數(shù)學(xué)-江蘇省2025屆南京一中、金陵中學(xué)、南通海安中學(xué)高三上期中考聯(lián)考試題和答案

試卷第1頁，共4頁2025屆高三期中學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷A．30°B．45°C．60°D．135°4．函數(shù)f(x)=x(x-3)2的極大值為()5．在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=AC=BC=2，PC與平面ABC所成角的大小為60。，6．曲線y=2sinx與y=sin的交點中，與y軸最近的點的橫坐標(biāo)為()7．在口ABCD中x∈R.若AP∥MN，則x=試卷第2頁，共4頁8．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB，P是線段CC1上靠近C的三等分點，過點C與直線PA垂直的平面將正四棱柱分成兩部分，則較大部分與較小部分的體積比為()229．在空間中，設(shè)a,b,c是三條直線，α,β,Y是三個平面，則下列能推出a//b的是()10．已知函數(shù)f(x)=cosxcos2x，則()A．f(x)的最大值為1B．()是曲線y=f(x)的對稱中心C．f(x)在(|(0,),I上單調(diào)遞減D．f(x)的最小正周期為2π11．設(shè)f(x)為R上的增函數(shù)，滿足：f(1+x)+f(1-x)=2，f(2+x)+f(2-x)=4，則()A．f(3)=3B．f(x)為奇函數(shù)0∈R，f(x0)=x0+1D．丫x∈R，f(ex+1)-f(x)≥213．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=lnx上的兩點A，B滿足OA丄OB，線段AB的中點M在x軸上，則點M的橫坐標(biāo)為.的最小值為.試卷第3頁，共4頁15．已知a，b，c分別為VABC的內(nèi)角A，B，C的對邊，且(1)求A；(2)若VABC的面積為·,周長為6，試判斷VABC的形狀.16．設(shè)拋物線C:x2=4y的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點P在C上，記P在l上的射影為H.(1)△PFH能否為正三角形?若能，求點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由；(2)設(shè)C在點P處的切線與l相交于點Q，證明：上PFQ=90。.17．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA丄平面ABC，D是AC的中點，平面PBD丄平面PAC，且AB=AC=AP=2.(1)求點A到平面PBD的距離；(2)求平面PAC與平面PBC的夾角的正弦值.18．已知函數(shù)f(x)=x2+acosx，其中a∈R.(1)若曲線y=f(x)在點處的切線過原點，求a；(2)當(dāng)a=1時，證明：f(x)≥x+1-sinx；(3)若f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.19．如果數(shù)列a1，a2，a3，?,am（m≥4）是首項為1，各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且任意連續(xù)三項的和都能被3整除，那么稱數(shù)列a1，a2，a3，?,am是Pm數(shù)列.(1)寫出所有滿足a4=7的P4數(shù)列；(2)證明：存在P4數(shù)列是等比數(shù)列，且有無窮個；(3)對任意給定的a5(a5≥t)，都存在a2，a3，a4試卷第4頁，共4頁求整數(shù)t的最小值.答案第1頁，共15頁【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算結(jié)合復(fù)數(shù)的概念運算求解即可.因為若即i∈R，可得解得.故選：B.【分析】利用交集、補集的概念計算即可.【詳解】由題意可知B={1,2,3,4,7}，所以A∩B={1,2,3}，則eA(A∩B)={0,6}.故選：A【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性可知A,B∈即結(jié)合兩角和差公式求tanC即可得結(jié)果.【詳解】因為tanA=2>，tanB=3>i5，可知A,B∈,且tanC=-tan所以.故選：B.【分析】求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，求解f'(x)<0以及f'(x)>0，得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，判斷極大值點代入，從而求出極大值.【詳解】解：f'(x)=(x-3)2+2x(x-3)=3(x-1)(x-3)，所以f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x=1處取得極大值f(1)=4.故選：D答案第2頁，共15頁【分析】取AB的中點D，可證平面ABC丄平面PCD，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可知點P在平面ABC內(nèi)的投影落在線段CD內(nèi)，即上PCD=60。，即可得結(jié)果.【詳解】取AB的中點D，連接PD,CD，因為PA=PB=AB=AC=BC=2則PD丄ABCD丄ABPD=CD=且PD∩CD=D，PD,CDC平面PCD，可得AB丄平面PCD，又因為AB平面ABC，所以平面ABC丄平面PCD，且平面ABC∩平面PCD=CD，由面面垂直的性質(zhì)可知：點P在平面ABC內(nèi)的投影落在直線CD上，且PD=CD=可知點P在平面ABC內(nèi)的投影落在線段CD內(nèi),又因為PC與平面ABC所成角的大小為60。，則上PCD=60。，可知△PCD為等邊三角形，所以PC=.故選：C.【分析】先構(gòu)造關(guān)于x的三角方程，利用輔助角公式求得x的值，進而求得與y軸最近的點的橫坐標(biāo).【詳解】由sin=2sinx，可得sinx-cosx=2sinx，故x取最小值時，故選：B答案第3頁，共15頁 又AP∥MN，所以解得：.故選：C【分析】分別取BB1，DD1，AA1的對應(yīng)三等分點N，M，Q，利用空間向量證明C,N,Q,M共面，再通過向量數(shù)量積證明AP丄平面CNQM，最后采用割補法求解出較小部分的體積，從而體積比可求.【詳解】分別取BB1靠近B的三等分點N，取DD1靠近D的三等分點M，取AA1靠近A1的三等分點Q，連接PD,PB,PM,PN,CM,BP,QM,QN，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)AB=1，答案第4頁，共15頁所以不-(1,0,1),砸=(1,0,1)，所以，且C,N,M,Q不共線，所以C,N,Q,M共面，又因為A(1,0,0),P(0,1,1)，所以那=(-1.1,1)，)+1=0，所以AP丄CM，且CM∩CN=C，所以AP丄平面CNQM，較小部分的幾何體如下圖所示，其體積為V1=VN-ABCD+VN-CDM+VN-ADMQ，由正四棱柱結(jié)構(gòu)特點易知BM//平面ADMQ，BM//平面CDM，所以較大部分與較小部分的體積比為2，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題求解的關(guān)鍵一方面是確定平面與正四棱柱各條棱的交點，根據(jù)交點坐標(biāo)和空間向量運算能更高效說明線面垂直，另一方面是采用割補法求解幾何體的體積，將復(fù)雜幾何體轉(zhuǎn)化為簡單幾何體再去計算.【分析】選項A和C，可以在正方體中，通過取平面和直線，滿足條件，但得不到a//b，從而判斷出A和C的正誤，選項B和D，利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，即可判斷出選項B和D的正誤.【詳解】對于選項A，如圖，在正方體中，取直線AB為a，直線BC為b，直線BB1為c，顯然有a丄c，b丄c，但a∩b=B，所以選項A錯誤，答案第5頁，共15頁對于選項B，由線面平行的性質(zhì)可知，選項B正確，對于選項C，如圖，在正方體中，取平面ABB1A1為α,平面BCC1B1為平面β,平面ABCD為Y，顯然滿足α丄Y，β丄Y，又α∩Y=AB，β∩Y=BC，且AB∩BC=B，即a,b相交，所以選項C錯誤，對于選項D，因為α∩β=a，則aβ,又β∩Y=c，則cβ,cY，又a//c，顯然有a丈Y，所以a//Y，又acα,α∩Y=b，所以a//b，故選項D正確，故選：BD.【分析】對于A：結(jié)合余弦函數(shù)的值域分析判斷；對于B：根據(jù)對稱性的定義分析判斷；對于C：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)題意結(jié)合最小正周期的定義分析判斷.【詳解】由題意可知：f(x)的定義域為R，且f(0)=1，所以f(x)的最大值為1，故A正確；對于選項B：因為f(π-x)=cos(π-x)cos2(π-x)=cos(π-x)cos(2π-2x)=-cosxcos2x=-f(x)，即f(r-x)+f(x)=0，所以是曲線y=f(x)的對稱中心，故B正確；對于選項C：因為f=0，且f(x)在R上連續(xù)不斷，所以f(x)在上不單調(diào)，故C錯誤；對于選項D：因為f(-x)=cos(-x)cos2(-x)=cosxcos2x=f(x)，答案第6頁，共15頁由選項B可知f(π-x)=-f(x)，可得f(x-π)=-f(x)，即f(x+π)=-f(x)，則f(x+2π)=-f(x+π)=-[-f(x)=f(x)，可知2π為f(x)的一個周期，可知對任意a∈(0,2π)，f(a)≠1，即f(0+a)≠f(0)，所以a不為f(x)的一個周期；綜上所述：f(x)的最小正周期為2π,故D正確；故選：ABD.【分析】選項A，根據(jù)條件，通過賦值，即可求解；選項B，由f(1+x)+f(1-x)=2，得到f(-x)=2-f(2+x)，進而得到f(-x)=f(2-x)-2，而又由f(1+x)+f(1-x)=2可得f(x)+f(2-x)=2，得到f(-x)=-f(x)，即可判斷選項B的正誤；選項C，根據(jù)條件得f(1)=1，f(2)=2，再利用f(2+x)=f(x)+2，得到當(dāng)x∈Z時，f(x)=x，再結(jié)合f(x)的單調(diào)性，即可求解；選項D，構(gòu)造函數(shù)y=ex+1-x-2，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到ex+1≥x+2，從而有f(ex+1)-f(x)≥f(x+2)-f(x)，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】對于選項A，因為f(1+x)+f(1-x)=2，令x=0，得到f(1)=1，又f(2+x)+f(2-x)=4，令x=1，得到f(3)+f(1)=4，所以f(3)=3，故選項A正確，對于選項B，因為f(1+x)+f(1-x)=2，得到f(2+x)+f(-x)=2，所以f(-x)=2-f(2+x)，又f(2+x)+f(2-x)=4，所以f(-x)=2-f(2+x)=f(2-x)-2，又由f(1+x)+f(1-x)=2可得f(x)+f(2-x)=2，所以f(-x)=f(2-x)-2=-f(x)，又f(x)的定義域為R，定義域關(guān)于原點對稱，所以f(x)為奇函數(shù)，故選項B正確，對于選項C，因為f(2+x)+f(2-x)=4，令x=0，得到f(2)=2，由選項A知f(1)=1，答案第7頁，共15頁又由選項B知f(2+x)=f(x)+2，且f(x)為奇函數(shù)，則當(dāng)x∈Z時，f(x)=x，所以當(dāng)x∈Z時，不存在x0∈R，使f(x0)=x0+1成立，當(dāng)x∈Z，因為f(x)為R上的增函數(shù)，則f(x0)<f([x0+1])=[x0+1]<x0+1（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)所以選項C錯誤，對于選項D，令y=ex+1-x-2，則y,=ex+1-1，由y,=ex+1-1=0，得到x=-1，所以當(dāng)x∈(-∞,-1)時，y,=ex+1-1<0，當(dāng)x∈(-1,+∞)時，y,=ex+1-1>0，即y=ex+1-x-2在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(-1,+∞)上單調(diào)遞增，所以y=ex+1-x-2≥e-1+1-(-1)-2=0，即ex+1由選項B知f(2+x)+f(-x)=f(2+x)-f(x)=2，又f(x)為R上的增函數(shù)，所以f(ex+1)-f(x)≥f(x+2)-f(x)=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號，故選項D正確，故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點晴：本題的關(guān)鍵在于選項C和D，選項C，關(guān)鍵在于結(jié)合條件得到當(dāng)x∈Z時，f(x)=x，再利用f(x)的單調(diào)性，當(dāng)x∈Z，有f(x0)<f([x0+1])=[x0+1]<x0+1（其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)即可求解；選項D，構(gòu)造函數(shù)y=ex+1-x-2，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性間的關(guān)系得到ex+1≥x+2，結(jié)合條件，得到f(ex+1)-f(x)≥f(x+2)-f(x)=2，即可求解.12．2##π【分析】根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性等圖象性質(zhì)易得結(jié)果.,此時f(x)=sin(2x+φ)，則-×2+φ=+2kπ,解得φ=+2kπ,又0<φ<π,所以φ=.答案第8頁，共15頁故答案為：2；.【分析】設(shè)A(x1,lnx1),B(x2,lnx2)，根據(jù)向量垂直可得x1.x2+lnx1.lnx2=0，由中點坐標(biāo)公式可得x1.x2=1，代入運算求解即可.2,lnx2)，又因為線段AB的中點M在x軸上，則1即可得或所以點M的橫坐標(biāo)為2=2|(e+e., , 【分析】將AB,AC分別表示為OB-OA,OC-OA，然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義表示出 2 當(dāng)且僅當(dāng)AB,OC=180時取等號， 答案第9頁，共15頁故答案為：-.(2)等邊三角形【分析】（1）利用正弦定理和誘導(dǎo)公式及特殊角三角函數(shù)值即可求得A的值；（2）利用三角形面積公式和余弦定理求得VABC的三邊長，進而判斷出VABC的形狀.sinAcosC+·sinAsinC則上式可化為·sinAsinC=sinCcosA+sinC，)=()=(,故A=整理得b2+c2-a2=28-12a，又由A=，則cos=，可化為解之得a=2，則解之得則VABC的形狀為等邊三角形.答案第10頁，共15頁或P(-23)(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得HP中點M縱坐標(biāo)為即可得答案；（2）由導(dǎo)數(shù)知識可得C在點P處的切線方程，后可表示出Q坐標(biāo)，后驗證FQ.FP=0，可證明結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)px0,y0=4y0，則P又由題可得C:x2=4y的焦點為F(0,1)，準(zhǔn)線為l：y=-1.則P在l上的射影H為H(x0,-1).要使△PFH為正三角形，則應(yīng)滿足HP中點M縱坐標(biāo)為1，且FM=HP.J3xJ3x能使△PFH為正三角形；(x2)（2）由題可得P|(x0,滿足x0≠0.注意到x2=4y→y=→y,=，.則點處的切線斜率為：，則相應(yīng)切線為：y=(-x0)+.代入x=4y0，可將切線方程化簡為：xx0=2(y+y0).令y=-1，可得Q00,y0-1)答案第11頁，共15頁【分析】（1）作AH丄PD于點H，證明AH丄平面PBD，求出AH得解；（2）以點A為坐標(biāo)原點，過點A垂直于AC的為x軸，AC,AP分別為y,z軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面PBC與平面PAC的一個法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）如圖，作AH丄PD于點H，因為平面PBD丄平面PAC，平面PBD∩平面PAC=PD，AH平面PAC，所以AH丄平面PBD，在Rt△PAD中，AH=所以點A到平面PBD的距離為.（2）由（1AH丄平面PBD，BD平面PBD，所以AH丄BD，又PA丄平面ABC，BDC平面ABC，所以PA丄BD，又PA,AHC平面PAC，PA∩AH=A，所以BD丄平面PAC，如圖，以點A為坐標(biāo)原點，過點A垂直于AC的為x軸，AC,AP分別為y,z軸的空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)平面PBC的一個法向量為=(x,y,z)，z=0答案第12頁，共15頁設(shè)平面PAC與平面PBC的夾角為θ,:sinθ=.所以平面PAC與平面PBC的夾角的正弦值為.(2)證明見詳解【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，代入原點運算求解即可；（2）構(gòu)建g(x)=f(x)-x-1+sinx，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性和最值，即可分析證明；（3）分類討論a的符號，可知f′x)≥0在[0,π]上恒成立，構(gòu)建F(x)=f,(x)，結(jié)合端點效應(yīng)分析證明.【詳解】（1）因為f(x)=x2+acosx，則f,(x)=2x-asinx，即切點坐標(biāo)為切線斜率k=π-a，則切線方程為若切線過原點，則0-解得.（2）若a=1，則f(x)=x2+cosx，構(gòu)建g(x)=f(x)-x-1+sinx=x2-x+sinx+cosx-1，則g,(x)=2x-1+cosx-sinx，即h,(x)>0恒成立，則?(x)在R上單調(diào)遞增，且h(0)=0，可知g(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則g(x)≥g(0)=0，所以f(x)≥x+1-sinx.（3）若f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，當(dāng)a=0，則f(x)=x2在[0,π]上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)a<0，則f(x)=x2-acosx在[0,π]上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)a>0，由（1）可知：f,(x)=2x-asinx，則f′(x)≥0在[0,π]上恒成立，設(shè)F(x)=f,(x)，則F,(x)=2-acosx，若0<a≤2，可知F,(x)=2-acosx在[0,π]上單調(diào)遞增，可知F(x)在[0,π]上單調(diào)遞增，則F(x)≥F(0)=0，符合題意；綜上所述：a的取值范圍為(-∞,2].【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；答案第13頁，共15頁答案第14頁，共15頁