《數(shù)學(xué)（下冊）（第二版）》 課件 第６章　多元函數(shù)微積分基礎(chǔ)

多元函數(shù)微積分基礎(chǔ)第6章259目錄6.1空間曲面6.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)6.3偏導(dǎo)數(shù)6.4二元函數(shù)的極值與最值6.5二重積分及應(yīng)用260教學(xué)要求：1.正確理解空間直角坐標(biāo)系的概念及空間點的坐標(biāo)表示方法；會求空間兩點間的距離.2.理解空間曲面方程的概念，能求出空間動點的軌跡方程；了解幾種常見曲面的曲面方程.3.理解多元函數(shù)的概念，會求二元函數(shù)的定義域；了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念；了解閉區(qū)域上二元函數(shù)的性質(zhì).2614.理解偏導(dǎo)數(shù)概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)的求法.5.理解二元函數(shù)極值與最值的概念，會判定并求出簡單的二元函數(shù)的極值；會利用拉格朗日乘數(shù)法求簡單的條件極值.6.理解二重積分的概念和性質(zhì)；掌握二重積分在直角坐標(biāo)系中的計算方法，會計算一些簡單的二重積分.262６.１空間曲面263空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系的概念在空間中三條相互垂直且相交于O點的數(shù)軸構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系．這三條數(shù)軸依次稱為x軸（橫軸）、y軸（縱軸）、z軸（豎軸），三條軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，點O稱為坐標(biāo)原點．習(xí)慣上，我們把x軸、y軸置于水平面上，而z軸取垂直向上方向，如圖所示．264觀察下圖，我們可以想象，y軸和z軸是落在紙面上的，而x軸是垂直于紙面指向我們，它們的方向滿足右手法則．所謂右手法則，指的是：伸出右手，使拇指的指向與其他四指垂直，當(dāng)四指從x軸的正向轉(zhuǎn)向y軸正向時，拇指的指向就是z軸的正向．按右手法則確定的坐標(biāo)系稱為右手系．本章用的坐標(biāo)系都是右手系．265任意兩條坐標(biāo)軸所確定的平面稱為坐標(biāo)平面．空間直角坐標(biāo)系共有三個坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面．三個坐標(biāo)平面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限．含有x軸、y軸、z軸正半軸的卦限叫作第一卦限，其他第二、三、四卦限在xOy平面的上方，按逆時針方向確定；第五至八卦限在xOy平面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆時針方向確定，如圖所示．266267建立了空間直角坐標(biāo)系后，就可以像平面直角坐標(biāo)系那樣在空間確定點的直角坐標(biāo)．設(shè)點M是空間任一點，過點M分別作平行于yOz平面、zOx平面、xOy平面的三個平面，交x軸、y軸、z軸于P，Q，R三點，這三點在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，這組有序的實數(shù)（x，y，z）稱為點M的坐標(biāo)，記作M（x，y，z）．x，y，z分別稱為點M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)（或稱x

坐標(biāo)、y

坐標(biāo)、z坐標(biāo)）．八個卦限里以及原點、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面上點的坐標(biāo)的特征列表如下．268空間兩點間的距離與平面解析幾何相類似，空間兩點間的距離可用這兩點的坐標(biāo)來表示．如圖所示，設(shè)空間兩點M1，M2坐標(biāo)分別為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），過點M1，M2分別作三個垂直于坐標(biāo)軸的平面，這六個平面圍成一個以M1M2為對角線的長方體，這個長方體的長、寬、高分別為丨AB丨，丨AM1丨，丨BM2丨，容易得出：269根據(jù)勾股定理，有所以，點M1，M2的距離為上式稱為空間兩點間的距離公式．特別地，點M（x，y，z）到坐標(biāo)原點O（0，0，0）的距離為270曲面與方程在平面解析幾何中，我們把平面曲線視作動點的軌跡．同樣，在空間解析幾何中，任何曲面（包括平面）都可以看作是動點的運動軌跡（或點的集合），如圖所示．在這個意義下，曲面所具有的性質(zhì)是它的一切點所共有的．設(shè)（x，y，z）是曲面上的任意一點，我們用x，y，z的一個方程F（x，y，z）＝0來表達(dá)這個曲面上所有點的共同性質(zhì)．271建立了空間曲面與其方程的聯(lián)系之后，我們就可以通過方程的性質(zhì)來討論曲面的幾何性質(zhì)了．關(guān)于曲面與方程，我們討論如下兩類問題：（1）已知曲面，建立該曲面的方程；（2）已知曲面的方程，作出該方程所表示的函數(shù)的圖形．272空間平面的方程空間曲面的最簡單形式是平面，因此，我們首先來討論空間平面的方程．由立體幾何可知，過空間一點作與已知直線垂直的平面是唯一的．因此，如果已知平面上一個點和垂直于該平面的一個非零向量，那么這個平面的位置可以由這個已知點和這個非零向量唯一確定．垂直于平面的任一非零向量稱為這個平面的法向量．273設(shè)點M0

（x0

，y0

，z0

）是平面α上的一個定點，向量n＝（A，B，C）（A，B，C不全為零）是這個平面的一個法向量，點M（x，y，z）為平面α上的動點．274由于向量

＝（x－x0，y－y0，z－z0）必定位于平面α內(nèi)，而向量n＝（A，B，C）垂直于平面α，因此必定與平面α內(nèi)的任一向量垂直，因而有

，所以有由兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示法可得A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0．上述方程即為過點M0（x0，y0，z0），且以向量n＝（A，B，C）為法向量的平面方程，習(xí)慣上稱為平面的點法式方程．275將平面的點法式方程A（x－x0）＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0展開并整理，并記D＝－Ax0－By0－Cz0，則方程可化為Ax＋By＋Cz＋D＝0（A，B，C不全為零）．這表明過點M0垂直于一已知向量的平面總可以表示為x，y，z的三元一次方程．因此，上式又稱為平面的一般式方程．276幾種常見平面的方程及幾何特性列表如下．其他平行于x軸、y軸，經(jīng)過x軸、y軸等幾種平面的方程同理可得．277幾種常見曲面的方程球面到一定點的距離為定長的空間點的軌跡稱為球面．這個定點稱為這個球面的球心，定長稱為這個球面的半徑．設(shè)一個球的球心在點M0（x0，y0，z0），半徑為R．下面建立這個球面的方程．設(shè)M（x，y，z）是球面上的任意一點，則有丨MM0

丨＝R，即278這個方程稱為球心在點M0（x0，y0，z0），半徑為R的球面方程．特別地，球心在原點，半徑為R的球面方程為x2＋y2＋z2＝R2．一般地，方程x2＋y2＋z2＋Dx＋Ey＋Fz＋G＝0（D2＋E2＋F2－4G＞0）．稱為球面的一般方程．279柱面動直線L沿已知曲線C平行移動所形成的曲面稱為柱面，其中，L稱為柱面的母線，C稱為柱面的準(zhǔn)線．280準(zhǔn)線是二次曲線的柱面稱為二次柱面．常見的母線平行于z軸的二次柱面有以下幾種：（1）圓柱面：x2＋y2＝R2；（2）橢圓柱面：281（3）雙曲柱面：282（4）拋物柱面：y2＝2px（p＞0）．類似地，方程F（y，z）＝0（不含x）表示以yOz面內(nèi)的曲線F（y，z）＝0為準(zhǔn)線，母線平行于x軸的柱面；方程F（x，z）＝0（不含y）表示以xOz面內(nèi)的曲線F（x，z）＝0為準(zhǔn)線，母線平行于y軸的柱面．母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程的特點是：母線平行于哪條坐標(biāo)軸，方程中就不含有表示該坐標(biāo)變量．283旋轉(zhuǎn)曲面一條平面曲線C繞其平面內(nèi)的一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，其中，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸（或中軸）．球面、圓柱面都是旋轉(zhuǎn)曲面．設(shè)在yOz面內(nèi)有一條曲線C，其方程為F（y，z）＝0．將曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面，它的方程可以按如下方法得到：設(shè)M1（0，y1，z1）為曲線C上的任一點，則有F（y1，z1）＝0．284當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時，點M1繞z軸轉(zhuǎn)到另一點M（x，y，z），這時z＝z1保持不變，且點M到z軸的距離把z1＝z，y1＝±

代入F（y1，z1）＝0，就有這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程．285同樣地，yOz面內(nèi)的曲線C：F（y，z）＝0繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面（以y軸為旋轉(zhuǎn)軸）的方程為以坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線為母線，以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面的方程一般求法：已知某坐標(biāo)平面內(nèi)的曲線C繞某坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，為了求此旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要使曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)變量保持不變，而以其他兩個坐標(biāo)變量平方和的平方根來代替方程中的另一個變量即可．2866.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)287多元函數(shù)的概念實例考察中得到的兩個函數(shù)S＝xy和V＝πr2h有共同的特點，即它們都是二元函數(shù)．由此，我們給出二元函數(shù)的定義．288289當(dāng)二元函數(shù)的自變量x，y分別取x0，y0時，函數(shù)z對應(yīng)的函數(shù)值記作f（x0，y0），稱為二元函數(shù)z＝f（x，y）當(dāng)x＝x0，y＝y(tǒng)0時的函數(shù)值．類似地，可以定義三元函數(shù)u＝f（x，y，z）以及三元以上的函數(shù)．定義n個自變量的函數(shù)u＝f（x1，x2，···，xn），稱為n元函數(shù)．自變量的個數(shù)大于或等于2的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)．與一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)的兩個要素是定義域和對應(yīng)法則．所以當(dāng)定義域和對應(yīng)法則都給定時，才能確定一個二元函數(shù)．換句話說，當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對應(yīng)法則分別相同的兩個二元函數(shù)才稱為相等的（或同一個）函數(shù)．290在討論二元函數(shù)z＝f（x，y）的定義域時，如果函數(shù)是由實際問題得到的，其定義域根據(jù)它的實際意義來確定．對于用解析式表示的二元函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．二元函數(shù)z＝f（x，y）的定義域一般是xOy平面上的平面區(qū)域．如果區(qū)域延伸到無限遠(yuǎn)處，就稱區(qū)域是無界的；否則，就稱區(qū)域是有界的．圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界．包含邊界的區(qū)域為閉區(qū)域，不包含邊界的區(qū)域為開區(qū)域．二元函數(shù)的幾何表示我們知道，一元函數(shù)y＝f（x）在xOy平面上的圖像一般是一條曲線．對于二元函數(shù)z＝f（x，y），設(shè)定義域為D，P（x，y）為D中的任意一點，把它對應(yīng)的函數(shù)值z＝f（x，y）作為豎坐標(biāo)，就有空間直角坐標(biāo)系中的一點M（x，y，z）對應(yīng)．當(dāng)點P（x，y）在D內(nèi)變動時，點M（x，y，z）的軌跡就是二元函數(shù)z＝f（x，y）的幾何圖形．一般來說，它是一個曲面．291二元函數(shù)的極限在平面上，點P（x，y）趨向于定點P0（x0，y0）的方式可以是多種多樣的，我們以P→P0表示點P以任意方式趨向于P0，也就是點P與點P0間的距離趨向于零，即我們把以點P0（x0，y0）為圓心，δ＞0為半徑的開圓域，稱為點P0的δ鄰域，記作U（P0，δ）．如圖a所示，該鄰域內(nèi)的點P（x，y），滿足不等式292點P0的去心δ鄰域，記作（P0，δ）．如圖b所示，該鄰域內(nèi)的點P（x，y），滿足不等式293294上述對于二元函數(shù)的極限的描述，有以下兩點須注意：（1）函數(shù)在一個點的某個去心鄰域內(nèi)有定義，是指函數(shù)在該鄰域內(nèi)的所有點上都有定義．（2）二元函數(shù)的極限

f（x，y）＝A，是指當(dāng)P（x，y）以任意方式無限趨于定點P0（x0，y0）時，函數(shù)都無限接近于同一個常數(shù)A，即常數(shù)A與點P趨于點P0的方式無關(guān)．若當(dāng)P（x，y）以不同路徑趨于點P0（x0，y0）時，函數(shù)值接近于不同的值，則可以斷定函數(shù)在點P0（x0，y0）的極限不存在．此外，由于二元函數(shù)極限的定義與一元函數(shù)極限的定義形式是相同的，因此，關(guān)于一元函數(shù)的極限運算法則可推廣到二元函數(shù)，這里我們就不詳述而直接使用．295二元函數(shù)的連續(xù)性類似于一元函數(shù)連續(xù)的定義，我們利用二元函數(shù)的極限，給出二元函數(shù)連續(xù)的定義．296連續(xù)函數(shù)z＝f（x，y）的圖形是一個無孔、無縫的連續(xù)曲面．如果函數(shù)z＝f（x，y）在點P0（x0，y0）不連續(xù)，則稱點P0（x0，y0）是函數(shù)f（x，y）的不連續(xù)點，或稱間斷點．與一元函數(shù)情形類似，函數(shù)z＝f（x，y）在點P0（x0，y0）不連續(xù)有三種情形：（1）函數(shù)z＝f（x，y）在點P0（x0，y0）處無定義．（2）函數(shù)z＝f（x，y）在點P0（x0，y0）處有定義，但

f（x，y）不存在．（3）

f（x，y）≠f（x0，y0）．297需要說明的是，二元函數(shù)除了有間斷點外，還可能有間斷線．由二元函數(shù)連續(xù)的定義及極限的運算法則可知，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（當(dāng)分母不為零時）在其公共定義域內(nèi)仍為連續(xù)函數(shù)；二元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)．由于二元初等函數(shù)是由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合運算并用一個解析式表示的函數(shù)，因此有以下結(jié)論：一切二元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均為連續(xù)函數(shù)．298與一元函數(shù)類似，在閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)．性質(zhì)1（最值存在定理）

如果二元函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)f（x，y）在D上必有最大值和最小值，即在D上曲面z＝f（x，y）必定存在最高點和最低點．性質(zhì)2（介值定理）

如果二元函數(shù)f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)f（x，y）在D上必能取到介于最小值與最大值之間的任何數(shù)值．2996.3偏導(dǎo)數(shù)300二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)對于二元函數(shù)z＝f（x，y），如果固定其中一個自變量，則z＝f（x，y）便是關(guān)于另一個自變量的一元函數(shù)，這樣按一元函數(shù)求出的導(dǎo)數(shù)就是二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．由此我們給出如下定義．301同樣，可以定義函數(shù)z＝f（x，y）在點P0處對y的偏導(dǎo)數(shù)為如果函數(shù)z＝f（x，y）在其區(qū)域D內(nèi)每一點P（x，y）處對x的偏導(dǎo)數(shù)存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x，y的函數(shù)，稱為函數(shù)z＝f（x，y）對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作同樣，可以定義函數(shù)z＝f（x，y）對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記作302由偏導(dǎo)函數(shù)的定義可知，f（x，y）在點P0（x0，y0）處對x的偏導(dǎo)數(shù)fx（x0，y0）顯然就是偏導(dǎo)函數(shù)fx（x，y）在點（x0，y0）處的函數(shù)值；fy（x0，y0）就是偏導(dǎo)函數(shù)fy（x，y）在點P0（x0，y0）處的函數(shù)值．就像一元函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一樣，以后在不致混淆的情況下，我們簡稱偏導(dǎo)函數(shù)為偏導(dǎo)數(shù)．類似地，可以定義二元以上的多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．n元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（有n個）實質(zhì)上就是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．因此，可用一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)．303高階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)z＝f（x，y）在區(qū)域D內(nèi)的兩個偏導(dǎo)數(shù)一般仍是x，y的函數(shù)，如果這兩個偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍然存在，則稱它們是函數(shù)z＝f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù)．依照對自變量求偏導(dǎo)數(shù)的次序不同，有四個二階偏導(dǎo)數(shù)，分別記作304其中，fxy（x，y），fyx（x，y）稱為二階混合偏導(dǎo)數(shù)．如果二階混合偏導(dǎo)數(shù)

與在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在D內(nèi)恒有類似地，可以定義二元函數(shù)z＝f（x，y）的三階、四階······n階偏導(dǎo)數(shù)，二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．顯然，二元函數(shù)z＝f（x，y）的n階偏導(dǎo)數(shù)共有2n個．為了求出z＝f（x，y）的n階偏導(dǎo)數(shù)，必須先求出n－1階偏導(dǎo)數(shù)，即求z＝f（x，y）的高階偏導(dǎo)數(shù)就是從它的一階偏導(dǎo)數(shù)開始逐階求偏導(dǎo)數(shù)．同樣，還可以定義二元以上的多元函數(shù)的各階偏導(dǎo)數(shù)．3056.4二元函數(shù)的極值與最值306二元函數(shù)的極值按照定義可以直接求出一些簡單的二元函數(shù)的極值和極值點，或者判斷出二元函數(shù)有沒有極值．307二元函數(shù)的極值問題，在一定條件下可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決，下面我們給出關(guān)于二元函數(shù)極值的兩個定理．定理1（極值存在的必要條件）

設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點P0（x0，y0）處有極值，且在點P0（x0，y0）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則函數(shù)z＝f（x，y）在該點處的偏導(dǎo)數(shù)必為零，即fx（x0，y0）＝0，fy（x0，y0）＝0．仿照一元函數(shù)，凡是滿足方程組的點（x0，y0），稱為函數(shù)z＝f（x，y）的駐點．定理１說明，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點．308定理2（極值存在的充分條件）設(shè)函數(shù)z＝f（x，y）在點P0（x0，y0）的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，而且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx（x0，y0）＝0，fy（x0，y0）＝0，記fxx（x0，y0）＝A，fxy（x0，y0）＝fyx（x0，y0）＝B，fyy（x0，y0）＝C，則f（x，y）在點P0（x0，y0）處是否取得極值的條件如下：309（1）當(dāng)B2－AC＜0時，函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）處有極值，且當(dāng)A＜0時，函數(shù)f（x，y）取得極大值；當(dāng)A＞0時，函數(shù)f（x，y）取得極小值．（2）當(dāng)B2－AC＞0時，函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）處沒有極值，即P0（x0，y0）不是極值點．（3）當(dāng)B2－AC＝0時，函數(shù)f（x，y）在點P0（x0，y0）處可能有極值，也有可能沒有極值．310利用定理1和定理2，我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z＝f（x，y）的極值的求法步驟歸納如下．第一步解方程組

求出所有實數(shù)解，即二元函數(shù)的所有駐點．第二步對于每一個駐點（x0，y0），求出相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)，B和C．第三步確定B2－AC的符號，按定理2的結(jié)論判定（x0，y0）是否為極值點，進(jìn)一步結(jié)合A的符號判定f（x0，y0）是極大值還是極小值．311二元函數(shù)的最大值與最小值與一元函數(shù)一樣，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值．一般地，如果函數(shù)z＝f（x，y）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)z＝f（x，y）在閉區(qū)域D上必定能取得最大值和最小值．求函數(shù)z＝f（x，y）在閉區(qū)域D上的最大（?。┲档牟襟E如下．第一步解方程組求出二元函數(shù)的所有駐點（x0，y0），并計算函數(shù)在這些駐點上的函數(shù)值．312第二步求出函數(shù)在區(qū)域D的邊界上的最大（?。┲担话愕兀瑓^(qū)域D的邊界是由一條或幾條曲線所圍成的，而當(dāng)二元函數(shù)限制在邊界上時就成為一個一元函數(shù)，在這一步可用求一元函數(shù)最大（?。┲档姆椒▉硗瓿桑谌?/p>

將上面兩步所得各點的函數(shù)值進(jìn)行比較，最大（?。┱呒礊樗蠛瘮?shù)的最大（?。┲担ǔ＃瑢τ谖覀冇龅降膶嶋H問題，如果知道函數(shù)z＝f（x，y）的最大值或最小值一定在區(qū)域內(nèi)部取得，而函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)只有一個極值點，則可以斷定該點處的函數(shù)值就是f（x，y）在區(qū)域D上的最大值或最小值．313條件極值與拉格朗日乘數(shù)法前面所討論的極值問題，自變量的變化是在函數(shù)的定義域范圍內(nèi)，除此之外沒有其他附加條件的限制，因此，這種極限有時又稱為無條件極值．但在許多實際問題中，函數(shù)的自變量還要滿足某些附加條件，這種對自變量有附加條件的極值稱為條件極值．條件極限有以下兩種求法．轉(zhuǎn)化為無條件極值對一些簡單的條件極值問題，可以利用附加條件，消去函數(shù)中的某些自變量，將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題．314拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)z＝f（x，y）在條件φ（x，y）＝0下的可能極值點的方法———拉格朗日乘數(shù)法可按以下步驟進(jìn)行：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F（x，y，λ）＝f（x，y）＋λφ（x，y），其中，λ稱為拉格朗日乘數(shù)；（2）求F（x，y，λ）的偏導(dǎo)數(shù)，并建立方程組（3）解方程組得x，y，λ，這樣得到的（x，y）就是函數(shù)f（x，y）在條件φ（x，y）＝0下的可能極值點．3156.5二重積分及應(yīng)用316二重積分的概念317由二重積分的定義可知，曲頂柱體的體積是函數(shù)f（x，y）在底D上的二重積分，即平面薄片的質(zhì)量是它的面密度ρ（x，y）在薄片所占閉區(qū)域D上的二重積分，即一般地，如果f（x，y）≥０，被積函數(shù)f（x，y）可解釋為曲頂柱體的頂面在點（x，y）處的豎坐標(biāo)，所以二重積分

（x，y）dσ的幾何意義是以曲面z＝f（x，y）為頂，區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積．二重