1.2.2.2 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定 課件-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）必修第一冊

1.2.2.2全稱量詞命題與存在量詞命題的命定1.理解命題的否定的含義，會寫出給定的命題的否定并判斷命題的真假.2.能正確進(jìn)行全稱量詞命題與存在量詞命題的否定.3.明確全稱命題的否定是存在命題，存在命題的否定是全稱命題，并會判斷其真假.命題的否定→具體例子（全稱量詞命題和存在量詞命題的否定）→發(fā)現(xiàn)規(guī)律，形成方法→鞏固練習(xí)．問題1

前面我們學(xué)習(xí)了全稱量詞和存在量詞以及全稱量詞命題和存在量詞命題的真假判斷，類比它們的學(xué)習(xí)過程，你認(rèn)為對于全稱量詞命題和存在量詞命題的否定，我們該如何展開研究呢？新課導(dǎo)入（1）請舉例說明，對于一個命題，什么是它的否定？一個命題和它的否定的真假有什么關(guān)系？（2）請分別寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假．①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集；②方程x2－x－2＝0有實根．（1）一個命題與它的否定在內(nèi)容上是完全對立的，它們必然是一真一假．問題2

請思考下列問題：命題①的否定：集合A＝{x|x＞2}不是集合B＝{x|x＞3}的真子集；命題②為真命題，命題②的否定為假命題．（2）請分別寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假．①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集；②方程x2－x－2＝0有實根．問題2

請思考下列問題：（2）請分別寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假．①集合A＝{x|x＞2}是集合B＝{x|x＞3}的真子集；②方程x2－x－2＝0有實根．命題②的否定：方程x2－x－2＝0沒有實根．命題①為假命題，命題①的否定為真命題．問題2

請思考下列問題：（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；（2）每一個矩形都是平行四邊形；（3）?x∈R，x＋|x|≥0．大家先寫出（1）的否定，討論之后再完成（2）（3）的否定．問題3

寫出命題的否定：討論

某同學(xué)對命題（1）的否定有如下結(jié)果，你認(rèn)為哪些正確？哪些錯誤？并結(jié)合原命題和它的否定的關(guān)系，闡述你的理由．1）所有的素數(shù)都不是奇數(shù)；2）所有的素數(shù)不都是奇數(shù)；3）并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)．（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；素數(shù)按照其中的數(shù)是不是奇數(shù)分類，可分三類：①都是奇數(shù)；②有些不是奇數(shù)，有些是奇數(shù)；③都不是奇數(shù)．命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”，包含第①類．√

√

×1）所有的素數(shù)都不是奇數(shù)；2）所有的素數(shù)不都是奇數(shù)；3）并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)．（1）所有的素數(shù)都是奇數(shù)；因為一個命題與它的否定在內(nèi)容上是完全對立的，所以該命題的否定應(yīng)該包括兩種情形：第②和③類．2）3）都包括第②和③類，所以正確．1）只包括第③類，所以不正確；從集合角度來看：如果用A表示所有素數(shù)的集合，B表示所有奇數(shù)的集合，那么命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”可以表示為“A?B”，那么它的否定應(yīng)該是“A

B”．而命題“所有的素數(shù)都不是奇數(shù)”可以表示為“A?CRB”，它與“A

B”不等價，只是“AB”的一種特殊情形．“所有的素數(shù)不都是奇數(shù)”、“并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)”可以表示為“A∩CRB≠φ”，它與“AB”等價，所以2）3）正確．從命題真假來看：從原命題和它的否定的真假關(guān)系對結(jié)果進(jìn)行初步判斷．一個命題與它的否定不可能同時為真命題，也不可能同時為假命題，只能一真一假．命題“所有的素數(shù)都是奇數(shù)”是假命題．命題“所有的素數(shù)都不是奇數(shù)”也是假命題，所以它一定不是命題（1）的否定；命題“所有的素數(shù)不都是奇數(shù)”、“并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)”都是真命題，所以它們有可能是命題（1）的否定．討論

命題“所有的素數(shù)不都是奇數(shù)”“并非所有的素數(shù)都是奇數(shù)”還能怎么表述？存在一個素數(shù)，它不是奇數(shù)．想一想

類比命題（1），你能寫出命題（2）和（3）的否定嗎？（2）每一個矩形都是平行四邊形；（3）?x∈R，x＋|x|≥0．命題（2）的否定：并非每一個矩形都是平行四邊形．也就是說，存在一個矩形，不是平行四邊形．命題（3）的否定：并非?x∈R，x＋|x|≥0．也就是說，?x∈R，x＋|x|＜0．觀察與發(fā)現(xiàn)

這些全稱量詞命題的否定與它們的原命題在形式上有什么變化？你能用符號語言表示命題“?x∈M，p（x）”的否定嗎？探究與總結(jié)

你能梳理全稱量詞命題的否定的探究過程嗎？請寫出來．對命題直接否定（直接在命題前面添加否定詞）→等價轉(zhuǎn)化為存在量詞命題→用符號語言表達(dá)規(guī)律．（1）所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；（2）每一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上；（3）對任意x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3．追問命題“?x∈M，p（x）”的否定命題是什么？（1）該命題的否定：存在一個能被3整除的數(shù)不是奇數(shù)．（2）該命題的否定：存在一個四邊形，它的四個頂點(diǎn)不在同一個圓上．（3）該命題的否定：?x∈Z，x2的個位數(shù)字等于3．例3

寫出下列命題的否定：（1）存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)；（2）有些平行四邊形是菱形；（3）?x∈R，x2－2x＋3＝0．問題4

類比全稱量詞命題的否定，探究如何用符號語言表示命題“?x∈M，p（x）”的否定？完成對下列命題的否定，并由此探究存在量詞命題的否定的一般規(guī)律和形式：例3

寫出下列命題的否定：（1）所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；命題（1）的否定：不存在一個實數(shù)的絕對值是正數(shù)．也就是說：任意一個實數(shù)的絕對值都不是正數(shù)．也就是說：任意一個實數(shù)的絕對值都小于或等于0．也就是說：?x∈R，|x|≤0．（2）每一個四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上；命題（2）的否定：每一個平行四邊形都不是菱形．命題（3）的否定：?x∈R，x2－2x＋3≠0．存在量詞命題的否定是一個全稱量詞命題．命題“?x∈M，p（x）”的否定命題為“?x∈M，﹁p（x）”．例3

寫出下列命題的否定：（3）對任意x∈Z，x2的個位數(shù)字不等于3．（1）?x∈R，x＋2≤0；（2）有的三角形是等邊三角形；（3）有一個偶數(shù)是素數(shù)．追問：求解的依據(jù)是存在量詞命題的否定，那么命題“?x∈M，p(x)”的否定命題是什么？例4

寫出下列命題的否定：（1）?x∈R，x＋2≤0；（2）有的三角形是等邊三角形；（3）有一個偶數(shù)是素數(shù)．（1）該命題的否定：?x∈R，x＋2＞0．（2）該命題的否定：所有的三角形都不是等邊三角形．（3）該命題的否定：所有偶數(shù)都不是素數(shù)．例4

寫出下列命題的否定：（1）任意兩個等邊三角形都相似；（2）?x∈R，x2＋x＋1＝0．追問如何對全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定？判斷它們真假的方法是什么？例5

寫出下列兩個命題的否定，并判斷它們的真假：追問如何對全稱量詞命題和存在量詞命題進(jìn)行否定？判斷它們真假的方法是什么？命題否定?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）?x∈M，﹁p（x）?x∈M，﹁p（x）總之，全稱量詞命題、存在量詞命題的否定要注意兩個變、一個不變．“?”與“?”互變，結(jié)論“p”變?yōu)椤唉鑠”，條件中的范圍不變．（1）任意兩個等邊三角形都相似；（2）?x∈R，x2＋x＋1＝0．（1）該命題的否定：存在兩個等邊三角形，它們不相似．因為任意兩個等邊三角形的三邊成比例，所以任意兩個等邊三角形都相似．因此這是一個假命題．例5

寫出下列兩個命題的否定，并判斷它們的真假：（1）任意兩個等邊三角形都相似；（2）?x∈R，x2＋x＋1＝0．（2）該命題的否定：?x∈R，x2＋x＋1≠0．所以這是一個真命題．因為對任意x∈R，

，例5

寫出下列兩個命題的否定，并判斷它們的真假：1.命題p：?n∈N，n2＞2n的否定為（）A．?n∈N，n2＞2nB．?n∈N，n2≤2nC．?n∈N，n2≤2nD．?n∈N，n2＝2nC2.命題“?n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n的否定是（）A．?n∈N*，f（n）?N*且f（n）＞nC．?n0∈N*，f（n0）?

N*且f（n0）≤n0D．?n0∈N*，f（n0）?N*且f（n0）＞n0B．?n∈N*，f（n）?N*且f（n）≤nD3.寫出下列命題的否定并判斷真假：（1）不論m取何實數(shù)，方程x2＋x＋m＝0必有實數(shù)根；（2）某些梯形的對角線互相平分；（3）被8整除的數(shù)能被4整除．（1）存在實數(shù)m，方程x2＋x＋m＝0沒有實數(shù)根；真命題．（2）所有梯形的對角線都不互相平分；真命題．（3）存在能被8整除的數(shù)，但它不能被4整除．假命題．

命題否定?x∈M，p（x）?x∈M，p（