四川省南充市嘉陵第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題

嘉陵一中高2023級(jí)高二上期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知圓，圓，則兩圓的公共弦所在直線的方程為（）A. B. C. D.3.平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B. C. D.4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為（）A.3 B.4 C.6 D.106.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于（）A. B. C. D.7.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，.點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)所構(gòu)成的曲線為，下列結(jié)論不正確的是（）A.的方程為B.在上存在點(diǎn)，使得到點(diǎn)的距離為3C.在上存在點(diǎn)，使得D.上的點(diǎn)到直線的最小距離為18.，，函數(shù)的最小值為（）A.2 B. C. D.二、多選題：（本題共3小題，每小題6分，共18分。每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）9.對(duì)于隨機(jī)事件和事件，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若與互斥，則 B.若與互斥，則C.若與相互獨(dú)立，則 D.若與相互獨(dú)立，則10.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則B.若空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面C.若空間向量，滿足，則與夾角為鈍角D.若空間向量，，則在上的投影向量為11.伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫了正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.異面直線與所成角的余弦值為D.點(diǎn)到直線的距離是三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知向量，，若，則__________.13.已知兩點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是__________.14.已知圓的方程為，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，，，為切點(diǎn)，則四邊形面積的最小值為_(kāi)_________；直線過(guò)定點(diǎn)__________.四、解答題：（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（13分）已知直線的方程為.（I）直線與垂直，且過(guò)點(diǎn)，求直線的方程；（II）直線與平行，且直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，求直線的方程.16.（15分）某居民小區(qū)為了提高小區(qū)居民的讀書興趣，特舉辦讀書活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站.由于不同年齡段需看不同類型的書籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)讀書者進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天中40名讀書者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計(jì)這40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)；（2）估計(jì)這40名讀書者年齡的眾數(shù)和第80百分位數(shù)；（3）從年齡在區(qū)間上的讀書者中任選兩名，求這兩名讀書者年齡在區(qū)間上的人數(shù)恰為1的概率.17.（15分）已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，是線段的中點(diǎn)，（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）記（1）中所求軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，曲線的中心記為點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.18.（17分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在點(diǎn)（與，不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說(shuō)明理由.19.（17分）圓冪是指平面上任意一點(diǎn)到圓心的距離與半徑的平方差：在平面上任給兩個(gè)不同心的圓，則兩圓圓冪相等的點(diǎn)的集合是一條直線，這條線稱為這兩個(gè)圓的根軸.已知圓與圓（1）求圓與圓的根軸；（2）已知點(diǎn)為根軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程；（3）給出定點(diǎn)，設(shè)，分別為根軸和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

高二數(shù)學(xué)期中答案學(xué)生版參考答案：題號(hào)12345678910答案BBBCCCCCBCABD題號(hào)11答案ABD12.213.14.15.（1）（2）直線的方程為：或【詳解】試題分析：（1）由直線與垂直，可設(shè)直線的方程為：，將點(diǎn)代入方程解得，從而可得直線的方程；（2）由直線與平行，可設(shè)直線的方程，由直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4，解得可得直線的方程.試題解析：（1）設(shè)直線的方程為：直線過(guò)點(diǎn)，解得直線的方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：令，得；令，得則，得直線的方程為：或.16.（1）30（2）眾數(shù)為55；第80百分位數(shù)為66（3）【分析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖求出頻率，再根據(jù)頻數(shù)的計(jì)算方法可得答案；（2）最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)即為眾數(shù)；根據(jù)百分位數(shù)的定義可求得樣本的第80百分位數(shù)；（3）計(jì)算抽取的人中，位于的有2人，記為，，數(shù)學(xué)成績(jī)位于的有4人，記為，，，，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，年齡在區(qū)間上的頻率為：所以40名讀書者中年齡分布在區(qū)間上的人數(shù)為：（2）由頻率分布直方圖可知，40名讀書者年齡的眾數(shù)約為55；年齡在區(qū)間上的頻率為：年齡在區(qū)間上的頻率為：，故第80百分位數(shù)位于之間，設(shè)為，所以，解得，所以這40名讀書者年齡的第80百分位數(shù)約為66.（3）由頻率分布直方圖知：年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，，年齡在區(qū)間上的讀書者有人，分別記為，，，，從上述6人中選出2人，則有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況；其中恰有1人在的情況有，，，，，，，，共8種情況；所以恰有1人在的概率為.17.（1）（2）或【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，，根據(jù)題意得到，代入圓，即可求解；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，求得圓心到直線的距離為，得到，結(jié)合基本不等式，求得最小值，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是線段的中點(diǎn)，則，可得，，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）解：過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，則直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線，即，則圓心到直線的距離為，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以時(shí)，取得最大值2，此時(shí)，解得或，所以取得最大值2，此時(shí)直線的方程為或.18【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；（3）利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，所以，而，，平面，所以平面；?）因?yàn)槠矫?，，平面，所以，，而，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，由（1）可知：平面，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，，則有，設(shè)平面與平面夾角為，；（3）設(shè)，設(shè)，于是有，，由（2）可知平面的法向量為，假設(shè)與平面所成角的正弦值為，則有，或舍去，即.19.（1）；（2）；（3）的最小值為，此時(shí).【分析】（1）先求出圓和圓的圓心和以及半徑和，接著由列式化簡(jiǎn)即可得解.（2）先由題意求得，進(jìn)而結(jié)合求得取得最小值時(shí)亦即取得最小值時(shí)，接著求出此時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，再求出以線段為直徑的圓的方程，從而求出該圓與圓的公共弦所在直線方程即可得解.（3）先求出關(guān)于根軸對(duì)稱的點(diǎn)，接著得，從而得與圓和根軸相交的點(diǎn)和使得最小，進(jìn)而求得的最小值，再由聯(lián)立根軸的方程即可求出.【詳解】（1）由題圓的圓心為，半徑為；圓圓心為，半徑為，設(shè)點(diǎn)為圓與圓的根軸上的任意一點(diǎn)，則由題可得，即，整理得，即圓與圓的根軸為直線.（2）由題意可知且，，，設(shè)與相交于點(diǎn)，則，又，所以，所以取得最小值時(shí)即為取得最小值時(shí)，又，所以取得最小值時(shí)亦即取得最小值時(shí)，而取得最小值時(shí)，且該最小值為圓心到根軸的距離為，此時(shí)即，聯(lián)立，故此時(shí)，所以此時(shí)中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以以線段為直徑的圓的方程為，即，則是該圓與圓的公共弦，所以兩圓方程相減即為直線的方程為：即