2020-2024五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題11 直線和圓的方程（真題8個考點精準(zhǔn)練+模擬練）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題11直線和圓的方程（真題8個考點精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點分析2024年春考2、11題直線的傾斜角、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2023年秋考7題2023年春考4題圓的一般方程圓的一般方程2022春考16題2022春考7題直線與圓的位置關(guān)系方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關(guān)系2021年秋考3題2021年春考5題圓的一般方程兩直線的夾角與到角問題2020年秋考20題2020年春考7題雙曲線與圓的定義和方程、性質(zhì)，考查直線和圓的方程、雙曲線的方程的聯(lián)立，以及向量的數(shù)量積的幾何意義兩條平行直線間的距離一．直線的傾斜角（共1小題）1．（2024?上海）直線的傾斜角大小為．〖祥解〗求出直線的斜率，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求得傾斜角的大?。窘獯稹拷猓河芍本€變形得：，設(shè)直線的傾斜角為，即，因為，，所以．故答案為：．【點評】本題考查了直線的傾斜角的求法，以及特殊角的三角函數(shù)值．熟練掌握直線傾斜角與斜率的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，同時注意直線傾斜角的范圍，屬基礎(chǔ)題．二．方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關(guān)系（共1小題）2．（2022?上海）若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則實數(shù)的值為4．〖祥解〗根據(jù)題意，分析可得直線和平行，由此求出的值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若關(guān)于，的方程組有無窮多解，則直線和重合，則有，即，解可得，當(dāng)時，兩直線重合，方程組有無數(shù)組解，符合題意，當(dāng)時，兩直線平行，方程組無解，不符合題意，故．故答案為：4【點評】本題考查直線與方程的關(guān)系，注意轉(zhuǎn)化為直線與直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．三．兩條平行直線間的距離（共1小題）3．（2020?上海）已知直線，，若，則與的距離為．〖祥解〗由求得的值，再根據(jù)兩平行線間的距離計算即可．【解答】解：直線，，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時與重合，不滿足題意；當(dāng)時，此時，；則與的距離為．故答案為：．【點評】本題考查了平行線的定義和平行線間的距離計算問題，是基礎(chǔ)題．四．兩直線的夾角與到角問題（共1小題）4．（2021?上海）直線與直線的夾角為．〖祥解〗先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【解答】解：直線的斜率不存在，傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故直線與直線的夾角為，故答案為：．【點評】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，兩條直線的夾角，屬于基礎(chǔ)題．五．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共1小題）5．（2024?上海）正方形草地邊長1.2，到，距離為0.2，到，距離為0.4，有個圓形通道經(jīng)過，，且與只有一個交點，求圓形通道的周長2.73．（精確到〖祥解〗先確定圓的圓心坐標(biāo)和半徑，從而得出結(jié)論．【解答】解：以為原點，線段所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，易知，．不妨設(shè)中點為直線中垂線所在直線方程為，化簡得．所以可設(shè)圓心為，半徑為，且經(jīng)過，點，即，化簡得，求得．結(jié)合題意可得，．故有圓的周長．【點評】本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．六．圓的一般方程（共3小題）6．（2023?上海）已知圓的面積為，則．〖祥解〗先把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再結(jié)合圓的半徑為1求解即可．【解答】解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓的面積為，圓的半徑為1，，．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023?上海）已知圓的一般方程為，則圓的半徑為1．〖祥解〗把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得圓的圓心和半徑．【解答】解：根據(jù)圓的一般方程為，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的圓心為，半徑為1，故答案為：1．【點評】本題主要考查圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題．8．（2021?上海）若，求圓心坐標(biāo)為．〖祥解〗將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后確定其圓心坐標(biāo)即可．【解答】解：由，可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為．故答案為：．【點評】本題考查了圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．七．其他形式的圓和圓弧的方程（共1小題）9．（2020?上海）已知雙曲線與圓交于點，（第一象限），曲線為、上取滿足的部分．（1）若，求的值；（2）當(dāng)，與軸交點記作點、，是曲線上一點，且在第一象限，且，求；（3）過點斜率為的直線與曲線只有兩個交點，記為、，用表示，并求的取值范圍．〖祥解〗（1）聯(lián)立曲線與曲線的方程，以及，解方程可得；（2）由雙曲線的定義和三角形的余弦定理，計算可得所求角；（3）設(shè)直線，求得到直線的距離，判斷直線與圓的關(guān)系：相切，可設(shè)切點為，考慮雙曲線的漸近線方程，只有當(dāng)時，直線才能與曲線有兩個交點，解不等式可得的范圍，由向量投影的定義求得，進而得到所求范圍．【解答】解：（1）由，點為曲線與曲線的交點，聯(lián)立，解得，；（2）由題意可得，為曲線的兩個焦點，由雙曲線的定義可得，又，，所以，因為，則，所以，在△中，由余弦定理可得，由，可得；（3）設(shè)直線，可得原點到直線的距離，所以直線是圓的切線，設(shè)切點為，所以，并設(shè)與圓聯(lián)立，可得，可得，，即，注意直線與雙曲線的斜率為負的漸近線平行，所以只有當(dāng)時，直線才能與曲線有兩個交點，由，可得，所以有，解得或（舍去），因為為在上的投影可得，，所以，則，．【點評】本題考查雙曲線與圓的定義和方程、性質(zhì)，考查直線和圓的方程、雙曲線的方程的聯(lián)立，以及向量的數(shù)量積的幾何意義，考查方程思想和化簡運算能力，屬于中檔題．八．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）10．（2022?上海）設(shè)集合，，①存在直線，使得集合中不存在點在上，而存在點在兩側(cè)；②存在直線，使得集合中存在無數(shù)點在上；A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立〖祥解〗分，，，求出動點的軌跡，即可判定．【解答】解：當(dāng)時，集合，，，當(dāng)時，集合，，，表示圓心為，半徑為的圓，圓的圓心在直線上，半徑單調(diào)遞增，相鄰兩個圓的圓心距，相鄰兩個圓的半徑之和為，因為有解，故相鄰兩個圓之間的位置關(guān)系可能相離，當(dāng)時，同的情況，故存在直線，使得集合中不存在點在上，而存在點在兩側(cè)，故①正確，若直線斜率不存在，顯然不成立，設(shè)直線，若考慮直線與圓的焦點個數(shù)，，，給定，，當(dāng)足夠大時，均有，故直線只與有限個圓相交，②錯誤．故選：．【點評】本題考查了動點的軌跡、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．一．選擇題（共9小題）1．（2024春?長寧區(qū)期末）圓與圓的位置關(guān)系是A．相交 B．內(nèi)切 C．相離 D．外切〖祥解〗把第一個圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心的坐標(biāo)和半徑，再由第二個圓的方程找出圓心的坐標(biāo)和半徑，利用兩點間的距離公式求出兩圓心間的距離，發(fā)現(xiàn)，從而判斷出兩圓位置關(guān)系是內(nèi)切【解答】解：把圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，圓心的坐標(biāo)為，半徑，由圓，得到圓心坐標(biāo)為，半徑，兩圓心間的距離，，即，則兩圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．故選：．【點評】此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩點間的基本公式，以及圓與圓位置關(guān)系的判斷，圓與圓位置關(guān)系的判斷方法為：當(dāng)時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時，兩圓相交；當(dāng)時，兩圓外切；當(dāng)時，兩圓相離表示兩圓心間的距離，及分別表示兩圓的半徑）．2．（2024?浦東新區(qū)二模）“”是“直線與直線平行”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖祥解〗由充分條件與必要條件的概念集合兩直線平行的判斷即可求解．【解答】解：若，則兩條直線分別為，，顯然兩條直線相互平行，充分性成立；若直線與直線平行，則，且，所以，必要性成立．故選：．【點評】本題考查直線平行的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024春?虹口區(qū)期末）已知兩條直線和，以下說法正確的是A． B．與重合 C． D．與的夾角為〖祥解〗根據(jù)題意，將兩條直線都化成斜截式，然后比較它們的斜率與截距，可得正確結(jié)論．【解答】解：直線，即；直線，即．因為直線與直線的斜率相等，且它們在軸上的截距不相等，所以，項的結(jié)論正確．故選：．【點評】本題主要考查直線的方程、兩條直線平行與方程的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?楊浦區(qū)校級三模）已知，直線，，則“”是“”的條件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要〖祥解〗根據(jù)兩條直線平行與方程的關(guān)系，對兩個條件進行正反推理論證，結(jié)合充要條件的定義判斷出正確結(jié)論．【解答】解：當(dāng)時，直線，直線，兩條直線的斜率都等于，且在軸上的截距不相等，所以；當(dāng)時，可得，且，解得或0．綜上所述，“”是“”的充分不必要條件．故選：．【點評】本題主要考查了兩條直線平行與方程的關(guān)系、充要條件的定義與判斷等知識，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024春?嘉定區(qū)期末）直線與直線的夾角為A． B． C． D．〖祥解〗先根據(jù)直線的斜率求出直線的傾斜角，再利用兩條直線的傾斜角的大小求出這兩條直線的夾角．【解答】解：因為直線的斜率不存在，故傾斜角為，直線的斜率為，傾斜角為，故兩直線的夾角為．故選：．【點評】本題考查直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，由兩條直線的傾斜角求出兩條直線的夾角，是基礎(chǔ)題．6．（2024?普陀區(qū)校級三模）已知圓，直線，則直線與圓有公共點的必要不充分條件是A． B． C． D．〖祥解〗先根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，借助點到直線的距離公式，求出的取值范圍，即直線與圓有公共點的充要條件，再確定那個是必要不充分條件．【解答】解：由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1．因為直線與圓有公共點，所以直線與圓相切或相交，所以圓心到直線的距離，解得．其必要不充分條件是把的取值范圍擴大，所以選項中只有是的必要不充分條件．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是中檔題．7．（2024?普陀區(qū)模擬）直線經(jīng)過定點，且與軸正半軸、軸正半軸分別相交于，兩點，為坐標(biāo)原點，動圓在的外部，且與直線及兩坐標(biāo)軸的正半軸均相切，則周長的最小值是A．3 B．5 C．10 D．12〖祥解〗先設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為，，，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)可得，當(dāng)圓與直線相切于點處時，圓半徑最小，結(jié)合兩點間距離公式即可求解．【解答】解：設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為，即圓半徑，由題意，設(shè)，，圓與直線相切于點，則，，所以，即的周長為，所以的周長最小即為圓半徑最小，因為直線過定點，所以當(dāng)圓與直線相切于點處時，圓半徑最小，此時，化簡得，則或5，當(dāng)時，圓心在內(nèi)，不合題意；當(dāng)時，即圓半徑的最小值為5，周長的最小值為．故選：．【點評】本題主要考查了直線與圓相切性質(zhì)的應(yīng)用，直線方程的應(yīng)用，屬于中檔題．8．（2024?黃浦區(qū)校級三模）直線的傾斜角的取值范圍是A．， B．， C．， D．，，〖祥解〗根據(jù)直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)時，斜率不存在，即傾斜角為；②當(dāng)時，直線的斜率，，即直線的傾斜角的取值范圍為．③當(dāng)時，直線的斜率，，即直線的傾斜角的取值范圍為．綜上，直線的傾斜角的取值范圍為，故選：．【點評】本題主要考查直線斜率和傾斜角之間的關(guān)系，利用基本不等式求出斜率的取值服務(wù)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2024春?黃浦區(qū)校級期末）若直線與曲線恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．〖祥解〗根據(jù)題意得：為恒過定點的直線，曲線表示圓心為，半徑為1的上半圓，由此利用數(shù)形結(jié)合思想能求出的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：為恒過定點的直線，由曲線，可得，所以曲線表示圓心為，半徑為1的上半圓，如圖所示，當(dāng)直線與圓相切時，有，解得：（舍去）或，把代入，得，的取值范圍是，．故選：．【點評】本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查直線、圓、點到直線距離公式、直線與圓相切等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．二．填空題（共34小題）10．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）已知直線與兩直線和平行且距離相等，則的方程為．〖祥解〗設(shè)直線，，利用兩平行線間的距離公式，求得的值．【解答】解：根據(jù)直線與兩直線和平行且距離相等，可設(shè)直線，，，，故答案為：．【點評】本題主要考查兩平行線間的距離公式的應(yīng)用，要注意先把兩直線的方程中，的系數(shù)化為相同的，然后才能用兩平行線間的距離公式．11．（2024?青浦區(qū)二模）已知直線的傾斜角比直線的傾斜角小，則的斜率為．〖祥解〗由直線的方程，可得它的傾斜角，由題意可得直線的傾斜角的大小，進而求出直線的斜率．【解答】解：直線的傾斜角為，由題意可得直線的傾斜角為，所以直線的斜率為．故答案為：．【點評】本題考查直線的斜率的求法，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?黃浦區(qū)校級三模）直線與直線互相平行，則實數(shù)2〖祥解〗根據(jù)兩直線平行的條件列出方程求得的值．【解答】解：直線與直線互相平行，則，解得．故答案為：2．【點評】本題考查了直線方程平行條件的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．13．（2024春?楊浦區(qū)期末）平行直線及之間的距離是2．〖祥解〗根據(jù)兩平行直線間的距離公式，求解即可．【解答】解：平行直線及之間的距離是．故答案為：2．【點評】本題考查了兩平行線間的距離計算問題，是基礎(chǔ)題．14．（2024春?楊浦區(qū)期末）已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為．〖祥解〗把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解圓心的坐標(biāo)．【解答】解：因為圓的方程為可化為，則圓心的坐標(biāo)為．故答案為：．【點評】本題主要考查了圓心坐標(biāo)的求解，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?閔行區(qū)校級三模）羅默、伯努利家族、萊布尼茲等大數(shù)學(xué)家都先后研究過星形線的性質(zhì)，其形美觀，常用于超輕材料的設(shè)計．曲線上的動點到原點的距離的取值范圍是．〖祥解〗先設(shè)曲線上的動點為，則，再令，，計算可得的范圍．【解答】解：由題意知，，設(shè)曲線上的動點為，到原點的距離為，則，令，則，，則，可得，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查兩點之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）若是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角大小為．〖祥解〗先求出直線的斜率，由此能求出直線的傾斜角大?。窘獯稹拷猓菏侵本€的一個方向向量，直線的斜率，直線的傾斜角大小為．故答案為：．【點評】本題考查直線的傾斜角的求法，考查直線的方向向量、斜率、傾斜角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（2024?黃浦區(qū)校級三模）已知直線的傾斜角為，且直線與直線垂直，則．〖祥解〗根據(jù)題意，求得直線的斜率，結(jié)合直線、互相垂直算出的斜率，進而求出傾斜角的大?。窘獯稹拷猓褐本€即，斜率，因為直線、互相垂直，所以直線的斜率，直線的傾斜角為，則，結(jié)合，，可知．故答案為：．【點評】本題主要考查直線的方程及其性質(zhì)、兩條直線垂直與方程的關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024春?徐匯區(qū)校級期末）已知直線與直線垂直，則2．〖祥解〗根據(jù)兩直線垂直，分類討論，直接列出方程求解，即可得出結(jié)果．【解答】解：當(dāng)時，，由知，斜率為2，所以直線與不垂直，不符合題意；當(dāng)時，，因為直線與直線垂直，所以，解得．故答案為：2．【點評】本題主要考查直線垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024春?虹口區(qū)期末）設(shè)實數(shù)和均是集合，2，3，中的兩個不同的元素，則方程所表示的不同直線的條數(shù)為12．〖祥解〗由于集合，2，3，中的元素不能選出成比例的兩對，所以任取實數(shù)、，得到的直線都不與其它直線重合，由此利用計數(shù)原理算出答案．【解答】解：從集合，2，3，中取出兩個數(shù)作為、，得到方程，共有種方法，因為這12個方程對應(yīng)的直線中任意兩條直線都不重合，所以方程所表示的不同直線有12條．故答案為：12．【點評】本題主要考查直線的方程、計數(shù)原理的應(yīng)用等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024春?長寧區(qū)期末）直線與直線的夾角大小為．〖祥解〗由直線斜率與傾斜角的關(guān)系，再結(jié)合直線夾角的概念即可求解．【解答】解：因為直線的斜率為，則其傾斜角為，所以直線與直線的夾角大小為．故答案為：．【點評】本題主要考查兩直線的夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024春?徐匯區(qū)校級期末）設(shè)點是曲線上一點，則點到直線最小的距離為．〖祥解〗設(shè)，利用點到直線距離公式表示出點到直線距離，根據(jù)函數(shù)最值即可求解．【解答】解：點是曲線上一點，則可設(shè)，則點到直線的距離為，當(dāng)時，．故答案為：．【點評】本題主要考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．22．（2024春?徐匯區(qū)校級期末）已知直線與直線互相平行，則它們之間的距離是．〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式計算得解．【解答】解：由直線與直線互相平行，得，則直線與直線的距離為：．故答案為：．【點評】本題主要考查平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024春?寶山區(qū)期末）經(jīng)過點，且與直線平行的直線的方程為．〖祥解〗由題可設(shè)所求直線方程為，將點的坐標(biāo)代入，求出的值，即可得解．【解答】解：設(shè)與直線平行的直線方程為，將點代入，可得，解得，所以經(jīng)過點，且與直線平行的直線的方程為．故答案為：．【點評】本題主要考查直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系，考查方程思想與運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024春?浦東新區(qū)校級期末）與圓外切且圓心在原點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．〖祥解〗先求得已知圓的圓心和半徑，再根據(jù)外切的性質(zhì)可得所求圓的半徑，進而得解．【解答】解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，則其圓心坐標(biāo)為，半徑為2，設(shè)所求圓的半徑為，則，解得，可得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．【點評】本題考查圓與圓的位置關(guān)系以及圓的方程，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．25．（2024?青浦區(qū)校級模擬）已知圓恒過定點，，則直線的方程為．〖祥解〗根據(jù)題意將圓方程整理，可得，利用圓系方程得出：圓經(jīng)過圓與直線的交點，進而可得直線的方程．【解答】解：圓，可化為，由此可得：圓是經(jīng)過圓與直線的交點的一個圓，因此，直線就是直線，即直線的方程為．故答案為：．【點評】本題主要考查圓的方程及其性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題．26．（2024?浦東新區(qū)二模）已知圓，圓，若兩圓相交，則實數(shù)的取值范圍為．〖祥解〗由已知結(jié)合兩圓位置關(guān)系的條件建立關(guān)于的不等式，即可分別求解．【解答】解：因為圓可化為，圓心，半徑為1，圓可化為，圓心，半徑為3，，若兩圓相交，則，即．故答案為：．【點評】本題主要考查了兩圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．27．（2024春?徐匯區(qū)校級期末）已知兩點，所在直線的斜率為1，則0．〖祥解〗根據(jù)兩點的斜率公式計算可得．【解答】解：因為兩點，所在直線的斜率為1，所以，解得．故答案為：0．【點評】本題考查了直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題．28．（2024春?浦東新區(qū)校級期末）直線與直線的夾角大小為．〖祥解〗分別求出直線和直線的傾斜角，由此可得它們的夾角大?。窘獯稹拷猓褐本€的傾斜角為，直線的斜率為，則其傾斜角為，所以直線與直線的夾角大小為．故答案為：．【點評】本題考查兩直線的夾角求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．29．（2024春?寶山區(qū)期末）若無論實數(shù)取何值，直線都經(jīng)過一個定點，則該定點坐標(biāo)為．〖祥解〗根據(jù)題意，取兩個不同的值得到兩條直線，然后解方程組得到兩條直線的交點坐標(biāo)，再加以驗證即可得出答案．【解答】解：當(dāng)時，直線為；當(dāng)時，直線為．由，解得，即兩條直線的交點為，將代入方程的左邊，得，恒成立，因此，直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)為．故答案為：．【點評】本題主要考查直線的方程、含有參數(shù)的直線方程的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．30．（2024春?靜安區(qū)期末）圓在點處的切線方程為．〖祥解〗設(shè)所求切線為，根據(jù)點在圓上，得到，由此利用垂直的關(guān)系算出的斜率，進而求出切線的方程．【解答】解：設(shè)所求切線為，由在圓上，可知，因為的斜率，所以切線的斜率，可得切線的方程為，即．故答案為：．【點評】本題主要考查直線的方程、圓的方程、圓的切線的性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．31．（2024?長寧區(qū)二模）直線與直線的夾角大小為．〖祥解〗根據(jù)題意，先求出兩條直線的斜率，然后利用兩角差的正切公式算出夾角的正切值，進而可得答案．【解答】解：設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，滿足，，，，因為，所以，即兩條直線的夾角大小為．故答案為：．【點評】本題主要考查直線的斜率與傾斜角、兩角差的正切公式等知識，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．32．（2024?嘉定區(qū)校級模擬）人臉識別，是基于人的臉部特征信息進行身份識別的一種生物識別技術(shù)．在人臉識別中，主要應(yīng)用距離測試檢測樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，，，則曼哈頓距離，余弦距離，，，其中為坐標(biāo)原點）．已知點，，則的最大值為．〖祥解〗根據(jù)題意作出示意圖形，可得點在正方形的邊上運動，結(jié)合題意分析，的最大值，即可求出本題的答案．【解答】解：設(shè)，由題意得：，即，而表示的圖形是正方形，其中、、、．即點在正方形的邊上運動，，，可知：當(dāng)，取到最小值時，，最大，相應(yīng)的有最大值．因此，點有如下兩種可能：①點為點，則，可得，；②點在線段上運動時，此時與同向，取，則，．因為，所以的最大值為．故答案為：．【點評】本題主要考查直線的方程及其應(yīng)用、平面向量的夾角與數(shù)量積等知識，考查了計算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題．33．（2024?閔行區(qū)校級三模）用表示點與曲線上任意一點距離的最小值．已知圓及圓，設(shè)點為圓上的動點，則的最大值為3．〖祥解〗由圓心距與半徑的關(guān)系可得兩圓相離，再由題意與圓的相關(guān)知識即可求得．【解答】解：由圓，得圓心，半徑，由圓，得圓心，半徑，因為，所以兩圓外離，因為點為圓上的動點，所以，所以的最大值為．故答案為：3．【點評】本題考查兩圓的位置關(guān)系，涉及圓上的點與圓心的距離的最值問題，屬于中檔題．34．（2024?浦東新區(qū)校級四模）直線與圓相交所得的弦長為，則實數(shù)2．〖祥解〗將圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心為，半徑，然后根據(jù)直線被圓截得的弦長為，由弦長公式建立關(guān)于的方程，解之可得實數(shù)的值．【解答】解：圓，化成標(biāo)準(zhǔn)方程得，可知圓心為，半徑，圓心到直線的距離，因為直線與圓相交所得弦長為，所以，即，解得（舍負）．故答案為：2．【點評】本題主要考查圓的方程及其性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、點到直線的距離公式及其應(yīng)用，屬于中檔題．35．（2024春?寶山區(qū)期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一．比如：這個代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點可得，方程的解為．〖祥解〗根據(jù)題意，先求出以、為焦點，實軸長為的雙曲線方程，然后設(shè)該雙曲線與直線交于點，由雙曲線的定義推出的縱坐標(biāo)是方程的解，進而由直線與雙曲線的方程解出的值，即可得到所求方程的解．【解答】解：設(shè)動點滿足，若，，則，，可得，可知點在以、為焦點的雙曲線上，雙曲線的焦距，可得，由，可得，所以，雙曲線的方程為，設(shè)該雙曲線與直線交于點，由雙曲線的定義得，點的縱坐標(biāo)是方程的解，在中令，得，解得，所以方程的解是．故答案為：．【點評】本題主要考查兩點間的距離公式、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識，考查了計算能力、概念的理解能力，屬于中檔題．36．（2024?徐匯區(qū)模擬）若兩圓與相內(nèi)切，則．〖祥解〗求出兩圓的圓心坐標(biāo)分別為、，半徑分別為1和2．根據(jù)兩圓內(nèi)切，利用兩點的距離公式建立關(guān)于的等式，解之即可得到正數(shù)的值．【解答】解：將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，圓的圓心為、半徑，同理可得圓的圓心為、半徑，兩圓內(nèi)切，兩圓的圓心距等于它們的半徑之差，可得，解之得或，故答案為：．【點評】本題給出含有字母參數(shù)的圓方程，在兩圓內(nèi)切的情況下求參數(shù)的值．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、兩點間的距離公式和兩圓的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．37．（2024?閔行區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的動點，若，，，則的最小值為8．〖祥解〗由向量的運算，結(jié)合圓的性質(zhì)求解．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上的動點，若，，，則，則．故答案為：8．【點評】本題考查了向量的運算，重點考查了圓的性質(zhì)，屬中檔題．38．（2024?虹口區(qū)模擬）已知點在圓內(nèi)，過點的直線被圓截得的弦長最小值為8，則．〖祥解〗根據(jù)點與圓的位置關(guān)系，可求得的取值范圍，再利用過圓內(nèi)一點最短的弦，結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于的方程，求解即可．【解答】解：由點在圓內(nèi)，所以，又，解得，過圓內(nèi)一點最短的弦，應(yīng)垂直于該定點與圓心的連線，即圓心到直線的距離為，又，，所以，解得，故答案為：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．39．（2024?浦東新區(qū)校級四模）已知曲線和圓有2個交點，則實數(shù)的取值范圍是．〖祥解〗分，，，幾種情況，結(jié)合圖象的變換知識即可求的取值范圍．【解答】解：當(dāng)時，由圖象的變換可得，與一定有兩個交點，當(dāng)，過點，求導(dǎo)可得，，所以在處的切線方程為，此時的圓心到直線的距離，所以直線與圓只有一個公共點，此時與只有一個交點，當(dāng)向左移動時，即時，與一定沒有交點，當(dāng)時，與一定有兩個交點，故曲線與有兩個交點時的取值范圍為．故答案為：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系問題，考查了分類討論思想，是中檔題．40．（2024春?虹口區(qū)期末）直線被圓所截得的弦長為2．〖祥解〗根據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長．【解答】解：由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑為3，所以點到直線的距離，所以直線被圓截得的弦長為．故選：2．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題．41．（2024春?徐匯區(qū)校級期末）已知圓，，是過原點且互相垂直的兩條直線，若被截得的弦長與被截得的弦長的比為，則直線的斜率．〖祥解〗根據(jù)題意可設(shè)直線，直線，結(jié)合垂徑定理求弦長，列式求解即可．【解答】解：因為圓，即為，可知圓心為，半徑，由題意知：直線，的斜率存在，且不為0，設(shè)直線，則直線，則圓心到直線，的距離分別為，由題意可得：，解得．故答案為：．【點評】本題考查了圓的性質(zhì)，重點考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題．42．（2024春?黃浦區(qū)校級期末）過圓上一點的圓的切線方程為．〖祥解〗由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后求出與圓心的距離判斷出在圓上即為切點，根據(jù)圓的切線垂直于過切點的直徑，由圓心和的坐標(biāo)求出確定直線方程的斜率，根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為，求出切線的斜率，根據(jù)坐標(biāo)和求出的斜率寫出切線方程即可．【解答】解：由圓，得到圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，而，所以在圓上，則過作圓的切線與所在的直線垂直，又，得到所在直線的斜率為2，所以切線的斜率為，則切線方程為：即．故答案為：．【點評】此題考查學(xué)生掌握點與圓的位置關(guān)系及直線與圓的位置關(guān)系，掌握兩直線垂直時斜率所滿足的關(guān)系，會根據(jù)一點的坐標(biāo)和直線的斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．43．（2024春?徐匯區(qū)校級期末）已知，，是圓上的一個動點，則的最大值為．〖祥解〗設(shè)，則，其中，由余弦定理求得，再由平方關(guān)系得，然后由導(dǎo)數(shù)求得最大值．【解答】解：設(shè)，則，其中．因為，，所以，由余弦定理得：，因為，所以，所以，記，則，所以令，解得：，函數(shù)遞增；令，解得：，函數(shù)遞減；所以．故答案為：．【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．三．解答題（共3小題）44．（2024春?長寧區(qū)期末）（1）已知直線方程，，求出實數(shù)分別取何值時，與分別：相交、平行、垂直；（2）已知曲線的方程為，求過點且與曲線相切的直線方程．〖祥解〗（1）先分別求出平行、重合以及垂直時的值，然后再利用直線的位置關(guān)系以及