數(shù)據(jù)、模型與決策（原書第16版）課件匯 第1-8章導論-非線性最優(yōu)化模型

數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第1章、導論章節(jié)內容1-1 解決問題與制定決策1-2 定量分析與決策1-3 定量分析1-4 成本、收益與利潤模型1-5 管理科學技術

本章小結學習目標完成本章后，你將能夠:LO1.1

定義“管理科學”和“運籌學”這兩個術語LO1.2

列出決策過程中的步驟，并解釋定性和定量方法在管理決策中的作用LO1.3

解釋建模過程，以及建模對分析真實情況的好處LO1.4

建立成本、收益和利潤的基本數(shù)學模型，計算盈虧平衡點引言涉及決策定量方法的知識體系有若干不同的稱謂：

管理科學運籌學決策科學一般認為發(fā)端于第二次世界大戰(zhàn)期間，并且在商業(yè)和工業(yè)中蓬勃發(fā)展，有兩方面的發(fā)展推進了管理科學的應用:持續(xù)的研究促進了方法論的大發(fā)展(例如：解決線性規(guī)劃問題的單純形法)數(shù)字計算機的計算能力有了飛躍1-1解決問題解決問題

是一個識別實際問題與期望狀態(tài)之間的差異，然后采取行動解決這種差異的過程。解決問題的過程包含如下七個步驟:識別與定義問題.識別備選方案.確定一個或一組用于評估備選方案的標準，即確定標準.評估備選方案.選擇一個方案.實施選定的方案.對實施結果進行評估.1-1制定決策制定決策

包含了解決問題的前五步。只根據(jù)一個標準來選擇最優(yōu)方案的問題通常被稱為單準則決策問題。多于一個標準的決策問題通常被稱為多準則決策問題。決策就是選擇最佳備選方案。1-2定量分析與決策決策過程的分類該流程圖在“將問題結構化”欄下結合了決策過程的前三步，而后兩步則歸入“分析問題”欄下。1-2決策過程的分析階段定性分析和定量分析所扮演的角色定性分析:基于管理者的判斷和經(jīng)驗而進行的包含管理者對問題的直覺更像一門藝術而非科學定量分析:基于問題相關的量化資料和數(shù)據(jù)使用數(shù)學表達式描述問題的目標、約束條件和其他關系的數(shù)學表達式可使用一種或多種定量方法做決策建議1-3定量分析決策制定中采用定量分析方法的原因問題很復雜問題非常重要問題是新的問題是重復的定量分析過程的四個步驟建模數(shù)據(jù)準備模型求解報告編寫1-3第1步：建模模型是對實際對象或情境的一個反應。三種主要的模型有:形象模型

–實際對象的物理仿制模擬模型-也是物理模型，但在外形上同被建模的對象并不一樣數(shù)學模型

–用系統(tǒng)化的符號和數(shù)學表達式或關系式來反映實際問題。與比用實物或真實場景做試驗相比，用模型做試驗(1)需要的時間更少(2)成本更低(3)風險更小模型越接近真實情況，結論和預測就越準確。1-3示例：簡單的生產問題一個數(shù)學模型由一個目標函數(shù)組成，該函數(shù)由一個可控輸入（稱為決策變量）描述，并受到一組限制（稱為約束）的影響，這些限制是由環(huán)境因素（稱為非可控輸入）施加的。

作為一個例子，考慮以下簡單的生產問題：我們想知道每周應該生產和銷售多少單位的產品，以最大化每周的總利潤，每單位的利潤為10美元。我們知道生產每個單位需要5小時，每周只有40小時可用。1-3數(shù)學模型決策變量：x是正在生產的單位數(shù)。目標函數(shù)：每單位的利潤為10美元，目標函數(shù)是10x。非可控輸入：每單位的利潤（10美元）、每單位的生產時間（5小時）和生產能力（40小時）是環(huán)境因素。約束條件：因為生產每個單位需要5小時，每周有40小時可用，所以生產能力約束是5x≤40。我們簡單生產問題的完整數(shù)學模型是：

最大化：10x（目標函數(shù)）

約束條件：5x≤40（生產約束） x≥0（生產的單位數(shù)不能為負數(shù)）

1-3數(shù)學模型的類型有兩種主要類型的數(shù)學模型：確定性模型-當模型的所有非可控輸入都是已知的，并且不能變化。隨機（概率）模型–

含有一個或者多個不確定的非可控參數(shù)。隨機模型通常更難分析。在我們的簡單生產示例中，如果因原材料質量不同，導致單位產品生產時間在3-6小時之間變化，那么這個模型就變成了隨機模型。1-3第2步：數(shù)據(jù)準備在對模型進行分析，并對問題提供一個決策或方案的建議之前，所有的非可控輸入必須確定下來。數(shù)據(jù)準備不是一個微不足道的步驟，因為需要時間，并且可能會有數(shù)據(jù)收集錯誤。比如一個有50個決策變量、25個約束條件的小型線性規(guī)劃模型，就需要1300多個數(shù)據(jù)元素。通常，需要建立一個比較大的數(shù)據(jù)庫來支持數(shù)學模型?？赡苄枰畔⑾到y(tǒng)分析員參與到數(shù)據(jù)準備階段中來。1-3第3步：模型求解生產模型的試錯求解在此階段，分析人員將確定決策變量的具體值，以獲得模型的最優(yōu)輸出結果能夠使模型達到最佳狀態(tài)的角色變量的具體值通常被稱為模型的最優(yōu)解。如果某個方案不能滿足其中一個或多個約束條件，那么無論目標函數(shù)的值是多少，這個方案都將被拒絕，因為它是不可行解。如果所有的約束條件都滿足了，那么它便是可行解，可稱為最優(yōu)解或決策建議的候選方案。x=8是最優(yōu)解。1-3生產模型流程圖1-3求解后模型測試和驗證通常，模型的好壞或準確性直到生成解決方案后才能評估。可以用一些已有明確的或至少有期望答案的小規(guī)模問題來對模型進行測試和驗證。如果該模型能夠得到期望的答案，而且其他的輸出信息也沒什么錯誤的話，下一步就可以將模型應用到大規(guī)模實際問題了。但是如果在模型測試和驗證時發(fā)現(xiàn)存在一些潛在的問題，或模型本身有缺陷。就需要采取一些糾正措施：收集更加準確的數(shù)據(jù)對模型進行修改報告生成基于模型結果，應編制一份管理報告。該報告應易于決策者理解。報告應包含以下內容：推薦決策關于結果的其他重要信息（例如模型解對假設和數(shù)據(jù)敏感性的分析，以及敏感性分析結果的解釋）1-4成本、收益與利潤模型在商業(yè)和經(jīng)濟應用中，一些最基本的定量模型涉及適當?shù)臎Q策變量與目標函數(shù)之間的關系。典型的決策變量包括生產量或銷售量而常見的目標函數(shù)則是成本、收入或利潤通過使用這些模型，管理者可以確定與既定生產數(shù)量或預測銷售量相關的預計成本、收入以及利潤。1-4成本-數(shù)量模型示例:Nowlin塑料制品公司Viper，一款薄且非常耐用的塑料保護殼，顏色有灰、黑兩種，是NowlinPlastics最暢銷的手機殼。多種產品在同一生產線上生產，每次為新產品更換時都會產生3000美元的啟動成本。這種啟動成本是固定成本，不隨實際產量的變化而變化。

此外，假設每件產品的勞動力和原材料的可變成本是2美元。數(shù)學模型

1-4收益與利潤-成本模型收益-數(shù)量模型

利潤-數(shù)量模型

1-4盈虧平衡分析

1-5(最常用的)管理科學技術線性規(guī)劃：是解決線性約束條件下線性目標函數(shù)的極值問題。整數(shù)線性規(guī)劃：如果一個線性規(guī)劃模型同時要求一些或全部決策變量取值為整數(shù)，則此類模型被稱為整數(shù)線性規(guī)劃模型。配送網(wǎng)絡模型：這種模型可以幫助我們很快地解決諸如供應鏈設計、信息系統(tǒng)設計以及項目計劃的問題。仿真：是一項用來對系統(tǒng)運作進行模擬的技術。該技術使用計算機程序模擬運作過程并進行模擬運算。1-5(其他)管理科學技術非線性規(guī)劃：是在非線性約束下，最大化或最小化非線性函類的目標函數(shù)。庫存模型：管理者運用庫存模型來解決庫存中的兩難問題等候線或排隊模型：排隊模型可用于幫助管理者理解排隊系統(tǒng),并做出更優(yōu)的決策。預測：預測法是一項用來預測商業(yè)未來運作情況的技術。目標規(guī)劃：這種方法用來解決多準則決策的問題，通常使用線性規(guī)劃的框架。項目計劃：可以幫助項目管理者更好地掌握項目進程。決策分析：當遇到有多種備選方案以及不確定或充滿風險的情況時，可以用這種方法來選擇出最優(yōu)策略。層次分析法：這個多準則的決策技術允許在決策方案中加人一些主觀的因素。馬爾可夫過程模型：馬爾可夫過程模型用來研究特定系統(tǒng)重復工作情況下的演進。例如，用馬爾可夫過程描述某一時間段內正常工作的機器，在下一時間段內正常工作或發(fā)生故障的概率。本章小結本章討論的內容是管理科學如何幫助管理者更好地進行決策。決策制定過程和管理科學。在此過程中扮演的角色是本章的重點。數(shù)學模型是對現(xiàn)實世界的抽象描述，因此無法展現(xiàn)現(xiàn)實情況的所有方面。管理科學日益顯著的一個特點就是努力尋找問題的最優(yōu)解決方案。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第2章、線性規(guī)劃引論章節(jié)內容2-1 一個簡單的最大化問題2-2 圖解法2-3 極點和最優(yōu)解2-4 Par公司問題的計算機求解2-5 一個簡單的最小化問題2-6 特例2-7 線性規(guī)劃的通用符號

本章小結學習目標(1of2)完成本章后，你將能夠：LO2.1 確定可以在線性規(guī)劃中用作目標函數(shù)或約束條件的線性數(shù)學關系。LO2.2 為線性規(guī)劃問題做出一張含目標函數(shù)和約束條件的圖，并找出滿足約束條件的解。LO2.3 從線性規(guī)劃的圖形表示中確定可行域和極值點。LO2.4 使用圖解法求解線性規(guī)劃問題并解釋結果。LO2.5 從問題的文字描述中，公式化并解釋線性規(guī)劃模型的目標函數(shù)和約束條件。學習目標(2of2)LO2.6 在線性規(guī)劃的解中識別緊的、非緊的和冗余約束，并找到與約束條件相關的松弛/剩余變量。LO2.7 寫出線性規(guī)劃模型的標準形式。LO2.8 在Excel中建立線性規(guī)劃模型，并使用ExcelSolver求解。LO2.9 確定并解釋線性規(guī)劃的最優(yōu)解的情況:唯一最優(yōu)解，多重最優(yōu)解，不可行解，無界解。引言線性規(guī)劃是一種幫助管理者制定決策的解決問題的方法。線性規(guī)劃涉及在問題的數(shù)學模型僅包含線性函數(shù)時選擇行動方案。所有線性規(guī)劃問題的目標是某一數(shù)量的最大化或最小化。所有線性規(guī)劃問題都有約束，這些約束條件限制了目標函數(shù)的取值。2-1一個簡單的最大化問題Par公司高爾夫球袋業(yè)務Par公司是一個生產高爾夫器材的小型制造商，公司決定進入中高價位的高爾夫球袋市場。分銷商對新產品十分感興趣，且同意買進Par公司未來3個月內生產的全部產品。生產的每個高爾夫袋都需要以下操作：切割和印染縫制成型檢查和包裝Par公司約束Par公司的生產還受各個部門生產時間的限制。經(jīng)過對各個生產部門工作量的研究，生產主管估計未來3個月內每個部門可用的最大生產時間分別是：切割和印染630小時縫紉600小時成型708小時檢查和包裝135小時會計部門考慮了生產數(shù)據(jù)、相關變動成本以及產品價格之后，得出了標準球袋和高級球袋的單位產品利潤分別為10美元和9美元。2-1Par公司問題的數(shù)學表述

2-1問題模型化問題模型化或稱建模，是將語言文字描述轉化為數(shù)學描述的過程。全面的了解問題。描述目標。描述約束條件定義決策變量用決策變量寫出目標用決策變量寫出約束條件最優(yōu)解是滿足所有約束條件的可行解，使得目標函數(shù)值在最大化時盡可能大（或在最小化時盡可能小）。當有兩個變量時，可以使用圖解法求解線性規(guī)劃。2-2切割和印染約束線

2-2對應切割和印染約束的可行解用陰影區(qū)域表示滿足切割和印染約束條件的解。滿足所有約束條件的解，被稱為可行解。圖中的陰影區(qū)域被稱為可行解的集合，簡稱可行域。2-2對應縫制、定型、檢查和包裝約束的可行解2-2圖解法求解過程可行域

最優(yōu)解

2-2圖解法求解最大化問題的步驟小結為每個約束條件畫出可行解圖形。確定出同時滿足所有約束條件的解的可行域。畫出目標函數(shù)線，表示在特定目標函數(shù)值下的決策變量值。沿目標函數(shù)值增長方向平移目標函數(shù)線，直到移動到可行域的邊界。取得最大值的目標函數(shù)線上的可行解都是最優(yōu)解。2-2松弛變量所有變量都是非負的，并且所有約束條件都是等式形式的線性規(guī)劃被稱為標準型。通過向“小于或等于”約束添加松弛變量，并通過從“大于或等于”約束中減去剩余變量來實現(xiàn)標準型。松弛和剩余變量代表約束的左側和右側之間的差異。松弛和剩余變量在目標函數(shù)中的系數(shù)等于0。在Par公司最優(yōu)解中，縫制和檢查與包裝部門有120和18小時的未用時間。Max10S+9D++++s.t.+1D++++=630+++++=6001S+++++=708+++++=1352-2標準型的線性規(guī)劃通常在制定線性規(guī)劃問題時會添加松弛變量，以表示閑置或未用容量。未用容量不會對利潤做出貢獻；因此，松弛變量在目標函數(shù)中的系數(shù)為零。在添加了四個松弛變量（表示為S1、S2、S3和S4）之后，Par公司問題的數(shù)學模型變?yōu)?2-3極點與最優(yōu)解可行區(qū)域的頂點被稱為極點在尋找最優(yōu)解時，不必評估所有可行解點線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解可以在可行區(qū)域的極點找到。Par公司問題有5個可行區(qū)域的極點。Par公司問題的最優(yōu)解位于極點③。2-4計算機求解現(xiàn)在對于有成千上萬個變量和約束條件的問題，用計算機求解就成了常規(guī)、可行的方法。一些領先的商業(yè)軟件包,包括CPLEX、Gurobi、LINGO、MOSEK和Excel求解器。也有免費的計算機軟件包可用，包括Clp（COIN-OR線性規(guī)劃）、基于R語言的lpSolve軟件包和基于Python的PuLPlibrary軟件包。下面我們將解釋為Par公司問題提供的計算機輸出結果:最優(yōu)解提供了7668美元的利潤我們有540個標準和252個高級袋作為最優(yōu)生產量縫制和檢查與包裝部門分別有120和18小時的未用容量2-5M&D化學公司：一個簡單的最小化問題M&D化學公司生產兩種用于生產肥皂和清洗劑的原材料。

M&化學公司的管理層確定A和B的總產量至少要達到350加侖。.公司的一個主要客戶訂購的125加侖a產品必須首先得到滿足。每加侖的處理時間:產品A需要2小時產品B需要1小時生產成本為產品A每加侖2美元，產品B每加侖3美元。公司最大可用工作時間是600小時。M&D的目標是以最低的總生產成本滿足要求。在添加了非負約束(A,B≥0)之后，我們得到了M&D化學品問題的以下線性規(guī)劃：Max2A+3Bs.t.1A≥630產品A的需求1A+1B≥600總產量2A+1B≥708處理時間A,B≥02-5M&D化學公司問題的可行域和最優(yōu)解可行域

最優(yōu)解2-5圖解法求解最小化問題的步驟小結畫出每個約束條件的可行解。確定滿足所有約束條件的可行域。畫出目標函數(shù)線，表示在特定目標函數(shù)值下的決策變量值。沿目標函數(shù)值減小方向平移目標函數(shù)線，直至移動到可行域的邊界。目標函數(shù)線上具有最小值的可行解即為問題的最優(yōu)解。2-5剩余變量

Max2A+3B+++s.t.1A?=1251A+1B?=3502A+1B+=600≥02-6特例：多重最優(yōu)解

2-6特例：無可行解無可行解是指線性規(guī)劃問題，不存在滿足全部約束條件的解。在圖形中無可行解是指可行域，并不存在。假設管理層確定公司必須至少生產500個標準球帶和360個高級球帶。生產出500個標準球袋和360個高級球袋所需的資源無可行解原因可能包括：表述錯誤管理者的過高期望約束條件過多的問題2-6特例：無界解

2-7線性規(guī)劃的通用符號我們在Par公司問題中選擇了決策變量S和D，在M&D化學品問題中選擇了A和B，以便于記住這些決策變量在問題中代表的內容。.這種方法對于涉及少量決策變量的線性規(guī)劃效果很好，但在處理涉及大量決策變量的問題時變得困難。在線性規(guī)劃問題中，更加通用的符號是帶有下標的x

在Par公司例子中，我們可以將決策變量定義為：

x1=標準球袋的數(shù)量

x2=高級球袋的數(shù)量

使用這種變量命名方法時的一個缺點是我們不能夠輕松地識別出變量在數(shù)學模型中所代表的含義

如果模型中包含大量的決策變量，使用這種方法命名會相對比較容易。本章小結我們對如下兩個線性規(guī)劃問題進行了建模:Par行數(shù)學建模的過程中，我們給出了線性規(guī)劃模型的一公司最大化問題和M&D化學公司的最小化問題。

對這兩個問題，我們給出了圖解法的求解過程，并將不同軟件包的求解結果展示在表格中。線性規(guī)劃模型是具有如下特點的數(shù)學模型。求解最大化或是最小化的線性目標函數(shù)。存在線性約束集合。滿足非負約束的決策變量。松弛變量被用來將小于等于形式的約束條件轉變?yōu)榈扔谛问降募s束條件。剩余變量被用來將大于等于形式的約束條件轉變?yōu)榈扔谛问降募s束條件。松弛變量就是未使用的資源，而剩余變量則是超過某一最低需求的量。當所有的約束條件都寫成了等式形式時欄2-2介紹了“IBM使用線性規(guī)劃技術幫助供應鏈運行制訂計劃和進行管理”，這是線性規(guī)劃在實際中被就被稱為線性規(guī)劃問題的標準形式。如果一個線性規(guī)劃問題的解是不可行的或是無界的，那這個問題就沒有最優(yōu)解。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第3章、線性規(guī)劃的靈敏度分析和最優(yōu)解的解釋章節(jié)內容3-1 靈敏度分析的作用3-2 圖解法靈敏度分析3-3 優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋3-4 傳統(tǒng)靈敏度分析的不足3-5 電子通信公司問題

本章小結學習目標(1of2)完成本章后，你將能夠：LO3.1 使用圖解法對線性規(guī)劃問題的解進行靈敏度分析。LO3.2 使用計算機程序包如ExcelSolver對線性規(guī)劃問題的解進行靈敏度分析，并解釋輸出結果。LO3.3 解釋線性規(guī)劃問題中約束條件的對偶值(影子價格)。LO3.4 詳述并解釋線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)系數(shù)的最優(yōu)范圍。學習目標(2of2)LO3.5 詳述并解釋線性規(guī)劃問題中約束條件的可行范圍。LO3.6 解釋傳統(tǒng)靈敏度分析做出的假設，并能在假設不滿足時更新和求解新問題。LO3.7 解釋線性規(guī)劃問題中變量的遞減成本值。LO3.8 解釋沉沒成本和相關成本之間的差異，并能夠將適當?shù)某杀炯{入線性規(guī)劃模型。引言靈敏度分析是研究當一個線性規(guī)劃問題中的系數(shù)發(fā)生變化時，它對函數(shù)最優(yōu)解的影響程度。目標函數(shù)系數(shù)約束條件的右端值因為靈敏度分析研究的是系數(shù)的變化對最優(yōu)解的影響。所以在進行靈敏度分析之前，首先要計算出原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。因此靈敏度分析有時也被稱為后優(yōu)化分析。首先，我們將介紹如何使用圖解法進行雙變量線性規(guī)劃問題的靈敏度分析。其次，我們將介紹如何使用優(yōu)化軟件得到靈敏度分析報告。最后，我們將通過建模和求解三個更大的線性規(guī)劃問題來擴展對第二章中建模相關內容的討論。3-1靈敏度分析的作用靈敏度分析對于決策者的重要性不言而喻。在真實世界里，周圍的環(huán)境、條件是在不斷變化的。運用靈敏度分析，我們只需要改變相應的系數(shù)就可以得到答案，而不需建立新的模型。靈敏度分析還可以用來分析模型的系數(shù)。哪個更能左右最優(yōu)解。例如，如果一個系數(shù)的最優(yōu)性范圍很窄，或者其估計值接近最優(yōu)性限制之一，管理層可能希望審查系數(shù)估計的準確性，如有必要，用新的目標函數(shù)解決修改后的線性規(guī)劃問題。靈敏度分析的另一個用途是分析約束條件的右端值變化對最優(yōu)解的影響。3-2目標函數(shù)系數(shù)的變化圖解法求解Par公司問題，如果目標函數(shù)的斜率在直線A與直線B之間，極點③是最優(yōu)解

3-2極點③的CS最優(yōu)范圍

3-2極點③的CD最優(yōu)范圍

3-2極點②的CS最優(yōu)范圍

3-2同時變化

3-2約束條件的右端值

3-2對偶值

3-3優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋在上一章中，我們說明了如何解釋線性規(guī)劃求解程序的結果。

在取近似值后，我們得到最優(yōu)解是S=540個標準球袋和

D=252個高級球袋，目標函數(shù)最優(yōu)值是7668美元。我們將解釋對最優(yōu)解的靈敏度分析的輸出結果，特別是每個決策變量的遞減成本和約束條件的對偶值

。需要注意的是，ExcelSolver使用影子價格這個術語，而不是對偶值。3-3Par公司問題的遞減成本和對偶值遞減成本解釋對偶值解釋一個變量的遞減成本等于這個變量非負約束的對偶值.非負約束為S,D≥0。因為將非負約束更改為S,D≥1對最優(yōu)解S=540和

D=252的值沒有影響，因此這個非負約束的對偶值（即遞減成本）均為零。對偶值列包含關于最優(yōu)解時四種資源的邊際價值的信息。切割和印染（約束1）的對偶值為4.375，精加工（約束3）的對偶值為6.9375，這告訴我們，增加一個小時的切割和印染時間將使最優(yōu)解的價值增加大約4.38美元，而增加一個小時的精加工時間將使最優(yōu)解的價值增加約6.94美元3-3Par公司問題的允許增加和減少值目標系數(shù)右端值變量S目前的利潤系數(shù)為10，允許增加的幅度為3.5，允許減少的幅度為3.7。因此，只要標準球袋的利潤貢獻在10?3.7=6.30美元和10+3.5=13.50美元之間，生產

S=540個標準球袋和D=252個高級球袋就是最優(yōu)解對變量D的允許增加和減少也可以做類似的觀察。只要約束條件的右端值處于所給出的下限和上限之間，相應的對偶值將會是右端值增加1個單位帶來的最優(yōu)解的變化。我們把這個對偶值適用的范圍稱作可行域。例如，最終約束條件的右端值（約束條件3）顯示出對偶值6.94美元對增加到900和減少到580都是可行的。3-3對偶值的深入理解相關成本取決于決策的制定，這種成本依賴于決策變量值的變化而變化。相關成本反映在目標函數(shù)系數(shù)中。當某種資源的成本屬于沉沒成本時，對偶值就可以被解釋為公司愿意為得到額外一個單位這種資源而付出的金額.沉沒成本是不會受決策影響的，無論決策變量為何值，這種成本都會發(fā)生。

沉沒資源成本不反映在目標函數(shù)的系數(shù)中。當某種資源的成本屬于沉沒成本時，對偶值則可以被解釋為這種資源的價值超過其成本的數(shù)額，也就是增加一個單位這種資源時，公司能付出的最大成本量。3-3Par公司問題修改后的模型假設管理者希望生產一種輕便的、可以被球手隨身攜帶的球袋（輕便球袋）。設計部門估計每個新型球袋將需要0.8小時的切割和印染時間、1小時的縫制時間、1小時的成型時間和0.25小時的檢查和包裝時間。由于這種設計是獨一無二的，管理者認為在當前銷售期內每個輕便球袋可以獲利12.85美元。令L為輕便球袋的產量，將其加入目標函數(shù)以及4個約束條件，可以得到如下修改后的模型：3-3修改后的Par公司問題的計算機求解最優(yōu)方案里包含280個標準球袋、0個高級球袋和428個輕便球袋，最優(yōu)方案的值是8299.80美元。計算機輸出結果表明，S和L的遞減成本都為0，這是因為相應的決策變量值在最優(yōu)解處已經(jīng)是正值。然而，變量D的遞減成本為-1.15美元，表明如果高級球袋的產量從0增加到1，那么最優(yōu)目標函數(shù)值將減少1.15美元。另外一種解釋是，如果我們將高級球袋的成本降低1.15美元約束1和2分別有91.6和32小時的未用容量，而約束3和4在最優(yōu)解中是有效的，每增加一小時將使最優(yōu)解的價值增加8.10美元和19美元。3-4傳統(tǒng)靈敏度分析的不足從計算機輸出中獲得的傳統(tǒng)的靈敏度分析可以為求解方案對輸入數(shù)據(jù)變化的靈敏性提供有用的信息。計算機軟件提供的傳統(tǒng)的靈敏度分析還存在一些不足。本節(jié)討論三個不足：多系數(shù)同時變化系統(tǒng)輸出的靈敏度的結果是基于單函數(shù)系數(shù)變化的。它假設所有其他的系數(shù)都保持不變。因此，目標函數(shù)系數(shù)和約束條件的右端值的變化范圍只能適用于單個系數(shù)發(fā)生變化的情況。約束系數(shù)的變化傳統(tǒng)的靈敏度分析沒有對約束條件中變量系數(shù)的變化帶來的變化提供信息。相反，我們必須簡單地更改系數(shù)并重新運行模型。特殊約束條件的對偶值兩邊都有變量的特殊約束條件往往會使對偶值產生非直覺的解釋。3-4Par公司問題的非直覺對偶值

3-4高級球袋需求對總利潤的影響為了更直觀地感受這個比例變化對總利潤的影響，我們以5%為間隔，分別試驗這個比例從5%增長到100%的情況下利潤的變化。這要求我們重解20個不同的模型。右圖給出了改變這個比例對利潤的影響..可以看到，當比例值大于55%時曲線變得更陡了，這說明從55%開始利潤下降的速度發(fā)生了改變。因此，管理層從利潤的角度考慮，30%是一個合理的要求，如果將這個比例增加到超過55%，那么將會帶來重大的利潤損失。3-5電子通信公司問題下表簡要地列出了電子通信公司不同銷售渠道的銷售利潤、廣告費用、人力成本。公司的廣告費用預算是5000美元，3個店面銷售渠道的最大的銷售時間是1800小時。公司現(xiàn)階段決定制造的產品數(shù)為600件，此外，全美連鎖零售店要求最少銷售150件產品。電子通信公司面臨的問題是如何制定一個分銷策略使其總的銷售利潤最大。公司必須決定如何分配各堂道的銷售量、銷售力度以及廣告預算。3-5建立數(shù)學模型我們首先寫出電子通信公司的目標函數(shù)和約束條件。目標函數(shù)：利潤最大化這個模型有4個約束條件，分別是：廣告支出<=廣告預算銷售時間<=最大可用時間產品生產數(shù)量=公司要求的產量零售分銷量≥合同要求的最低分銷量對于這個模型，我們定義如下4個決策變量：M=航海器材經(jīng)銷店銷售的產品數(shù)量B=商用器材經(jīng)銷店銷售的產品數(shù)量

3-5計算機求解及其含義解釋,第1部分圖中的目標函數(shù)值告訴我們模型的最大利潤為48450美元。最優(yōu)解為M=25，B=425，R=150，D=0。決策變量D的遞減成本是-45，這告訴我們每生產一個通過直接郵購渠道銷售的產品，利潤就會減少45美元。換種說法，也就是說通過直接郵購渠道銷售的產品利潤必須由現(xiàn)在的60美元增加45美元，達到105美元，這樣才可以使用這種渠道來銷售產品。廣告預算約束條件的對偶值為3，表明每增加1美元廣告預算，目標函數(shù)的值（利潤）可以增加3美元。約束2上的25小時松弛告訴我們，分配的銷售團隊1800小時的最大銷售時間足夠賣出產品。約束3的對偶值表明，如果公司的產量增加1個單位，利潤就可以增加60美元。約束4顯示，這個約束條件允許減少的量是150，表明這種承諾可以減少到0，每減少1單位損失值是17美元。3-5計算機求解及其含義解釋,第2部分目標函數(shù)系數(shù)表顯示了在當前解或策略保持最優(yōu)的范圍內，允許增加和減少的幅度。直郵渠道的45美元允許增加與其對偶值的前述觀察一致。右側約束值表可以與關于對偶值的前述觀察結合使用。例如，約束1的允許增加顯示，如果廣告預算增加最多850美元，利潤將增加三倍(約束1的對偶值為3)。此外，約束4的150單位允許增加意味著，這種承諾可以減少到零，同時以每單位17美元的速率增加利潤。3-5電子通信公司的最大利潤策略重要的是再次指出，計算機軟件包為線性規(guī)劃問題提供的靈敏度分析僅考慮一次一個變化，所有其他系數(shù)保持原始規(guī)定。如前所述，同時變化最好通過重新求解問題來處理?？傊?，電子通信的利潤最大化分銷策略涉及以下三個方面：（1）分配多少產量（2）分配多少廣告預算（3）分配多少銷售時間。本章小結本章的開頭對靈敏度分析問題進行了討論：詳細研究了線性規(guī)劃問題系數(shù)的變化對最優(yōu)解所產生的影響.首先，我們介紹了如何使用圖解法分析目標函數(shù)。系數(shù)和約束條件的右端值的變化對最優(yōu)解的影響。由于圖解法只限于分析雙決策變量的情況，我們又向讀者介紹了如何使用軟件對類似問題進行分析。接著，我們通過增加一個決策變量和增加一定百分比（比率）的約束條件對Par公司問題進行了修改。針對修改后的問題，我們討論了如何建模、如何進行靈敏度分析、靈敏度分析的不足以及模型軟件輸出結果的解釋。然后，為了加強對多于兩個變量的線性規(guī)劃問題的掌握，我們又舉了一個電子通信的例子，這是一個四決策變量的最大化問題，包含兩個小于等于約束條件、一個等于約束條件和一個大于等于約束。在下一章中，我們將看到線性規(guī)劃的更多應用。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第4章、線性規(guī)劃在營銷、財務和運營管理領域的應用章節(jié)內容4-1 市場營銷中的應用4-2 財務中的應用4-3 運營管理中的應用

本章小結學習目標完成本章后，你將能夠：LO4.1 對營銷領域的線性規(guī)劃問題進行建模并求解。LO4.2 對財務領域的線性規(guī)劃問題進行建模并求解。LO4.3 對生產計劃和配送領域的線性規(guī)劃問題進行建模并求解。LO4.4 對人員配置和排班領域的線性規(guī)劃問題進行建模并求解。LO4.5 對混合問題的線性規(guī)劃問題進行建模并求解。引言線性規(guī)劃被證明是在制定決策時最成功的定量化方法之一，兒乎應用于各行各業(yè)。這些應用包括:生產日程安排、媒體選擇、市場調研、財務規(guī)劃、資本預算、運輸問題、分銷系統(tǒng)設計、混合制造、人力資源管理以及混合問題等。本章將介紹線性規(guī)劃在傳統(tǒng)商業(yè)領域的一系列應用，包括營銷、財務和運營管理等領域。

本章重點是建模、計算機求解以及計算結果的解讀。

我們依據(jù)所研究的問題建立數(shù)學模型，并給出模型求解結果。

4-1市場營銷中的應用媒體選擇在媒體選擇中應用線性規(guī)劃的目的在于幫助營銷經(jīng)理將固定的廣告預算分配到不同的媒體中去。我們的目的是借用媒體使宣傳范圍、頻率和質量最大化。預算分配方案的約束條件通常源于公司的政策、合同的要求以及媒體的可用數(shù)量等。REL發(fā)展公司在開發(fā)一個環(huán)私人湖社區(qū)。

湖邊住宅的主要客戶是距社區(qū)100英里以內的所有中高等收入家庭。該公司聘請BP&J公司來做廣告宣傳。

湖畔社區(qū)宣傳該公司聘請BP&J公司來做廣告宣傳。考慮可用的廣告媒體和要覆蓋的市場，BP&J建議將第一個月的廣告限于5種媒體。

BP&J已經(jīng)搜集了單位媒體的潛在受眾人數(shù)和成本、每個媒體可提供的最多的廣告數(shù)量，以及5種媒體的單位影響力。媒體的單位影響力是通過單位宣傳質量來衡量的所謂單位宣傳質量即各個媒體一次廣告帶來的相對價值，是通過考慮眾多因素，如觀眾的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)(年齡、收入和受教育程度)、呈現(xiàn)的形象和廣告的品質。4-1廣告媒體選擇結合BP&J在廣告行業(yè)中的經(jīng)驗獲得。下表列出了搜集的信息：4-1媒體選擇:問題描述BP&J被委托選擇一個廣告媒體。更具體地說，BP&J需要根據(jù)以下要求推薦每種廣告媒體的使用次數(shù)：每種廣告媒體的選用次數(shù)不得超過其每月的可用次數(shù)。REL發(fā)展公司提供給BP&J第一個月的廣告預算是30000美元。REL發(fā)展公司對如何分配這些資金有如下要求:

至少要用10次電視廣告電視廣告的費用不得超過18000美元

潛在受眾人數(shù)至少要達到50000人4-1媒體選擇:建立模型決策變量要做出的決策是:每個媒體的使用次數(shù)是多少。我們首先定義如下決策變量：DTV=日間電視使用次數(shù)ETV=晚間電視使用次數(shù)W=網(wǎng)站使用次數(shù)SN=周日報紙雜志使用次數(shù)R=電臺使用次數(shù)目標函數(shù)

4-1媒體選擇:完整的線性規(guī)劃（LP）模型根據(jù)已知信息，可知模型的約束條件為:Max65DTV+90ETV+40W+60SN+20R

s.t.DTV≤15可用媒體ETV≤10可用媒體W≤25可用媒體SN≤4可用媒體R≤30可用媒體1500DTV+3000ETV+

400W+1000SN+100R≤30,000預算DTV+

ETV≥10電視約束1500DTV+3000ETV≤18,000電視約束1000DTV+2000ETV+1500W+2500SN+300R≥50,000受眾人數(shù)DTV,ETV,W,SN,R

≥0非負性4-1媒體選擇:問題求解5個變量，9個約束的線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解已給出。4-1媒介選擇：結果解讀最優(yōu)解決方案要求社區(qū)的廣告在日間電視、網(wǎng)站、周日報紙、雜志和電臺上投放。此時達到的最優(yōu)影響力是2370，而受眾總數(shù)為61500。遞減成本:若要晚間電視出現(xiàn)在最優(yōu)解決方案中，其單位影響力至少要增加65。對偶值:預算限制(約束條件6)的對偶值為0.06，即預算費每增加1美元，廣告總影響力會增加0.06。約束條件7的對偶值為-25.000，這表明可用電視廣告數(shù)量每增加1個單位，投放的廣告影響力會減少25。4-1市場調查應用市場調查開展市場營銷調查以了解消費者的特點、態(tài)度以及偏好，專門為客戶公司提供此類信息調查服務的公司被稱為市場調查公司。這類公司提供的典型服務包括:調查設計，開展市場調查，分析收集數(shù)據(jù)，提供市場調查報告，為顧客公司的營銷提供對策建議。

在調查設計階段，應對調查對象的數(shù)量和類型設定目標或限額。市場調查公司的目標是議最小的成本滿足客戶需求。MISMarketSurvey,Inc.(MSI)專門評定消費者對新產品、服務和廣告活動的市場反應。一個客戶公司要求MSI幫助了解消費者對一種近期推出的家居產品的市場反應。

在與客戶會面的過程中，MSI同意開展人戶調查，調查的家庭包括有兒童家庭和無兒童家庭。同時MSI還同意采用日間和夜間兩種調查方式。

4-1市場調查:問題描述具體地說，客戶的合同要求MSI依照以下限制條款進行1000次訪問：至少訪間400個有兒童家庭。至少訪間400個無兒童家庭。夜間訪問的家庭數(shù)量不得少于日間訪問的數(shù)量。至少40%的有兒童家庭必須在夜間訪問。至少60%的無兒童家庭必須在夜間訪問。因為訪問有兒童家庭需要額外的時間，而且夜間訪問員的報酬要比日間訪問員的報酬高，所以調查成本因訪問類型的不同而不同。

基于以往的調查經(jīng)驗，預計的單次訪問費用如下表所示：

4-1市場調查：建立模型決策變量在為MSI問題建立線性規(guī)劃模型時，我們首先定義如下決策變量:DC=日間訪問有兒童家庭的數(shù)量EC=夜間訪問有兒童家庭的數(shù)量DNC=日間訪問無兒童家庭的數(shù)量ENC=夜間訪問無兒童家庭的數(shù)量目標函數(shù)和約束條件

4-1市場調查:完整的線性規(guī)劃（LP）模型加上非負約束后，這個有4個變量、6個約束條件的線性規(guī)劃模型可以寫為:Min20DC+25EC+18DNC+20ENC

s.t.DC+EC+DNC+

ENC=1000訪問總次數(shù)DC+EC≥400有兒童家庭DNC+

ENC≥400無兒童家庭?DC+EC?

DNC+

ENC≥0夜間訪問?0.4DC+0.6EC≥0夜間訪問有兒童家庭?0.6DNC+0.4ENC≥0夜間訪問無兒童家庭DC,EC,DNC,ENC≥0非負約束4-1市場調查:問題求解下圖是此模型的求解結果：4-1市場調查:結果解讀計算結果表明按以下的訪問計劃將會使總成本達到最小，即20320美元。因此，日間將安排480次訪問，夜間將安排520次訪問訪問有兒童家庭的家庭數(shù)量為400個，訪問無兒童家庭的家庭數(shù)量為600個。對偶值:靈敏度分析表明約束條件1的對偶值為19.2。換句話說，如果訪問總數(shù)量的約束條件從1000增加到1001.約束條件5和6的對偶值顯示，對于有兒童和無兒童的家庭，每增加一次晚間訪問的增量成本分別為5美元和2美元。剩余變量:約束條件3的剩余變量的值為200，這表明訪問的無兒童家庭的家庭數(shù)量比要求的多200個。類似地，約束條件6的對偶值2表明，如果必須在夜間比要求的最小數(shù)量再多訪問一個家庭(無兒童)，那么總訪問成本會增加2美元。約束條件5和6中剩余變量的零值表明成本更高的夜間訪問的家庭數(shù)量剛好達到最低限要求。4-2財務中的應用投資組合在財務管理中、線性規(guī)劃常被用于資本預算、資產分配、有價證券選擇、財務規(guī)劃和許多與此相關的問題。投資組合選擇問題所涉及的情況是財務經(jīng)理從多種投資(如股票和債券)中選擇一些具體的投資方案。投資組合選擇問題的目標函數(shù)通常是使預期收益最大化或風險最小化。約束條件通常表現(xiàn)為對允許的投資類型、國家法律、公司政策、最大可接受風險等方面的限制。威爾特(Welte)共同基金公司假設現(xiàn)在有一家坐落于紐約的威爾特(Welte)共同基金公司。公司最近通過發(fā)行工業(yè)債券而獲得了100000美元的現(xiàn)金。公司首席金融分析師建議新的投資全用于石油、鋼鐵行業(yè)或政府債券上。

分析師們已經(jīng)確定了5個投資機會，并預計了其年收益率。4-2投資組合:問題描述問題要求威爾特公司的管理層提出以下投資要求:對任何行業(yè)(石油或鋼鐵)的投資額不得多于50000美元對政府債券的投資額至少是對鋼鐵行業(yè)投資額的25%對太平洋石油這樣高收益但高風險的投資項目，投資額不得多于對整個石油行業(yè)投資的60%怎樣設計投資方案(投資項目及金額)呢?決策變量和目標函數(shù)

4-2投資組合:完整的線性規(guī)劃（LP）模型威爾特共同基金公司投資問題的完整線性規(guī)劃模型如下：Max

0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G

s.t.A+P+M+H+G=100,000可用資金A+P≤50,000石油行業(yè)最大投資額M+H≤50,000鋼鐵行業(yè)最大投資額?

0.25M?0.25H+G≥0政府債券最小投資額?0.60A+0.40P≤0太平洋石油A,P,M,H,G≥0非負約束4-2投資組合:問題求解這個線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解決方案如下所示：4-2投資組合:結果解讀最優(yōu)解決方案顯示投資結構應包含除中西部鋼鐵以外的所有投資機會。此投資組合的預期年收益為8000美元，即8%的年收益率。遞減成本:M的遞減成本下降0.011告訴我們，目標函數(shù)的中西部鋼鐵的系數(shù)應先增加0.011，考慮中西部鋼鐵的投資才是明智的。這樣的話，中西部鋼鐵的年收益率應該是0.064+0.011=0.075。這使得這種投資與現(xiàn)在所用的Huber鋼鐵投資選擇一樣令人滿意。松弛變量:此約束條件的松弛變量表明，目前鋼鐵行業(yè)的投資額是10000美元，它低于投資限額的50000美元。對偶值:約束條件1的對偶值0.069表明，為投資組合每多提供1美元，目標函數(shù)值將增加0.069美元。如果能以低于6.9%的成本獲得更多資金，管理者應考慮取得這些資金。4-2財務計劃應用Hewlitt公司的公司義務Hewlitt公司建立了一項提前退休項目，作為公司重組的一部分。在自愿簽約期臨近時，68位雇員辦理了提前退休手續(xù)。

因為這些人的提前退休，在接下來的8年里，公司將承擔以下責任，每年年初支付的現(xiàn)金需求（千美元）如下所示：政府債券的投資公司的財務人員必須決定現(xiàn)在應準備多少錢，以便應付為期8年的支出計劃。該退休項目的財務計劃包括政府債券的投資及儲蓄。對于政府債券的投資限于如下表所示的3種選擇。4-2財務計劃:問題描述決策變量政府債券的面值是1000美元，這意味著盡管價格不同，但到期時，都要支付1000美元。表中所示的回報率是基于面值的。在制訂這個計劃時，財務人員假定沒用于投資債券的資金都用于儲蓄，且每年都可以獲得4%的利息。我們定義如下決策變量：F:為8年期退休計劃準備的總金額B1:在第1年年初買入的債券1的數(shù)量B2:在第1年年初買入的債券2的數(shù)量B3:在第1年年初買入的債券3的數(shù)量Si:在第i年年初投資于儲蓄的金額（i=1,2,…,8）

目標函數(shù)和約束條件

4-1財務計劃:完整的線性規(guī)劃（LP）模型Hewlitt公司財務計劃問題的完整線性規(guī)劃模型如下所示：MaxF

s.t.F?1.15B1?

1B2?1.35B3?S1

=430第1年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S1?S2=210第2年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S2?S3=222第3年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S3?S4=231第4年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S4?S5=240第5年0.08875B1+0.055B2+

0.1175B3+1.04S5?S6=195第6年0.055B2+

0.1175B3+1.04S6?S7=225第7年0.1175B3+1.04S7?S8=255第8年F,B1,B2,B3,S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7,S8≥04-2財務計劃:問題求解這個包含12個變量、8個約束條件的線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解如下所示：4-2財務計劃:結果解讀

總的滿足8年期退休計劃所需要的最小資金總額為1728.79385美元。分別用1150美元、1000美元和1350美元作為每種債券的現(xiàn)價，我們可以將這三種債券的最初投資額列入右表。該方案表明了636148美元（見S1）將在第1年年初用于儲蓄，公司在第1年年初可用1728794美元選擇具體的債券和儲蓄投資，而且可以用余下的錢來滿足退休計劃第1年的現(xiàn)金需求430000美元。由債券所得的利息加上到期債券的面值就能滿足從第5年到第8年的現(xiàn)金需求。對偶值在這一應用中得到了有趣的闡釋。每個式子的右端值對應著該年應支付的金額。注意，對偶值為正值，表明每一年需要支付的費用每增加1000美元，則會使得總費用以對偶值的1000倍增加。同時注意，對偶值逐年減少表示在早期幾年內的現(xiàn)金需求對F的最優(yōu)值影響較大。4-3運營管理中的應用自制/外購決策在許多生產和運營管理中，都用到了線性規(guī)劃的方法，包括生產計劃、人員分配、庫存控制和生產能力計劃等。根據(jù)生產計劃的最優(yōu)求解方案，經(jīng)理人員能夠為一種或多種產品制定一個跨多周期（周或月）的高效率、低成本的生產計劃。傳統(tǒng)的約束還有：滿足產能、勞動力和庫存空間等條件。Janders公司準備推出兩款新的泵，其中一款用于醫(yī)療輸血市場，名為“輸血泵”；另一款用于工程市場，名為“功能泵”。Janders公司每種泵都由三種零部件構成：一個基座、一個泵芯和一個泵頂。兩種泵使用相同的基座，但泵芯和泵頂不同。所有的零件都可以由公司自己生產或從外部購買。4-3運營管理:問題描述問題要求Janders公司的預測師們指出市場將需要3000臺功能泵和2000臺輸血泵。但是，由于生產能力有限。這家公司僅能夠安排200個小時的日常生產時間和50個小時的加班時間來生產泵。加班時間要每小時支付給員工9美元的津貼，即額外的成本。Janders公司的問題是決定每種零部件多少由自己生產，多少從外部購買。決策變量

4-3運營管理:完整的線性規(guī)劃（LP）模型對于Janders公司的自制/外購問題，加上非負約束之后的完整模型是：Min0.5BM+0.6BP+3.75FCM+4FCP+3.3TCM+3.9TCP+0.6FTM+0.65FTP+0.75TTM+0.78TTP+9OTs.t.BM+

BP=5,000基座FCM+

FCP=3,000功能泵泵芯TCM+

TCP=2,000輸血泵泵芯FTM+

FTP=3,000功能泵泵頂TTM+TTP=2,000輸血泵泵頂OT≤50加班時間BM+3FCM+2.5TCM+FTM+1.5TTM?60OT≤12,000生產能力BM,BP,FCM,FCP,TCM,TCP,FTM,FTP,TTM,TTP,OT≥0非負約束4-3運營管理:問題求解這個包含11個變量、7個約束條件的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解如下圖所示：4-3運營管理：結果解讀得到的最優(yōu)解說明了該公司所需要的全部5000個基座、667個功能泵泵芯和2000個輸血泵泵芯應由其自行生產。而余下的2333個功能泵泵芯、所有的功能泵泵頂和所有的輸血泵泵頂應從外部購買。加班生產是不必要的，與這個最佳自制或外購相應的最小總成本是24443.33美元。遞減成本一列顯示了如果要使用加班時間，加班津貼必須每小時減少4美元。也就是說，如果加班津貼是每小時9-4=5（美元）或更少，Janders公司會考慮用加班時間生產的零部件代替采購的零部件。約束條件7關于生產能力的對偶值是-0.083，這表明每增加1小時的生產能力所帶來的價值是：0.083×60=5（美元）。約束條件7的右端端范圍表示這個結論在日常生產時間不超過19000分鐘或316.7小時的情況下是不變的。目標函數(shù)BP的系數(shù)的變化范圍是從0.583（=0.600-0.017）到無窮大。如果基座的采購價格為每個0.583美元或更多，那么基座的購買數(shù)量仍然為零。但是當采購價格低于0.583美元時，Janders公司將開始購買而非生產基座配件。類似地，通過靈敏度分析也能得到其他零部件購買的價格范圍。4-3混合問題應用石油工業(yè)在實際應用中，管理層必須決定每種資源的購買量，以在成本最低的情況下滿足產品的規(guī)格以及市場的需求。混合問題經(jīng)常發(fā)生在石油行業(yè)、化工行業(yè)以及食品行業(yè)。在這一節(jié)中，我們將介紹線性規(guī)劃在石油行業(yè)應用的一個混合問題。GrandStrand石油公司想知道在生產這兩種汽油產品的過程中，如何混合這3種石油成分才能獲利最大。GrandStrand石油公司現(xiàn)存的資料顯示，一般規(guī)格汽油的售價是2.90美元/加侖，而特殊規(guī)格汽油是3.00美元/加侖。

在當前的生產計劃期內，GrandStrand石油公司可以得到的3種石油成分每加侖的成本和供應量見下表：4-3混合問題:問題描述問題要求

目標函數(shù)

4-3混合問題:約束條件

4-3混合問題:完整的線性規(guī)劃（LP）模型包括6個決策變量和10個約束條件的完整線性規(guī)劃模型如下：s.t.≤5,000≤10,000≤10,000≤0≥0≤0≥0≤0≥0≥10,000≥04-3混合問題:問題求解GrandStrand石油公司混合問題的最優(yōu)解決方案見圖4-3混合問題:結果解讀最優(yōu)的方案獲得了7100美元的利潤。最優(yōu)的混合生產策略顯示，應生產10000加侖的一般規(guī)格汽油。一般規(guī)格汽油由1250加侖的成分1、6750加侖的成分2和2000加侖的成分3混合制成。而15000加侖的特殊規(guī)格汽油由3750加侖的成分1、3250加侖的成分2和8000加侖的成分3混合制成。松弛/剩余:約束條件4: 使用石油成分1生產10000加侖一般規(guī)格汽油時，成分1的使用量低于其最大使用量1750加侖。約束條件5: 使用石油成分2生產10000加侖一般規(guī)格汽油時，成分2的使用量高于其最小使用量2750加侖。約束條件8: 使用石油成分2生產15000加侖特殊規(guī)格汽油時，成分2的使用量低于其最大使用量3500加侖。約束條件9: 使用石油成分3生產15000加侖特殊規(guī)格汽油時，成分3的使用量高于其最小使用量3500加侖。本章小結本章列舉了大量的應用實踐，解釋了怎樣利用線性規(guī)劃來輔助決策。

我們構造并求解了銷售、財務以及運營管理等問題的模型，并解釋了計算機軟件輸出的結果。本章的許多案例都是線性規(guī)劃應用的真實情況的微縮。

然而，在實際應用中:問題不一定能如此簡單地描述出來與問題相關的數(shù)據(jù)也不可能輕松獲取問題很可能涉及更多的決策變量和約束條件

但是，本章中對應用情況的詳細分析是將線性規(guī)劃應用于真實問題的一個良好開端。數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第5章、線性規(guī)劃高級應用章節(jié)內容5-1 數(shù)據(jù)包絡分析5-2 收益管理5-3 投資組合模型和資產分配5-4 博弈論

本章小結學習目標完成本章后，你將能夠：LO5.1 運用數(shù)據(jù)包絡分析，建立衡量效率的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.2 建立收益管理的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.3 建立投資組合的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.4 建立博弈論的線性規(guī)劃模型并求解。LO5.5 能夠從線性規(guī)劃解決方案中識別兩人零和博弈的純策略。LO5.6 利用線性規(guī)劃確定混合策略并計算混合策略博弈的最優(yōu)概率。引言本章將繼續(xù)線性規(guī)劃的應用研究，并介紹四種線性規(guī)劃的新應用。

5.1節(jié)介紹數(shù)據(jù)包絡分析（DEA），它采用線性規(guī)劃方法來衡量有相同目標的運營單元的相對效率，我們將以醫(yī)院績效測評來講述該方法的應用。

5.2節(jié)將介紹收益管理，收益管理是對不能保存或者不易保存的一類產品，在已知固定庫存容量條件下，管理短期需求，以最大化可能取得的收益。收益管理在航空行業(yè)尤其重要，我們將通過確定五個城市間航班的全價票與折扣票價的最優(yōu)分配來闡明這個概念。5.3節(jié)將說明線性規(guī)劃如何用于優(yōu)化與客戶的風險偏好相一致的投資組合。5.4節(jié)將介紹博弈論，這是對兩個或更多的決策制定者（參與者）如何能以最優(yōu)方式參與競爭的研究。這里，我們用兩家公司互相競爭市場份額的一個線性規(guī)劃模型來說明。5-1數(shù)據(jù)包絡分析(DEA)DEA的應用數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）是用線性規(guī)劃技術衡量具有相同目標和目的的運營單元的相對效率的方法。例如，用DEA衡量連鎖快餐店中每個店面的效率，找出低效率店面，并為低效率店面的效率提升提供初步的對策建議。.DEA還用于衡量醫(yī)院、銀行、法院、學校等組織的相對效率。在這些應用中，每個機構或組織的績效是相對于同系統(tǒng)中所有工作單元的績效來衡量的。醫(yī)院績效衡量總醫(yī)院、大學醫(yī)院、縣醫(yī)院和州醫(yī)院的管理者聚在一起討論如何幫助彼此共同改進醫(yī)院績效。一個顧問建議他們考慮采用DEA衡量這四家醫(yī)院中每所醫(yī)院的相對績效。在討論如何完成這種衡量時，我們首先確定出下面三種輸入指標和四種輸出指標。輸入指標全日制（FTE）非醫(yī)務人員數(shù)目物資花費可使用病床總天數(shù)輸出指標醫(yī)療保險患者服務天數(shù)無醫(yī)療保險患者服務天數(shù)培訓過的護士人數(shù)培訓過的實習醫(yī)生人數(shù)5-1DEA方法概述下面我們將以縣醫(yī)院相對效率衡量為例來說明線性規(guī)劃模型是怎樣構建的。首先，基于有相同目標的所有運營單元的輸入和輸出，構建一個虛擬合成單元，在這個例子中是一家虛擬醫(yī)院。

對這四家醫(yī)院的每個輸出指標，虛擬醫(yī)院的輸出由全部四家醫(yī)院的相應輸出加權平均計算而得。

對每個輸入指標，虛擬醫(yī)院的輸入由全部四家醫(yī)院的相應輸入采用相同的權重加權平均計算而得。四家醫(yī)院年消耗的資源四家醫(yī)院提供的年服務5-1DEA:決策變量

5-1DEA:輸出指標

5-1DEA:輸出的約束條件

5-1DEA:輸入指標

5-1DEA:輸入的約束條件為了完成輸入的約束條件方程，我們必須寫出每個約束條件的右端值的表達式。首先，要注意到右端值是虛擬醫(yī)院的可用資源。在DEA方法中，這些右端值是縣醫(yī)院輸入值的一個百分比。因此，我們必須引入下面的決策變量：E:

縣醫(yī)院輸入可用于虛擬醫(yī)院的百分比如果E=1，虛擬醫(yī)院可用的FTE非醫(yī)務人員數(shù)目就為275.70，與縣醫(yī)院使用的FTE非醫(yī)務人員數(shù)目相同。

5-1DEA:完整的線性規(guī)劃（LP）模型完整的模型如下所示：MinE

s.t.wg+wu+wc+ws=1權重的總和48.14wg+34.62wu+36.72wc+33.16ws≥36.72醫(yī)療保險43.10wg+27.11wu+45.98wc+56.46ws≥45.98非醫(yī)療保險253wg+148wu+175wc+160ws≥175護士41wg+27wu+23wc+84ws≥23實習醫(yī)生285.20wg+

162.30wu+275.70wc+210.40ws?275.70E≤0FTE非醫(yī)務人員123.80wg+

128.70wu+348.50wc+154.10ws?348.50E≤0物資106.72wg+64.21wu+104.10wc+104.04ws?104.10E≤0可使用病床總天數(shù)E,wg,wu,wc,ws≥0非負5-1DEA:模型求解縣醫(yī)院效率評價的DEA線性規(guī)劃模型有5個決策變量和8個約束條件，最優(yōu)解如下：5-1DEA:結果解讀我們首先注意到目標函數(shù)值顯示縣醫(yī)院的效率得分為0.905。這個分數(shù)告訴我們虛擬醫(yī)院通過使用不超過縣醫(yī)院需要輸入資源的90.5%，可以達到至少縣醫(yī)院能達到的每個輸出的水平。我們看出虛擬醫(yī)院是由總醫(yī)院（wg=0.212）、大學醫(yī)院（wu=0.260）、和州醫(yī)院（ws=0.527）加權平均形成的。剩余變量(約束2-5)虛擬醫(yī)院的每個輸出至少與縣醫(yī)院一樣多，相比縣醫(yī)院，它多出1.6個培訓過的護士和37個培訓過的實習醫(yī)生松弛變量(約束6-8)約束條件6和7的松弛值說明虛擬醫(yī)院使用的FTE非醫(yī)務人員和物資花費資源比縣醫(yī)院使用資源的90.5%還少。由此，我們得出結論，縣醫(yī)院與同組其他醫(yī)院相比是相對低效率的。鑒于DEA分析的結果，醫(yī)院管理者應該檢查縣醫(yī)院的運營作業(yè)以確定應該如何更有效地利用相關資源。5-1DEA方法總結下面的分步步驟能幫助你為其他類型的DEA應用構建線性規(guī)劃模型。注意，我們要衡量其相對效率的運營單元被記作第j個運營單元。步驟1. 定義決策變量，也就是權重（每個運營單元都有一個），用于確定虛擬運營單元的輸入和輸出。步驟2. 寫出要求權重總和等于1的一個約束條件。步驟3. 對每個輸出指標，寫出一個要求虛擬運營單元的輸出大于或等于第j個運營單元對應輸出的約束條件。步驟4. 定義一個決策變量E，它用于確定第j個運營單元的輸入可用于虛擬運營單元的比例。步驟5. 對每個輸入指標，寫出一個要求虛擬運營單元的輸入小于或等于虛擬運營單元可用資源的約束條件。步驟6. 寫出目標函數(shù)，即MinE。收益管理休閑航空公司收益管理是在庫存水平一定的情況下，通過對不易保存產品的短期需求管理，以取得潛在收益的最大化。這個方法最早由美國航空公司提出，最初是用于確定航班中折扣價座位和全價座位的數(shù)量?，F(xiàn)在的應用領域包括旅館、公寓出租、汽車出租、郵輪以及高爾夫球場。為了說明收益管理的基本原理，我們將用一個線性規(guī)劃模型為休閑航空公司（LeisureAir）建立一個收益管理計劃，這是一家為匹茲堡、紐瓦克、夏洛特、默特爾比奇和奧蘭多提供航空服務的地區(qū)航空公司。5-2休閑航空公司:問題描述休閑航空公司有兩架波音737-400飛機，一架的駐場在匹茲堡出，另一架的駐場在紐瓦克。

兩架飛機都有一個容量為132個座位的經(jīng)濟艙。每天早上駐場在匹茲堡的飛機在夏洛特中途停留后飛往奧蘭多，駐場在紐瓦克的飛機在夏洛特中途停留后飛往默特爾比奇。每天結束前，兩架飛機再回到其出發(fā)地。為了把問題的規(guī)模控制在一個合理的范圍內，我們只考慮早上匹茲堡到夏洛特、夏洛特到奧蘭多、紐瓦克到夏洛特，以及夏洛特到默特爾比奇的航程。休閑航空公司的機票有兩個價位等級：折扣票Q等級以及全價票Y等級。預訂折扣票Q等級必須提前14天并且要在目的地城市停留一晚（周六）。使用全價票Y等級可以在任何時間預訂，而且日后改簽也沒有任何損失。

為了確定休閑航空能為其顧客提供航線和費用選擇，我們不僅須考慮每個航班的起飛地和目的地，還得考慮費用等級。5-2休閑航空公司:模型建立休閑航空16個起飛地—目的地—旅程費5月5日，休閑航空為其16個ODIF確定費用并對顧客需求進行預測。決策變量為了建立一個線性規(guī)劃模型來確定休閑航空應為每種費用等級分配多少個座位，我們需要定義16個決策變量，即為每個起飛地—目的地—旅程費定義一個變量。我們用P代表匹茲堡，N代表紐瓦克，C代表夏洛特，M代表默特爾比奇，O代表奧蘭多，決策變量采用下面的形式：PCQ:

分配給匹茲堡—夏洛特Q等級的座位數(shù)PMQ:分配給匹茲堡—默特爾比奇Q等級的座位數(shù)POQ:分配給匹茲堡—奧蘭多Q等級的座位數(shù)PCY:

分配給匹茲堡—夏洛特Y等級的座位數(shù) ?NCQ:分配給紐瓦克—夏洛特Q等級的座位數(shù) ?COY:分配給夏洛特—奧蘭多Y等級的座位數(shù)5-2休閑航空公司:約束條件容量的約束條件

需求的約束條件5-2休閑航空公司:完整的線性規(guī)劃（LP）模型

5-2休閑航空公司:模型求解休閑航空收益管理問題的最優(yōu)解如圖所示：5-2休閑航空公司:結果解讀最優(yōu)解的值是103103美元。最優(yōu)解顯示PCQ=33，PMQ=44，POQ=22，PCY=16，等等。我們看到約束條件6的對偶值為85美元。對偶值告訴我們如果再多增加一個Q等級座位給匹茲堡—默特爾比奇，收益將增加85美元。收益的這個增量被稱作這個起飛地—目的地—旅程費的出價。一般來說，一個ODIF的出價會告訴休閑航空預訂代理，當這個ODIF售空后再增加一個額外預訂的價值。通過觀察圖中需求的約束條件的對偶值，我們看到最高的對偶值（出價）為約束條件8（PCY≤16）的376美元。給定這個收益貢獻，預訂代理將最可能接受此額外預訂，盡管這樣會導致航班的超量預訂。然而，當前解中的出價信息和一些簡單的決策規(guī)則也能使預訂代理做出改進公司收益的決策。理論上，每次在一個起飛地—目的地—旅程費的容量內接受一個預訂，線性規(guī)劃模型就應該被更新，進行重新求解以得到新的座位分配和出價信息。在實踐中，因為涉及大量航班，所以實時更新分配是不實際的。5-3投資組合模型和資產分配共同基金的投資組合資產分配是關于決定如何分配投資資金到多種資產種類的過程，如股票、債券、共同基金、房地產和現(xiàn)金等。

投資組合模型用于確定應該在每種資產種類上分配的投資資金的比例。它的目標是建立一個投資組合，使風險和回報達到最佳平衡。Hauck投資服務公司希望建立一個投資組合模型，用于確定一個由6種共同基金構成的最佳投資組合。共同基金的年回報率Hauck投資服務公司的投資組合管理者認為下表可以代表這6種共同基金下一年回報的所有可能性。第1年所有共同基金的年回報都是好的，第2年大部分共同基金的回報也是好的，但是第3年小市值價值基金的回報不好，第4年中期債券基金的回報不好，第5年6種共同基金中有4種的回報都不好。5-3保守的投資組合決策變量Hauck投資服務公司的一個投資組合管理者被要求為公司的保守客戶建立一個投資組合，這類客戶對風險有很強烈的規(guī)避傾向。.經(jīng)理的任務是決定投資在這6種共同基金上的各個比例，以使投資組合能以最小的風險提供最大可能的回報。

為了確定每種共同基金的投資比例，我們使用下面的決策變量：FS=外國股票基金的投資比例IB=中期債券基金的投資比例