數(shù)據(jù)、模型與決策（原書第16版）課件 第3章、線性規(guī)劃的靈敏度分析和最優(yōu)解的解釋

數(shù)據(jù)、模型與決策,第16版第3章、線性規(guī)劃的靈敏度分析和最優(yōu)解的解釋章節(jié)內(nèi)容3-1 靈敏度分析的作用3-2 圖解法靈敏度分析3-3 優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋3-4 傳統(tǒng)靈敏度分析的不足3-5 電子通信公司問題

本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(1of2)完成本章后，你將能夠：LO3.1 使用圖解法對線性規(guī)劃問題的解進行靈敏度分析。LO3.2 使用計算機程序包如ExcelSolver對線性規(guī)劃問題的解進行靈敏度分析，并解釋輸出結(jié)果。LO3.3 解釋線性規(guī)劃問題中約束條件的對偶值(影子價格)。LO3.4 詳述并解釋線性規(guī)劃問題中目標函數(shù)系數(shù)的最優(yōu)范圍。學(xué)習(xí)目標(2of2)LO3.5 詳述并解釋線性規(guī)劃問題中約束條件的可行范圍。LO3.6 解釋傳統(tǒng)靈敏度分析做出的假設(shè)，并能在假設(shè)不滿足時更新和求解新問題。LO3.7 解釋線性規(guī)劃問題中變量的遞減成本值。LO3.8 解釋沉沒成本和相關(guān)成本之間的差異，并能夠?qū)⑦m當?shù)某杀炯{入線性規(guī)劃模型。引言靈敏度分析是研究當一個線性規(guī)劃問題中的系數(shù)發(fā)生變化時，它對函數(shù)最優(yōu)解的影響程度。目標函數(shù)系數(shù)約束條件的右端值因為靈敏度分析研究的是系數(shù)的變化對最優(yōu)解的影響。所以在進行靈敏度分析之前，首先要計算出原線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。因此靈敏度分析有時也被稱為后優(yōu)化分析。首先，我們將介紹如何使用圖解法進行雙變量線性規(guī)劃問題的靈敏度分析。其次，我們將介紹如何使用優(yōu)化軟件得到靈敏度分析報告。最后，我們將通過建模和求解三個更大的線性規(guī)劃問題來擴展對第二章中建模相關(guān)內(nèi)容的討論。3-1靈敏度分析的作用靈敏度分析對于決策者的重要性不言而喻。在真實世界里，周圍的環(huán)境、條件是在不斷變化的。運用靈敏度分析，我們只需要改變相應(yīng)的系數(shù)就可以得到答案，而不需建立新的模型。靈敏度分析還可以用來分析模型的系數(shù)。哪個更能左右最優(yōu)解。例如，如果一個系數(shù)的最優(yōu)性范圍很窄，或者其估計值接近最優(yōu)性限制之一，管理層可能希望審查系數(shù)估計的準確性，如有必要，用新的目標函數(shù)解決修改后的線性規(guī)劃問題。靈敏度分析的另一個用途是分析約束條件的右端值變化對最優(yōu)解的影響。3-2目標函數(shù)系數(shù)的變化圖解法求解Par公司問題，如果目標函數(shù)的斜率在直線A與直線B之間，極點③是最優(yōu)解

3-2極點③的CS最優(yōu)范圍

3-2極點③的CD最優(yōu)范圍

3-2極點②的CS最優(yōu)范圍

3-2同時變化

3-2約束條件的右端值

3-2對偶值

3-3優(yōu)化軟件輸出的靈敏度分析解釋在上一章中，我們說明了如何解釋線性規(guī)劃求解程序的結(jié)果。

在取近似值后，我們得到最優(yōu)解是S=540個標準球袋和

D=252個高級球袋，目標函數(shù)最優(yōu)值是7668美元。我們將解釋對最優(yōu)解的靈敏度分析的輸出結(jié)果，特別是每個決策變量的遞減成本和約束條件的對偶值

。需要注意的是，ExcelSolver使用影子價格這個術(shù)語，而不是對偶值。3-3Par公司問題的遞減成本和對偶值遞減成本解釋對偶值解釋一個變量的遞減成本等于這個變量非負約束的對偶值.非負約束為S,D≥0。因為將非負約束更改為S,D≥1對最優(yōu)解S=540和

D=252的值沒有影響，因此這個非負約束的對偶值（即遞減成本）均為零。對偶值列包含關(guān)于最優(yōu)解時四種資源的邊際價值的信息。切割和印染（約束1）的對偶值為4.375，精加工（約束3）的對偶值為6.9375，這告訴我們，增加一個小時的切割和印染時間將使最優(yōu)解的價值增加大約4.38美元，而增加一個小時的精加工時間將使最優(yōu)解的價值增加約6.94美元3-3Par公司問題的允許增加和減少值目標系數(shù)右端值變量S目前的利潤系數(shù)為10，允許增加的幅度為3.5，允許減少的幅度為3.7。因此，只要標準球袋的利潤貢獻在10?3.7=6.30美元和10+3.5=13.50美元之間，生產(chǎn)

S=540個標準球袋和D=252個高級球袋就是最優(yōu)解對變量D的允許增加和減少也可以做類似的觀察。只要約束條件的右端值處于所給出的下限和上限之間，相應(yīng)的對偶值將會是右端值增加1個單位帶來的最優(yōu)解的變化。我們把這個對偶值適用的范圍稱作可行域。例如，最終約束條件的右端值（約束條件3）顯示出對偶值6.94美元對增加到900和減少到580都是可行的。3-3對偶值的深入理解相關(guān)成本取決于決策的制定，這種成本依賴于決策變量值的變化而變化。相關(guān)成本反映在目標函數(shù)系數(shù)中。當某種資源的成本屬于沉沒成本時，對偶值就可以被解釋為公司愿意為得到額外一個單位這種資源而付出的金額.沉沒成本是不會受決策影響的，無論決策變量為何值，這種成本都會發(fā)生。

沉沒資源成本不反映在目標函數(shù)的系數(shù)中。當某種資源的成本屬于沉沒成本時，對偶值則可以被解釋為這種資源的價值超過其成本的數(shù)額，也就是增加一個單位這種資源時，公司能付出的最大成本量。3-3Par公司問題修改后的模型假設(shè)管理者希望生產(chǎn)一種輕便的、可以被球手隨身攜帶的球袋（輕便球袋）。設(shè)計部門估計每個新型球袋將需要0.8小時的切割和印染時間、1小時的縫制時間、1小時的成型時間和0.25小時的檢查和包裝時間。由于這種設(shè)計是獨一無二的，管理者認為在當前銷售期內(nèi)每個輕便球袋可以獲利12.85美元。令L為輕便球袋的產(chǎn)量，將其加入目標函數(shù)以及4個約束條件，可以得到如下修改后的模型：3-3修改后的Par公司問題的計算機求解最優(yōu)方案里包含280個標準球袋、0個高級球袋和428個輕便球袋，最優(yōu)方案的值是8299.80美元。計算機輸出結(jié)果表明，S和L的遞減成本都為0，這是因為相應(yīng)的決策變量值在最優(yōu)解處已經(jīng)是正值。然而，變量D的遞減成本為-1.15美元，表明如果高級球袋的產(chǎn)量從0增加到1，那么最優(yōu)目標函數(shù)值將減少1.15美元。另外一種解釋是，如果我們將高級球袋的成本降低1.15美元約束1和2分別有91.6和32小時的未用容量，而約束3和4在最優(yōu)解中是有效的，每增加一小時將使最優(yōu)解的價值增加8.10美元和19美元。3-4傳統(tǒng)靈敏度分析的不足從計算機輸出中獲得的傳統(tǒng)的靈敏度分析可以為求解方案對輸入數(shù)據(jù)變化的靈敏性提供有用的信息。計算機軟件提供的傳統(tǒng)的靈敏度分析還存在一些不足。本節(jié)討論三個不足：多系數(shù)同時變化系統(tǒng)輸出的靈敏度的結(jié)果是基于單函數(shù)系數(shù)變化的。它假設(shè)所有其他的系數(shù)都保持不變。因此，目標函數(shù)系數(shù)和約束條件的右端值的變化范圍只能適用于單個系數(shù)發(fā)生變化的情況。約束系數(shù)的變化傳統(tǒng)的靈敏度分析沒有對約束條件中變量系數(shù)的變化帶來的變化提供信息。相反，我們必須簡單地更改系數(shù)并重新運行模型。特殊約束條件的對偶值兩邊都有變量的特殊約束條件往往會使對偶值產(chǎn)生非直覺的解釋。3-4Par公司問題的非直覺對偶值

3-4高級球袋需求對總利潤的影響為了更直觀地感受這個比例變化對總利潤的影響，我們以5%為間隔，分別試驗這個比例從5%增長到100%的情況下利潤的變化。這要求我們重解20個不同的模型。右圖給出了改變這個比例對利潤的影響..可以看到，當比例值大于55%時曲線變得更陡了，這說明從55%開始利潤下降的速度發(fā)生了改變。因此，管理層從利潤的角度考慮，30%是一個合理的要求，如果將這個比例增加到超過55%，那么將會帶來重大的利潤損失。3-5電子通信公司問題下表簡要地列出了電子通信公司不同銷售渠道的銷售利潤、廣告費用、人力成本。公司的廣告費用預(yù)算是5000美元，3個店面銷售渠道的最大的銷售時間是1800小時。公司現(xiàn)階段決定制造的產(chǎn)品數(shù)為600件，此外，全美連鎖零售店要求最少銷售150件產(chǎn)品。電子通信公司面臨的問題是如何制定一個分銷策略使其總的銷售利潤最大。公司必須決定如何分配各堂道的銷售量、銷售力度以及廣告預(yù)算。3-5建立數(shù)學(xué)模型我們首先寫出電子通信公司的目標函數(shù)和約束條件。目標函數(shù)：利潤最大化這個模型有4個約束條件，分別是：廣告支出<=廣告預(yù)算銷售時間<=最大可用時間產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量=公司要求的產(chǎn)量零售分銷量≥合同要求的最低分銷量對于這個模型，我們定義如下4個決策變量：M=航海器材經(jīng)銷店銷售的產(chǎn)品數(shù)量B=商用器材經(jīng)銷店銷售的產(chǎn)品數(shù)量

3-5計算機求解及其含義解釋,第1部分圖中的目標函數(shù)值告訴我們模型的最大利潤為48450美元。最優(yōu)解為M=25，B=425，R=150，D=0。決策變量D的遞減成本是-45，這告訴我們每生產(chǎn)一個通過直接郵購渠道銷售的產(chǎn)品，利潤就會減少45美元。換種說法，也就是說通過直接郵購渠道銷售的產(chǎn)品利潤必須由現(xiàn)在的60美元增加45美元，達到105美元，這樣才可以使用這種渠道來銷售產(chǎn)品。廣告預(yù)算約束條件的對偶值為3，表明每增加1美元廣告預(yù)算，目標函數(shù)的值（利潤）可以增加3美元。約束2上的25小時松弛告訴我們，分配的銷售團隊1800小時的最大銷售時間足夠賣出產(chǎn)品。約束3的對偶值表明，如果公司的產(chǎn)量增加1個單位，利潤就可以增加60美元。約束4顯示，這個約束條件允許減少的量是150，表明這種承諾可以減少到0，每減少1單位損失值是17美元。3-5計算機求解及其含義解釋,第2部分目標函數(shù)系數(shù)表顯示了在當前解或策略保持最優(yōu)的范圍內(nèi)，允許增加和減少的幅度。直郵渠道的45美元允許增加與其對偶值的前述觀察一致。右側(cè)約束值表可以與關(guān)于對偶值的前述觀察結(jié)合使用。例如，約束1的允許增加顯示，如果廣告預(yù)算增加最多850美元，利潤將增加三倍(約束1的對偶值為3)。此外，約束4的150單位允許增加意味著，這種承諾可以減少到零，同時以每單位17美元的速率增加利潤。3-5電子通信公司的最大利潤策略重要的是再次指出，計算機軟件包為線性規(guī)劃問題提供的靈敏度分析僅考慮一次一個變化，所有其他系數(shù)保持原始規(guī)定。如前所述，同時變化最好通過重新求解問題來處理?？傊?，電子通信的利潤最大化分銷策略涉及以下三個方面：（1）分配多少產(chǎn)量（2）分配多少廣告預(yù)算（3）分配多少銷售時間。本章小結(jié)本章的開頭對靈敏度分析問題進行了討論：詳細研究了線性規(guī)劃問題系數(shù)的變化對最優(yōu)解所產(chǎn)生的影響.首先，我們介紹了如何使用圖解法分析目標函數(shù)。系數(shù)和約束條件的右端值的變化對最優(yōu)解的影響。由于圖解法只限于分析雙決策