金融數(shù)學(xué) 課件全套 方杰 第1-8章 引論、布朗運(yùn)動(dòng)-期權(quán)定價(jià)的離散模型

第一章

引論金融數(shù)學(xué)中國(guó)人民大學(xué)出版社金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社1

/

45本章內(nèi)容12事件與概率樣本和樣本空間事件與概率概率空間概率的基本性質(zhì)隨機(jī)變量和隨機(jī)向量隨機(jī)變量34分布函數(shù)隨機(jī)向量隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望方差矩母函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的概念金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社2

/

45事件與概率樣本和樣本空間樣本和樣本空間舉例：通常把按照一定想法去做的事件稱為試驗(yàn)（experiment），把試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)（samplepoint），樣本點(diǎn)的集合稱為樣本空間（samplespace）。通常將樣本空間記為

?，樣本點(diǎn)記為

ω。一個(gè)均勻的骰子（dice）有六個(gè)面，每次拋出這個(gè)骰子，會(huì)得到相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)（比如：3）。這里“拋骰子”就是一個(gè)事件，也就是“試驗(yàn)”；在拋出骰子后得到的“點(diǎn)數(shù)”3

就是“樣本點(diǎn)”ω

=

3；而骰子的可能點(diǎn)數(shù)為1,

2,

3,

.

.

.

,

6，因此對(duì)應(yīng)的樣本空間就是

?

=

{1,

2,

3,

.

.

.

,

6}。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社3

/

45事件與概率事件與概率事件與概率事件（event）是樣本空間

?

的子集，且滿足三個(gè)條件：?

是事件；若

A

是事件，則

Ac

是事件；∞li=1i i若

A

是事件，則 A

是事件。骰子的例子如果“拋出的點(diǎn)數(shù)為

3”是事件

A，則其對(duì)立事件

Ac

就是“拋出的點(diǎn)數(shù)不為

3”；另外，“拋一次骰子”是事件，則“拋無(wú)數(shù)次骰子”組成的所有事件的并集也是事件。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社4

/

45事件與概率事件與概率事件對(duì)于事件

A，如果使用

P(A)

表示事件發(fā)生的概率，則

P(A)

滿足以下條件：非負(fù)性：P(A)

≥0；完備性：P(?)

=

1；可列可加性：對(duì)于互不相容的事件

A1,

A2,

.

.

.，有：/ \∞ ∞

、i=1

i=1i iP A = P(A

)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社5

/

45事件與概率概率空間概率空間舉例：對(duì)于樣本空間

?

和概率

P，用

F

表示全體事件時(shí)，稱三位一體的(?,

F,

P)

為概率空間（probability

space）。F

稱作

σ-代數(shù)（sigma-algebra），相當(dāng)于樣本空間

?

的子集的集合。假設(shè)樣本空間

?

=

{1,

2,

3}，則

F

可表示為：F

=

J?,

{1},

{2},

{3},

{1,

2},

{1,

3},

{2,

3},

?l金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社6

/

45事件與概率概率空間σ-代數(shù)對(duì)于

σ-代數(shù)

F，其中的元素滿足以下條件：ici若

A

∈

F，則

A

∈

F；說(shuō)明：若Ai,Aj∈F,?i,j，則Ai∩Aj∈

F；若

Ai,

Aj

∈

F,

?i,

j，則

Ai

∪

Aj

∈

F。簡(jiǎn)言之，對(duì)

σ-代數(shù)

F

中的元素取并集、交集和補(bǔ)集，結(jié)果均在

F中。（σ-代數(shù)對(duì)并、交、補(bǔ)運(yùn)算均封閉。）金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社7

/

45事件與概率概率的基本性質(zhì)概率的基本性質(zhì)對(duì)于事件

Ai,

i

=

1,

2,

.

.

.

,

n，其發(fā)生的概率具有如下性質(zhì)：P(?)=

0；當(dāng)且僅當(dāng)

A1,

A2,

.

.

.

,

An

互不相容時(shí)，下式的等號(hào)成立：/ \n n

、P Ai ≤ P(Ai)i=1 i=1如果

A2

?

A1，則

P(A1)

?

P(A2)

=

P(A1

?

A2)

≥

0；P(A1

∪

A2)

=

P(A1)

+

P(A2)

?

P(A1A2)；條件概率公式：當(dāng)

P(A1)

>

0

時(shí)，2 1P(A|A)

=1

2P(A

A

)P(A1)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社8

/

45事件與概率概率的基本性質(zhì)乘法公式乘法公式可看作條件概率公式的直接推論，其表達(dá)式如下：P(B1B2

·

·

·

Bn)

=

P(B1)P(B2|B1)

·

·

·

P(Bn|B1B2

·

·

·

Bn?1)當(dāng)

P(A)

>

0

時(shí)，P(B1B2

·

·

·

Bn|A)

=

P(B1|A)P(B2|B1A)

·

·

·

P(Bn|B1B2

·

·

·

Bn?1A)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社9

/

45事件與概率概率的基本性質(zhì)全概率公式n

i=11 2 n i若事件

A

,

A

,

.

.

.

,

A

互不相容，則當(dāng) A

=

?

時(shí)，有：n n、 、i i iP(B)

= P(BA

)

= P(B|A)P(A

)i=1 i=1當(dāng)

P(A)

>

0

時(shí)，有：n、i=1P(B|A)

=

P(Bii|AA)P(A

|A)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社10

/

45事件與概率概率的基本性質(zhì)全概率公式

(cont.)全概率公式的意義在于，當(dāng)直接計(jì)算

P(B)

較為困難時(shí)，可以通過(guò)求小事件的概率，然后相加，從而求得事件

B

的概率。而將事件

B

進(jìn)行分割的時(shí)候，則是先找到樣本空間

?

的某個(gè)劃分（partition）{A1,

A2,

.

.

.

,

An}，進(jìn)而得到相對(duì)應(yīng)的事件

B

的分解，即：B

=

BA1

+

BA2

+

·

·

·

+

BAn利用條件概率的計(jì)算公式，可得：P(B)

=

P(BA1)

+

P(BA2)

+

·

·

·

+

P(BAn)=

P(B|A1)P(A1)

+

P(B|A2)P(A2)

+

·

·

·

+

P(B|An)P(An)n、i=1i i= P(B|A)P(A

)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社11

/

45事件與概率概率的基本性質(zhì)貝葉斯公式若

A1,

A2,

.

.

.

,

An

為一系列互不相容的事件，并且n

iA

=

?, P(Ai)>0,

?ii=1則對(duì)任一事件

B，有：iP(A|B)

=

P(B|A

)i

iP(A

) n、k=1k kP(B|A)P(A

),i

=

1,

2,

.

.

.

,

n金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社12

/

45事件與概率概率的基本性質(zhì)貝葉斯公式

(cont.)與全概率公式解決的問(wèn)題相反，貝葉斯（Bayesian）公式是建立在條件概率的基礎(chǔ)上，通過(guò)確定的結(jié)果尋找發(fā)生的原因。此處P(Ai)

(i

=

1,

2,

.

.

.

,

n)

表示各種原因發(fā)生的可能性大小，故稱先驗(yàn)概率（prior

probability）；P(Ai|B)

則反映當(dāng)結(jié)果

B

發(fā)生之后，再對(duì)產(chǎn)生這一結(jié)果的各種原因的可能概率進(jìn)行推斷，故稱后驗(yàn)概率（posteriorprobability）。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社13

/

45隨機(jī)變量和隨機(jī)向量隨機(jī)變量隨機(jī)變量以金融市場(chǎng)為例隨機(jī)變量

X

是定義在樣本空間

?

上的函數(shù)。若樣本空間

?

中的樣本點(diǎn)

ω

是離散的，則相應(yīng)的

X(ω)

是離散型（discrete）隨機(jī)變量；若樣本點(diǎn)

ω

是連續(xù)的，則相應(yīng)的

X(ω)

是連續(xù)型（continuous）隨機(jī)變量?？紤]股票價(jià)格跳躍次數(shù)的樣本空間，其可能的取值為

?

={0,

1,

2,

.

.

.}，不難看出取值是非負(fù)的整數(shù)，此時(shí)所得到的股價(jià)跳躍次數(shù)的隨機(jī)變量就是離散型隨機(jī)變量；若考慮股票在某時(shí)刻的可能價(jià)格的樣本空間，則其取值應(yīng)當(dāng)為

?

∈

R+

∪

{0}，此時(shí)得到的股價(jià)隨機(jī)變量就是連續(xù)型隨機(jī)變量，因?yàn)閷?duì)應(yīng)的樣本空間

?

取值為非負(fù)實(shí)數(shù)。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社14

/

45隨機(jī)變量和隨機(jī)向量隨機(jī)變量隨機(jī)變量

(cont.)對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，其對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)

ω

的概率是非負(fù)的，并且樣本點(diǎn)所有可能取值下的概率之和等于

1（滿足概率的完備性），即：P(X=ω)

≥

0, 、

P(X=ω)≡1ω∈?連續(xù)型隨機(jī)變量無(wú)法得到類似的性質(zhì)，由于樣本點(diǎn)是連續(xù)的，對(duì)應(yīng)的某一個(gè)樣本點(diǎn)

ω

的概率接近于零，因此需要引入新的概念來(lái)刻畫(huà)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率等特征，這就是分布函數(shù)。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社15

/

45隨機(jī)變量和隨機(jī)向量分布函數(shù)分布函數(shù)對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量

X

而言，其分布函數(shù)

FX(t)（distributionfunction）定義為：rt說(shuō)明：FX(t)=P(X≤

t)

= fX(s)

ds?∞其中，fX(s)

是

X的概率密度函數(shù)（probabilitydensityfunction,pdf）。分布函數(shù)

FX(t)

是單調(diào)不減的右連續(xù)函數(shù)，并且其取值范圍為

[0,

1]。概率密度函數(shù)可以定義在任何連續(xù)隨機(jī)變量上，比如正態(tài)分布、F

分布、t分布、χ2分布等。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社16

/

45隨機(jī)變量和隨機(jī)向量分布函數(shù)分布函數(shù)

(cont.)Y對(duì)于離散型隨機(jī)變量

Y

而言，其分布函數(shù)

GY(t)

也有類似的定義，只不過(guò)原先的積分符號(hào)變成了求和符號(hào)罷了，公式如下：、G(t)=P(Y≤

t)

= P(Y=

ω)ω≤tω∈?此處的

P(Y

=

ω)

稱作概率質(zhì)量函數(shù)（probabilitymassfunction,pmf）。概率質(zhì)量函數(shù)可以定義在任何離散型隨機(jī)變量上，比如二項(xiàng)分布、負(fù)二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等等。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社17

/

45隨機(jī)變量和隨機(jī)向量分布函數(shù)概率質(zhì)量函數(shù)和概率密度函數(shù)概率質(zhì)量函數(shù)是對(duì)離散型隨機(jī)變量定義的，本身代表該值的概率；概率密度函數(shù)是對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量定義的，本身不是概率，只有對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)進(jìn)行積分后才是概率。要想求得連續(xù)型隨機(jī)變量

X

在

[a,

b]

這一區(qū)間上的概率，則計(jì)算公式如下：rbP(a≤X≤

b)

= fX(s)

dsa金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社18

/

45隨機(jī)變量和隨機(jī)向量隨機(jī)向量隨機(jī)向量如果

X1,

X2,

.

.

.

,

Xn

都是隨機(jī)變量，則

X

=

(X1,

X2,

.

.

.

,

Xn)

稱作隨機(jī)向量。相應(yīng)地，定義在

n

維實(shí)數(shù)域

Rn

上的

n

元函數(shù)FX(x1,

x2,

.

.

.

,

xn)

=

P

(X1

≤

x1,

X2

≤

x2,

.

.

.

,

Xn

≤

xn)稱作

X

=

(X1,

X2,

.

.

.

,

Xn)

的分布函數(shù)。與前面類似，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)向量

X，其在

Rn

上的區(qū)域（domain）D

的概率為：r rx x1 2P(X∈

D)

= ··

·rxn?∞

?∞ ?∞、 、,, .,rDf(x)dx1dx2···

dxn

= f(x)dx1dx2···

dxnn個(gè)其中，f(x)

=

f(x1,

x2,

.

.

.

,

xn)

是

X

的聯(lián)合密度。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社19

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征對(duì)于隨機(jī)變量而言，我們通常關(guān)心它的重要數(shù)字特征，比如期望、方差、偏度、峰度等等。本節(jié)主要介紹期望和方差，以及更一般的矩母函數(shù)和特征函數(shù)。期望（expectation）用于反映隨機(jī)變量平均取值的大小。根據(jù)隨機(jī)變量的不同，可以得到離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的期望。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社20

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望離散型隨機(jī)變量的期望設(shè)隨機(jī)變量

X

有離散的概率分布如下：pi=P(X

=

xi), i

=

1,

.

.

.

,

n則：iin n、 、i=1 i=1E(X)

= xP(X=x

)

= x

pi

i金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社21

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望舉例：泊松分布的期望假設(shè)隨機(jī)變量

X

服從參數(shù)為

λ

的泊松分布，相應(yīng)的概率質(zhì)量函數(shù)如下：λn

?λλ

>

0,

n

=

0,

1,

2,

.

.

.P(X

=

n)

=

n!

e

,求泊松分布的期望

E(X)。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社22

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望泊松分布的期望

(cont.)根據(jù)期望的定義，可得：∞、n=0E(X)

=

n∞、n=0·P(X=

n)

= n

·n

λ

n!e?λ=∞?λe =

λ∞、 λn 、λn?1n=0(n

?

1)! n=0(n?

1)!?λe =

λ注意，這里最后一步化簡(jiǎn)用到了

ex

的泰勒展開(kāi)式，即：x2 32! 3!e=1+

x

+ + +

···=∞、

x

x

x

nn!n=0金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社23

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望定理設(shè)

X

為取值是非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量，其期望值的計(jì)算公式如下：∞、E(X)

= P(X≥

k)k=1證明思路：∞、k=1P(X≥k)

=∞∞、、k=1

i=kP(X=i)

=∞ i、、i=1

k=1P(X=

i)、

i個(gè)P、(,,X=i)

.,∞、i=1= i·P(X=

i)=

E(X)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社24

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征

期望求和符號(hào)交換的圖示k(1,

1)(k,

k)i (k,

∞) ik(1,

1)(i,

i)? (1,

i)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社25

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望連續(xù)型隨機(jī)變量的期望設(shè)

X

是有密度函數(shù)

fX(x)

的隨機(jī)變量，即密度函數(shù)滿足：raFX(a)=P(X≤

a)

= fX(x)

dx?∞則：E(X)

=r∞?∞Xxf(x)

dx金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社26

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望舉例：指數(shù)分布的期望假設(shè)隨機(jī)變量

X

服從參數(shù)為

λ

的指數(shù)分布，相應(yīng)的概率密度函數(shù)如下：λ>0,x≥0fX(x)=

λe?λx,求指數(shù)分布的期望

E(X)。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社27

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望指數(shù)分布的期望

(cont.)根據(jù)期望的定義，可得：E(X)

=

r

∞

xfX(x)

dx

=

r

∞

λxe?λx

dx0 0記

u

=

?λx，則：上式

=

1λr?∞0

1λu uue

du

= e

(u＿ l?∞0?1) =

1λ金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社28

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征期望定理設(shè)

X

是非負(fù)的隨機(jī)變量，則：E(X)=r∞P(X>x)dx=r∞1?FX(x)

dx0 0 ＿ l證明思路：r∞0P(X>x)dx

=∞0r∞xdx fX(y)dy

=r∞0ry

0dy fX(y)

dx、 、,,

.,Xf

(y)可從積分中提出=rr∞0yfX(y)dy=

E(X)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社29

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征

期望積分符號(hào)交換的圖示x(x,

∞)(0,

0)(x,

x)y yx(0,

0)(y,

y)?(0,

y)金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社30

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差方差方差（variance）是反映隨機(jī)變量離散程度的指標(biāo)。在概率統(tǒng)計(jì)的教科書(shū)中，方差計(jì)算的恒等式如下：Var(X)=E(X2)

?[E(X)]2接下來(lái)分別利用這個(gè)恒等式來(lái)計(jì)算離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社31

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差舉例：泊松分布的方差假設(shè)隨機(jī)變量

X

服從參數(shù)為

λ

的泊松分布，相應(yīng)的概率質(zhì)量函數(shù)如下：λn

?λλ

>

0,

n

=

0,

1,

2,

.

.

.P(X

=

n)

=

n!

e

,求泊松分布的方差

Var(X)。思路：前面已經(jīng)計(jì)算出泊松分布的期望

E(X)

=

λ，要求出方差，還需要計(jì)算E(X2)。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社32

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差泊松分布的方差

(cont.)2 2∞ ∞、 、n=0

n=0E(X

)

= nP(X=

n)

= n

·

λ

nn!2 e?λ=∞、nλnn=0(n?

1)!e?λ=

λe?λ∞、

nλn?1n=0(n?

1)!=

λe?λ

·

(λ

+

1)eλ=

λ(λ

+

1)因此：Var(X)

=

E(X2)

?

[E(X)]2

=

λ(λ

+

1)

?

λ2

=

λ金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社33

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差舉例：指數(shù)分布的方差假設(shè)隨機(jī)變量

X

服從參數(shù)為

λ

的指數(shù)分布，相應(yīng)的概率密度函數(shù)如下：λ>0,x≥0fX(x)=

λe?λx,求指數(shù)分布的方差

Var(X)。思路：λ前面已經(jīng)計(jì)算出指數(shù)分布的期望

E(X)

=

1

，要求出方差，還需要計(jì)算E(X2)。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社34

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征方差指數(shù)分布的方差

(cont.)2E(X)

=r∞02Xxf

(x)dx

=r∞02

e?λxx

λ

dx=

1λr∞0(λx)2e?λxdx記

u

=

?λx，則：上式

=

?

1λ2r?∞02

uue

du

1λ2＿u 2=

? e(u?

2u+

2)l?∞0=

2λ2因此：Var(X2)=E(X)?

[E(X2)]

=

?

=

2

1

1λ2 λ2 λ2金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社35

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)矩母函數(shù)矩母函數(shù)（moment

generating

function,

mgf）是一種構(gòu)造函數(shù)。對(duì)于任何滿足概率密度函數(shù)為

fX(x)

的隨機(jī)變量

X，其矩母函數(shù)的定義如下：XtXM(t)=E(e)

=r∞?∞txXef(x)

dx根據(jù)泰勒展開(kāi)式：ex=1+x+

x

2 32! 3!x

+ +

···=∞、k=0k

xk!tx由此可得：e

=∞、k=0

(tx)

kk!金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社36

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)矩母函數(shù)

(cont.)矩母函數(shù)可以相應(yīng)進(jìn)行如下展開(kāi)：txMX(t)

= efX(

)xdx

=r r∞ ∞?∞ ?∞fX(x)∞、k=0(tx)kk!dx=∞、tk!rk ∞?∞∞k=0 k=0、

tkk kxfX(x)

dx

= k!·E(X

)t2 tn2 n=

1

+

t

·

E(X)

+

2!

·

E(X

)

+

·

·

·

+

n!

·

E(X

)

+

·

·

·由此可見(jiàn)，矩母函數(shù)包含了隨機(jī)變量

X

的各階矩

E(Xn),n

=

1,

2,

3,

.

.

.金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社37

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)矩母函數(shù)

(cont.)若對(duì)

MX(t)

關(guān)于

t

求導(dǎo)，可得：X

dM

(t)dt=∞?∞txXe·xf

(x)

dx類似地：dnMX(t)dtn=rr∞tx nXe·xf(x)

dx當(dāng)

t

=

0

時(shí)：nXdM

(t)dtn11r?∞∞t=0

?∞= xnfX(x)dx=

E(Xn)因此，可以通過(guò)對(duì)矩母函數(shù)關(guān)于

t

求

n

階導(dǎo)的方式，并令

t

=

0，進(jìn)而求出隨機(jī)變量的

n

階矩。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社38

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)舉例：指數(shù)分布的各階矩思路：假設(shè)隨機(jī)變量

X

服從速率為

λ

的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為：fX(x)

=

λe?λx, λ>0,x≥

0求其各階矩。通過(guò)矩母函數(shù)加以求解。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社39

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)指數(shù)分布的各階矩

(cont.)由矩母函數(shù)的定義可得：Xtx（ ）M

(t)

=

E

e

=r∞0tx

e?λxe

λ

dx=

λr∞0e?(λ?t)x=

λ

t?

λe?(λ?t)x11dxx=∞x=0=

λλ

?t,λ>

t金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社40

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)指數(shù)分布的各階矩

(cont.)相應(yīng)地：

dMX(t)

λ dt =(λ?

t)2X

dM

(t)dt11t=0

1=λd2MX(t) 2λ dt2 (λ

?t)32

2XdM

(t)dt211t=0

2=

λ2=d3MX(t) 2·

3λdt3 (λ

?t)4? E(X)

=

=

? E(X)

=?E(X3)

=3XdM

(t)dt311t=0=6λ3因此：E(Xn)=

n!λn金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社41

/

45隨機(jī)變量的數(shù)字特征矩母函數(shù)矩母函數(shù)的不足通過(guò)矩母函數(shù)可以相對(duì)容易地求出服從某個(gè)概率分布的隨機(jī)變量之各階矩。但是該方法仍有不足之處，它依賴于矩母函數(shù)關(guān)于

t

進(jìn)行

n

階求導(dǎo)后，在

t

=0

處有定義，否則會(huì)出現(xiàn)無(wú)法計(jì)算各階矩的問(wèn)題。為解決這個(gè)問(wèn)題，引入特征函數(shù)（characteristicfunction,cf），其定義如下：?(t)=E(e)

=r∞itx itxX Xef(x)

dx?∞特征函數(shù)的重要用途在于，若隨機(jī)變量

X

的概率分布

fX(x)

無(wú)法直接算出，可以首先計(jì)算出它的特征函數(shù)

?X(t)，再通過(guò)傅立葉變換（Fouriertransform）最終算出概率分布

fX(x)。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社42

/

45隨機(jī)過(guò)程的概念隨機(jī)過(guò)程的概念設(shè)

(?,

F,

P)

是一個(gè)概率空間，T

為一個(gè)參數(shù)集。若對(duì)每一個(gè)

t

∈

T，均有定義在概率空間上的一個(gè)隨機(jī)變量

Xt(ω),

ω

∈

?

與之對(duì)應(yīng)，則稱{Xt

:

t

∈

T}

為

(?,

F,

P)

上的一個(gè)隨機(jī)過(guò)程（stochastic

process）。這里的t

通常理解成時(shí)間，相應(yīng)的參數(shù)集

T

就是時(shí)間參數(shù)；Xt

可看作過(guò)程在時(shí)刻

t

的狀態(tài)。Xt

的取值范圍稱作狀態(tài)空間

?。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社43

/

45隨機(jī)過(guò)程的概念隨機(jī)過(guò)程的概念

(cont.)對(duì)于

Xt(ω)，若固定

ω，則

Xt

稱為樣本函數(shù)或軌道，是隨機(jī)過(guò)程的一次實(shí)現(xiàn)（realization）；若固定

t，則

X(ω)

稱為一個(gè)隨機(jī)變量；所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體

{X1(ω),

X2(ω),

.

.

.

,

Xn(ω),

.

.

.},

ω

∈

?構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程這個(gè)詞包含了兩重含義：“隨機(jī)”意味著某時(shí)刻出現(xiàn)結(jié)果的不確定性，但是可能的結(jié)果一定在狀態(tài)空間內(nèi)；“過(guò)程”意味著還要考慮隨機(jī)現(xiàn)象隨時(shí)間的演化規(guī)律。正因如此，隨機(jī)過(guò)程可看作所有樣本函數(shù)的集合（assemble）。金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社44

/

45隨機(jī)過(guò)程的概念以股價(jià)為例說(shuō)明隨機(jī)過(guò)程的含義050100150250300100806040200050100150200250300100806040200200（天）（上）（天）（下）金融數(shù)學(xué)第一章

引論中國(guó)人民大學(xué)出版社45

/

45第二章

布朗運(yùn)動(dòng)金融數(shù)學(xué)中國(guó)人民大學(xué)出版社金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社1

/

59引言在隨機(jī)過(guò)程領(lǐng)域，有一類時(shí)間和狀態(tài)均連續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，稱為馬氏過(guò)程（Markov

process），其中最具有代表性的就是在金融工程、高能物理等研究領(lǐng)域中被廣泛使用的布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian

motion）。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社2

/

59布朗運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)史布朗運(yùn)動(dòng)（Brownian

motion）是由英國(guó)生物學(xué)家羅伯特?布朗（Robert

Brown，1773—1858）于

1828

年首先觀察到的花粉顆粒浮于液體內(nèi)不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象。1900

年，法國(guó)數(shù)學(xué)家路易斯?巴舍利耶（Louis

Bachelier，1870—1946）在他的博士論文中正式將布朗運(yùn)動(dòng)引入證券市場(chǎng)，用來(lái)描述股價(jià)的變動(dòng)。阿爾伯特?愛(ài)因斯坦（Albert

Einstein，1879—1955）于

1905

年在研究狹義相對(duì)論的過(guò)程中，獨(dú)立地對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)學(xué)刻畫(huà)。之后，諾伯特?維納（Norbert

Wiener，1894—1964）在

1923

年研究了布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)理論，并對(duì)其嚴(yán)格定義，因此布朗運(yùn)動(dòng)也被稱為維納過(guò)程（Wienerprocess）。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社3

/

59布朗運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)史

(cont.)美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家保羅?薩繆爾森（Paul

Samuelson，1915—2009）在曼德?tīng)柌剂_特（B.

Mandelbrot，1924—2010）和奧斯本（M.

F.

Osborne，1888—1966）的啟發(fā)下，于

1960

年代對(duì)巴舍利耶的研究成果進(jìn)行了重新發(fā)掘，將布朗運(yùn)動(dòng)再度引入金融經(jīng)濟(jì)學(xué)模型，并嘗試研究金融市場(chǎng)中的權(quán)證定價(jià)問(wèn)題。至此，布朗運(yùn)動(dòng)在金融經(jīng)濟(jì)學(xué)及金融工程學(xué)中建立了重要地位。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社4

/

59本章內(nèi)容1隨機(jī)游走隨機(jī)游走的含義對(duì)稱隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走2

布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的變換布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)3布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的概念首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻在金融中的應(yīng)用反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理在金融中的應(yīng)用馬氏過(guò)程布朗運(yùn)動(dòng)的變化形式布朗橋有漂移的布朗運(yùn)動(dòng)幾何布朗運(yùn)動(dòng)金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社5

/

59隨機(jī)游走隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走的含義假設(shè)一個(gè)粒子每隔

?t

時(shí)間做一次向上或向下的運(yùn)動(dòng)，其中向上運(yùn)動(dòng)的概率為

p，移動(dòng)的距離為

1

個(gè)單位；向下運(yùn)動(dòng)的概率為

q

=

1

?

p，移動(dòng)的距離也為

1

個(gè)單位。將粒子向上運(yùn)動(dòng)的方向記為正值，則相應(yīng)地粒子向下運(yùn)動(dòng)的位移即為

?1

個(gè)單位。將每次粒子的位移記作隨機(jī)變量Zi，其中

i

表示移動(dòng)的次數(shù)。相應(yīng)地，粒子的上下運(yùn)動(dòng)稱作隨機(jī)游走（random

walk）。因此有：P(Zi=1)

=

p, P(Zi=?1)=q=1

?p假設(shè)隨機(jī)變量

Zi

是獨(dú)立同分布的，當(dāng)

t

=

n?t

時(shí)，將

t

時(shí)間段內(nèi)粒子的位移記作

X(t)，則有：X(t)

=

Z1

+

Z2

+

·

·

·

+

Zn金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社6

/

59隨機(jī)游走隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走的含義

(cont.)因此：E(Zi)

=

1

·

P(Zi

=

1)

+

(?1)

·

P(Zi

=

?1)=

p

?

qi2 2 2i iE(Z)=1·P(Z=1)+(?1)·P(Z=?1)=

1iii2 2Var(Z)=E(Z)?[E(Z)]=

4pq由于期望具有線性性質(zhì)，因此：E[X(t)]

=

E(Z1)

+

E(Z2)

+

·

·

·

+

E(Zn)

=

n(p

?

q)另外，基于隨機(jī)變量

Zi

是獨(dú)立同分布的前提假設(shè)可得：Var[X(t)]

=

Var(Z1)

+

Var(Z2)

+

·

·

·

+

Var(Zn)

=

4npq金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社7

/

59隨機(jī)游走隨機(jī)游走的含義隨機(jī)游走示意圖t?1?20X(t)21123456789金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社8

/

59隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走若隨機(jī)游走的粒子上下運(yùn)動(dòng)的概率均為

50%，即

p

=

q

=

0.5，可以得到粒子位移

X(t)的均值和方差分別為：E[X(t)]=n(p?q)=

0Var[X(t)]=4npq=

n對(duì)應(yīng)的每次粒子位移

Zi

的均值和方差分別為：E(Zi)

=

0, Var(Zi)=

1此時(shí)的隨機(jī)游走稱作對(duì)稱隨機(jī)游走（symmetricrandom

walk）。其中，n

=

t/?t，也就是

t

時(shí)間段粒子位移的次數(shù)。位移的期望為零，方差則與位移次數(shù)

n

有關(guān)。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社9

/

59隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差截至

t

時(shí)刻的對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差（quadratic

variation）定義如下：n—?X,

X?(t)

= (X

?i Xi?1)2i=1由于增量

Zi

=

Xi

?

Xi?1

=

±1，因此：?X,X?(t)=

n由此不難看出，對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差在數(shù)值上等于其方差，即：Var[X(t)]=n=?X,

X?(t)金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社10

/

59隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走對(duì)稱隨機(jī)游走的二次變差與方差Var[X(t)]=n=?X,

X?(t)二次變差

?X,

X?(t)

=

n

與隨機(jī)游走中上下運(yùn)動(dòng)的概率無(wú)關(guān)；而方差Var[X(t)]

=

n

成立的前提是對(duì)稱隨機(jī)游走，即

p

=

q

=

0.5。正因如此，二次變差

?X,

X?(t)

是沿著隨機(jī)游走的單條路徑計(jì)算得到，而方差

Var[X(t)]則是對(duì)所有的路徑，以其概率權(quán)重求平均得到。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社11

/

59隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走在原先的對(duì)稱隨機(jī)游走的基礎(chǔ)上，引入按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走（scaled

symmetricrandomwalk），將原先的

t時(shí)間段粒子位移的次數(shù)

n劃分成更小的時(shí)間段，假設(shè)這里將每個(gè)時(shí)間段

?t

=

t/n

劃分成距離相等的m

段，則每個(gè)時(shí)間段就由

?t

變?yōu)?/p>

?t/m，相應(yīng)地粒子位移的次數(shù)由

n

次變?yōu)?/p>

mn

次。在此基礎(chǔ)上，將原先每次位移的長(zhǎng)度由

Zi

變?yōu)?/p>

W(m)(s)，從而可得：(m)1W (s)=

√m

Zms, s∈[0,

t]金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社12

/

59隨機(jī)游走

按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走的示意圖t?10W(100)(t)11234金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社13

/

59隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走

(cont.)

＿(m) (m)

＿（ ＼2

1

1

E

W (s)

=

0, Var

W (s)

= √m ·1=

m對(duì)于

[s,

t]

時(shí)間段內(nèi)的增量

W(m)(t)

?

W(m)(s)

而言，粒子發(fā)生了m(t

?

s)

次位移，根據(jù)獨(dú)立增量的性質(zhì)可得：E

W(m)(t)?W(m)(s)＿=

0,Var

W

(t(m) (m)

＿

1

m)

?

W (s)

= ·

m(t?s)=

t?s金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社14

/

59隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走

(cont.)接下來(lái)考慮二次變差，可得：W(m),

W(m)／ ＼(t)

=mt—W(m)

j

m「 （

＼（j?

1m＼l2=j=1mt—（

1

＼2?

W(m)mt—

1

1

√m

Zj = m=m·mt=

tj=1 j=1因此，按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走的均值、方差和二次變差分別如下：E

W(m)(t)＿

=

0, Var

W(m)(t)＿

=

t, ／W(m),

W(m)＼

(t)

=

t當(dāng)按比例縮小型對(duì)稱隨機(jī)游走的參數(shù)

m

→

∞

時(shí)，隨機(jī)游走就變成了布朗運(yùn)動(dòng)。根據(jù)中心極限定理，當(dāng)固定

t

≥

0時(shí)，W(m)(t)

在時(shí)刻

t

取值的分布將收斂于均值為

0、方差為

t

的正態(tài)分布。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社15

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義注意：對(duì)于隨機(jī)過(guò)程

{W(t),

t

≥

0}，若滿足以下四個(gè)條件，則稱

W(t)

為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)（standardBrownianmotion），簡(jiǎn)稱為布朗運(yùn)動(dòng)（Brownianmotion）。W(t)

連續(xù)且

W(0)

=

0；W(t)～N

(0,t)；W(s

+

t)

?

W(s)

～

N

(0,

t)；W(t)

是獨(dú)立增量過(guò)程。結(jié)合條件

2

和

3

可知，布朗運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)增量的特征。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社16

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的增量獨(dú)立性若

0

≤

s1

<

t1

≤

s2

<

t2，則

W(t1)

?

W(s1)

和

W(t2)

?

W(s2)

兩個(gè)增量是獨(dú)立的。Cov[W(t1)?W(s1),

W(t2)?W(s2)]=Cov[W(t1?s1),W(t2?

s2)] l=EW(t?s)W(t?s)?

E[W1 1 2 2 1 1 2 2(t

?s)]E[W(t?s

)]對(duì)于正態(tài)分布而言，獨(dú)立意味著不相關(guān)，因此：Cov[W(t1)?W(s1),W(t2)?W(s2)]=

0又由于布朗運(yùn)動(dòng)的增量均值為

0，從而可得：E

W(t1?s1)W(t2?s2)l=

0金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社17

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)E[W(t)]=

0；Var[W(t)]=t=E

W2(t)l；若

s

<

t，則

Cov[W(s),

W(t)]

=

E[W(s)W(t)]

=

s

∧

t

=

s。布朗運(yùn)動(dòng)

W(t)的矩母函數(shù)如下：W(t)M (θ)=EeθW(t)

＿

122=

exp θ

t（ ＼金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社18

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的協(xié)方差Cov[W(s),W(t)]=E

W(s)W(t)l

?E[W(s)]E[W(t)]=E

W(s)W(t)l=E｛W(s)[W(t)?W(s)+

W(s)]｝=E｛W(s)[W(t)?W(s)]｝+

E

W2(s)l根據(jù)增量獨(dú)立性，E｛W(s)[W(t)

?

W(s)]｝

=

0，因此：2 lCov[W(s),W(t)]=EW(s)

=

s更進(jìn)一步地，上式可以表示如下：Cov[W(s),

W(t)]

=

min(s,

t)

=

s

∧

t其中，符號(hào)

∧

表示取兩值中的較小值。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社19

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)舉例

1解答：假設(shè)

0

<

s

<

t，求

W(s)

+

W(t)的均值和方差。W(s)

+

W(t)可以如下變形：W(s)

+

W(t)

=

2W(s)

+

[W(t)

?

W(s)]根據(jù)期望的線性性質(zhì)可得：E[W(s)

+

W(t)]

=

E[W(s)]

+E[W(t)]

=

0根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)的增量獨(dú)立性，有：Var[W(s)

+

W(t)]

=

Var[2W(s)

+

W(t)

?

W(s)]=4Var[W(s)]+

Var[W(t)?W(s)]=

4Var[W(s)]

+

(t

?

s)=

4s

+

(t

?

s)

=

3s

+

t金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社20

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其性質(zhì)舉例

2對(duì)于在直線上做布朗運(yùn)動(dòng)的粒子而言，其在時(shí)刻

2

的坐標(biāo)為

1，求其在時(shí)刻

5

的坐標(biāo)不超過(guò)

3

的概率。解答：

2

（ ＼該概率是一個(gè)條件概率，表達(dá)式為：P[W(5)

≤

3|W(2)

=

1]，因此：P[W(5)≤3|W(2)=1]=P[W(5)?W(2)≤2|W(2)=1]=P[W(5)?W(2)≤

2]=P[W(3)≤

2]由于

W(3)

～

N

(0,

3)，因此：P[W(3)≤2]

=

N √3 =

0.876其中，N(·)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社21

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的變換布朗運(yùn)動(dòng)的變換對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)

W(t)，如下變換后的隨機(jī)過(guò)程

X(t)

仍然是布朗運(yùn)動(dòng)：反射變換

(reflection)：X(t)

=

?W(t)。平移變換

(translation)：X(t)

=

W(t

+

s)

?

W(s),

?s

≥

0。1縮放變換

(rescaling)：X(t)

=

√a

W(at),

?a

>

0。反轉(zhuǎn)變換

(inversion)：X(t)

=

tW(1/t)，t

>

0，并且

X(0)

=

0。證明的思路：該過(guò)程的期望和方差是否滿足布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，即：E[W(t)]

=

0, Cov[W(t),W(s)]=

s∧t金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社22

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量W(t

+

?t)

?

W(t)

～

N

(0,

?t)當(dāng)

?t

→

0

時(shí)，定義：dW(t)=limW(t+?t)?W(t)?t→0此時(shí)

dW(t)

稱作

W(t)

的瞬時(shí)增量（instantaneousincrement），相應(yīng)地：dW(t)～N

(0,dt)如果對(duì)

W(t)

關(guān)于

t

求導(dǎo)，可得：?t→0dW(t) W(t

+

?t)

?

W(t)=

limdt

?t金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社23

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)增量的性質(zhì)根據(jù)布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：EW(t

+

?t)

?

W(t)?t

「 l1?t= ·E[W(t+

?t)?W(t)]=

0Var

「W(t

+

?t)

?

W(t)?t=

l 1(?t)2Var[W(t+

?t)?W(t)]=1?t當(dāng)

?t

→

0

時(shí)，VarW(t

+

?t)

?

W(t)?t

「 l→

∞，微商的方差無(wú)界，意味注意：著微商的取值可以是任意大的數(shù)值，由此可見(jiàn)

W(t)

的導(dǎo)數(shù)不存在。布朗運(yùn)動(dòng)

W(t)

是處處連續(xù)且處處不可微的特殊函數(shù)。布朗運(yùn)動(dòng)的這一特征，決定了其路徑不是光滑（smooth）的。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社24

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的變差對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)

W(t)，其一次變差（first

variation）如下：n?1—n→∞

k=0k+1k1 1lim 1W(t )?W(t)1=

∞?W,W?(t)=

lim二次變差（quadratic

variation）如下：n?1—n→∞

k=0

＿2W(tk+1)

?

W(tk) =

t類似地，當(dāng)

p

≥

3

時(shí)，其高階變差如下：n?1—n→∞

k=0

＿plim W(tk+1)

?

W(tk) =

0布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差也可以形式地記為：dW(t)·dW(t)=

dt金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社25

/

59布朗運(yùn)動(dòng)及其性質(zhì)布朗運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)增量及其性質(zhì)二次變差布朗運(yùn)動(dòng)與光滑函數(shù)最主要的差別體現(xiàn)在二次變差上：光滑函數(shù)的二次變差為零；布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差不為零。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社26

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的概念首中時(shí)刻的概念注意：對(duì)于常數(shù)

a，用

τa

表示布朗運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)首次到達(dá)位置

a

的時(shí)刻，即：τa=min{t:t≥0,W(t)=

a}則稱

τa

為首中時(shí)刻（firsthittingtime）或首達(dá)時(shí)間（firstpassagetime）。首中時(shí)刻

τa

是一個(gè)隨機(jī)變量，也就是停時(shí)。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社27

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的性質(zhì)考慮一個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，其起始點(diǎn)的位置在

a

處，由于布朗運(yùn)動(dòng)具有的對(duì)稱性，在已知

τa

<

t

的條件下，未來(lái)的任意時(shí)刻

t，布朗運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)會(huì)等可能地位于

a

的上方和下方，即：a<t]=P[W(t)<

a|τa<t]

=

1

2P[W(t)>

a|τ對(duì)于第一項(xiàng)可得：P[W(t)>

a|τa<t]

=a

P[W(t)>a,τ

<

P(τa<

t)=t]

P[W(t)>

a]P(τa<

t)金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社28

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的性質(zhì)

(cont.)假設(shè)

a

>

0，由于

W(0)

=

0且布朗運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的，因此

{W(t)

>

a}必然意味著在

t

時(shí)刻之前，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)了位置

a，即

{τa

<

t}

必然成立。因此

P[W(t)

>

a,

τa

<

t]

=

P[W(t)

>

a]，于是：a

a

P(τ<t)=2·P[W(t)>a]=2·PZ>

√t（ ＼a/

t

1

x∞ 2r （ ＼=

2

√

√2π

exp

?

2

dx金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社29

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的性質(zhì)

(cont.)假設(shè)

a

<

0，則有類似的結(jié)果如下：P[W(t)<

a|τa<t]

=a

P[W(t)<a,τ

<

P(τa<

t)=t]

P[W(t)<

a]P(τa<

t)于是：a（

a

P(τ<t)=2·P[W(t)<a]=2·PZ<

√t＼ra/√?∞t

1

x2（ ＼=

2

√2π

exp

?

2

dxr∞?a/

t

1

x2（ ＼=

2

√

√2π

exp

?

2

dx金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社30

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的分布函數(shù)綜合可得：aP(τ<t)=

r∞a/

t

1

x2（ ＼2 √√2πexp

?

2 dx a>

0r∞?a/

t

1

x2（ ＼2 √√2πexp

?

2 dx a<

0因此：|a|/

tr （

1

x∞ 2Fτa(t)=P(τa<t)

=

2 √√2πexp

?2＼dx|a|=2·N?

√t（ ＼金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社31

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻

τa

分布函數(shù)的圖示|a|?

√t|a|√txf(x)O

1

1f(x)=√2πexp?2

x2「 l金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社32

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的密度函數(shù)對(duì)

Fτa

(t)

關(guān)于

t

求微分，可以得到對(duì)應(yīng)的密度函數(shù)

fτa

(t)，計(jì)算過(guò)程如下：fτa(t)

=dt=√2πexp?2

·dFτa

(t)

1

1

a2t（ ＼1

·|a|·2

t?3/2

|a|=√2πt3

expa2?

2t（ ＼, t>

0說(shuō)明：此處

τa

的概率分布稱作參數(shù)為

1/2

和

a2/2

的逆

Gamma分布（inverseGammadistribution）。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社33

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻的性質(zhì)首中時(shí)刻的特殊性質(zhì)對(duì)于任意位置

a，布朗運(yùn)動(dòng)均能以概率

1

到達(dá)。a a→∞ →∞|a|P(τ<∞)=tlimP(τ<t)=tlim2·N?

√t（ ＼=2·N(0)=

1首中時(shí)刻的期望值為無(wú)窮大。0E(τa)

= t·fτa(t)dt

=r r∞ ∞0

|a|√2πt

expa2?

2t（ ＼dt=

∞金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社34

/

59布朗運(yùn)動(dòng)的首中時(shí)刻首中時(shí)刻在金融中的應(yīng)用首中時(shí)刻在金融中的應(yīng)用美式期權(quán)（American

option）提前行權(quán)的具體時(shí)間取決于期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格的隨機(jī)變動(dòng)情況。正因如此，提前行權(quán)的時(shí)間可看作首中時(shí)刻。障礙期權(quán)（barrier

option）在未來(lái)標(biāo)的物價(jià)格達(dá)到一定水平（即障礙價(jià)格）時(shí)生效［也稱敲入（knock-in）］或失效［也稱敲出（knock-out）］。因此，障礙期權(quán)敲入或敲出的時(shí)間也可以看作首中時(shí)刻。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗運(yùn)動(dòng)中國(guó)人民大學(xué)出版社35

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59反射原理與布朗運(yùn)動(dòng)的最大值反射原理反射原理定義：-W(t)

=布朗運(yùn)動(dòng)在首中時(shí)刻

τa

后發(fā)生了反射，由此所構(gòu)成的路徑也是布朗運(yùn)動(dòng)，這一性質(zhì)就是反射原理（reflection

principle）?？紤]一個(gè)隨機(jī)過(guò)程

W-

(t)，其定義如下：

W(t), t∈[0,

τa]

2a

?

W(t), t∈[τa,

∞)稱

W-

(t)

是在

τa

時(shí)刻發(fā)生反射的布朗運(yùn)動(dòng)。金融數(shù)學(xué)第二章

布朗