高職數(shù)學(xué)課件

高職數(shù)學(xué)函數(shù)的概念

定義：設(shè)，是兩個變量，D是一個給定的數(shù)集，若對于每個，按照某種對應(yīng)法則，總有惟一確定的值與之對應(yīng)，則稱是的函數(shù)，記作.其中，叫做自變量，叫做因變量，數(shù)集D叫做函數(shù)的定義域，當(dāng)取定D中的值時，與之對應(yīng)的值叫做函數(shù)在處的函數(shù)值，記作或，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.例1判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否相同，并說明理由.

反函數(shù)的概念

定義3.設(shè)函數(shù)的定義域為D，值域為M，如果對于M內(nèi)的每一個y值，在D中都有惟一確定的x值與之對應(yīng)，則x是定義在M上的以y為自變量的函數(shù)，稱其為函數(shù)的反函數(shù)，記作.習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示函數(shù)，因此，函數(shù)的反函數(shù)通常寫成.

函數(shù)的單調(diào)性

函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的周期性

的周期T=π.

函數(shù)的有界性基本初等函數(shù)的概念

常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，這六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).復(fù)合函數(shù)定義2.若函數(shù)的定義域與函數(shù)的值域交集不空，則y通過u成為x的函數(shù)，這個函數(shù)叫做由和復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中u叫做中間變量，叫做外層函數(shù)，叫做內(nèi)層函數(shù).初等函數(shù)定義3.由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或復(fù)合而得到的函數(shù)，叫做初等函數(shù).初等函數(shù)可以用一個式子來表示.經(jīng)濟(jì)函數(shù)

1.需求函數(shù)和供給函數(shù)2.成本函數(shù)、收入函數(shù)和利潤函數(shù)3.庫存函數(shù)：假設(shè)每批進(jìn)貨費為a元，單位貨物年保管費為b元，則全年購存費（元）為

數(shù)列極限的概念考察下列無窮數(shù)列，隨著項數(shù)的增大，它們的項的變化趨勢函數(shù)自變量變化趨勢有六種情況（1）單向趨近：x可取正值，無限增大.（2）單向趨近：x可取負(fù)值，絕對值無限增大.（3）雙向趨近：x絕對值無限增大.（4）單向趨近：x從大于的一側(cè)無限趨近（5）單向趨近：x從小于的一側(cè)無限趨近（6）雙向趨近：x從左右兩側(cè)無限趨近.函數(shù)的取值變化狀態(tài)圖函數(shù)的變化狀態(tài)圖無窮小量的性質(zhì)1.有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.2.有界變量與無窮小之積仍是無窮小.3.常數(shù)與無窮小之積仍是無窮小.4.有限個無窮小之積仍是無窮小.極限的四則運算法則

定理.若都存在，則對有理分式函數(shù)有（用文字語言表述有助于理解記憶）第一個重要極限第二個重要極限：等價的兩種形式：連續(xù)復(fù)利計算公式

若P為本金，r為利率，n為存期，則到期本利和為：函數(shù)在一點處連續(xù)的定義

定義1.設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點處連續(xù).定義式說明了函數(shù)在點處連續(xù)，須同時具備三個條件：1.函數(shù)在點有定義；2.函數(shù)在點有極限；3.函數(shù)在點極限值等于函數(shù)值.零點存在定理圖間斷點的類型第一類間斷點（左右極限都存在）

1.跳躍間斷點；

2.可去間斷點；…第二類間斷點（第一類以外的）

1.無窮間斷點；…

平面曲線的切線圖用定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：（1）求函數(shù)的改變量；（2）求平均變化率；（3）求極限即導(dǎo)數(shù).求導(dǎo)公式

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例6.飛機(jī)沿曲線向地面俯沖，若其下降的垂直速度恒為100米/秒，當(dāng)俯沖到離地面2501米時，其影子在地面上的運動速度是多少？微分引例：求正方形面積改變量的近似值圖：微分的幾何意義需求對價格的彈性需求彈性大，是指||大.當(dāng)=－1時，稱為單位彈性，此時需求量變動的百分比等于價格變動的百分比.價格變動對收入影響不大.當(dāng)<－1時，稱為高彈性，此時需求量變動的百分比高于價格變動的百分比，價格變動對需求影響較大.可降價多銷增加收入.當(dāng)－1<<0時，稱為低彈性，此時需求量變動的百分比低于價格變動的百分比，價格變動對需求影響不大，可提價增加收入.函數(shù)的單調(diào)性引入函數(shù)極值

函數(shù)極值例7.燈泡吊掛在桌面上方B點處，B點在桌面的投影為O點，桌面上到O點距離為a的點A獲得的照度，與該點到光源距離的平方成反比，與光線BA與桌面所成夾角的正弦成正比.問點B距離桌面多高時，A點獲得的照度最強？函數(shù)曲線的凹凸性引入

曲線凹凸性判定定理.設(shè)在區(qū)間內(nèi)函數(shù)有二階導(dǎo)數(shù)，若二階導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)曲線是凹的；若二階導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)曲線是凸的.函數(shù)曲線的漸近線

例7.函數(shù)的圖象原函數(shù)的定義

對定義在區(qū)間Ⅰ的已知函數(shù)，若存在定義在區(qū)間Ⅰ的函數(shù)，使得對任意，都有=成立，則稱函數(shù)為函數(shù)的原函數(shù).不定積分公式

分部積分公式曲邊梯形的面積定積分的幾何意義

平面圖形的面積1

平面圖形的面積

2平面圖形的面積例1圖平面圖形的面積例2平面圖形的面積例3矩陣矩陣—零矩陣、列矩陣、行矩陣方陣—三角矩陣—上三角矩陣下三階矩陣

—對角陣—單位矩陣矩陣與矩陣的乘法說明由定義可知：（1）當(dāng)且僅當(dāng)左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)時，才能計算A左乘B；（2）AB=C結(jié)果仍是矩陣，它的行數(shù)是A的行數(shù)，它的列數(shù)是B的列數(shù)；（3）C的第i行第j列的元素，等于A的第i行各元素與B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和.矩陣乘法的運算性質(zhì)

（1）乘法結(jié)合律：（AB）C=A(BC)；（2）左乘分配律：A（B+C）=AB+AC；（3）右乘分配律：（B+C）A=BA+CA；（4）數(shù)乘結(jié)合律：k(AB)=(kA)B=A(kB)；（5）吸收率：矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運算規(guī)律（1）；（2）；（3），其中k是實數(shù).（4）=，.矩陣的初等變換定義.

對矩陣進(jìn)行下列三種變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換，簡稱為矩陣的初等變換：（1）對換：對換第i,j兩行的位置，記作（??）；（2）倍乘：非零數(shù)k乘第i行的所有元素，記作k?；（3）倍加：非零數(shù)k乘第j行所有元素，加到第i行的相應(yīng)元素上去，記作?+k?.初等矩陣

定義7.由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣，叫做初等矩陣。三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣：（1）初等對換矩陣：由單位矩陣E的第i行和第j行對換得到的矩陣，記作E（??）.（2）初等倍乘矩陣：由非零數(shù)k乘單位矩陣E的第i行得到的矩陣，記作E（k?）.（3）初等倍加矩陣：由非零數(shù)k乘單位矩陣E的第j行加到第i行上去得到的矩陣，記作E（?+k?）.矩陣變換與乘法運算關(guān)系（1）若AB，則B=E（??）A，反之亦然.（2）若AB，則B=E（k?）A，反之亦然.(3)若AB，則B=E（?+k?）A，反之亦然.逆矩陣性質(zhì)（1）若矩陣A可逆，則也可逆，且(即A與互為逆矩陣).（2）若矩陣A可逆，數(shù)k≠0,則kA可逆，且

.（3）若矩陣A，B都是n階可逆方陣，則AB可逆，且.該性質(zhì)可推廣到任意有限個同階可逆矩陣的情形.（4）若矩陣A可逆，則A的轉(zhuǎn)置矩陣也可逆，且

.值得注意的是，O矩陣不可逆；單位矩陣E可逆且其逆仍為單位矩陣；初等矩陣可逆，向量向量概念

向量、行向量、列向量、零向量、單位向量向量運算：和、差、數(shù)乘向量的線性相關(guān)性向量組的秩向量組的極大無關(guān)組向量組的秩和極大無關(guān)組的求法

（1）把這些向量作為矩陣的列組裝成一個矩陣；（2）用初等變換將矩陣化為階梯形；（3）根據(jù)階梯形矩陣特點得出結(jié)論：①非零行的行數(shù)就是向量組的秩；②當(dāng)秩等于向量組中向量的個數(shù)時，該向量組線性無關(guān)；當(dāng)秩小于向量組中向量的個數(shù)時，該向量組線性相關(guān)；③階梯形矩陣主元所在的列向量所對應(yīng)的原向量組中的列向量，構(gòu)成原向量組的一個極大無關(guān)組.非齊次線性方程組

含有n個未知數(shù)、m個方程的線性方程組齊次線性方程組

方程組解的情況判定

定理.線性方程組AX=B有解的充要條件是r(A|B)=r(A)推論1.線性方程組有惟一解的充要條件是

其中n是方程組中未知數(shù)的個數(shù).推論2.齊次線性方程組AX=0只有零解的充要條件是r(A)=n方程組解的結(jié)構(gòu)定理3.若方程組AX=B的一個特解是，其導(dǎo)出組AX=0的一個基礎(chǔ)解系是則方程組AX=B的通解可表示為

其中是常數(shù)隨機(jī)試驗具有如下特征（1）可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）各次試驗的結(jié)果一般不同，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果事先已知；（3）一次試驗的結(jié)果不能事先預(yù)知，但必然是所有可能出現(xiàn)的結(jié)果當(dāng)中的一個.隨機(jī)事件包括基本事件復(fù)合事件必然事件不可能事件事件的關(guān)系與運算子事件、等事件、和事件、積事件、互斥事件、差事件、對立事件隨機(jī)事件的運算規(guī)律

（1）交換律.A+B=B+A，AB=BA.（2）結(jié)合律.A+（B+C）=（A+B）+C，A(BC)=(AB)C.（3）分配律.A（B+C）=AB+AC，A+（BC）=（A+B）（A+C）.（4）對偶率..（5）還原率..（6）差積率.A－B=A－AB=.古典概型

定義1.

若隨機(jī)試驗具有如下兩個特點：（1）只有有限個不同的基本事件，即是一個有限集；（2）各基本事件出現(xiàn)的可能性相等.則稱這樣的試驗?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判?在古典概型的隨機(jī)試驗中，如果基本事件的個數(shù)是n，事件A由m個基本事件構(gòu)成，則事件A發(fā)生的概率為m/n，記作P(A)，即P(A)=m/n.幾何概型

定義2.若隨機(jī)試驗有如下兩個特點：（1）基本事件空間形成一個有界幾何區(qū)域；（2）各基本事件的出現(xiàn)是“均勻”的.則稱這樣的試驗?zāi)Ｐ蜑閹缀胃判?所謂均勻，指一次試驗結(jié)果落在基本事件空間的任一小區(qū)域A的可能性與區(qū)域A在基本事件空間所占有的幾何測度|A|成正比，幾何測度可以是區(qū)間長度、區(qū)域面積或立體體積等.在幾何概型的隨機(jī)試驗中，事件A發(fā)生的概率定義為P(A)=|A|/||.稱此概率為幾何概率.統(tǒng)計概率

定義4.在一組不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行大量的n次試驗，若事件A發(fā)生k次.而其頻率k/n總在一個確定的常數(shù)p附近變動，則稱這個常數(shù)p為事件A的統(tǒng)計概率，記作P（A）=p.概率具有如下性質(zhì)（1）對任何隨機(jī)事件A，有0≤P（A）≤1.（2）對必然事件，有P（）=1.（3）若事件兩兩互斥，則全概率公式

定理4.

設(shè)為基本事件空間的一個完備事件組，則對任意事件B，均有逆概率公式定理5.設(shè)是一個完備事件組，任意事件B不是不可能事件，則獨立重復(fù)試驗（貝努利概型）

定義3.若有一系列試驗滿足如下條件：（1）每次試驗，只可能有兩種結(jié)果：；（2）各次試驗的概率保持不變；（3）各次試驗出現(xiàn)何種結(jié)果互不影響.這樣的一系列試驗，稱為獨立重復(fù)試驗系列，簡稱獨立重復(fù)試驗，也叫貝努利（Bernoulli）試驗.

幾種常用的離散型隨機(jī)變量的分布

（1）兩點分布：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0，1兩個值，它的概率分布為

P(X=1)=p，P(X=0)=1－p(0＜p＜1)（2）二項分布：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n、p的二項分布，記作X～B（n，p）.（3）泊松（Poisson）分布隨機(jī)變量X的概率分布為連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度引例圖

均勻分布連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

指數(shù)分布

隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為正態(tài)分布

隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

其密度函數(shù)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

（1）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X)，即E(X)=；（2）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為若極限存在，則稱該極限為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X)連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為,若積分收斂，則稱該積分為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作E(X).幾種常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（1）兩點分布:隨機(jī)變量X～B（1，p）,則E(X)=0×(1－p)+1×p=p.（2）二項分布:隨機(jī)變量X～B(n,p),則E(X)=np.（3）泊松分布:隨機(jī)變量X～P(),則E(X)=（4）均勻分布：設(shè)隨機(jī)變量X～U(a，b)，則（5）指數(shù)分布：設(shè)隨機(jī)變量X～exp(),則

E(X)=1/.（6）正態(tài)分布：設(shè)隨機(jī)變量X～,則E(X)=；若X～N(0，1)，則E(X)=0.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)E(C)=c,其中c為常數(shù)(2)E(kX)=kE(x),其中k為常數(shù).(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y).方差的定義（1）對于有窮離散型隨機(jī)變量X，有，其中X的分布列為