量綱分析作業(yè)

量綱作業(yè)整理：夏偉光1、量綱是否就是單位？?jī)烧哂泻侮P(guān)系。答:量綱不是單位。量綱表示物理量的基本屬性。不同屬性的物理量具有不同的量綱。單位是用來(lái)對(duì)物理量度量的標(biāo)準(zhǔn)。2、“Dimension”一詞有什么涵義（從中看出其演變）“Dimension”開(kāi)始有“維數(shù)”的意思；后有“長(zhǎng)度，尺寸”的意思，指運(yùn)動(dòng)學(xué)、幾何學(xué)上的概念；后來(lái)出現(xiàn)“量綱”的涵義，用來(lái)表示物理量的基本屬性。3、自由落體問(wèn)題中，什么是基本量和導(dǎo)出量，單位系統(tǒng)如何選擇，選法是否唯一？答：自由落體問(wèn)題中含有三個(gè)變量：下落行程h，下落時(shí)間t，重力加速度g?？梢砸詇，g為基本量，t為導(dǎo)出量，以h，g為單位系統(tǒng)，也可以選t，g為基本量，h為導(dǎo)出量。t，g為單位系統(tǒng)，選法不唯一。4、從物理上分析擺錘質(zhì)量為何與單擺周期無(wú)關(guān)。答：對(duì)于一個(gè)單擺，當(dāng)擺長(zhǎng)l一定時(shí)，擺球的位置由擺角確定，擺球的運(yùn)動(dòng)由重力加速度g決定，擺球的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)純運(yùn)動(dòng)學(xué)的問(wèn)題，與擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)，所以擺球的周期與擺球的質(zhì)量無(wú)關(guān)。5、什么是諧振子，求自然頻率。答：把振動(dòng)物體看作不考慮體積的微粒，這個(gè)振動(dòng)物體稱(chēng)作諧振子。所謂諧振，在運(yùn)動(dòng)學(xué)就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，該振動(dòng)是物體在一個(gè)位置附近往復(fù)偏離該振動(dòng)中心位置（叫平衡位置）進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)振動(dòng)形式下，物體受力的大小總是和他偏離平衡位置的距離成正比，并且受力方向

總是指向平衡位置自頻率f與彈性系數(shù)k，微粒質(zhì)量m有關(guān)。所以fg(m,k)MT2取m，k為基本量并作單位系統(tǒng)，所以g(1,1)C6、把π定理和有的書(shū)上說(shuō)的相似三定理進(jìn)行比較，分析說(shuō)明哪個(gè)更本質(zhì)？答：相似三定理：相似第一定理：彼此相似的現(xiàn)象其同名各相似準(zhǔn)則數(shù)值相同。相似第二定理：現(xiàn)象的各物理量之間的關(guān)系，可化為相似準(zhǔn)則的關(guān)系。相似第三定理：如兩個(gè)現(xiàn)象單值條件相似，而且由單值組成的各相似準(zhǔn)則數(shù)值相同，則兩個(gè)現(xiàn)象相似。相似三定理與π定理相比，顯然π定理中各1,2,L,Nk表示由其單位組成的無(wú)量綱量，而這些無(wú)量綱量即是相似三定理中的“同名相似準(zhǔn)則”，顯然，對(duì)于同一個(gè)函數(shù)f，f內(nèi)各無(wú)量綱量值相同后，f值也必定唯一，即相似三定理中的“同一類(lèi)現(xiàn)象、單值條件相似”等條件。(1)相似第一定理：即π定理中若兩個(gè)現(xiàn)象具有相同的函數(shù)f(1,2,L,Nk)，則其無(wú)量綱量數(shù)值相同。2)相似第二定理：即π定理中一個(gè)物理現(xiàn)象，因變量 a是n個(gè)自變量a1，a2，L，an的函數(shù)，即af(a1，a2，L,ak,ak1,L,an)，取a1，a2，L,ak作為單位，將因變量a無(wú)量化為f(1，2，L,nk)，即無(wú)量綱化因變量是nk個(gè)無(wú)量綱化自變量1，2，L,nk的函數(shù)。(3)相似第三定理：即π定理中兩個(gè)現(xiàn)象的各無(wú)量綱量1,2,L,Nk數(shù)值相同，且函數(shù)f形式相同，則f值也必定唯一。相似三定律這么復(fù)雜的表述，用π定理一句話(huà)就能得到，顯然π定理更本質(zhì)。7、用隱函數(shù)證明π定理。答：把物理問(wèn)題的一個(gè)因變量和N-1個(gè)自變量統(tǒng)一視作變量，其總數(shù)是N。記作a1，a2，L，aN，則可將物理規(guī)律表示為f(a1，a2，L，aN)0不妨取前k個(gè)變量，它們是a1，a2，L，ak，其量綱分別為A1，A2，L，Ak。后面N-k變量是導(dǎo)出量，其量綱可表示為基本量的量綱的冪次式：[ak1]A1p1A2p2LAkpk,[ak2]A1q1A2q2LAkqk,LL[aN]A1r1A2r2LAkrk用基本量a1，a2，L，ak作為單位系統(tǒng)，來(lái)度量其余量，由此得到的量值都是無(wú)量綱的純數(shù)，它們滿(mǎn)足的關(guān)系是：f(1,1,L,1;ak1(a1p1a2p2Lakpk),ak2(a1q1a2q2Lakqk),L,aN(a1r1a2r2Lakrk))0上式后面N-k個(gè)為對(duì)F起作用的無(wú)量綱因變量，記為1,2,L,Nk，因此函數(shù)關(guān)系可寫(xiě)為f(1,2,L,Nk)08、推導(dǎo)物理量量綱的冪次表達(dá)式的最后一步答：rl,rm,rt)) f(rl,rm,rtrl,rm,rt)) f(rl,rm,rt)rl)f(rl,rm,rt)rl,rm,rt))rm(rt )f(rl,rm,rt)(f(rl,rm,rt))rtdfdrlrldrmrmdrtrtrldfrdrlf f(rl,rm,rt)rl rlf f(rl,rm,rt)rm rmf f(rl,rm,rt)rt rtdrl fdrmfdrtrm rtdrtrt兩邊積分得：lnflnrllnrmlnrtlnC所以fCrlrmrt (1)由于f(rl,rm,rt) f(rlrl,rmrm,rtrt)f(rl,rm,rt)而rl,rm,rt的取值也具有任意性，可取rlrl,rmrm,rtrt可得：f(1,1,1)1代入(1)式可得：C=1，所以f(rl,rm,rt)rlrmrt可見(jiàn)，與之相對(duì)應(yīng)，物理量X的量綱表示式應(yīng)為[X]LMT9、盛水容器底側(cè)小孔的出流速度。(有圖)答：小孔的出流速度v與容器中水的高度h，重力加速度g和小孔的直徑d有關(guān)。vf(d,g,h)LT2取,g,d為基本量，故有vghf(dh)將f（d）在x=0點(diǎn)泰勒展開(kāi)，f(dhf(dh)f(0)f'(0)dhf'(0)(d)2!(h)由于是小孔，dh《1，所以f(dh)≈f(0)=C，即vghC,vCgh由不可壓縮流體的伯努利方程知C=2，即v2gh。10、若溢洪道斷面為三角形，討論溢洪流量。（有圖）答：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過(guò)擋墻的質(zhì)量流量Q，控制參數(shù)有三角形的底部頂角，流體的密度，上游水頭h，重力加速度g。f(,g,h,)MLML3LT2取，g，h為單位系統(tǒng)，則：Q15f(1,1,1,)，所以，22

g2h215

Qg2h2f()11、分析定常管流的摩擦系數(shù)和總管阻？什么情況下可不考慮密度的影響，說(shuō)明其物理原因。答：摩擦系數(shù)Cd為單位面積上的管流阻力和管動(dòng)壓之比。因此，Cd與管直徑d，液體密度，粘度系數(shù)，流速U相關(guān)。即Cdf(,,U,d)取,U,d為基本量并作單位系統(tǒng)，得Cdf()f(Re)Ud2總管阻PCdUdl dlU2f(Re)22（2）層流時(shí)，可以不考慮密度的影響。層流時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)基本上作等速運(yùn)動(dòng)，流元所受的慣性力和粘性力相比較小，慣性效應(yīng)不明顯。

因此可不考慮慣性即密度的影響。12、在低速繞流問(wèn)題中，如水和空氣互相模擬，問(wèn)機(jī)、艇的尺寸和速度的縮比范圍是什么？vl解：固體受到流體的作用力wf(l,l',v,,,)vl取l,v,作為單位，得w22f(l',,Re)，其中Revll低速繞流的模擬需要兩方面的模擬條件，即①幾何相似：(l①幾何相似：(ll')m(ll')p和②動(dòng)力學(xué)相似：(Re)m(Re)p1)先分析低速飛機(jī)在水中的模擬對(duì)于低速飛行的飛機(jī)，飛行的速度范圍200～400km/h，即50～120m/s，一般飛機(jī)的尺寸：長(zhǎng)30～60m，翼展30～60m，高10～20m，水洞的尺寸：直徑d=0.1～2m，則尺寸縮比為llp15:600(考慮做模型試驗(yàn)時(shí)飛機(jī)的放置方式，lm顯然應(yīng)以翼展方向的縮比為準(zhǔn))。常溫下空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)p()p14.8106m2/s，水的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)m()m1.007106m2/s，由(Re)m(Re)p，得(由(Re)m(Re)p，得(vl)m(vl)p，得((vvll))mp(/)p

(/)m614.81061.00710614.7則vp 14.7?lmvm lp0.02:1又vp50:120m/s，所以vm50:6000m/s般情況下，水洞的水流速度的量級(jí)為1～10m/s，顯然流速遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到要求，因此用水洞模擬飛機(jī)的低速繞流是不現(xiàn)實(shí)的。（2）再分析潛艇在空氣中的模擬：對(duì)于低速前行的潛艇，其實(shí)際速度vp5:20m/s，潛艇的尺寸：長(zhǎng)50～100m，寬5～15m，風(fēng)洞的尺寸：直徑為0.1～3m，則尺寸縮比為llp2:150（考慮做模型試驗(yàn)時(shí)潛艇的放置方式，顯lm然應(yīng)以寬度方向的縮比為準(zhǔn)）。常溫下水的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)p（）p1.007106m2/s，空氣的運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)m()m14.8106m2/s。由(Re)m(Re)由(Re)m(Re)p，得(vl)m(vl)p，得((vvll))mp(/)p(/)m1.00710614.81060.068所以vp0.068?lm0.0005:0.03vm lp又vp5:20m/s，所以vm150:40000m/s因此當(dāng)潛艇的速度很小且尺寸較小時(shí)，可以用大尺寸的風(fēng)洞進(jìn)行模擬，即只有在這種情況下模型試驗(yàn)才可以在風(fēng)洞中進(jìn)行。13、作船舶潤(rùn)濕面積的量綱分析。（有圖）答：船舶的潤(rùn)濕面積S的控制參數(shù)有：船舶外形的特征長(zhǎng)度l，排水體積D，船行進(jìn)的速度v，水的密度，水的粘性系數(shù)，重力加速度g。所以Sf(l,D;V;,,g)23LMMLL2LL3 32TL3TLT2

Sl21D3f(Dl取l,v,作為單位系統(tǒng)，得到lS2f(lD3,vl,vSl21D3f(Dlvl,vgl)f(,Re,Fr)

gl14、軸承問(wèn)題是否要考慮慣性效應(yīng)？說(shuō)明理由。答：在軸承潤(rùn)滑問(wèn)題中，存在三種力，即慣性力，粘性力和壓力。但是一般情況下，標(biāo)志慣性力和粘性力之比的vh(hl)在0.001-0.01之間，所以可忽略慣性力的影響。為表征慣性的密度，v是滑速，h是滑面平均間隙，hRr(R為定承半徑，r為軸半徑)。15、求小球在流體中下落的最終速度和所受的力。解：控制參數(shù)：小球的特征長(zhǎng)度，取直徑d小球的密度s和水的密度重力加速度g和水的粘性系數(shù)對(duì)小球進(jìn)行受力分析：小球在達(dá)到最終速度時(shí)已經(jīng)處于平衡狀態(tài)，此時(shí)受到三個(gè)力的作用，重力G、浮力F'和粘滯阻力F，其中重力向下，浮力和粘滯阻力向上，所以有FGF'由stokes公式知粘滯阻力Fkvd,即kvdGF'顯然在分析小球的最終速度v時(shí)，小球的密度s和水的密度是以差的形式即(s)出現(xiàn)的，小球的最終速度v滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系vf(s,,g,d)和d作為單位系統(tǒng)，有vg/(sv )df(2/g2d3)v(s)df(v(s)df(23dg)2)1)由stokes公式知粘滯阻力Fkvd，小球達(dá)到平衡后粘滯阻力F將是恒值，所以速度v和成反比，即1v所以(1)式可化為v?C(s2)dgC(s)gd(s)d2粘滯阻力Fkvdk?C(s)gd?dC'(s)gd3其中C,C'為常數(shù)。16、什么條件下可不考慮表面張力對(duì)水波波速的影響。從物理上做簡(jiǎn)單分析。答：波長(zhǎng)比較長(zhǎng)時(shí)可不考慮表面張力對(duì)水波波速的影響。由水波理論：112c1(2)2Ts2tanh(2H)2112(gH)12 g2(2H)12若波長(zhǎng)比2(Ts(g))2大得多，(2)T2s的值就遠(yuǎn)小于1，則可以忽略g2表面張力的影響。16、討論兩端固定的梁在側(cè)載作用下的撓度。(有圖)答：控制參數(shù)有梁的長(zhǎng)度l，楊氏模量E，截面矩I，分布載荷q(x)，它可以由特征分布載荷qm和表示分布特征的長(zhǎng)度lm來(lái)表征。所以wf(x;l;EI;qm,lq)2FLLLFL2LL

選取l選取l和EI作為基本量，則：wxqml3lql f(l;EI,lmconstqconst只要保持EI和l，就會(huì)有一個(gè)無(wú)量綱的撓度分布wf(x)ll17、討論懸臂梁在自重作用下的最大撓度與梁長(zhǎng)的關(guān)系。解：顯然梁的最大撓度發(fā)生在梁的自由端處，即xl處控制參數(shù)：梁的長(zhǎng)度l梁的抗彎剛度EI單位長(zhǎng)度的梁的重量qwmaxf(l,EI,q)L3LML3MLT2T23取l,EI坐位單位系統(tǒng)，則wmaxf(ql)lEI又在彈性范圍內(nèi)，wmax13所以有wmaxCql，其中C為常數(shù)，lEI4即wmaxCqElI 所以wmaxl418、什么樣的結(jié)構(gòu)物需要考慮重力的作用？答:(1)重力占主導(dǎo)作用時(shí)，如分析懸臂梁在自重作用下的撓度分布，顯然要考慮重力。(2)在彈性體的高度h超過(guò)一定數(shù)值，即表征重力gh與彈性極限Y的比值Ygh接近或超過(guò)1時(shí)，彈性體所受到的重力效應(yīng)不能被忽略，這樣的結(jié)構(gòu)物需要考慮重力的作用

（3）即使表征重力gh與彈性極限Y的比值gh遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1，如Y果所要研究的問(wèn)題出現(xiàn)彈性失效，如屈曲失穩(wěn)，也應(yīng)該考慮重力的作用。19、調(diào)查一下國(guó)內(nèi)的離心機(jī)有多大，可以做什么樣的結(jié)構(gòu)物的重力效應(yīng)實(shí)驗(yàn)。答：（1）工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析，國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室最大載荷100kg，加速度范圍20500m/s2，最大回轉(zhuǎn)半徑2250mm,主要用于航空航天領(lǐng)域的科學(xué)研究。（2）中國(guó)工程物理研究院結(jié)構(gòu)力學(xué)研究所 TLJ-60有效半徑2.0m，最大載荷：100g時(shí)600kg，200g時(shí)300kg。最大容量60gt，加速度范圍10-200g，用于模擬邊坡、隧道、大壩、礦井等土工結(jié)構(gòu)場(chǎng)在重力場(chǎng)作用下的變形特性和應(yīng)力狀態(tài)試驗(yàn)。20、如方形空心梁由實(shí)心梁代替，那么實(shí)心梁的形狀要求符合什么條件？解：對(duì)梁的撓度分析可知，不必要求模型的截面形狀遵守幾何相似的條件，只要求截面矩滿(mǎn)足qmlconst，即EIqmqml3)EI)m(qml3)(EI)對(duì)于方形實(shí)心梁，設(shè)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，則Im1L412對(duì)于方形空心梁，設(shè)外邊長(zhǎng)為L(zhǎng)1，內(nèi)邊長(zhǎng)為L(zhǎng)2，則Ip1（L14L24）21求有限彈性體的固有周期。答：控制參數(shù)有：周期T，彈性體特征長(zhǎng)度l，密度，楊氏模量E，泊松比，則泊松比，則f(l,,E,)LMLML3MLT2取l,,E為基本量并作為單位系統(tǒng)，所以：22、彈性體中體波的傳播有無(wú)色散現(xiàn)象，為什么？答：體波是指體內(nèi)一點(diǎn)擾動(dòng)在有限時(shí)間傳播到有限體積的波，顯然在體波的傳播中沒(méi)有特征長(zhǎng)度，也就無(wú)法去度量波長(zhǎng)，所以體波波速的控制參數(shù)中沒(méi)有波長(zhǎng)。波速c的控制參數(shù)有介質(zhì)的密度，泊松比，楊氏模量E，則：cf(,E,)LMM321TL3LT2取，E作為基本量，則有cE?f()，即cE?f()體波的波速與波長(zhǎng)無(wú)關(guān)，所以彈性體中體波的傳播沒(méi)有色散現(xiàn)象。23、桿徑對(duì)桿中彈性波波速起什么作用？答：桿中彈性波一方面沿桿長(zhǎng)方向傳播，另一方面當(dāng)遇到桿表面時(shí)會(huì)發(fā)生反射，因而會(huì)影響波的傳播，波速表達(dá)式中會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)。由量綱R1分析波速c(E)2f(v;R)，波速與波長(zhǎng)有關(guān)。因此細(xì)桿中彈性波為色散波

1細(xì)長(zhǎng)桿壓縮波波速c(E)2[12v2(R)2]，當(dāng)R增加時(shí)，波速降低24、求兩塊單板正面相撞引起的彈性波的波速。(與有關(guān)彈性波書(shū)中的結(jié)果作對(duì)比)答：波速c的控制參數(shù)有平板的密度，泊松比，楊氏模量E，則：f(,E,)

MML3LT2取，E作為基本量，則有cE?f()，即cE?f()王禮立的《應(yīng)力波基礎(chǔ)》給出的一維應(yīng)變彈性縱波波速 c為1E(1)(12)即1E(1)(12)即f()(1)(12)由于00.5，所以可得f()1，即c E。25、若硬度計(jì)的壓頭不是錐形而是球形，可否分析硬度和強(qiáng)度在什么條件下成正比？答：材料楊氏模量E，屈服極限Y，n是塑性硬化指數(shù)，泊松比，給定了材料和球形壓頭半徑R，那么，載荷F和接觸深度hc應(yīng)該由壓入深度h唯一確定。FfF(E,;Y,n;h,R)和hcfhc(E,;Y,n;h,R)因硬度H定義為HF(a2)，而aR2(Rhc)2所以H同樣是上述自變量的函數(shù)，即HfH(E,;Y,n;h,R)取E，R作為基本量并取作單位系統(tǒng)，于是有：

F(ER2)fF(YE,,n,h),RhhcRfhc(YE,,n,h),RHEfH(YE,,n,h)R也可寫(xiě)為HYgH(YE,,n,h)R可見(jiàn)右邊無(wú)量綱數(shù)中Rh是隨h的變化而變化的，難以判斷H和Y成正比關(guān)系。26、什么是幾何相似？什么是幾何相似律？舉例說(shuō)明。答：幾何相似是指在模型實(shí)驗(yàn)中，模型與原型之間遵循的幾何形狀相似條件。例如在低速繞流中，幾何相似指l/例如在低速繞流中，幾何相似指l/l,L)ml/l,L)p，即幾何相似律：若模型采用與原型相同的材料，則在滿(mǎn)足幾何形狀相似和分布函數(shù)相同的條件下，在幾何相似點(diǎn)上有相同的相對(duì)位移，應(yīng)力和應(yīng)變。例如在考慮彈性體內(nèi)的位移wi，應(yīng)力ij，應(yīng)變ij時(shí)，在幾何相似點(diǎn)上有(wi/l)m(wi/l)p,(ij)m(ij)p,(ij)m(ij)p27、相似律是否一定相求幾何相似？答：不一定，例如在分析梁的撓度時(shí)，不必要求模型的截面形狀遵守幾何相似的條件，只要求截面矩滿(mǎn)足qmlconst，即EIqmqml3)EI)m(qEmlI)再例如在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷模擬實(shí)驗(yàn)中，不需要截面形狀幾何相似，只要做到原型和模型的截面矩具有相同的分布函數(shù)。

28、估計(jì)和比較典型金屬材料中彈性波傳播和熱傳導(dǎo)的特征時(shí)間答：(1)對(duì)于鋼， 7.8103kg/m3,c0.50103Nm/(kgK)l1m, 50N/(secK),E2.11011kg/(sec2m)彈性波的傳播時(shí)間約為：te.w1/)21sec.11011(7.8103))21m4l1m, 50N/(secK),E2.11011kg/(sec2m)彈性波的傳播時(shí)間約為：te.w1/)21sec.11011(7.8103))21m41.9

(0.52104m/sec)104sec熱傳導(dǎo)的特征時(shí)間約為：cl2 (7.81030.5010312) 5th.c. 50sec0.7810sec兩個(gè)特征時(shí)間的比值為