數(shù)據(jù)、模型與決策（原書(shū)第16版）課件 第16章、馬爾可夫過(guò)程

AnIntroductiontoManagementScience,16e第十六章、馬爾可夫過(guò)程章節(jié)內(nèi)容16-1 市場(chǎng)份額分析16-2 應(yīng)收賬款分析

本章小結(jié)章節(jié)目標(biāo)完成本章后，你將能夠:LO16.1 根據(jù)場(chǎng)景建立馬爾可夫過(guò)程模型LO16.2 整合并運(yùn)用轉(zhuǎn)移概率LO16.3 計(jì)算穩(wěn)態(tài)概率LO16.4 求解具有吸收狀態(tài)的馬爾可夫過(guò)程模型介紹馬爾可夫過(guò)程模型對(duì)于研究系統(tǒng)經(jīng)過(guò)重復(fù)試驗(yàn)后的變化非常有效。這里的重復(fù)試驗(yàn)通常意味著連續(xù)的時(shí)段。馬爾可夫過(guò)程模型可以用來(lái)描述：一個(gè)周期內(nèi)運(yùn)行的機(jī)器在下一周期繼續(xù)運(yùn)行或發(fā)生故障的概率；消費(fèi)者在一個(gè)周期內(nèi)購(gòu)買(mǎi)品牌A而在下一個(gè)周期購(gòu)買(mǎi)品牌B的概率。由于對(duì)馬爾可夫過(guò)程的深入討論超出了本書(shū)的范圍，本章的分析僅限于由平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率的馬爾可夫鏈組成有限個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率隨時(shí)間保持不變?cè)谌魏我粋€(gè)時(shí)段處于特定狀態(tài)的概率僅取決于前一時(shí)段的狀態(tài)16-1市場(chǎng)份額分析假設(shè)我們想要分析墨菲食品店和卡特琳娜超市(小鎮(zhèn)上僅有的兩家商店)的市場(chǎng)份額和顧客忠誠(chéng)度。我們關(guān)注一位顧客的購(gòu)物行程，并假設(shè)該顧客每周都會(huì)去墨菲食品店或卡特琳娜超市購(gòu)物一次，但不會(huì)兩個(gè)都去。我們將每周的周期或購(gòu)物行程稱為過(guò)程試驗(yàn)。在每次試驗(yàn)中，顧客都會(huì)在墨菲食品店或卡塔琳娜超市購(gòu)物。顧客在給定的一周內(nèi)選擇的特定商店被稱為該周期內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài)。因?yàn)轭櫩驮诿看卧囼?yàn)時(shí)都有兩種購(gòu)物選擇，所以系統(tǒng)有兩種狀態(tài)：狀態(tài)1.

顧客在墨菲食品店購(gòu)物狀態(tài)2.

顧客在卡塔琳娜超市購(gòu)物如果我們說(shuō)系統(tǒng)在試驗(yàn)3時(shí)處于狀態(tài)1，那么就是說(shuō)顧客在第三周選擇在墨菲食品店購(gòu)物。為了確定在馬爾可夫過(guò)程的連續(xù)試驗(yàn)中發(fā)生的各種狀態(tài)的概率，我們需要有關(guān)顧客在該過(guò)程中從一個(gè)試驗(yàn)到下一個(gè)試驗(yàn)或從一個(gè)周期到下一個(gè)周期留在同一商店或切換到其競(jìng)爭(zhēng)商店的概率的相關(guān)信息。16-1轉(zhuǎn)移概率假設(shè)作為市場(chǎng)研究的一部分，我們?cè)?0周內(nèi)收集了100名顧客的數(shù)據(jù)。

假設(shè)我們?cè)诜治鰯?shù)據(jù)時(shí)發(fā)現(xiàn)，第一周在墨菲食品店購(gòu)物的所有顧客中，90%的人在第二周繼續(xù)在墨菲食品店購(gòu)物，而10%的人轉(zhuǎn)去了卡特琳娜超市購(gòu)物;第一周在卡特琳娜超市購(gòu)物的顧客中，80%的人在第二周會(huì)繼續(xù)在卡特琳娜超市購(gòu)物，而20%的人選擇了去墨菲食品店購(gòu)物。因?yàn)檫@些概率表示顧客從給定周期的某個(gè)狀態(tài)移動(dòng)或轉(zhuǎn)移到下一個(gè)周期的每個(gè)狀態(tài)的可能性，所以這些概率被稱為轉(zhuǎn)移概率。注意：轉(zhuǎn)移概率表每行中的概率之和為1概率0.9和0.8可以解釋為對(duì)顧客忠誠(chéng)度的度量，因?yàn)樗鼈儽硎局貜?fù)訪問(wèn)同一家商店的概率。同樣，概率0.1和0.2是衡量顧客商店切換特征的指標(biāo)。在為這個(gè)問(wèn)題開(kāi)發(fā)馬爾可夫過(guò)程模型時(shí)，我們假設(shè)任何顧客的轉(zhuǎn)移概率都是相同的，并且轉(zhuǎn)移概率不會(huì)隨著時(shí)間而改變。16-1樹(shù)狀圖視覺(jué)描述

16-1狀態(tài)概率

16-110周后的狀態(tài)概率從墨菲食品店開(kāi)始購(gòu)物

從卡特琳娜超市開(kāi)始購(gòu)物

16-1穩(wěn)態(tài)概率

16-1決策應(yīng)用

16-2應(yīng)收賬款分析馬爾可夫過(guò)程可以應(yīng)用在會(huì)計(jì)方面。例如，估計(jì)壞賬準(zhǔn)備金。該準(zhǔn)備金是對(duì)最終無(wú)法收回的應(yīng)收賬款金額（即壞賬）的估計(jì)。馬爾旺百貨公司的應(yīng)收賬款采用兩種賬齡分類(lèi)：0~30天31~90天

如果賬戶余額的任何一部分超過(guò)90天，則該部分將作為壞賬注銷(xiāo)。馬爾旺百百貨公司按照最早的未支付賬單對(duì)客戶賬戶中的總余額進(jìn)行賬齡分析。例如，假設(shè)一位客戶在9月30日的賬戶余額如下：9月30日的應(yīng)收賬款賬齡分析將把總余額85美元?dú)w入31~90天類(lèi)別，因?yàn)樽钤绲奈粗Ц顿~單(8月15日)是46天。讓我們假設(shè)一周后(10月7日)客戶支付了8月15日的25美元賬單，則剩余的60美元總余額現(xiàn)在將歸人0~30天類(lèi)別，因?yàn)?月18日對(duì)應(yīng)的是最早未支付金額日，不足31天。16-2轉(zhuǎn)移概率假設(shè)在12月31日，馬爾旺百貨公司的賬戶中有總計(jì)3000美元的應(yīng)收賬款，公司管理層希望估計(jì)3000美元中有多少最終將被收回，以及有多少最終會(huì)導(dǎo)致壞賬。預(yù)計(jì)的壞賬金額將在年末財(cái)務(wù)報(bào)表中作為壞賬準(zhǔn)備金出現(xiàn)。隨著公司的繼續(xù)運(yùn)營(yíng)，我們可以將每周視為馬爾可夫過(guò)程的一次試驗(yàn)，其中每一美元存在于系統(tǒng)的以下?tīng)顟B(tài)之一：狀態(tài)1.

支付類(lèi)別狀態(tài)2.

壞賬類(lèi)別狀態(tài)3.0~30天類(lèi)別狀態(tài)4.31~90天類(lèi)別

16-2吸收狀態(tài)

馬爾旺百貨公司應(yīng)收賬款情況的馬爾可夫過(guò)程模型的一個(gè)重要性質(zhì)是存在吸收狀態(tài)。例如，一旦有1美元轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1，即支付狀態(tài)，則轉(zhuǎn)移到任何其他狀態(tài)的概率為0。同樣，一旦有1美元轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2，即壞賬狀態(tài)，則轉(zhuǎn)移到任何其他狀態(tài)的概率為0。因此，一旦賬款轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1或狀態(tài)2，系統(tǒng)將永遠(yuǎn)保持這種狀態(tài)。我們可以得出結(jié)論，所有應(yīng)收賬款最終將被吸收到已支付或壞賬狀態(tài)，因此被稱為吸收狀態(tài)。16-2基本矩陣當(dāng)馬爾可夫過(guò)程具有吸收狀態(tài)時(shí)，我們不計(jì)算穩(wěn)態(tài)概率，因?yàn)槊總€(gè)單位最終都會(huì)處于吸收狀態(tài)之一的某個(gè)狀態(tài)。有了吸收狀態(tài)，我們就能計(jì)算出一個(gè)單位最終處于每個(gè)吸收狀態(tài)的概率。對(duì)于馬爾旺百貨公司的問(wèn)題，我們想知道以下情況的概率：目前0~30天類(lèi)別的每一美元最終被支付的概率(吸收狀態(tài)1)和最終成為環(huán)賬的概率(吸收狀態(tài)2)。目前處于31~90天類(lèi)別的每一美元轉(zhuǎn)化為這些吸收狀態(tài)的概率。吸收狀態(tài)概率的計(jì)算需要確定和使用所謂的基本矩陣?；揪仃嚨臄?shù)學(xué)邏輯超出了本書(shū)的范圍。然而，如我們所示，基本矩陣是從轉(zhuǎn)移概率矩陣推導(dǎo)得出的，對(duì)于狀態(tài)數(shù)較少的馬爾可夫過(guò)程來(lái)說(shuō)，它相對(duì)容易計(jì)算。在下面的例子中，我們將展示：馬爾旺百貨公司基本矩陣的計(jì)算馬爾旺百貨公司吸收狀態(tài)概率的確定16-2基本矩陣計(jì)算

16-2建立壞賬準(zhǔn)備金

16-2新信貸政策（減少壞賬政策）假設(shè)根據(jù)前面的分析，馬爾旺百貨公司正在考慮制定一項(xiàng)涉及即時(shí)付款折扣的新信貸政策，來(lái)減少壞賬金額的可能性。管理層認(rèn)為，正在考慮的政策將把0~30天類(lèi)別轉(zhuǎn)移到支付類(lèi)別的可能性從0.4提高到0.6，并將從0~30天類(lèi)別轉(zhuǎn)移到31~90天類(lèi)別的可能性從0.3降低到0.1。因此，我們需要將前面的轉(zhuǎn)移概率矩陣P進(jìn)行修改:p31

從0.4增加到0.6p34

從0.3降低到0.1

16-2減少壞賬準(zhǔn)備金

本章小結(jié)在本章中，我們介紹了馬爾可夫過(guò)程模型及其應(yīng)用實(shí)例。我們發(fā)現(xiàn)，馬爾可夫分析可以為涉及一系列重復(fù)試驗(yàn)的情況提供有用的決策信息，每個(gè)試驗(yàn)中可能存在的狀態(tài)數(shù)量有限。主要目標(biāo)是獲得關(guān)于在經(jīng)過(guò)長(zhǎng)