專題06十種空間幾何體的結(jié)構(gòu)綜合考點(diǎn)專練-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練（2021必修三）

專題06十種空間幾何體的結(jié)構(gòu)綜合考點(diǎn)專練（解析版）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）“有一側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱”是“該棱柱為直棱柱”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】B【分析】利用直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合充分必要性的定義即可得解.【詳解】若側(cè)棱與底面兩條平行的兩邊垂直，則側(cè)棱與底面不一定垂直，此時(shí)的棱柱不一定是直棱柱，故充分性不成立；若棱柱為直棱柱，可知側(cè)棱垂直于底面，即側(cè)棱垂直于底面的任意條線，故必要性成立，所以“有一側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱”是“該棱柱為直棱柱”的必要非充分條件，故選：B2．（2021·上海市奉賢中學(xué)）棱長(zhǎng)為6的正方體，在裝上一塊玻璃（不計(jì)玻璃厚度），E為線段上一點(diǎn)，，從處射出一光線經(jīng)玻璃反射（反射點(diǎn)為E）到達(dá)平面上某點(diǎn)P，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】是側(cè)面的法線，由余弦定理可得，由勾股定理可得，即可得出答案．【詳解】解：如圖，是側(cè)面的法線，則反射光線與對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)至,交于,,且平面,，，，，，根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，可得：,所以與相似.又，故選：．3．（2021·上海高二專題練習(xí)）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體：①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有14個(gè)面；③表面積為3；④體積為，正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】該半正多面體的所有頂點(diǎn)恰為正方體各棱的中點(diǎn),即為正方體截去8個(gè)三棱錐所剩部分，結(jié)合正方體的性質(zhì)即可求得.【詳解】該半正多面體的所有頂點(diǎn)恰為正方體各棱的中點(diǎn)，其棱長(zhǎng)為，有12個(gè)頂點(diǎn)，14個(gè)面（6個(gè)正方形，8個(gè)正三角形），它可由正方體去掉8個(gè)三棱錐所剩部分，它的表面積為，體積為，∴①②④正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題以印信為背景，考查了學(xué)生空間想象力，屬于中檔題目，解題時(shí)，關(guān)鍵是能將“半正多面體”還原出正方體，再利用正方體的性質(zhì)再去解決.4．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）如圖，為正方體，任作平面與對(duì)角線垂直，使得與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長(zhǎng)為，則（）A．為定值，不為定值B．不為定值，為定值C．與均為定值D．與均不為定值【答案】B【分析】將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，考查的位置，確定【詳解】解：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐與后，得到一個(gè)以平行平面與為上、下底面的幾何體，的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底面上的一條邊平行，將的側(cè)面沿棱剪開，展開在一個(gè)平面上，得到一個(gè)平行四邊形，如圖所示而多邊形的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，，所以為定值，當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí)，多邊形為正六邊形，而當(dāng)稱到時(shí)，為正三角形，則當(dāng)周長(zhǎng)這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，故選：B5．（2021·上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高二期中）連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB，CD的長(zhǎng)度分別等于?，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列四個(gè)命題：①弦AB，CD可能相交于點(diǎn)M；②弦AB，CD可能相交于點(diǎn)N；③MN的最大值為5；④MN的最小值為1；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先求解出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)長(zhǎng)度的大小判斷①②；再通過(guò)分析三點(diǎn)共線求解出的最大值和最小值.【詳解】到的距離分別為，若兩弦交于，則，在中，有，符合條件，故①正確；若兩弦交于，則，在中，有，與條件矛盾，故②錯(cuò)誤；當(dāng)共線時(shí)分別取最大值和最小值，最大值為，最小值為，故③④正確，故選：C.6．（2021·上海市松江二中高二月考）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（）①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】隨著的移動(dòng)，依題意分別移動(dòng)到四個(gè)位置，逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】先確定臨界值點(diǎn)，當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，截面交于，則界面為等腰梯形，故②正確；對(duì)①當(dāng)時(shí)，即移動(dòng)到位置時(shí)，截面交線段于，所以截面為四邊形，故①正確；對(duì)③，當(dāng)時(shí)，在的位置，截面交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交在的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，由，則，，又有，所以，又，所以，故③正確；對(duì)④，，點(diǎn)移動(dòng)到位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯(cuò)誤；共個(gè)正確，故選：C二、填空題7．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）在北緯60°圈上有兩地，之間的球面距離為（為地球半徑），則兩地在此緯度圈上的弧長(zhǎng)等于__________.【答案】【分析】本題目要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為球面的問(wèn)題，緯度指的是地面上某點(diǎn)與地心的連線與赤道面所成的線面角；球面距離是指經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)以及球心這三點(diǎn)的圓上的一段劣弧長(zhǎng)【詳解】設(shè)地球的球心為，球心角，因?yàn)榍蛎婢嚯x為，根據(jù)球面距離的定義可得：，所以，所以是等邊三角形，弦長(zhǎng)；設(shè)北緯60°所在的圓的半徑為，根據(jù)緯度的定義，則有，所以在北緯60°所在的圓中，,，所以為直徑，故答案為：8．（2021·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高二期末）已知球O的半徑為1，A?B是球面上兩點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度為，則A?B兩點(diǎn)的球面距離為___________.【答案】【分析】由已知中球O的半徑為1，線段的長(zhǎng)度為，求得，求出弧AB的長(zhǎng)度，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)榍騉的半徑為1，A?B是球面上兩點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度為，在中，，又，則，所以A?B兩點(diǎn)的球面距離為.故答案為：.9．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為__________．【答案】【分析】圓錐內(nèi)半徑最大的球是圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球與底面相切于，與側(cè)面相切于點(diǎn)B，利用相似三角形即可求出內(nèi)切球的半徑，從而求出內(nèi)切球的表面積.【詳解】如圖，由題意可知，，圓錐內(nèi)半徑最大的球滿足與底面相切于，與側(cè)面相切于點(diǎn)B，則，所以，設(shè)球的半徑為r，則，所以，解得，故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐內(nèi)切球的表面積的求法，屬于中檔題.10．（2021·上海徐匯區(qū)·）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為____________.【答案】【分析】將平面與平面延展至同一平面，由、、三點(diǎn)共線可求得的最小值.【詳解】如下圖所示，將平面與平面延展至同一平面，，延展后，，由勾股定理可得.由圖形可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中折線長(zhǎng)度的最值問(wèn)題的求解，一般要求將兩個(gè)平面延展至同一平面，利用三點(diǎn)共線來(lái)處理，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題.11．（2021·上海市進(jìn)才中學(xué)高二期中）如圖所示，在側(cè)棱長(zhǎng)為的正三棱錐中，，過(guò)作截面，周長(zhǎng)的最小值為________．【答案】【分析】將三棱錐沿著剪開，將側(cè)面、、延展至同一平面，計(jì)算出的長(zhǎng)，即為周長(zhǎng)的最小值.【詳解】如圖，將三棱錐沿側(cè)棱剪開，并將其側(cè)面展開平鋪在一個(gè)平面上，則線段的長(zhǎng)即為所求的周長(zhǎng)的最小值．取的中點(diǎn)，連接，則，.在中，，則，即周長(zhǎng)的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題．12．（2021·上海市松江二中高二月考）圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角___________.【答案】；【分析】根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式易得圓錐底面周長(zhǎng)，也就是圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式可得圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角的大小.【詳解】因?yàn)閳A錐底面半徑為，所以圓錐的底面周長(zhǎng)為，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角，故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)圓錐側(cè)面展開圖的問(wèn)題，解題思路如下：（1）首先根據(jù)底面半徑求得底面圓的周長(zhǎng)；（2）根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)就是底面圓的周長(zhǎng)，結(jié)合母線長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式求得圓心角的大小.13．（2021·上海市建平中學(xué)高二月考）在長(zhǎng)方體中，棱，，點(diǎn)是線段上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是___________【答案】【分析】將△沿為軸旋轉(zhuǎn)至于平面共面，可得△，利用求解即可．【詳解】解：將△沿為軸旋轉(zhuǎn)至于平面共面，可得△則，故，當(dāng)且僅當(dāng)為與的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值是．故答案為：．14．（2021·上海徐匯區(qū)·位育中學(xué)）若兩個(gè)平行平面距離為1，其中一個(gè)平面截半徑為5的球得到的截面面積為，則另一平面截球得到的截面面積為_________【答案】或【分析】將題中問(wèn)題具體化，然后抓住以下兩點(diǎn)求解：①用平面去截一個(gè)球，截面必為圓；②球心的半徑，截面圓圓心的半徑以及球心與截面圓圓心的連線構(gòu)成一直角三角形.【詳解】用平面去截一個(gè)球，截面必為圓，作出過(guò)球心，截面圓圓心的截面.設(shè)平面截半徑為5的球得到的截面為圓，且圓面積為，則圓的半徑為，，設(shè)平面平行平面，且兩平面的距離為1，記平面截半徑為5的球得到的截面為圓，半徑為，當(dāng)有，解得或.當(dāng)時(shí)，，圓的面積為；當(dāng)時(shí)，，圓的面積為.綜上可知，所求截面面積為或.故答案為：或.15．（2021·長(zhǎng)寧區(qū)·上海市延安中學(xué)高二期中）如圖，長(zhǎng)方體中，AB＝4，BC＝10，，P為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP＋PC的最小值為________．【答案】【分析】將半平面沿翻折到且平面與平面位于同一平面，連接與交于點(diǎn)，此時(shí)即為的最小值，再利用余弦定理求出即可；【詳解】解：如圖將半平面沿翻折到且平面與平面位于同一平面，截面圖如下所示：連接與交于點(diǎn)，此時(shí)即為的最小值，因?yàn)?，，，所以，，，所以所以所以故答案為?6．（2021·上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高二期中）設(shè)地球的半徑為R，在北緯圏上的兩地A?B的經(jīng)度差為，則A，B兩地的球面距離為___________.【答案】【分析】在緯度圏上求得弦長(zhǎng)，然后求出弦所對(duì)球心角，最后由弧長(zhǎng)公式得球面距離．【詳解】如圖，是球心，是北緯圏的圓心，則，，，，所以，則，所以A，B兩地的球面距離即為在大圓上劣弧長(zhǎng)為．故答案為：．17．（2021·上海市第三女子中學(xué)高二期末）在半徑為3的球面上有??三點(diǎn)，，，球心到平面的距離是，則?兩點(diǎn)的球面距離是___________.【答案】【分析】由球體半徑與Rt△的外心及斜邊的關(guān)系求，又，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)求，即可知△為等邊三角形，進(jìn)而求?兩點(diǎn)的球面距離.【詳解】由題設(shè)，如下圖示，，為△的外心且，，∴，又，則，∴，即△為等邊三角形，∴?兩點(diǎn)的球面距離為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)球面兩點(diǎn)的距離等于這兩點(diǎn)與球心構(gòu)成的面與球體所成的截面圓的劣弧長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)弧長(zhǎng)公式求兩點(diǎn)的球面距離.18．（2021·上海虹口·高二期末）已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為4，底面邊長(zhǎng)為，且它的六個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，則兩點(diǎn)的球面距離為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出示意圖求出和，結(jié)合球面距離定義計(jì)算求解即可.【詳解】如圖所示，設(shè)中心為，連接.根據(jù)等邊三角形性質(zhì)知是外接圓半徑，根據(jù)正弦定理得，得，又因?yàn)?所以在中，,同理,所以是等邊三角形，所以，所以兩點(diǎn)的球面距離為.故答案為:19．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）已知三棱錐中，兩兩垂直，且長(zhǎng)度相等，若都在半徑為1的同一球面上，則球心到平面的距離為__________.【答案】【分析】由彌補(bǔ)法知三棱錐的外接球?yàn)橐詾橄噜徣龡l棱的正方體的外接球，球心到平面的距離即為正方體中心到平面的距離，利用等體積法可求得到平面的距離，進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)槿忮F中，兩兩垂直，且長(zhǎng)度相等，所以此三棱錐的外接球即為以為相鄰三條棱的正方體的外接球，又球的半徑為1，所以正方體的棱長(zhǎng)為，即球心到平面的距離即為正方體中心到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，則正三棱錐的體積等邊的邊長(zhǎng)為，所以球心到平面的距離為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間幾何體與球接、切問(wèn)題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的外接球求解．20．（2021·上海市西南位育中學(xué)高二期中）在直三棱柱中，，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_________.【答案】【分析】連接，沿將展開與在同一個(gè)平面內(nèi)，在上取一點(diǎn)與構(gòu)成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知的最小值是的連線，再利用余弦定理可得解.【詳解】連接，沿將展開與在同一個(gè)平面內(nèi)，在上取一點(diǎn)與構(gòu)成三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊，可知的最小值是的連線，因?yàn)橹比庵?，，，，所以矩形是邊長(zhǎng)為的正方形，則，又在矩形中，，則，又，所以，則，在中，利用余弦定理可得：故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征及兩點(diǎn)之間的距離公式，其中將沿展開，將一個(gè)空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)求兩點(diǎn)之間的距離公式的問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.三、解答題21．（2021·上海高二專題練習(xí)）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點(diǎn)是圓柱底面面圓周上的點(diǎn).（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求的最小值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.【分析】（1）根據(jù)圓柱性質(zhì)可得,由圓的性質(zhì)可得,即可證明平面;（2）先判斷當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)的位置.過(guò)底面圓心作,即可得二面角的平面角為,根據(jù)所給線段關(guān)系解三角形即可求得,進(jìn)而用反三角函數(shù)表示出即可.（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長(zhǎng)線上,結(jié)合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【詳解】（1）證明:因?yàn)槭菆A柱的母線,平面所以又因?yàn)槭菆A柱的底面直徑所以,即又因?yàn)樗云矫妫?）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),底面積最大,所以到的距離最大,此時(shí)為設(shè)底面圓的圓心為,連接則,又因?yàn)樗云矫嬉驗(yàn)?所以取中點(diǎn),則過(guò)O作,垂足為則,所以為中點(diǎn)連接,由平面可知所以為二面角的平面角在中,,,所以則二面角的大小為（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長(zhǎng)線上,如下圖所示:因?yàn)?,,,在中,由余弦定理可知?jiǎng)t所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空間中最短距離的求法,綜合性較強(qiáng),屬于中檔題.22．（2021·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）空間中有四個(gè)球，它們的半徑分別是2?2?3?3，每個(gè)球都與其余三個(gè)球外切，另有一個(gè)小球與這四個(gè)球都外切，求這個(gè)小球的半徑.【答案】【分析】如圖，以四個(gè)球的球心為頂點(diǎn)作四面體，則，設(shè)的中點(diǎn)分別為，設(shè)小球的球心為，半徑為，可證得必在線段上，利用勾股定理分別表示出，然后由列方程可求出【詳解】解：以四個(gè)球的球心為頂點(diǎn)作四面體，則，設(shè)的中點(diǎn)分別為，設(shè)小球的球心為，半徑為.因?yàn)?，，所?所以面是線段的中垂面.又因?yàn)?，所以在平面?同理，也在線段的中垂面上，從而必在線段上.，，由，得解此方程，可得.23．（2021·上海高二專題練習(xí)）如圖，是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐，分別為棱長(zhǎng)上的點(diǎn)，截面底面，且棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等.（棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和）（1）證明：為正四面體；（2）若，求二面角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（3）設(shè)棱臺(tái)的體積為，是否存在體積為且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體，使得它與棱臺(tái)有相同的棱長(zhǎng)和？若存在，請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體，并給出證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：用平行于底的截面截棱錐，該截面與底面之間的部分稱為棱臺(tái)，本題中棱臺(tái)的體積等于棱錐的體積減去棱錐的體積.）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在，證明見(jiàn)解析.（注：所構(gòu)造直平行六面體不唯一，只需題目滿足要求即可）【分析】（1）根據(jù)棱長(zhǎng)和相等可知，根據(jù)面面平行關(guān)系和棱錐為正三棱錐可證得，進(jìn)而證得各棱長(zhǎng)均相等，由此得到結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知，從而得到即為所求二面角的平面角；易知，從而得到，在中根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可求得，從而得到結(jié)果；（3）設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為，根據(jù)正四面體體積為，可驗(yàn)證出；又所構(gòu)造六面體體積為，知，只需滿足即可滿足要求，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）棱臺(tái)與棱錐的棱長(zhǎng)和相等平面平面，三棱錐為正三棱錐為正四面體（2）取的中點(diǎn)，連接，，平面，平面平面為二面角的平面角由（1）知，各棱長(zhǎng)均為為中點(diǎn)即二面角的大小為：（3）存在滿足題意的直平行六面體，理由如下：棱臺(tái)的棱長(zhǎng)和為定值，體積為設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為則該六面體棱長(zhǎng)和為，體積為正四面體體積為：時(shí)，滿足要求故可構(gòu)造棱長(zhǎng)均為，底面相鄰兩邊夾角為的直平行六面體即可滿足要求【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到正四面體的證明、二面角的求解、存在性問(wèn)題的求解等知識(shí)；此題對(duì)考生的思維能力的要求較高，對(duì)學(xué)生的空間想像能力，觀察，分析，綜合，探索和創(chuàng)新有較高的要求，屬于較難題.24．（2021·上海高二專題練習(xí)）如圖，在多面體中，、、均垂直于平面，，，，，，分別是線段和上的點(diǎn).（1）求與所成角的大??；（2）求二面角的大??；（3）求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，將直線和平面的法向量求出來(lái)，得到直線與平面夾角的正弦值；（2）求出平面和的法向量，法向量的夾角與二面角的大小相等或者互補(bǔ)；（3）將△ABC展開與四邊形成一個(gè)平面，的最小值即為A點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.【詳解】（1）由題意建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，∵AA1=4,CC1=3,BB1=AB=AC=2,∠BAC=120°，∴A(0,0,0),A1

(0,0,4),B1

(,?1,2),C1

(0,2,3).,,，設(shè)平面A1B1C1

的一個(gè)法向量為，由,取y=1,得?！郃B1與A1B1C1所成角的最小值=。∴AB1與A1B1C1所成角的大小為；（2）設(shè)平面