湖南省長沙市2022屆高三數(shù)學(xué)模擬考試（二）試卷-附答案

湖南省長沙市2022屆高三數(shù)學(xué)模擬考試（二）試卷

注意事項：

1.本試卷分和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號

填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={目/一％一2<0},則?A=（）

A.1x|-1<x<2jB.1jr|-l<x<2|

C.{小<-1或x>2}D.{小〈-1或xN2}

2.已知復(fù)數(shù)z=-2+3i,則在復(fù)平面內(nèi)I對應(yīng)的點位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.下列函數(shù)中，在R上為增函數(shù)的是（）

cx2f2v,x>0

A.y=2B.y=x2C.y=<D.y=\gx

x,x<0

4.已知3cos2a—8cosa=5,貝ijcosa=（）

小

D.—

3

5.有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同.已

知三個房間的粉刷面積分別為x,y,x（單位：rtf）,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用

分別為a,b,c（單位：元/n?）,且a<匕<c.在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）

是（）

A.ax-vby+czB.az+by+exC.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

6.已知羽y是兩個具有線性相關(guān)的兩個變量，其取值如表:

X12345

y4m9n11

其回歸直線y=%+a過點(3,7)的一個充要條件是()

A.m=n=5B.m=n=6C.m+n=11D.m=5,n=6

7.已知函數(shù)〃x)=Asin(a)x+0)(A>0,G>0,帆歸］)的圖象如圖所示.則/(0)=

8.函數(shù)/(x)的定義域為R,若〃x+l)是奇函數(shù)，/(x—1)是偶函數(shù)，貝！I()

A.”X)是奇函數(shù)B./(x+3)是偶函數(shù)

C.43)=0D./(x)=/(x+3)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知圓C：x2+y2=\,則下列曲線一定與圓C有公共點的是()

A.過原點的任意直線B.x+y+2022=0

C.(%-1)2+/=1D.以(2,0)為圓心且半徑超過3的圓

10.某市教育局為了解“雙減”政策的落實情況，隨機在本市內(nèi)抽取了A,B兩所初級中學(xué)，

在每一所學(xué)校中各隨機抽取了200名學(xué)生，調(diào)查了他們課后做作業(yè)的時間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果

繪制了如下頻率分布直方圖：

頻率頻率

由直方圖判斷，以下說法正確的是(

A.總體看，A校學(xué)生做作業(yè)平均時長小于B校學(xué)生做作業(yè)平均時長

B.B校所有學(xué)生做作業(yè)時長都要大于A校學(xué)生做作業(yè)時長

C.A校學(xué)生做作業(yè)時長的中位數(shù)大于B校學(xué)生做作業(yè)時長的中位數(shù)

D.B校學(xué)生做作業(yè)時長分布更接近正態(tài)分布

11.在平面直角坐標(biāo)系M))，中，點M(4,4)在拋物線V=2px(/?>0)上，拋物線的焦

點為F,延長MF與拋物線相交于點N,則下列結(jié)論正確的是(

17

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=—1B.

7

C.AOMN的面積為eD.\MF\+\NF\^\MF\-\NF\

12.著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下、從小到大套著”

個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較

大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將〃個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱

子的最少操作數(shù)為4,則()

A.%=3

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(M,1),b=(2,A/3),若a〃b,則a-b=.

14.將4名志愿者全部分配到3個核酸檢測點，每個檢測點至少分配1名志愿者，則不同的

分配方案有種.

X2y2

2

15.已知雙曲線T=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右焦點為F,點B(0,b),雙

a"b~

曲線的漸近線上存在一點P,使得A,B,F,P順次連接構(gòu)成平行四邊形，則雙曲線C的離心

率6=.

16.已知菱形ABCD的各邊長為2,ND=60。.如圖所示，將△ACD沿AC折起，使得點D

到達點S的位置，連接SB,得到三棱錐S幺BC,此時SB=3.則三棱錐S乂BC的體積為

;E是線段SA的中點，點F在三棱錐SfiBC的外接球上運動，且始終保持EF1AC,

則點F的軌跡的周長為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分10分)

已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝中，4=2,且%，%，做成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式;

（2）若2=牝+2"”（〃eN*）求數(shù)列也｝的前n項和7；.

18.（本小題滿分12分）

設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,且COSC="加8

b

（1）求角B的大小;

（2）若邊AB上的高為一，求COSC.

4

19.(本小題滿分12分)

如圖，在正方體ABCD乂BCD中，點E在線段CD」-,CE=2EDi，點F為線段AB

上的動點.

(1)若EF〃平面ADDiA”求——的值；

FB

(2)當(dāng)F為AB中點時，求二面角E~DFt的正切值.

20.(本小題滿分12分)

某特種商品生產(chǎn)企業(yè)的甲、乙兩個廠區(qū)共生產(chǎn)產(chǎn)品4a件，其中共有不合格產(chǎn)品。件，下

圖為全部產(chǎn)品中甲、乙兩廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)的分布圖(圖1),以及不合格產(chǎn)品中甲、乙兩廠區(qū)

生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)的分布圖(圖2)：

全部產(chǎn)品的分布圖不合格產(chǎn)品的分布圖

?甲廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品口乙廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品?■甲廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品口乙廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品

圖1圖2

(不合格不率合=格匕產(chǎn)器品數(shù)衿

(1)求甲、乙廠區(qū)各自生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率；

(2)用不合格率估計抽到不合格產(chǎn)品的概率，

(i)用分層抽樣方法在兩廠區(qū)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取容量為4的樣本，記X為樣本中不合格

品的件數(shù)，求X的分布列.

(ii)用簡單隨機抽樣方法在兩廠區(qū)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取容量為4的樣本，記y為樣本中不

合格品的件數(shù).比較E(X),E(7)的大小，并說說你對這一大小關(guān)系實際含義的理解。

21.（本小題滿分12分）

2

如圖，已知橢圓C：，+>2=1其左、右焦點分別為F|,F2，過右焦點F2且

垂直于X軸的直線交橢圓于第一象限的點P,且sin/P6g=；

（1）求橢圓C的方程;

（2）過點S（0,-g）且斜率為左的動直線/交橢圓于A,B兩點，在y軸上是否存在定點

M,使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出點M的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

22.(本小題滿分12分)

2

已知/(x)=lnx-x——，0<x,<x2.

(1)求/(x)的最大值；

（2）求證：⑴存在天€（石,泡），使得/'（%）="'）二'"上）

玉一看

（ii）當(dāng)存在玉使得‘時，有％+々>2%.

玉一馬

數(shù)學(xué)參考答案

一、二、選擇題

題號123156789101112

答案DCCABCABACADADAD

1.D［解析JA={N|一】《2}?則CRA={#|HC—1或42).

2.C【解析】之=一2一3入，在復(fù)平面內(nèi)c對應(yīng)的點為(一2?一3).在第三象限.

3.C【解析】A為減函數(shù).B為先減后增函數(shù).C兩支均為增函數(shù)?且當(dāng)了<0時/(h)Vf(O).則('為R上的增函數(shù).D

定義域不是R.

4.A【解析】由條件得6cos2a_8cosa—8=0.解得cosa—2(舍去).或cosa=—1".

5.B【解析】?；/<丁0且aV4Vc???.a.r+〃y+e=—(。之+力)+cr)=aQ—z)+(?(%—1)

——(.x-z)(a-c>>0??,?aa'+〃y+cs>a￡+Z\y+c/;

同理ay+Z^+cr-(ay+/u:+cs)=6(%—工)+，(1-s:)=(N-.r)(Zr-c)VO,

，”+辰+crV”+〃.r+cs；

同理以？+。1y+cr-(ay+〃z+cr)=a(z->?)+〃('-N)=(N-1y)(a-6)V0.

；?az++cx<Zay++ex.

，最低費用為1y+cr.

6.C【解析r.?回歸直線經(jīng)過樣本中心(3.R^3)....其經(jīng)過點(3.7)的充要條件為=7.即,"+”=11.

7.A【解析】由圖象可得/⑺的最小正周期T=4情一號)=工..，.3=隼=2.

由2?警+2&jr.*ez,解得+2&"*eZ.由I《3彳導(dǎo)yh.

/(.r)=Asin(2i+.)t.\)=Asinn=0.

8.B【解析】由條件知/(i)的一個對稱中心是(l?0),一條對稱軸為才=-1,則z=3也是對稱軸?即八1+3)是偶函

數(shù).B正確.A、C不確定.對于D：僅可判斷周期為T=2X4=8.即/Q)=/(.r+8).

［另解］由奇函數(shù)條件得〃。+1)=—/(一才+D.由偶函數(shù)條件得/(1-1)=/(一/-1)=>/1+1)=，(一工一3)?

???一/(-7+1)=/(一.丁一3)=>/(/)+人1+4)=0?則八7+8)=—/(/+4)=/(外?即周期為8.另一方面/(.r+5)

=-/(.r+l)=/(-r+l)=>f(x+3)=/(一.,+3)?即人/+3)是偶函數(shù).

9.AC【解析】A選項：原點在圓('內(nèi)部,相交；B選項：4=些>1.相離；

-J2

C選項：圜心距4=16(0.2),兩圓相交；D選項：心>3時,圓心距，=2V=2一門,兩圓為內(nèi)含關(guān)系?無公共點.

1().AD【解析】由直方圖可知.八校學(xué)生做作業(yè)時長大部分在1?2小時.

而B校學(xué)生做作業(yè)時長大部分在2.5?3.5小時,故A正確,C錯誤；

B校有學(xué)生做作業(yè)時長小于1小時的.而A校有學(xué)生做作業(yè)時長超過5小時的,故B錯誤；

B校學(xué)生做作業(yè)時長分布相對八校更對稱?故D正確.

11.AD【解析】將M(4.4)代入y2=2Ar得力=2,則./=41?準(zhǔn)線為/=-LA正確；

IMF：_y=2(_r—1),與拋物線聯(lián)立得4M—17i+4=O.解得工」=4=1~?

“34

數(shù)學(xué)參考答案(雅禮版)一1

則IMN|==x,+/2+Z>=苧.B錯誤；

S&MN=-1--|OFI?Iyi—yz\=yXIX|y（xi-x2）|=-|-.C錯誤；

|MF|=.n+《=5,|NF|=4+丹="■?故IMF|+|NF|=\MF\?\NF\=￥.D正確.

L444

12.AD【解析】將圓盤從小到大編為1?2,3?…號圓盤.則將第〃+1號圓盤移動到3號柱時?需先將第I?〃號圓盤移

動到2號柱?需知次操作；將第〃+1號四盤移動到3號柱需1次操作；再將1?〃號圓盤移動到3號柱需/次操

作?故a,i=2/+】.由此遞推關(guān)系及川=1可求得通項為6=2"—1.則。2=3?%=7.

三、填空題

13.473【解析】Ta〃瓦???伍義悟=1乂入=>入=3????。?6=（6?1）?（3.73）=473.

14.36【解析】1人中選出2人一組?另兩人各一人一組?有亡=6種分組方法.再將3組分配到3個檢測點?有N=6

種分配方法.故共有不同分配方案6X6=36種.

15,2【解析】由題已如4一。?0）,尸々?0）?鳳0而，設(shè)「（劭?。?

???4?5￥./）順次連接構(gòu)成平行四邊形.???對角線人5.3/）同中點?

:.—a+c=O+/u?0+0=。+?,?解得P（c—a.—〃）.

TP在漸近線上?，|=—=>c=2a=^e=2.

16.亨?亨八（第1空2分.第2分3分）【解析】取AC中點M,由菱形條件得SM=M8=6?且AC_L平面SMB.由

SB=3可得30°,則三棱錐的高a=sin/S/，M?■?體積為

作EH_\_AC于H,設(shè)點F就跡所在平面為a.則平面a經(jīng)過點H且AC_La.

設(shè)三棱錐SABC外接球球心為O.Z\SAC?Z\3AC的中心分別為O,,（》.易知（XKJ_平面SAC?（X%_L平面BAC\

且O.g.Q.M四點共面.

由對稱性得/OMa=4/。Ma=60°.解RWXRM得（X%=乃。M=1.則三棱錐S-ABC外接球半徑r=

/OC￥+aS?=<4，易知O到平面a的距離（X）3=M〃；1?故平面a極外接球所得微面圓的半筱為，T=

/一—日片=皆.其周長為/=2幾門=醇冗.即點F軌跡的周長為醇兀

06O

四、解答題

17.【解析】（1）設(shè)<%}公差為〃.由題意得（2+44尸=（2+24）（2+74）.

解得4=1,或者4=0（舍去）.........................................................（5分）

⑵7；=S?+{2"，=（2+%十1士十:"盧日）=2-2+當(dāng)—4...............................................................（10分）

t?l4-1，1-44L

18.t解析】（1）由cosC=--戶）3一i~~—=>1/=a2+c2—2tzrsinB.

bLab

*.*Ir=a:+r?—2a<cosB.sinB=cosB=>tanB—1.VB^（O.TC）?.............................................（6分）

4

教學(xué)參考答案（雅禮版）一2

［另解」由條件及正弦定理得sinBcos（,=sinA—sinCsinB,VAJ-BH-C=7t.sinA=sin（B4-C）?則條件式可化為

sinBcosCsin（BbO~■sinCsinB=>sinC'sinE=cosEsin

7sinC>°*AsinB=C0S2tanB=l=B=g.

22

（2）由S.A,A/K-=-^-c,-y=-^-acsinB=>a=^c.??!）=v/a4-c-2arcosB=-^^~c

（12分）

［另解］如圖?作于H.

RtAHBC'中.B=^.CH=f.JHB=f,BC=詹????AH=半.

44444

HB

RtAHAC中.AC=JAH：+CH'=24^.

4

.「ACTBG—AB，（半）+（華）T的

"m2AC-13CYiOe^e百

LAZ入一~~

\9.【解析】（1）過E作EGJ_nD于G.連接GA.

則EG〃C'D.而CD〃尸A.所以EG//FA.

因為EF〃平面ADD】Ai?EFU平面EFAG.

平面EGAFA平面ADD14=GA.所以EF//GA.

所以四邊形EGAF是平行四邊形.所以GE=AF.

因為CE=2ER.所以鋁=貧.

的..AF_1缶.,AF_1

所以麗=w,所以而=三?.................................（5分）

（2）如圖建立空間宜角坐標(biāo)系?設(shè)正方體棱長為3a?則D（O.O.O）.

E（0.u.2a）.C（0.3tz.0）.F（3a.y.0）.易知平面DCF的一個法向量力=（0?0.1）?設(shè)平面

EDF的法向量為〃_—（.「?丁,之）?

因為茄=（%與.0）,徒=（0皿.勿）.

|w2?茄=3ar+竽=0,

則J1可取的=（1.-2?1）?

In>,DE=ay+2az=0.

由圖知兩平面所成角0為脫角.則其余弦值為cosd=

I〃J?I加I-而'

得3*7^=底..................................（12分）

［另解］過E作EH1,CD于D.過H作HM_LDF于連接EM.

因為平面CDDG_L平面ABC'D.EH±_CD,

所以EHJ_平面ABCD

因為D門U平面ABCD.所以EH±DF.

又〃M_LQF.所以DFJ_平面EMII.

因為EMC平面EMH.所以DF±EM

所以NEMH是二面角E—DF—C的平面角.

數(shù)學(xué)參考答案（雅禮版）一3

設(shè)正方體的棱長為3a?則EH-2.a.DH=a,

在RtAADF中.DF=，A￡F+AF=等〃.

則SWF=±DF?MH=4DH?AgMH=/a?，ianNEMH一鋁=夜

4475MH

20.【解析】(1)由圖1知設(shè)甲廠區(qū)生產(chǎn)入件產(chǎn)品,乙廠區(qū)生產(chǎn)a件產(chǎn)品.由圖2知甲、乙兩廠各生產(chǎn)不合格產(chǎn)品要件.

aa

則甲廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率為乙廠區(qū)生產(chǎn)產(chǎn)品的不合格率R—T...........................(3分)

(2)(i)根據(jù)分層抽樣可知?樣本中3件產(chǎn)品來自甲廠區(qū)?1件產(chǎn)品來自乙廠區(qū).X的所有可能取值為0,1,2,3,4.

p(x=o)=(f)3.i=ig,p(x=?=aI-(f)2-l+d-)1

p(x=21=c(V)‘.L+a卷?(得)’.+=余

P(X=3)=(V)，.十+0(小丁■?專=宓.P(X=4)=(V)，.母=癥

則X的分布列為：

X01234

12525511

P

432542427432

(儲全部產(chǎn)品的不合格率為片言=9?由簡單隨機抽樣方法知丫?B(4?9)?

由⑴知E(X)=0X掇+1X翁+2嚙+30+4X忐=1.

：.E(X)=E(Y).

說明抽樣方法不同,但都是等可能抽樣且樣本容量相同時，樣本中不合格品件數(shù)的期望也相同...........(12分)

21.【解析】⑴VsinZPFiF2==y?IPF；|+|PF/=2”.

???|PEI=如IPEI=費????IPFz1+|RFz產(chǎn)=IPB12,|EEI=2c、：.a=0.

???一=—片1血=7%???橢圓方程為吃+-=1................................................................................(4分)

［另解］設(shè)P(C.M).代入橢圓方程,由/=/+1.解得|PF.|=M=—?

???sin/PBB=4^4=y，，IPEITJ；IPF.|+|m|=2a??入=伍

???橢圓方程為§+*=L

,1

y=kx--，

得（萬+—竽

(2)動直線/的方程為：y—k.r--.由2D/r-￥=0.

5+y=L

伙16

設(shè)人（力?y）.3（.R）.則不+.r=3（*7）?n=

29（2萬+1）'

A=y*2+y（l+2F）=16*24-y>0................................................................................................................（6分）

教學(xué)參考答案(雅禮版)一I

由對稱性可設(shè)存在定點滿足題設(shè).則MA=（m,y—.y）—〃?）.

MA-

=>（1+公）力.誦一￡（《+/〃）（.?+也）+（T+/〃）=0

芯+（3/+2加-5）=0,...................................................................................................................（9分）

由題意知上式對VAGR成立.

.,?“I2—1=0且3〃f+2〃i-5=0.解得帆=1....................................................................................................（11分）

???存在定點M.使得以AB為直徑的圓恒過這個點?且點M的坐標(biāo)為（0.1）.............................................（12分）

—2(1—1)(J*2)

.【解析】⑴/⑷=春一益+十

22（2分）

當(dāng)0Vr<l時?/（i>>0./Cr）單調(diào)遞增；當(dāng)工>1時