高等數(shù)學（第二版）課件：函數(shù)及其基本性質

高等數(shù)學（第二版）一、集合第一節(jié)預備知識函數(shù)及其基本性質二、實數(shù)集三、絕對值四、區(qū)間與鄰域“集合”是現(xiàn)代數(shù)學中的一個重要的基本概念。集合是指具有某種特定性質的事物的全體。組成這一集合的事物稱為該集合的元素。一、集合例1．所有皮制火炬牌籃球構成一個集合，則每一只皮制的火炬牌籃球都是該集合的元素。例2．所有正整數(shù)的全體構成一個集合，則每一個正整數(shù)都是該集合的元素。通常，我們用英文大寫字母如A、B、X、Y等表示集合，用英文小寫字母如、b、x、y等表示集合中的元素。如果為集合A中的元素，則記作，讀作屬于A或在A中；如果不是集合A中的元素，則記為，讀作不屬于A或不在A中。如果集合中所包含的元素的個數(shù)只有有限個，則稱這種集合為有限集。如果集合中所包含的元素的個數(shù)有無限個，則稱這種集合為無限集。不包含任何元素的集合稱為空集，記為。例4．設，則A中的任一元素都是B中的一個元素，。定義2設集合A、B，若且，則稱集合A與B相等。記作A=B。例3．為空集。定義1設有集合A、B，如果集合A中的每一元素都是集合B中的元素，即，必有，則稱集合A為B的子集。記為，或，讀作A包含于B，或B包含A。例5．設，則A=B。二、實數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集如果用十進制來表示有理數(shù)，則有理數(shù)可表示成有限或無限循環(huán)的小數(shù)。一個數(shù)為有理數(shù)當且僅當可以表示成分數(shù)。如果一個數(shù)用十進制表示時，都不是有限的或無限循環(huán)的，這種無限不循環(huán)小數(shù)稱之為無理數(shù)。例如：這種無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)。通常把具有原點、方向和長度單位的直線稱為數(shù)軸。有理數(shù)在數(shù)軸上對應的點稱作有理點；無理數(shù)在數(shù)軸上對應的點稱作無理點。有理數(shù)和無理數(shù)的全體稱為實數(shù)集，記為。實數(shù)集充滿整個數(shù)軸。三、絕對值定義3任何實數(shù)的絕對值，記為，定義為的絕對值表示為數(shù)軸上點到原點之間的距離。實數(shù)絕對值具有如下性質：(1)當且僅當時，有(2)(3)(4)(5)(6)四、區(qū)間與鄰域區(qū)間與鄰域是微積分中常用的實數(shù)集，其中區(qū)間按不同的名稱記號和定義可分為如下九種形式：閉區(qū)間開區(qū)間半開區(qū)間無限區(qū)間其中，為給定的實數(shù)，分別稱為區(qū)間的左端點和右端點。讀作為“正無窮大”，讀作為“負無窮大”，它們不表示任何數(shù)，僅僅是作為記號。定義4設與為兩個給定的實數(shù)，集合稱為點的鄰域，稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑，記為，即一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的表示法第二節(jié)函數(shù)函數(shù)及其基本性質一、函數(shù)的概念笛卡爾的“幾何學”中引入了坐標與度量，開創(chuàng)了解析幾何，使過去對立著的兩個研究對象“形”和“數(shù)”統(tǒng)一起來，完成了數(shù)學史上一項劃時代的變革。笛卡爾引入變量以后，隨之而來的便是函數(shù)概念。雖然他沒有使用變量和函數(shù)這兩個詞，但兩者的關系如此的密切，它們在歷史上是同時出現(xiàn)的。笛卡爾在指出和是變量時，注意到了依賴于而變化。這正是函數(shù)思想的萌芽。定義1設和為兩個變量，是實數(shù)集R的子集。如果對于任何的，按照一定的規(guī)則有惟一確定的實數(shù)值與之對應，則稱該規(guī)則是定義在上的函數(shù)，也稱是變量的函數(shù)，記為，此處是函數(shù)的定義域。對于每一個，按法則所對應的惟一的稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值。當取遍的每一個值時，對應的變量取值的全體組成的數(shù)集稱為該函數(shù)的值域，記為。如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應規(guī)則也相同，則稱此兩個函數(shù)相同，均表示為同一函數(shù)。我們約定：函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達式有意義的自變量的一切實數(shù)所組成的實數(shù)集。例1．求函數(shù)的定義域解：當分母時，此函數(shù)才有意義，所以函數(shù)的定義域為的全體實數(shù)，即解：例2．判斷與是否為相同的函數(shù)。由于當時，，但當時有定義而無定義，故與的定義域不相同，兩者不是同一個函數(shù)。二、函數(shù)表示法函數(shù)的表示法通常有三種:表格法、圖示法和公式法。表格法就是把自變量與因變量的一些對應值用表格列出，這樣函數(shù)關系就用表格表示出來。例如，大家熟悉的開方表、三角函數(shù)表、對數(shù)表等都是用表格法表示函數(shù)的。（1）表格法函數(shù)的圖形能直觀地表達自變量與因變量之間的關系。圖示法的主要優(yōu)點是直觀性強，函數(shù)的主要特征在圖上一目了然。圖示法的缺點是不便于作理論上的推導、分析與運算。（2）圖示法

用數(shù)學公式表示自變量與因變量之間的對應關系，是函數(shù)的公式法。用公式法表達函數(shù)的優(yōu)點是簡明準確，便于理論分析，缺點是不夠直觀，有些實際問題很難用公式法表示。（3）公式法

函數(shù)的三種表示法各有優(yōu)點和缺點，針對不同的問題可以采用不同的表示法。一、有界性二、單調性第三節(jié)函數(shù)的幾種特性函數(shù)及其基本性質三、奇偶性四、周期性一、有界性定義1設函數(shù)在區(qū)間內有定義，如果存在一個正數(shù)，對于所有的，恒有，則稱函數(shù)在內是有界的，如果不存在這樣的正數(shù)，則稱在內是無界的。例如，函數(shù)在內有定義，對任意的一個

，均有，所以函數(shù)在內是有界的。函數(shù)在和內均有定義，但在

內是無界的，在內是有界的。二、單調性定義2設函數(shù)在區(qū)間內有定義，如果對區(qū)間內任意兩點，（1）當時，滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間內是單調增加的，相應區(qū)間稱為的單調增加區(qū)間；（2）當時，滿足，則稱函數(shù)在區(qū)間內是單調減少的，相應區(qū)間稱為的單調減少區(qū)間。單調增加函數(shù)與單調減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)。單調增加區(qū)間與單調減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間。解：故故

例1． 判斷函數(shù)的單調性。當異號時，有，當同號時，有，由于在內有定義，對于任意，且，有即對任意的，且均有。換言之，在上是單調增加函數(shù)。定義3設函數(shù)的定義域為或，(1)如果對于任意一個或，滿足，則稱為或上的偶函數(shù)；三、奇偶性(2)如果對于任意一個或，滿足，則稱為或上的奇函數(shù)。例2．判斷函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域為，對于任意一個，有所以為奇函數(shù)，見圖。解：所以，函數(shù)為偶函數(shù)，見圖。例3

判斷函數(shù)的奇偶性。函數(shù)的定義域為，對于任意一個，有

從幾何形態(tài)上而言，偶函數(shù)是以軸對稱的，奇函數(shù)則關于坐標原點對稱。解：例4．判斷函數(shù)的奇偶性。函數(shù)的定義域為，對于任意一個，有既不等于也不等于，所以

為非奇非偶函數(shù)。四、周期性定義4設函數(shù)的定義域為D，如果存在正的常數(shù)，使得對任意的，，滿足，則稱函數(shù)為周期函數(shù)。滿足這個等式的正數(shù)，稱為函數(shù)的周期，通常所說的周期是指最小的正周期。例如，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)是以為周期的周函數(shù)。一、反函數(shù)二、復合函數(shù)第四節(jié)反函數(shù)和復合函數(shù)函數(shù)及其基本性質一、反函數(shù)通常習慣于用表示自變量，用表示因變量。因此我們將改寫為，此時我們說是的反函數(shù)。定義1設是定義在上的一個函數(shù)，其值域為，如果對每一個有惟一確定的與之對應，且滿足，其對應法則記為，則此定義在上的函數(shù)為，并稱之為的反函數(shù)。例1． 求函數(shù)的反函數(shù)。解：由解得，將式中的自變量與因變量作相應對換，則求得的反函數(shù)。如果將函數(shù)的反函數(shù)的圖形和函數(shù)的圖形畫在同一個坐標平面上，那么這兩個圖形關于直線是對稱的。先考察一個例子，設，用去替代第一式中的，得可以認為函數(shù)是由及復合而構成的函數(shù)，此類函數(shù)稱為復合函數(shù)。二、復合函數(shù)定義2設為一數(shù)集。如果對于每一個，通過有惟一確定的值，并且在處有定義，從而確定值與之對應，這樣就得到一個以為自變量、以為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)被稱為由復合而成的復合函數(shù)，記為并稱為自變量，為中間變量。由此定義，當里層函數(shù)的值域不包含于外層函數(shù)的定義域時，只要兩者有公共部分，可以限制里層函數(shù)的定義域，使其對應的值域包含于外層函數(shù)定義域，就可以構成復合函數(shù)了。例2．設，求。解：在研究復合函數(shù)這概念時，有時我們的重點并不是在“復合”，而在于“分解”，即如何將一較復雜的函數(shù)分解成幾個簡單函數(shù)。這在微積分的運算中將廣泛地使用。一、基本初等函數(shù)二、分段函數(shù)第五節(jié)初等函數(shù)函數(shù)及其基本性質三、初等