線性多變量系統(tǒng)的綜合與設計

線性多變量系統(tǒng)的綜合與設計1引言前面我們介紹的內(nèi)容都屬于系統(tǒng)的描述與分析。系統(tǒng)的描述主要解決系統(tǒng)的建模、各種數(shù)學模型(時域、頻域、內(nèi)部、外部描述)之間的相互轉(zhuǎn)換等；系統(tǒng)的分析，則主要研究系統(tǒng)的定量變化規(guī)律(如狀態(tài)方程的解，即系統(tǒng)的運動分析等)和定性行為(如能控性、能觀測性、穩(wěn)定性等)。而綜合與設計問題則與此相反，即在已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)(被控系統(tǒng)數(shù)學模型)的基礎上，尋求控制規(guī)律，以使系統(tǒng)具有某種期望的性能。一般說來，這種控制規(guī)律常取反饋形式，因為無論是在抗干擾性或魯棒性能方面，反饋閉環(huán)系統(tǒng)的性能都遠優(yōu)于非反饋或開環(huán)系統(tǒng)。在本章中，我們將以狀態(tài)空間描述和狀態(tài)空間方法為基礎，仍然在時域中討論線性反饋控制規(guī)律的綜合與設計方法。1.1問題的提法 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式若再給定系統(tǒng)的某個期望的性能指標，它既可以是時域或頻域的某種特征量(如超調(diào)量、過渡過程時間、極、零點)，也可以是使某個性能函數(shù)取極小或極大。此時，綜合問題就是尋求一個控制作用，使得在該控制作用下系統(tǒng)滿足所給定的期望性能指標。對于線性狀態(tài)反饋控制律對于線性輸出反饋控制律其中為參考輸入向量。由此構(gòu)成的閉環(huán)反饋系統(tǒng)分別為或閉環(huán)反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣分別為即或。閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣我們在這里將著重指出，作為綜合問題，將必須考慮三個方面的因素，即1)抗外部干擾問題；2)抗內(nèi)部結(jié)構(gòu)與參數(shù)的攝動問題，即魯棒性(Robustness)問題；3)控制規(guī)律的工程實現(xiàn)問題。一般說來，綜合和設計是兩個有區(qū)別的概念。綜合將在考慮工程可實現(xiàn)或可行的前提下，來確定控制規(guī)律u；而對設計，則還必須考慮許多實際問題，如控制器物理實現(xiàn)中線路的選擇、元件的選用、參數(shù)的確定等。1.2性能指標的類型總的說來，綜合問題中的性能指標可分為非優(yōu)化型和優(yōu)化型性能指標兩種類型。兩者的差別為：非優(yōu)化型指標是一類不等式型的指標，即只要性能值達到或好于期望指標就算是實現(xiàn)了綜合目標，而優(yōu)化型指標則是一類極值型指標，綜合目標是使性能指標在所有可能的控制中使其取極小或極大值。對于非優(yōu)化型性能指標，可以有多種提法，常用的提法有：1、以漸近穩(wěn)定作為性能指標，相應的綜合問題稱為鎮(zhèn)定問題；2、以一組期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點作為性能指標，相應的綜合問題稱為極點配置問題。從線性定常系統(tǒng)的運動分析中可知，如時域中的超調(diào)量、過渡過程時間及頻域中的增益穩(wěn)定裕度、相位穩(wěn)定裕度，都可以被認為等價于系統(tǒng)極點的位置，因此相應的綜合問題都可視為極點配置問題；3、以使一個多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)實現(xiàn)為“一個輸入只控制一個輸出”作為性能指標，相應的綜合問題稱為解耦問題。在工業(yè)過程控制中，解耦控制有著重要的應用；4、以使系統(tǒng)的輸出無靜差地跟蹤一個外部信號作為性能指標，相應的綜合問題稱為跟蹤問題。對于優(yōu)化型性能指標，則通常取為相對于狀態(tài)和控制的二次型積分性能指標，即其中加權(quán)陣或，且能觀測。綜合的任務就是確定，使相應的性能指標極小。通常，將這樣的控制稱為最優(yōu)控制，確切地說是線性二次型最優(yōu)控制問題，即LQ調(diào)節(jié)器問題。1.3研究綜合問題的主要內(nèi)容主要有兩個方面：1、可綜合條件可綜合條件也就是控制規(guī)律的存在性問題?？删C合條件的建立，可避免綜合過程的盲目性。2、控制規(guī)律的算法問題這是問題的關(guān)鍵。作為一個算法，評價其優(yōu)劣的主要標準是數(shù)值穩(wěn)定性，即是否出現(xiàn)截斷或舍入誤差在計算積累過程中放大的問題。一般地說，如果問題不是病態(tài)的，而所采用的算法又是數(shù)值穩(wěn)定的，則所得結(jié)果通常是好的。1.4工程實現(xiàn)中的一些理論問題在綜合問題中，不僅要研究可綜合條件和算法問題，而且要研究工程實現(xiàn)中提出的一系列理論問題。主要有：1、狀態(tài)重構(gòu)問題由于許多綜合問題都具有狀態(tài)反饋形式，而狀態(tài)變量為系統(tǒng)的內(nèi)部變量，通常并不能完全直接量測或采用經(jīng)濟手段進行量測，解決這一矛盾的途徑是：利用可量測輸出和輸入來構(gòu)造出不能量測的狀態(tài)，相應的理論問題稱為狀態(tài)重構(gòu)問題，即觀測器問題和Kalman濾波問題。2、魯棒性(Robustness)問題3、抗外部干擾問題本章的組織結(jié)構(gòu)如下。本章將首先討論極點配置問題。將討論利用極點配置方法來設計控制系統(tǒng)。這里將設計一個受制于初始條件的倒立擺系統(tǒng)，使其在規(guī)定的時間內(nèi)，返回到垂直位置；其次還將討論狀態(tài)觀測器的設計；最后研究含積分器的伺服系統(tǒng)和不含積分器的伺服系統(tǒng)。我們將設計一個倒立擺系統(tǒng)，當我們施加于小車一個階躍輸入時，仍可使該系統(tǒng)穩(wěn)定（也就是說，擺不會倒下來）。 本章1節(jié)為引言。2節(jié)將討論控制系統(tǒng)設計的極點配置方法，給出問題提法、可配置條件及極點配置的算法。3節(jié)將介紹利用MATLAB求解極點配置問題，并給出用于極點配置設計的MATLAB程序。4節(jié)以倒立擺為例，給出用極點配置方法設計調(diào)節(jié)器型系統(tǒng)的一個例子，并分別介紹解析法和MATLAB解法。 5節(jié)將介紹狀態(tài)觀測器。對于全維和最小階觀測器均將進行討論，將介紹3種確定觀測器增益矩陣的方法，并引入控制器-觀測器概念。6節(jié)討論利用MATLAB設計狀態(tài)觀測器。7節(jié)研究伺服系統(tǒng)的設計，將討論當含有積分器和不含積分器時I型伺服系統(tǒng)的設計。8節(jié)介紹用MATLAB設計控制系統(tǒng)的一個例子，將用MATLAB設計倒立擺控制系統(tǒng)。通過使用MATLAB，可得到所設計系統(tǒng)的單位階躍響應曲線。2極點配置問題 本節(jié)介紹極點配置方法。首先假定期望閉環(huán)極點為，,…，。我們將證明，如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，則可通過選取一個合適的狀態(tài)反饋增益矩陣，利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意的期望位置。 這里我們僅研究控制輸入為標量的情況。將證明在平面上將一個系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置到任意位置的充要條件是該系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。我們還將討論3種確定狀態(tài)反饋增益矩陣的方法。 應當注意，當控制輸入為向量時，極點配置方法的數(shù)學表達式十分復雜，本書將不討論這種情況。還應注意，當控制輸入是向量時，狀態(tài)反饋增益矩陣并非唯一。可以比較自由地選擇多于個參數(shù)，也就是說，除了適當?shù)嘏渲胣個閉環(huán)極點外，即使閉環(huán)系統(tǒng)還有其他需求，也可滿足其部分或全部要求。2.1問題的提法 前面我們已經(jīng)指出，在經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)綜合中，不管是頻率法還是根軌跡法，本質(zhì)上都可視為極點配置問題。給定單輸入單輸出線性定常被控系統(tǒng) (1)式中。選取線性反饋控制律為 (2)這意味著控制輸入由系統(tǒng)的狀態(tài)反饋確定，因此將該方法稱為狀態(tài)反饋方法。其中1×n維矩陣稱為狀態(tài)反饋增益矩陣或線性狀態(tài)反饋矩陣。在下面的分析中，假設不受約束。 圖1（a）給出了由式（1）所定義的系統(tǒng)。因為沒有將狀態(tài)反饋到控制輸入中，所以這是一個開環(huán)控制系統(tǒng)。圖1（b）給出了具有狀態(tài)反饋的系統(tǒng)。因為將狀態(tài)反饋到了控制輸入中，所以這是一個閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)。圖1(a)開環(huán)控制系統(tǒng)(b)具有的閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)將式（2）代入式（1），得到該閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為 (3)式中是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應特性將由閉環(huán)系統(tǒng)矩陣的特征值決定。如果矩陣選取適當，則可使矩陣構(gòu)成一個漸近穩(wěn)定矩陣，此時對所有的，當時，都可使。一般稱矩陣的特征值為調(diào)節(jié)器極點。如果這些調(diào)節(jié)器極點均位于的左半平面內(nèi)，則當時，有。因此我們將這種使閉環(huán)系統(tǒng)的極點任意配置到所期望位置的問題，稱之為極點配置問題。 下面討論其可配置條件。我們將證明，當且僅當給定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控時，該系統(tǒng)的任意極點配置才是可能的。2.2可配置條件 考慮由式（1）定義的線性定常系統(tǒng)。假設控制輸入的幅值是無約束的。如果選取控制規(guī)律為式中為線性狀態(tài)反饋矩陣，由此構(gòu)成的系統(tǒng)稱為閉環(huán)反饋控制系統(tǒng)，如圖1（b）所示?，F(xiàn)在考慮極點的可配置條件，即如下的極點配置定理。定理1(極點配置定理)線性定常系統(tǒng)可通過線性狀態(tài)反饋任意地配置其全部極點的充要條件是，此被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。證明：由于對多變量系統(tǒng)證明時，需要使用循環(huán)矩陣及其屬性等，因此這里只給出單輸入單輸出系統(tǒng)時的證明。但我們要著重指出的是，這一定理對多變量系統(tǒng)也是完全成立的。必要性。即已知閉環(huán)系統(tǒng)可任意配置極點，則被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控?，F(xiàn)利用反證法證明。先證明如下命題：如果系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣A-BK的特征值不可能由線性狀態(tài)反饋來控制。 假設式（1）的系統(tǒng)狀態(tài)不能控，則其能控性矩陣的秩小于，即這意味著，在能控性矩陣中存在q個線性無關(guān)的列向量?，F(xiàn)定義q個線性無關(guān)列向量為，選擇n-q個附加的n維向量，使得的秩為n。因此，可證明這些方程的推導可見例7。現(xiàn)定義則有式中，是一個q維的單位矩陣，是一個n-q維的單位矩陣。 注意到的特征值不依賴于。因此，如果一個系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的，則矩陣的特征值就不能任意配置。所以，為了任意配置矩陣的特征值，此時系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全能控的。 充分性。即已知被控系統(tǒng)狀態(tài)完全能控（這意味著由式（5）給出的矩陣Q可逆），則矩陣A的所有特征值可任意配置。 在證明充分條件時，一種簡便的方法是將由式（1）給出的狀態(tài)方程變換為能控標準形。 定義非奇異線性變換矩陣P為 （4）其中Q為能控性矩陣，即 (5) (6)式中為如下特征多項式的系數(shù)。定義一個新的狀態(tài)向量，如果能控性矩陣Q的秩為n（即系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的），則矩陣Q的逆存在(注意此時Q為nn方陣)，并且可將式（1）改寫為 (7)其中 (8) (9)式（8）和（9）的推導見例8和例9。式（7）為能控標準形。這樣，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，且利用由式（4）給出的變換矩陣，使狀態(tài)向量變換為狀態(tài)向量，則可將式(1)變換為能控標準形。 選取任意一組期望的特征值為，，…，，則期望的特征方程為 (10)設 (11)由于，從而由式(7)，此時該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為相應的特征方程為 事實上，當利用作為控制輸入時，相應的特征方程與上述特征方程相同，即非奇異線性變換不改變系統(tǒng)的特征值。這可簡單說明如下。由于該系統(tǒng)的特征方程為對于上述能控標準形的系統(tǒng)特征方程，由式（8）、(9)和（11），可得 (12)這是具有線性狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，它一定與式（10）的期望特征方程相等。通過使的同次冪系數(shù)相等，可得對求解上述方程組，并將其代入式（11），可得 (13)因此，如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則通過對應于式（13）所選取的矩陣，可任意配置所有的特征值。證畢2.3極點配置的算法現(xiàn)在考慮單輸入單輸出系統(tǒng)極點配置的算法。給定線性定常系統(tǒng)若線性反饋控制律為則可由下列步驟確定使的特征值為，，…,（即閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點值）的線性反饋矩陣（如果是一個復數(shù)特征值，則其共軛必定也是的特征值）。第1步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則可按下列步驟繼續(xù)。第2步：利用系統(tǒng)矩陣的征多項式確定出的值。 第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標準形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標準形，那么P=I。此時無需再寫出系統(tǒng)的能控標準形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P可由式（4）給出，即式中由式（5）定義，由式（6）定義。第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點，可寫出期望的特征多項式為并確定出的值。第5步：此時的狀態(tài)反饋增益矩陣為2.4注釋 注意，如果是低階系統(tǒng)（），則將線性反饋增益矩陣K直接代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式，可能更為簡便。例如，若n=3，則可將狀態(tài)反饋增益矩陣K寫為進而將此代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式，使其等于，即 由于該特征方程的兩端均為的多項式，故可通過使其兩端的同次冪系數(shù)相等，來確定，，的值。如果n=2或者n=3，這種方法非常簡便（對于n=4,5,6,…，這種方法可能非常繁瑣）。 還有其他方法可確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。下面介紹著名的愛克曼公式，可用來確定狀態(tài)反饋增益矩陣K。2.5愛克曼公式(Ackermann’sFormula) 考慮由式（1）給出的系統(tǒng)，重寫為假設該被控系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，又設期望閉環(huán)極點為。利用線性狀態(tài)反饋控制律將系統(tǒng)狀態(tài)方程改寫為 (14)定義則所期望的特征方程為 由于凱萊-哈密爾頓定理指出應滿足其自身的特征方程，所以 (15)我們用式（15）來推導愛克曼公式。為簡化推導，考慮n=3的情況。需要指出的是，對任意正整數(shù)，下面的推導可方便地加以推廣?？紤]下列恒等式將上述方程分別乘以，并相加，則可得 （16）參照式（15）可得也可得到將上述兩式代入式（16），可得由于，故 （17）由于系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，所以能控性矩陣的逆存在。在式（17）的兩端均左乘能控性矩陣Q的逆，可得上式兩端左乘[001]，可得 重寫為從而給出了所需的狀態(tài)反饋增益矩陣。對任一正整數(shù)n，有 (18)式（18）稱為用于確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的愛克曼方程。-------