專題15 三角形及其性質(zhì)（解析版）2021年中考數(shù)學(xué)

2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)過關(guān)訓(xùn)練匯編

專題15三角形及其性質(zhì)

一、選擇題

1.下列各組線段，能構(gòu)成三角形的是（）

A.3,2,1B.2,1,1C.2,2,1D.4,2,1

【答案】C

【分析】

根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：3-2=1,兩邊之差不小于第三邊，不滿足構(gòu)成三角形的條件，故不符合題意；

2-1=1,兩邊之差不小于第三邊，不滿足構(gòu)成三角形的條件，故不符合題意；

C：2+2>1,2-2<1,滿足構(gòu)成三角形的條件，故符合題意；

D：4-2=2>1,兩邊之差不小于第三邊，不滿足構(gòu)成三角形的條件，故不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查組成三角形的條件，掌握兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵.

2.等腰三角形的兩邊長分別是5c加和11cm,則它的周長是（）

A.27cmB.21cmC.27cm或D.無法確定

【答案】A

【分析】

題目給出等腰三角形有兩條邊長為5cm和11cm,而沒有明確腰是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形

的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】

解：當(dāng)三邊是5,5,11時，5+5V11,不符合三角形的三邊關(guān)系，應(yīng)舍去；

當(dāng)三邊是5,II,11時，符合三角形的三邊關(guān)系，此時周長是27.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系.已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,

分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在的BC中，EL4=90°,若沿圖中虛線截去的，則回1+回2的度數(shù)為()

【答案】C

【分析】

在EL48c中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出團(tuán)8+回C的度數(shù)，再利用四邊形內(nèi)角和為360。，即可求出自1+回2的

度數(shù).

【詳解】

解：在EL48C中，a4=90°,BL4+aB+l?IC=180",

[325+130=180°-90°=90°,

又13回1+回2+團(tuán)8+團(tuán)。=360°,

031+02=360°-90°=270°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形和四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)，熟知："三角形內(nèi)角和為180。，四邊形內(nèi)角和為360。”是解答本題

的關(guān)鍵.

4.如圖，若0J=6O°,骷=48°,0C=32°,則勖DC=()

A.102°B.160°C.150°D.140°

【答案】D

【分析】

如圖，延長4。，利用三角形的外角性質(zhì)分別求得即、回2的值即可.

【詳解】

解：如圖，延長

EEl=0fi+mZ),02=fflC+0C4P,EL4=60o,05=48°,EIC=32°,

勵1+02=團(tuán)8+回。+回8/。=48°+32°+60°=140°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形的外角通常情況下是轉(zhuǎn)化為內(nèi)角來解決.

5.如圖，AB^CD,BDQCF,垂足為2,奶。C=50。，則的度數(shù)為（）

A.50°B.40°C.45°D.25°

【答案】B

【分析】

首先利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出（3C的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得a48F的度數(shù).

【詳解】

解：05ZX3CF,

00。8c=90°,

甌8￡>C=50。，

西。=180°-90°-50°=40°,

EW施CD,

aa4SF=0C=4O°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

6.如圖，在四邊形ABC。中，E,尸分別是兩組對邊延長線的交點(diǎn)，EG,fG分別是NBEC,Z.DFC

的角平分線.若NA0C=6O。，ZABC=80°,則NG=()

A.140°B.130°C.120°D.110°

【答案】D

【分析】

連接EG根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。及三角形角平分線的性質(zhì)，即可得出0EG尸

=-(360°-ZABC-ZADC),代入/4DC=60。、EL48c=80。，即可求出MG尸的度數(shù).

2

【詳解】

解：連接EF,如圖所示.

=180°-(?CFE-SiCFG+^CEF-SlCEG)

=180°-^CFE+^CEF)+(I3CFG+I3C￡G)

=180°-(180°-ZC)+(-ZCFD+-ZCEB)

22

=NC+；(NCFD+NCEB)

=ZC+1(180c-ZC-ZCPA+l800-ZC-ZC5A)

=1(360。-ZABC-NAOC),

0EL4￡>C=6O\EL45C=80°,

1

E10EGF=5(36(r-6O--8O°)

=110".

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角與角之間的關(guān)系找出0￡G尸=；(360。-如15。34)。

是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

7.AA8C的三邊長分別為l,3,x,且尤為整數(shù)，則尤的值是.

【答案】3

【分析】

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系"任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊"，進(jìn)行分析.

【詳解】

解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，

13三角形的第三邊x滿足：3-1<X<3+1,BP2<x<4,

取為整數(shù)，

Elx=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問

題的關(guān)鍵.

8.如圖，把三角形鐵皮/8C加工成四邊形N8CD形狀的零件，m=40。，且。恰好是B48c兩條角平分線

的交點(diǎn)，工人師傅量得ESDC=110。，則這個四邊形零件加工.(填"合格"或"不合格")

D

B匕-----

【答案】合格

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出ZABC+ZACB的大小，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知回。8C=5&ABC,SDCB

=即可求出皿加C+fflZ)C8的大小，最后再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出魴。C=110。，與題干相

符，即合格.

【詳解】

解：EEL4=40°,

□NABC+ZACB=180°-40°=l40°,

團(tuán)8。、C￡)分別平分和EL4CB,

11

aao8C=—BW8C,az)C8=—EWCB,

22

WDBC+QDCB=—EL45C+—EL4C8=140°x—=70°,

222

038。。=110。，

回這個四邊形零件加工合格，

故答案為：合格.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì).利用兩知識點(diǎn)找出角的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)健.

9.如圖，在口43。中，ZACB=68°,Nl=N2.若P為口ABC的角平分線BP,CP的交點(diǎn)，則N8PC=

；若尸為□ABC內(nèi)一點(diǎn)，則N8PC=.

C

\

2

AB

【答案】112°112°

【分析】

若P為DABC的角平分線8P,CP的交點(diǎn)，可求出N8CP及N2的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得

出答案；若尸為口A5C內(nèi)一點(diǎn)，可整體求出N2+N5CP的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出答案.

【詳解】

解：若尸為DABC的角平分線BP,CP的交點(diǎn)，

fflZACB=68°,

0Z1=ZBCP=34°,

E）N1=N2=34。，

12NBPC=180°-NBCP-Z2=180°-34°-34°=112°；

若尸為口ABC內(nèi)一點(diǎn)，

0Z1=Z2,

圖ZACB=Z1+NBCP=Z2+NBCP=68°,

團(tuán)"PC=180°-（N2+ZBCP）=180°-68°=112。；

故答案為：112。，112°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握整體思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在陰BC中，8。平分048C,連接CD,若?4=00=40。，酎。=30。，則皿CE的度數(shù)為.

【答案】70。.

【分析】

由三角形的外角的性質(zhì)定理得到EWCE=a4+a42C,^DCE=^CBD+QD,再由已知&43。=回。8￡>,西=0￡）=

40。，豳。。=30。解方程組可求得結(jié)果.

【詳解】

0BZ）平分EL48C,

mABD=^CBD,

EEWCE=a4+EU8C=40°+2EIC8Z),

EEDCE+2L4CO=EW+20CfiO,

WDCE^CBD+&D,&4=0￡>=40°,蜘CD=30°,

00￡>C￡+3O°=40°+213c8D,即0/)"=2團(tuán)。8。+10°①，

回。CE=40°+(3C8Z)②，

由①②得0DCE=7O°,

故答案為：70。.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)定理，角平分線的定義，熟練應(yīng)用三角形的外角的性質(zhì)定理是解決問

題的關(guān)鍵.

11.如圖，在EU8C中，AD^BC,ZE平分魴/C,若團(tuán)1=30°,02=20°,則勖=.

【答案】500.

【分析】

利用角平分線的定義結(jié)合N1的度數(shù)可得出NC4E的值，進(jìn)而可得出ND4E、44。的值，在A48O中

利用三角形內(nèi)角和定理可求出D8的值，此題得解.

【詳解】

解：.?,AE平分NBAC,Nl=30,

.?.NC4E=Z1=3OP,

.■.ZDAE=ZCAE-Z2=1(T,

.\ZBAD=Zl+ZDAE=4(r.

VADIBC,

：.ZADB=90°,

.■.ZB=i8CP-ZBAD-ZADB=50P.

故答案為50。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的行政，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，I3B/C=3O。，4P平分團(tuán)比IC,G斤垂直平分/P,交/C于尸，。為射線上一動點(diǎn)，若PQ的最

小值為3,則力尸的長為.

【分析】

作尸/瘋4c于此連接P凡根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出P”,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到物=FP,根據(jù)

三角形的外角的性質(zhì)求出即尸”，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】

解：作尸“a4c于，，連接PR

當(dāng)尸時，P0的最小，

EW尸平分I384C,PQ^AB,PH^AC,

回PH=P0=3,^\PAB=^PAC=\5°,

回G/垂直平分/P，

QE4=FP,

EBF/M=0/?4C=15O,

H3PFH=3()°,

0PF=2/W=6,

EL4F=6,

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題為三角形綜合題，掌握角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)以及含30°角的

直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題

13.已知a,b,c滿足|a-2|+^/^I+(c-4)2=0.

(1)求a,h,c的值.

(2)以a,b,c為邊能否構(gòu)成三角形，如果能，求出三角形的周長；如果不能，請說明理由.

【答案】(1)a=2,h=3,c=4；(2)能，9

【分析】

(D根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求解即可得到。、b、c的值；

(2)利用三角形的三邊關(guān)系判斷能夠組成三角形，然后根據(jù)三角形的周長公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：(1)根據(jù)題意得：a-2=0,6-3=0,c-4=0,

解得:a=2,b=3,c=4；

(2)圖2+3>4,

即a+b>c,

團(tuán)能構(gòu)成三角形，

回CBWBC=2+3+4=9.

【點(diǎn)睛】

本題考查了絕對值，算術(shù)平方根和平方數(shù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和等于0,則每一個算式都等于

0列式是解題的關(guān)鍵.

14.在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時，小彬的思路如下.請寫出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的

依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明.

已知：如圖，IDABC.

求證：.

證明：如圖，在邊上取點(diǎn)過點(diǎn)。作OE//A3交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸//AC交AB于點(diǎn)尸.

RDEHAB,

E1NA=N1,NB=N2(依據(jù)：).

0DF//AC,

0Z1=Z3.

【答案】ZA+ZB+ZC=180°；兩直線平行，同位角相等：見解析.

【分析】

結(jié)合平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理證明.

【詳解】

解：已知：如圖，口人區(qū)。.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證明：在邊上取點(diǎn)￡>,過點(diǎn)。作。E//AB交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作//AC交A3于點(diǎn)尸.

S1DE//AB,

E1NA=N1,NB=N2(依據(jù)：兩直線平行，同位角相等).

SDF//AC,

E)N1=N3,N4=NC.

⑦N4=N3

0Z2+Z3+Z4=18O°

E)NA+N6+NC=180°

即三角形內(nèi)角和等于180。

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)正確添加輔助線進(jìn)行推理論證是解題關(guān)鍵.

15.如圖，在EL48c中，ADSBC,/E平分回B/C,回8=72°,(3C=30°,

①求她/E的度數(shù)；

②求皿￡的度數(shù).

BDEC

【答案】①魴4E=39°；②皿乂層？〃.

【分析】

①先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出E18ZC=78。，然后根據(jù)角平分線定義得到魴/C=39。；

(?)根據(jù)垂直定義得到胤4。8=90。，則利用互余可計(jì)算出團(tuán)84。=9()。-團(tuán)8=18。，然后利用或％-

魴/。進(jìn)行計(jì)算即可；

【詳解】

解：①國8+I3C+回8/C=180。，

1W4c=180°-72°-30°=78°,

EL4E平分的C,

1

^BAE=—mC=39"；

2

②BJZWC,

aaw8=9(r,

508/0=90--08=18°,

W>AE=^BAE-13840=39°-18°=21°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，垂直的定義，角的計(jì)算等知識.三角形內(nèi)角和定理:三角

形內(nèi)角和是180°.

16.在EL48C中，AB=AC=5,點(diǎn)。是邊8C上的中點(diǎn)，4D=3,求團(tuán)48c的面積.

A

【分析】

由48=/C,點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，可知4M8C,且BD=CD,在&也<48。中，43=5,40=3,由勾股定理可求

BD=QAB2-AD2=4,可得8c=28。==8，利用面積公式品AO=12即可?

【詳解】

解：點(diǎn)。為8c的中點(diǎn)，

EWD0BC,且BD=CD,

在E/SWB。中，AB=5,AD=3,

^BD=7AB2-AD2=V52-32=4'

0BC=28Z)=2x4=8,

團(tuán)SEUBC=-BC,AD=—x8x3=12.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形性質(zhì)，勾股定理。三角形面積，掌握等腰三角形性質(zhì)，勾股定理。三角形面積是解題

關(guān)鍵.

17.如圖，在口43。中，AB=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M.

(1)若/3=7()。，則NNM4的度數(shù)是；若N5=80°,則NNM4的度數(shù)是；

(2)若NB=a,你認(rèn)為DB與NMWA怎樣的數(shù)量關(guān)系？說出你的理由；

(3)連接M3,若AB=10cm,△M5C的周長是18cm.求8c的長；

【答案】(1)50°,70°；(2)ZNMA=2a-90°,理由見詳解；(3)BC=8cm

【分析】

(1)由題意易得NABC=NACB,則有NA=180°—2NABC,進(jìn)而可得NANM=90。，然后可根據(jù)直

角三角形的兩個銳角互余及題意可進(jìn)行求解；

(2)由(1)可得NA=180。-2NA8C,ZAW=900,進(jìn)而問題可求解；

(3)連接由題意易得⑷33M,則有AC=AM+MC,然后根據(jù)AMBC的周長可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：(1)EAB^AC,

回NABC=NACB,

BlZA=180°-2ZABC,

LAB,

0ZAW=9O°,

當(dāng)ZB=70。，則有NA=40。,

0NNMA=90°—NA=50°,

當(dāng)NB=80。，則有NA=20°,

國NNMA=90°-ZA=70°,

故答案為50。，70°；

(2)NNMA=2a-90。，理由如下：

由(1)可得ZA=180°-2ZABC,NANM=90°,

0Zfi=a,

回44=180。-2a,

aNNMA=90°-ZA=2a-90°；

(3)連接8/W,如圖所示：

0AB的垂直平分線交ABTN,交AC于M,

0AM=BM,

0AB=/4C=10cw,

0AC-AM+MC=BM+MC=l()cm,

回△V8C的周長是18cm,即5C+8W+MC=18cm,

B1BC=8cm.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及線段的垂直

平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

18.綜合與實(shí)踐：

問題情境：如圖1，在RfDABC中，ZACB=90°,ZB=60°,CO為DABC的角平分線.作射線。P,

DQ,使。。平分EMDP且交線段AC于點(diǎn)E,設(shè)NAOP=a.

初步分析：(1)求/AOC的度數(shù)；

特例探究：（2）當(dāng)a=30°時，求證：CDA.DQ.

拓展延伸：（3）當(dāng)a>60°時，射線。P交射線于點(diǎn)F.

請從下列4、8兩題中任選一題作答，我選擇題.

4當(dāng)點(diǎn)F在線段上（不與點(diǎn)B,C重合）時，請?jiān)趫D2中畫出符合題意的圖形，并直接寫出

NAED+ND尸3的度數(shù)（用含a的式子表示）.

員當(dāng)點(diǎn)尸在線段BC的延長線上時，請?jiān)趫D2中畫出符合題意的圖形，并直接寫出NAEO+N。用的度數(shù)

（用含a的式子表示）.

【答案】（1）105。：（2）見解析；（3）4或8,作圖見解析，ZAED+ZDFB=90°+-a