《4.最大(小)值和值城》導(dǎo)學(xué)案

《4.最大(小)值和值城》導(dǎo)學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1、同學(xué)們要能準(zhǔn)確說出余弦函數(shù)的最大值和最小值，就像能清楚說出自己最喜歡的動(dòng)漫角色的特點(diǎn)一樣熟練。2、可以獨(dú)立求出給定余弦函數(shù)表達(dá)式的最大值、最小值和值域，就像自己能獨(dú)立算出買東西找零一樣有把握。3、學(xué)會(huì)通過分析余弦函數(shù)圖象來理解它的最值和值域，就像通過看地圖了解一個(gè)地方的地形一樣直觀。二、知識鏈接同學(xué)們，咱們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)啦，就像我們之前已經(jīng)認(rèn)識了一個(gè)好朋友，現(xiàn)在又要認(rèn)識他的兄弟余弦函數(shù)。咱們已經(jīng)知道正弦函數(shù)的圖象像波浪一樣起伏，在一定的范圍內(nèi)有最大值和最小值。那余弦函數(shù)呀，和正弦函數(shù)有很多相似的地方呢。就好比雙胞胎，雖然有不同之處，但也有很多共同的特征。咱們就利用已經(jīng)知道的正弦函數(shù)的知識來幫助咱們理解余弦函數(shù)的最大（?。┲岛椭涤虬?。三、知識預(yù)習(xí)1、咱們先回顧一下余弦函數(shù)的表達(dá)式，余弦函數(shù)可以寫成y＝cosx，這里的x可以取任意實(shí)數(shù)，就像你在生活中可以遇到各種各樣的事情一樣。2、那余弦函數(shù)的值域呢？它的值域是－1,1。這就好比是一個(gè)小寵物的活動(dòng)范圍，它只能在這個(gè)范圍內(nèi)活動(dòng)。那什么時(shí)候取到最大值呢？當(dāng)x＝2kπ，k∈Z的時(shí)候，余弦函數(shù)y＝cosx取到最大值1，這就像小寵物在特定的地點(diǎn)能得到最多的食物一樣。3、什么時(shí)候取到最小值呢？當(dāng)x＝（2k＋1)π，k∈Z的時(shí)候，余弦函數(shù)取到最小值－1，就像小寵物在某個(gè)不太好的地方得到最少的食物。4、現(xiàn)在咱們來看看如果余弦函數(shù)的表達(dá)式稍微復(fù)雜一點(diǎn)，比如說y＝Acos(ωx＋φ)＋B（這里A、ω、φ、B都是常數(shù)哦）。那它的最大值就是A＋B，最小值就是A＋B，值域就是A＋B,A＋B。咱們可以想象這個(gè)函數(shù)就像是給原來的余弦函數(shù)穿上了不同的衣服，但是它的本質(zhì)還是余弦函數(shù)，所以最值和值域的求法還是有規(guī)律可循的。我給大家講個(gè)我自己的事情吧。我之前在整理書架的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)有很多不同版本的數(shù)學(xué)教材。就像余弦函數(shù)有不同的表達(dá)式一樣，雖然外表看起來有點(diǎn)亂，但是只要我按照一定的規(guī)則去整理，比如按照出版年份或者學(xué)科內(nèi)容，就能把它們整理得井井有條。學(xué)習(xí)余弦函數(shù)的性質(zhì)也一樣，只要咱們按照規(guī)律去分析，就能輕松掌握。四、學(xué)習(xí)活動(dòng)（一）閱讀與思考1、認(rèn)真閱讀教材中關(guān)于余弦函數(shù)最大值、最小值和值域的部分，就像讀一個(gè)精彩的故事一樣，一邊讀一邊在腦海里想象余弦函數(shù)的圖象是怎么隨著自變量x的變化而變化的。2、讀完之后，思考這個(gè)問題：如果把余弦函數(shù)的圖象沿著y軸方向拉伸或者壓縮，它的最大值、最小值和值域會(huì)怎么變化呢？就像如果把小寵物的活動(dòng)范圍變大或者變小，它能到達(dá)的最遠(yuǎn)距離和最近距離會(huì)怎么改變呢？（二）小組討論1、分組討論這個(gè)問題：在實(shí)際生活中，有沒有什么現(xiàn)象可以用余弦函數(shù)的最大值和最小值來描述呢？比如說，像摩天輪的高度變化，它的高度可能就和余弦函數(shù)有相似的變化規(guī)律哦。每個(gè)小組至少要想出一個(gè)例子，然后大家一起分享。2、討論一下如何快速判斷一個(gè)復(fù)雜的余弦函數(shù)表達(dá)式的最大值、最小值和值域。小組內(nèi)可以互相出題考考對方，就像玩游戲一樣，看誰回答得又快又準(zhǔn)。五、學(xué)習(xí)指導(dǎo)（一）問題啟發(fā)1、當(dāng)我們看到一個(gè)余弦函數(shù)表達(dá)式，比如y＝3cos(2xπ/3)＋1，首先我們要關(guān)注什么呢？對啦，要先看A、ω、φ、B的值。那這里的A是多少呢？（答案：3），ω呢？（答案：2），φ呢？（答案：π/3），B呢？（答案：1）。2、那根據(jù)我們前面學(xué)的知識，這個(gè)函數(shù)的最大值怎么求呢？提示一下，就用我們前面說的公式A＋B，那就是3＋1＝4。最小值呢？用A＋B，也就是－3＋1＝－2。值域就是－2,4。3、如果一個(gè)余弦函數(shù)的圖象向上平移了2個(gè)單位，向下平移了3個(gè)單位，它的最大值、最小值和值域會(huì)怎么變呢？這就像小寵物的家換了個(gè)位置，它的活動(dòng)范圍會(huì)怎么改變呢？大家可以先畫個(gè)簡單的草圖來幫助自己理解哦。（二）小提示1、同學(xué)們在求復(fù)雜余弦函數(shù)的最值和值域的時(shí)候，一定要把函數(shù)表達(dá)式和咱們學(xué)的公式y(tǒng)＝Acos(ωx＋φ)＋B對應(yīng)起來，不要弄混了各個(gè)參數(shù)哦。2、如果遇到困難，可以多回顧一下余弦函數(shù)的基本圖象，就像迷路的時(shí)候看看地圖一樣，圖象能給我們很多有用的信息。六、練習(xí)題（一）基礎(chǔ)題1、求余弦函數(shù)y＝cos(x＋π/4)的最大值、最小值和值域。2、對于函數(shù)y＝2cos(3x)1，說出它的最大值和最小值分別是多少，值域是什么。（二）提高題1、已知函數(shù)y＝acos(bx＋c)＋d（a≠0），當(dāng)a＝2，b＝1，c＝π/6，d＝3時(shí)，求這個(gè)函數(shù)的最大值、最小值和值域。2、若函數(shù)y＝5cos(2xπ/2)＋k的值域是－2,8，求k的值。（三）拓展題1、一個(gè)余弦函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,3)，并且它的最大值是5，最小值是1，請寫出這個(gè)余弦函數(shù)的表達(dá)式。2、觀察余弦函數(shù)y＝cosx在區(qū)間0,2π上的圖象，思考如何通過圖象平移得到一個(gè)值域?yàn)?,2的余弦函數(shù)圖象？并寫出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式。七、答案以及解析（一）基礎(chǔ)題1、對于函數(shù)y＝cos(x＋π/4)，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的值域是－1,1，所以這個(gè)函數(shù)的最大值是1，最小值是－1，值域是－1,1。2、對于函數(shù)y＝2cos(3x)1，根據(jù)公式，最大值為A＋B＝2＋（－1)＝1，最小值為A＋B＝－2＋（－1)＝－3，值域是－3,1。（二）提高題1、當(dāng)a＝2，b＝1，c＝π/6，d＝3時(shí)，函數(shù)y＝2cos(x＋π/6)＋3。最大值為A＋B＝2＋3＝5，最小值為A＋B＝－2＋3＝1，值域是1,5。2、對于函數(shù)y＝5cos(2xπ/2)＋k，最大值為5＋k，最小值為－5＋k。因?yàn)橹涤蚴牵?,8，所以可得方程組＼begin{cases}5＋k＝8\＼－5＋k＝－2\end{cases}，解得k＝3。（三）拓展題1、設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝Acos(ωx＋φ)＋B。因?yàn)樽畲笾凳?，最小值是1，所以＼begin{cases}A＋B＝5\＼A＋B＝1\end{cases}，解得A＝2，B＝3。又因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（0,3)，所以3＝2cos(φ)＋3，即cos(φ)＝0，可以取φ＝π/2，則函數(shù)表達(dá)式為y＝2cos(x＋π/2)＋3。2、余弦函數(shù)y＝cosx在區(qū)間0,2π上的值域是－1,1。要得到值域?yàn)?,2的余弦函數(shù)圖象，可以將y＝cosx向上平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)