第4章 線面幾何元素間的相對位置

第2章制圖的基本知識(shí)第3章點(diǎn)、線、面的投影第4章線面幾何元素間的相對位置第5章投影變換第6章曲線與曲面第7章基本立體第8章平面截切立體第10章

組合體第11章軸測圖第12章建筑形體的表達(dá)方法第13章透視投影第14章標(biāo)高投影第15章計(jì)算機(jī)繪圖第1章

緒論

第9章

兩立體相貫第4章

線面幾何元素間的相對位置

4.1線面相對位置概述

4.3相交關(guān)系4.3.1直線與直線相交4.3.2相交的特殊情況4.3.3相交的一般情況

4.2平行關(guān)系4.2.1直線與直線平行4.2.2直線與平面平行4.2.3平面與平面平行4.4垂直關(guān)系4.4.1直線與直線垂直4.4.2直線與平面垂直4.4.3平面與平面垂直【知識(shí)目標(biāo)】1.明確判斷直線與直線、直線與平面、平面與平面的相對位置關(guān)系的幾何條件。2.掌握空間的直線、平面間的平行問題、垂直問題和相交問題圖解方法?！灸芰δ繕?biāo)】

能夠運(yùn)用正投影理論判斷和求解直線、平面之間的相對位置關(guān)系，形成對于復(fù)雜空間問題的分析能力和解決能力。第4章

線面幾何元素間的相對位置返回本章目錄第4章

線面幾何元素間的相對位置4.1線面相對位置概述1.直線與直線的相對位置關(guān)系

直線與直線的相對位置重合不重合不在同一平面:交叉同一平面平行相交(a)平行(b)相交(c)交叉返回本章目錄第4章

線面幾何元素間的相對位置4.1線面相對位置概述2.直線與平面的相對位置關(guān)系

直線與平面的相對位置直線在平面上直線不在平面上直線平行于平面:直線與平面相交傾斜相交垂直相交(a)在平面內(nèi)(b)平行(c)傾斜相交(d)垂直相交返回本章目錄3.平面與平面的相對位置關(guān)系

平面與平面的相對位置平行相交平行重合傾斜相交垂直相交(a)重合(b)平行

(c)傾斜相交(d)垂直相交線面相對位置關(guān)系可歸納為平行關(guān)系、傾斜相交關(guān)系和垂直相交關(guān)系。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.1線面相對位置概述返回本章目錄第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系4.2.1直線與直線平行空間上相互平行的兩條直線，其三面投影必然相互平行；同理，若兩直線的三面投影相互平行，則其空間必然平行。如圖直線AB與CD空間相互平行，則其三面投影相互平行。返回本章目錄第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系4.2.1直線與直線平行對于一般位置直線，若兩面投影相互平行，其第三面投影必然平行，故可給出兩直線空間平行的結(jié)論；而對于特殊位置直線，如投影面平行線，則需結(jié)合第三面投影來判斷。EF與GH不平行返回本章目錄4.2.2直線與平面平行1.若平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則直線與平面平行。2.若直線與平面平行，則通過平面內(nèi)的任一點(diǎn)都能找到一條直線與之平行。3.若直線平行于投影面垂直面的積聚投影，則直線與平面平行。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系返回本章目錄例4-1判斷直線AB和平面CDE、直線CD與平面FGH是否平行。題目1題目1結(jié)果（1）過c作ck//ab交de于k，作k的正面投影k’，連接c’k’，發(fā)現(xiàn)c’k’不平行于a’b’，所以直線AB與平面CDE不平行。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系返回本章目錄題目2題目2結(jié)果（2）平面FGH為正垂面，且c’d’平行于平面FGH的積聚投影f’g’h’，所以直線CD與平面FGH平行。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系例4-1判斷直線AB和平面CDE、直線CD與平面FGH是否平行。返回本章目錄例4-2已知點(diǎn)A和平面BCDE的兩面投影，求過點(diǎn)A作一直線平行于平面BCDE。(a)題目

(b)與平面平行的正平線

(c)與平面平行的水平線1.過點(diǎn)A作正平線AM與平面BCDE平行：如圖b所示。2.過點(diǎn)A作水平線AK與平面BCDE平行：如圖c所示。3.過點(diǎn)A作一直線AN與平面BCDE平行：如圖d所示。結(jié)論：過平面外一點(diǎn)可做無數(shù)條直線與該平面平行。(d)與平面平行的直線AN第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系返回本章目錄4.2.3平面與平面平行1.若一個(gè)平面的兩條相交直線與另一個(gè)平面的兩條相交直線分別對應(yīng)平行，則這兩個(gè)平面相互平行。2.對于同一投影面垂直面，若二者的積聚平行，則可判斷兩平面相互平行。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系返回本章目錄例4-3判斷平面ABC和平面DEF、平面GHM與平面JKL是否平行。(a)題目1(b)題目2判斷過程(c)題目1判斷過程（2）水平線AG//DH，正平線AK不//DM，故平面ABC和平面DEF不平行。（1）正垂面GHM與JKL正面積聚投影平行，故平行。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系返回本章目錄例4-4求過平面ABCD外一點(diǎn)E作一平面

EFG平行于平面ABCD。題目作圖過程及結(jié)果分析平面兩相交直線相互對應(yīng)平行，則兩平面平行。作圖步驟1）作直線EG//直線AD2）作直線EF//直線CD3）粗實(shí)線連接第4章

線面幾何元素間的相對位置4.2平行關(guān)系返回本章目錄第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系4.3.1直線與直線相交同一平面內(nèi)的兩條相交直線必有一交點(diǎn)，交點(diǎn)為兩直線共有點(diǎn)。空間上相交的兩直線，其同面投影必相交且投影的交點(diǎn)連線符合投影規(guī)律。返回本章目錄例4-5完成平面五邊形ABCDE的兩面投影。(a)題目(b)作水平投影d(c)作正面投影e’分析

利用平面內(nèi)對角線交點(diǎn)確定正面投影e’和水平投影d。作圖步驟1）完成水平投影d2）完成正面投影e’3）粗實(shí)線連接第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄4.3相交關(guān)系4.3.1直線與直線相交如果兩條直線既不平行，也不相交，則兩直線交叉，此時(shí)兩直線異面。交叉直線可能存在兩面投影平行的情況，但第三面投影必不平行，如右圖兩交叉?zhèn)绕骄€EF和GH的水平投影和正面投影平行，但側(cè)面投影不平行。交叉直線的投影也可能相交，在同面投影好像存在“交點(diǎn)”，但這些“交點(diǎn)”實(shí)際上是交叉直線在該投影面的重影點(diǎn)。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄例4-6已知直線AB與CD的兩面投影，求作側(cè)面投影并判斷直線AB與CD的相對位置關(guān)系。分析：利用三等規(guī)律求出直線端點(diǎn)的側(cè)面投影；若兩直線投影既不平行也不相交，則兩直線交叉。(1)作直線AB與CD的側(cè)面投影：利用“三等規(guī)律”。（2）判斷直線AB與CD的相對位置：直線AB與CD交叉。(a)題目(b)作直線側(cè)面投影(c)判斷兩直線相對位置第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄4.3相交關(guān)系直線與平面相交存在一個(gè)交點(diǎn)，該交點(diǎn)為直線與平面的共有點(diǎn)，且交點(diǎn)為直線可見與不可見的分界點(diǎn)。求直線與平面相交的投影，須先求交點(diǎn)，再判別直線的可見性。平面與平面相交存在一條交線，該交線為兩平面的共有線，且交線為平面可見與不可見的分界線。求平面與平面相交的投影，須先求交線，再判別平面的可見性。平面與平面相交直線與平面相交第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄4.3.2相交的特殊情況1.直線與平面相交的特殊情況直線與平面相交的特殊情況是指直線或平面與投影面垂直的情況。根據(jù)交點(diǎn)的共有性可直接在積聚投影上確定交點(diǎn)的一個(gè)投影，然后再利用點(diǎn)的從屬關(guān)系確定其他面投影。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系正垂面ABC與一般位置直線EF相交，交點(diǎn)為K，K點(diǎn)為平面與直線的共有點(diǎn)。返回本章目錄第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系1.直線與平面相交的特殊情況求交點(diǎn)：k’為交點(diǎn)K的正面投影，水平投影k可根據(jù)點(diǎn)的從屬性確定，落在直線水平投影ef上。4.3.2相交的特殊情況返回本章目錄4.3.2相交的特殊情況直線與平面相交的特殊情況可見性判斷：一是根據(jù)投影分析其相對位置，二是利用投影圖上的重影點(diǎn)來判斷，特殊情況采用相對位置判斷。不可見部分用細(xì)虛線繪制。本例中，從正面投影來看，EK段在平面ABC的上方，因此水平投影ek可見，粗實(shí)線繪制；而KF段在平面ABC的下方，因此kf與平面水平投影重合部分不可見，用細(xì)虛線繪制。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄(a)題目(b)求交點(diǎn)作圖步驟如下：（1）求交點(diǎn)K：水平投影k在a(b)上；連接直線fa交de于c，過c作正面投影c’，連接f’c’交a’b’于k’。例4-7直線AB為鉛垂線，平面DEF為一般位置平面，求交點(diǎn)K及判別可見性。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄（2）可見性判斷。方法一，利用相對位置判別可見性：水平投影不存在遮擋。從水平投影可知，直線AB在DE的前方，故b’k’段可見；交點(diǎn)K為可見與不可見的分界點(diǎn)，故k’a’與平面DEF的重疊部分不可見。方法二，利用重影點(diǎn)判別可見性：取a’b’與d’e’的重影點(diǎn)1’(2’)，從水平投影可知，1在直線AB上，2在直線DE，點(diǎn)I在點(diǎn)II的前方，所以1’k’可見。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系(c)相對位置判別可見性(d)重影點(diǎn)判別可見性例4-7直線AB為鉛垂線，平面DEF為一般位置平面，求交點(diǎn)K及判別可見性。返回本章目錄4.3.2相交的特殊情況2.平面與平面相交的特殊情況：指其中一個(gè)平面或兩個(gè)平面為投影面垂直面。對于兩投影面垂直面相交，交線必然為該投影面的垂直線。根據(jù)平面的相對位置判斷可見性。對于投影面垂直面與一般位置平面相交，可以將一般位置平面看作由兩條相交直線構(gòu)成，那么問題就轉(zhuǎn)化為兩條相交直線與投影面垂直面相交，參照前述方法分別求出兩相交直線與投影面垂直面的交點(diǎn)，交點(diǎn)的連線即為交線。正垂面ABC與正垂面DEF相交，交線為MN，交線MN為平面與平面的共有線。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄2.平面與平面相交的特殊情況求交線：平面ABC與DEF為正垂面，故交線MN為正垂線。MN的正面投影積聚為一點(diǎn)，為積聚投影的交點(diǎn)；水平投影垂直于OX軸，位于兩平面重合部分。4.3.2相交的特殊情況第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄判別可見性：交線MN將兩平面分為左右兩部分，左邊部分平面DEF在平面ABC的上方，水平投影中交線MN左邊部分平面DEF可見，平面ABC不可見，可見部分用粗實(shí)線繪制，不可見部分用細(xì)虛線繪制；交線MN可見，mn用粗實(shí)線；右邊部分可見性與左邊部分相反。4.3.2相交的特殊情況第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系2.平面與平面相交的特殊情況返回本章目錄(a)題目(b)求交線作圖步驟如下：（1）求交線MN：交點(diǎn)m’和n’為d’e’、e’f’與平面ABC積聚投影的交點(diǎn)，作出其水平投影m和n，交點(diǎn)的連線為交線，可見，粗實(shí)線連接。例4-8平面ABC為正垂面，平面DEFG為一般位置平面，求交線MN并判別可見性。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄例4-8平面ABC為正垂面，平面DEFG為一般位置平面，求交線MN并判別可見性。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系（2）可見性判斷。方法一，通過相對位置判別可見性：從V面投影可知，DMNFG部分在平面ABC的上方，其水平投影可見，用粗實(shí)線繪制；mne與abc重疊部分不可見，用細(xì)虛線繪制。平面ABC的水平投影可見性情況與平面DEF相反。方法二，通過重影點(diǎn)判別可見性：在水平投影取重影點(diǎn)1（2），兩點(diǎn)分別位于直線DG與直線AC上，作該重影點(diǎn)的正面投影1’與2’，可知直線DG上的點(diǎn)I位置在上方，水平投影可見，進(jìn)而可知dmnfg可見，畫粗實(shí)線。(c)相對位置判別可見性(d)重影點(diǎn)判別可見性返回本章目錄4.3.3相交的一般情況直線與平面相交的一般情況是指直線與平面皆處于一般位置，由于直線與平面皆無積聚性，無法采用前述方法求得交點(diǎn)，須采用輔助平面法求得交點(diǎn)，再利用重影點(diǎn)來判斷直線的可見性。1.直線與平面相交的一般情況第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄4.3.3相交的一般情況輔助平面法求交點(diǎn)的原理：作包含直線EF的輔助平面——鉛垂面P（或正垂面），平面P與ABC的交線為MN，則直線EF與MN的交點(diǎn)K即為直線EF與平面ABC的交點(diǎn)。1.直線與平面相交的一般情況第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄(a)題目(b)求交點(diǎn)

作圖步驟（1）求交點(diǎn)K：作包含直線EF的正垂面P，正垂面P與平面ABC的交線為MN；作MN與EF的交點(diǎn)K即為所求。例4-9一般位置直線EF與一般位置平面ABC相交，求交點(diǎn)K并判別可見性。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄(c)重影點(diǎn)判別可見性（2）正面投影可見性判別：在正面投影任取一重影點(diǎn)，如重影點(diǎn)1’(2’)（點(diǎn)I在直線EF上，點(diǎn)II在直線AB上），作兩點(diǎn)的水平投影。從水平投影可知，點(diǎn)I在點(diǎn)II的前方，故e’k’可見，粗實(shí)線繪制；k’f’與平面重疊部分不可見，細(xì)虛線繪制。例4-9一般位置直線EF與一般位置平面ABC相交，求交點(diǎn)K并判別可見性。（3）水平投影可見性判別：在水平投影任取一重影點(diǎn)，如重影點(diǎn)3(4)（點(diǎn)III在直線BC上，點(diǎn)IV在直線EF上），作兩點(diǎn)的正面投影。從正面投影可知，點(diǎn)III在點(diǎn)IV的上方，故fk與平面重疊部分不可見，細(xì)虛線繪制；ek可見，粗實(shí)線繪制。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄2.平面與平面相交的一般情況平面與平面相交的一般情況是指相交的兩個(gè)平面皆處于一般位置?？梢詫⑵渲幸粋€(gè)平面看作由兩條相交直線構(gòu)成，然后利用“求一般位置直線與一般位置平面交點(diǎn)”的方法求出兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的連線即為交線。最后利用重影點(diǎn)判別可見性。4.3.3相交的一般情況第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄(a)題目作圖步驟如下：（1）求交線MN：取平面ABC的直線AB與AC，作含直線AB的鉛垂面Q和含直線AC的鉛垂面P，利用“求一般位置直線與一般位置平面交點(diǎn)”的方法，分別求出直線AB、直線AC與平面DEF的交點(diǎn)M、N的投影，粗實(shí)線連接mn和m’n’。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系(b)求交線例4-10一般位置平面ABC與一般位置平面DEF相交，求交線MN并判別可見性。返回本章目錄(c)重影點(diǎn)判別可見性例4-10一般位置平面ABC與一般位置平面DEF相交，求交線MN并判別可見性。（2）水平投影的可見性：在水平投影任取重影點(diǎn)1(2)，作正面投影1’與2’，可知直線AB上的點(diǎn)II位置更低，水平投影不可見，進(jìn)而可知AMN與平面DEF重疊部分水平投影不可見，畫細(xì)虛線；mncb則為可見，畫粗實(shí)線。平面DEF重疊部分水平投影可見性與平面ABC完全相反。（3）正面投影的可見性：在正面投影任取重影點(diǎn)3’(4’)，作水平投影3與4，可知直線AB上的點(diǎn)III位置更前，正面投影可見，進(jìn)而可知m’n’c’b’可見，畫粗實(shí)線；a’m’n’與平面DEF重疊部分則為不可見，畫細(xì)虛線。平面DEF重疊部分正面投影可見性與平面ABC完全相反。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.3相交關(guān)系返回本章目錄第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系4.4.1直線與直線垂直直角投影定理：空間兩直線相互垂直（包含相交垂直和交叉垂直），若其中一條直線為投影面平行線，則兩直線的投影在該投影面相互垂直。直線AB與BC垂直且直線BC為正平線，則正面投影a’b’⊥b’c’。證明：因?yàn)锽C⊥AB，Bb’⊥V面，BC//V面，則有BC⊥Bb’。由BC⊥AB，BC⊥Bb’可知，BC⊥平面ABb’a’。由b’c’//BC，有b’c’⊥平面ABb’a’，所以b’c’⊥a’b’。直線與直線在空間垂直，若兩直線都不是投影面平行線，一般情況下投影不能反映其垂直關(guān)系。返回本章目錄例4-11已知矩形ABCD的邊AB為水平線，長為40且B在A的前方，AB的V面投影、A點(diǎn)的兩面投影、AC的V面投影已知，如圖所示，求作矩形ABCD的兩面投影。(a)題目(b)確定b及V面投影分析：由矩形性質(zhì)可知，對邊平行，鄰邊垂直。AB為水平線，長為40且B在A的前方，故水平投影ab=40且ab⊥ac。作圖步驟：（1）過b’作OX軸的垂線，過a作半徑為40的圓弧交垂線為b，作a’b’與a’c’的平行線交于d’，完成矩形的V面投影。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄例4-11已知矩形ABCD的邊AB為水平線，長為40且B在A的前方，AB的V面投影、A點(diǎn)的兩面投影、AC的V面投影已知，如圖所示，求作矩形ABCD的兩面投影。(c)確定c(d)完成H面投影（2）過c’作OX軸的垂線，過a作ab的垂線交c’c于c。（3）作ab與ac的平行線交于d，粗實(shí)線連接，完成矩形的H面投影。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系作圖步驟：返回本章目錄4.4.2直線與平面垂直由幾何知識(shí)可知，若直線與平面垂直，則直線垂直于平面內(nèi)的任意直線，必然也垂直于該平面的正平線、水平線和側(cè)平線。根據(jù)直角投影定理可知，若直線垂直于平面，則直線的水平投影垂直于平面內(nèi)水平線的水平投影、直線的正面投影垂直于平面內(nèi)正平線的正面投影、直線的側(cè)面投影垂直于平面內(nèi)側(cè)平線的側(cè)面投影。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄4.4.2直線與平面垂直直線AB與平面P垂直，直線AB垂直于平面P內(nèi)的所有直線，當(dāng)然也垂直于投影面平行線和跡線，直線的三面投影與平行線的相應(yīng)投影或相應(yīng)跡線垂直，因此ab⊥PH，a’b’⊥PV，a”b”⊥PW。若直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，則直線與平面垂直。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄例4-12已知平面ABCD與平面外一點(diǎn)E的兩面投影，求過E點(diǎn)做直線EF垂直于平面ABCD。(a)題目分析：若直線垂直于平面內(nèi)的水平線與正平線，則直線垂直于平面。直線正面投影垂直于正平線的正面投影，直線水平投影垂直于水平線的水平投影。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄例4-12已知平面ABCD與平面外一點(diǎn)E的兩面投影，求過E點(diǎn)做直線EF垂直于平面ABCD。(b)作水平線與正平線

(c)作垂線EF作圖步驟如下：（1）作水平線BM和正平線BN：利用水平線性質(zhì)b’m’//OX軸完成水平線BM的兩面投影，利用正平線性質(zhì)bn//OX軸完成正平線BN的兩面投影。（2）作直線EF垂直于BM與BN：水平投影中ef⊥bm，正面投影中e’f’⊥b’n’，F(xiàn)點(diǎn)符合投影規(guī)律。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄4.4.2直線與平面垂直若平面為投影面垂直面，則與其垂直的直線為該投影面平行線。如圖示，水平線AC與鉛垂面P垂直，它們的水平投影垂直。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄4.4.2直線與平面垂直若平面為投影面平行面，則與其垂直的直線為該投影面垂直線。如圖示，正垂線AB與正平面Q垂直，它們的水平投影垂直。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄4.4.3平面與平面垂直由幾何知識(shí)可知，若一直線垂直于某一平面，則包含該直線的所有平面都垂直于該平面；也就是說，若兩平面相互垂直，則一平面必包含另一平面的垂線。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄(a)題目分析：根據(jù)兩平面垂直的幾何條件，選直線AB上一點(diǎn)做平面DEF的垂線，該垂線和AB所構(gòu)成的平面即為DEF的垂面。例4-13已知平面DEF與直線AB的兩面投影，求過直線AB作平面DEF的垂面。第4章

線面幾何元素間的相對位置4.4垂直關(guān)系返回本章目錄(b)作水平線與正平線(c)完成垂面ABC作圖步驟如下：(1)作正平線FM和水平線FN：利用水平線性質(zhì)f’n’//OX軸完成水平線FN的兩面投影，利用正平線性質(zhì)fm//OX軸完成正平線FM的兩面投影。(2）過B點(diǎn)作直線BC垂直于FM與FN：水平投影中作bc⊥fn，正面投影中作b’c’⊥f’m’，點(diǎn)C符合投影規(guī)律。（3）粗實(shí)線連接BC與AC的兩面投影，平面ABC