

所以《=>——<a<—

23

a+1>—

2

14

故所求實數(shù)。的取值范圍是-.

【點睛】

本題考查零點分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應(yīng)用，同時掌握等價

轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.

22.(1)元=20(2)見解析

【解析】

分析：(1)由題意結(jié)合概率公式得到關(guān)于x的方程，解方程可得尤=20.

(2)由題意可知J的可能取值分別為2,3,4,5,6,該分布列為超幾何分布，據(jù)此可得到分布列，

24

利用分布列計算數(shù)學(xué)期望為E(J)=y.

詳解：(1)記“選擇短跑、長跑、仰臥起坐的項目個數(shù)相等“為事件A,貝！1：

P(A)=1_29=20=C-+C?+C1

')4949個

所以Y-45x+500=0，解得x=20或x=25,

因為x<>,所以x=20.

(2)由題意可知J的可能取值分別為2,3,4,5,6,

en/匕小C；10…小CC'100…八C\C'+Cl.315

則P(J=2)=T=——，/&=3)=-^=——，P(&=4)=^^-=——

、)C；o1225,)01225')C；。1225

2

5)-??_500*=6)=署C300

華)以01225

C501225

從而J的分布列為:

23456

10100315500300

12251225122512251225

數(shù)學(xué)期望為

10100315500300588024

砧)=2x+3x+4x+5x+6x

122512251225122512251225T

點睛：本題的核心在考查超幾何分布.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體

的個數(shù).超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考

查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是

古典概型.

2019-2020高二下數(shù)學(xué)期末模擬試卷

一、選擇題：（本題共12個小題，每小題5分，共60分）

1.連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，在已知兩次的點數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點數(shù)之和不大于8

的概率為（）

1452

A.—B.-C.-D.一

3993

2.設(shè)集合4={耳/一］-12>0},3=卜62卜6^^46},則48的元素的個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

3.在三棱錐S—A6C中，SA=BC=y/4l>SB=AC=5,SC=AB=?則三棱錐S—ABC外接

球的表面積為（）

A.25萬B.100C.50%D.5007r

4.（2x—l）6展開式中X2的系數(shù)為（）

A.15B.60C.120D.240

5.函數(shù)/（x）=ei—eTT+asinn（xeR,e是自然對數(shù)的底數(shù)，。>0）存在唯一的零點，則實數(shù)

a的取值范圍為（）

B.（°，2）C.（0,2］D.（0,2）

6.二面角。―/一力為60。，A、8是棱上的兩點，AC.分別在半平面a、夕內(nèi)，AC11,BDVI

且AB=AC=1,BD=2,則CZ）的長為

A.1B.8C.2D.75

7.如圖，已知函數(shù)/（X）=受，則它在區(qū)間［一萬，句上的圖象大致為（）

D.

8.已知復(fù)數(shù)2=則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.如圖，在正方體ABCD-A4G。的八個頂點中任取兩個點作直線，與直線A8異面且夾角成60。的

直線的條數(shù)為（）.

A.3B.4C.5D.6

10.在正方體ABC?！?4G。中，點E,尸分別是AB,CG的中點，則下列說法正確的是（）

A.A.E^BFB.A尸與8。所成角為60°

C.4后，平面4。尸D.4尸與平面A5CO所成角的余弦值為

11.過拋物線E：V=2必:⑺>0）的焦點作兩條互相垂直的直線（，“，直線4交E于A,C兩點，直

線12交E于B,D兩點,若四邊形ABCO面積的最小值為64,則。的值為（）

A.20B.4C.472D.8

12.下列說法錯誤的是（）

A.在統(tǒng)計學(xué)中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法

B.在殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好

C.線性回歸方程對應(yīng)的直線y=bx+a至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點

D.在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R?越大，模擬的效果越好

二、填空題：（本題共4個小題，每小題4分，共16分）

13.已知/（x）=L'一（其中a<0,e為自然對數(shù)的底數(shù)），若g（x）=/[/（x）]在R上有三個

不同的零點，則a的取值范圍是.

14.若函數(shù)二（二）=T二'+（二；+2二二在￡+工）上存在單調(diào)增區(qū)間，則實數(shù)二的取值范圍是.

15.某市在“一帶一路”國際合作高峰論壇前夕，在全市高中學(xué)生中進行“我和'一帶一路'”的學(xué)習(xí)征

文，收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計圖，又已知全市高一年級共交稿2000份，則高三

年級的交稿數(shù)為.

16.設(shè)/(幻=[廬丁”?！眲t「/(x)公等于_________.

[l+x,xe[-l,O)JT

三、解答題：(本題共6個小題，共74分)

17.(本題共12分)

已知函數(shù)f(x)=xex

(1)求函數(shù)f(x)的極值.

(2)若f(x)-Inx-mx》l恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

18.(本題共12分)

盒子中有大小和形狀完全相同的3個紅球、2個白球和2個黑球，從中不放回地依次抽取2個球.

(1)求在第1次抽到紅球的條件下，第2次又抽到紅球的概率；

(2)若抽到1個紅球記0分，抽到1個白球記1分，抽到1個黑球記2分，設(shè)得分為隨機變量X,求隨機

變量X的分布列.

19.(本題共12分)

C1

x——24—t

2

在直角坐標(biāo)系宜萬中，直線的參數(shù)方程為rQ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，圓。的極坐標(biāo)方程為0=J市.

⑴若/與。相交于A,8兩點，P(—2,0),求冏；

(2)圓M的圓心在極軸上，且圓M經(jīng)過極點，若/被圓M截得的弦長為1,求圓M的半徑.

20.(本題共12分)

X_X1

已知函數(shù)/(x)-e2+—cos2x.

(1)求f\x)；

(2)證明：/1)在區(qū)間(-8,+8)上是增函數(shù).

21.(本題共12分)

已知向量A=(Gsin2x+2,cosx),7=(1,2cosx),設(shè)函數(shù)=

(1)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)在AABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若/(A)=4,b=l,ZiABC的面積為走,

2

求a的值.

22.(本題共14分)

設(shè)函數(shù)/(x)=|x+2|+k+a|,a&R.

(1)若。=-3,求不等式7的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/(￡)</+2m+3對任意的〃”/?恒有解，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：(本題共12個小題，每小題5分，共60分)

1.D

【解析】

【分析】

求出兩次點均為偶數(shù)的所有基本事件的個數(shù)，再求出在兩次均為偶數(shù)而且和不大于8的基本事件的個數(shù)后

可得概率.

【詳解】

記A={兩次的點數(shù)均為偶數(shù)},B={兩次的點數(shù)之和不大于8},

因為〃(A)=3x3=9,力(A8)=6,

所以明力=嚅與|.

故選：D.

【點睛】

本題考查條件概率，本題解題關(guān)鍵是求出兩次的點數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點數(shù)之和不大于8所含有

的基本事件的個數(shù).

2.C

【解析】

分析：分別求出A和B,再利用交集計算即可.

詳解：A={x|x>4垢<-3},B={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6},

則Ac3={-6,—5,T,5,6},交集中元素的個數(shù)是5.

故選：C.

點睛：本題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

3.C

【解析】

分析：首先通過題中的條件，得到棱錐的三組對棱相等，從而利用補體，得到相應(yīng)的長方體，列式求得長

方體的對角線長，從而求得外接球的半徑，利用球體的表面積公式求得結(jié)果.

詳解：對棱相等的三棱錐可以補為長方體(各個對面的面對角線)，

a2+b2=41

設(shè)長方體的長、寬、高分別是a/,c,則有<〃+。2=25,

a2+c2=34

三個式子相加整理可得/+〃+°2=50,

所以長方體的對角線長為50，

所以其外接球的半徑R=辿，

2

所以其外接球的表面積S=4〃R2=50〃，故選C.

點睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的外接球的體積問題，在解題的過程中，注意根據(jù)題中所給的三棱錐的特

征，三組對棱相等，從而將其補體為長方體，利用長方體的外接球的直徑就是該長方體的對角線，利用相

應(yīng)的公式求得結(jié)果.

4.B

【解析】

【分析】

【詳解】

V(2x—1)6展開式的通項為=(—1)「26-rGxj,令6-r=2得r=4,二(2x—展開式中x2項為

(—1)426Y屐X2=6Gx2,所以其系數(shù)為60,故選B

5.A

【解析】

【分析】

函數(shù)f(x)=e'T-eTM+asin乃x(xeR,e是自然對數(shù)的底數(shù)，?！?)存在唯一的零點等價于函數(shù)

<p(x)^asin;rx與函數(shù)g(x)=ei-e'T只有唯---個交點，由0(1)=0,g(l)=0,可得函數(shù)

G(x)=asinG與函數(shù)g(x)=eJ-ei唯一交點為(1,0),g(x)的單調(diào)，根據(jù)單調(diào)性得到。(幻與g(x)

的大致圖象，從圖形上可得要使函數(shù)。(x)=asin乃x與函數(shù)g(x)=ei-ei只有唯一一個交點，則

“⑴..g'(l),即可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

解：函數(shù)F(x)=ei-e-e+asinG(xeA,e是自然對數(shù)的底數(shù)，a>0)存在唯一的零點等價于:

函數(shù)夕(x)=asin乃》與函數(shù)g(尤)=/一"一ex~'只有唯---個交點，

。⑴=。，g(l)=。，

函數(shù)。(犬)=asin萬x與函數(shù)g(x)=一/T唯一交點為(1,0),

又g，(x)="r-e'T,且e"*>0，ex~'>0>

g'(x)=-e--e'T在R上恒小于零，即g(x)=—/T在R上為單調(diào)遞減函數(shù)，

又火x)=asin7x(a>0)是最小正周期為2,