金融數(shù)學(xué)課件ch3 鞅

金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE40/57第三章鞅第三章鞅金融數(shù)學(xué)中國(guó)人民大學(xué)出版社鞅的起源鞅的起源(martingale)(doublegambling)，在該策略下，如果每次輸了就把下注的資金翻倍。對(duì)于公平賭博而言，如此反復(fù)最終總能贏錢(qián)。而在馬術(shù)上，鞅指的是套在馬頸上的韁繩（也稱(chēng)馬頷韁，以防止馬甩頭，并借此控制馬的行進(jìn)方向。鞅的應(yīng)用鞅的應(yīng)用鞅(martingale)是一類(lèi)重要的隨機(jī)過(guò)程。鞅的研究豐富了概率論的內(nèi)容，很多以往被認(rèn)為是復(fù)雜的東西，在納入鞅論的框架后得以簡(jiǎn)化。近幾十年來(lái)，鞅理論不僅在隨機(jī)過(guò)程中占據(jù)重要的地位，而且在金融、保險(xiǎn)等領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用。相關(guān)學(xué)者相關(guān)學(xué)者PaulP.LevyJosephL.DoobPaul-AndréMeyer1886–19711910–20041934–2003本章內(nèi)容本章內(nèi)容1條件期望12鞅的概念和性質(zhì)離散鞅2連續(xù)鞅

鞅的金融學(xué)意義可選抽樣定理3停時(shí)的含義可選抽樣定理3定理的應(yīng)用舉例條件期望的概念條件期望的概念條件期望XYN次發(fā)生的事{Z1Z2ZN}n次事件的信息集為條件，得(conditionalexpectation)條件期望En(X)=E(X|Z1,Z2,...,Zn), En(Y)=E(Y|Z1,Z2,...,Zn)可測(cè)的概念可測(cè)的概念條件期望隨機(jī)變量En(X)的值，僅與Z1,Z2,...,Zn條件期望En(X)=E(X|Z1,Z2,...,Zn)=f(Z1,Z2,...,Zn)f(·En(XZ1Z2Zn的En(XZ1Z2Zn(measurable)。條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì)條件期望線(xiàn)性性質(zhì)(linearity)：對(duì)于所有常數(shù)c1和c2，以下等式成立：條件期望En(c1X+c2Y)=c1En(X)+c2En(Y)提取已知量(takingoutwhatisknown)：若X的取值只依賴(lài)于n次事件的信息集，則：En(XY)=X·En(Y)在這里，X在n次事件的信息集下是可測(cè)的，從而可以從條件期望中提取出來(lái)。條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì)(cont.)條件期望累次條件期望(iteratedconditioning)：若0≤n≤m≤N，則有：條件期望En[Em(X)]=En(X)從中可以看出，X的條件期望，取決于信息集中最小者。特別是針對(duì)無(wú)條件期望而言，有：E[Em(X)]=E(X)(independence)X(n1)N次事件所構(gòu)成的{Zn+1Zn+2ZN}，則有：En(X)=E(X)因?yàn)榇颂幍臈l件與隨機(jī)變量X無(wú)關(guān)。條件期望的性質(zhì)條件期望的性質(zhì)(cont.)條件期望詹森（Jensen）不等式：如果?(·)是凸函數(shù)，則下列不等式成立條件期望En[?(X)]≥?(En(X))?(x)x?(x)x1E(x)x2?(x2)E[?(x)]?(x1)?[E(x)]x離散鞅的概念離散鞅的概念離散鞅鞅的概念和性質(zhì)假設(shè)有一個(gè)隨機(jī)序列{Xn},n=0,1,2,...，若對(duì)?n≥離散鞅鞅的概念和性質(zhì)E|Xn|<∞，并且E(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=Xn離散鞅具有某種無(wú)后效性，并且隨機(jī)變量Xn+1對(duì)之前所有信息下的條件期望，只取決于n時(shí)刻的Xn離散鞅具有某種無(wú)后效性，并且隨機(jī)變量Xn+1對(duì)之前所有信息下的條件期望，只取決于n時(shí)刻的Xn，而與n時(shí)刻之前的隨機(jī)變量序列X0,X1,...,Xn?1無(wú)關(guān)，并且該條件期望剛好等于n時(shí)刻的隨機(jī)變量Xn。注意：對(duì)比：馬氏過(guò)程對(duì)比：馬氏過(guò)程離散鞅鞅的概念和性質(zhì)離散鞅的表達(dá)式：E(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=X離散鞅鞅的概念和性質(zhì)馬氏過(guò)程的表達(dá)式：P(Xn+1|Xn,...,X2,X1)=P(Xn+1|Xn)對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)而言，其既是馬氏過(guò)程也是鞅。注意：進(jìn)行對(duì)比可知：鞅是通過(guò)條件期望定義的，側(cè)重于未來(lái)結(jié)果的公平性；馬氏過(guò)程則是通過(guò)條件概率定義的，側(cè)重于過(guò)程的無(wú)記憶性，因此兩者之間并無(wú)太多的相關(guān)性。對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)而言，其既是馬氏過(guò)程也是鞅。注意：例子：對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游走例子：對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游走離散鞅鞅的概念和性質(zhì)假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)，某粒子在一維坐標(biāo)上可能向左或向右游走一個(gè)單+150%Xi離散鞅鞅的概念和性質(zhì)P(Xi=+1)=P(Xi=?1)=0.5nSnX1X2···Xn，并且S00。Sn+1=Sn+Sn+1=Sn+Xn+1提示：對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游走證明對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游走證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì)根據(jù)Sn+1=Sn+Xn離散鞅鞅的概念和性質(zhì)E(Sn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn+Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn|S0,S1,...,Sn)+E(Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Sn|S0,S1,...,Sn)+E(Xn+1)=Sn+[0.5×(+1)+0.5×(?1)]=SnS0S1SnE(Xn+1|S0,S1,...,Sn)=E(Xn+1)對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游走證明對(duì)稱(chēng)隨機(jī)游走證明(cont.)離散鞅離散鞅鞅的概念和性質(zhì)1「1n 171XXi

（n ＼ EEE(|Sn|)=E因此，Sn是鞅。

1i=1 1≤

ni=1n

|Xi|

=i=1

E(|Xi|)=n<∞定義和定理定義和定理定義離散鞅鞅的概念和性質(zhì){Xn{Ynn012定義離散鞅鞅的概念和性質(zhì)1E|Xn|<∞；2Xn是關(guān)于Y0,Y1,...,Yn的函數(shù)；3E(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=Xn。定理則稱(chēng){Xn}是關(guān)于{Yn}的鞅。定理{{Xt}是關(guān)于{Yt}鞅的充要條件為：?m,n(m>n>0)，有：E[Xm|Y0,Y1,...,Yn]=Xn鞅的推論鞅的推論1根據(jù)鞅的定義有：E(cn+1|Y0,Y1,...,Yn)=E(c|Y0,Y根據(jù)鞅的定義有：E(cn+1|Y0,Y1,...,Yn)=E(c|Y0,Y1,...,Yn)=c=cn因此，{cn}為鞅。簡(jiǎn)要證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì)鞅的推論鞅的推論2簡(jiǎn)要證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì)若{Xn}為鞅，則對(duì)任意n≥0，有：EXn=EX簡(jiǎn)要證明離散鞅鞅的概念和性質(zhì) l由于{Xn}為鞅，因此E(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=X lEE(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=E(Xn) l根據(jù)前面條件期望的性質(zhì) lEE(Xn+1|Yn,...,Y1,Y0)=E(Xn+1)因此，E(Xn+1)=E(Xn)。依此類(lèi)推，最終可得：E(Xn+1)=E(Xn)=···=E(X1)=E(X0)由此可見(jiàn)，若隨機(jī)過(guò)程{Xn}是鞅，則其期望值不隨時(shí)間而發(fā)生改變。例子：公平賭博的雙倍下注問(wèn)題例子：公平賭博的雙倍下注問(wèn)題離散鞅鞅的概念和性質(zhì)MnnM00Xnn次賭博的結(jié)果，Xn1表示贏錢(qián)；Xn?離散鞅鞅的概念和性質(zhì)由于是公平賭博，因此，P(Xn=1)=P(Xn=?1)=0.5，這里賭博的規(guī)則是：如果輸錢(qián)，則下次下注翻倍；一旦贏錢(qián)就離開(kāi)賭場(chǎng)。n次賭博均輸錢(qián)，則輸?shù)舻目偨痤~為：1+2+22+···+2n?1=2n?1 ? Mn=?2n+1公平賭博的雙倍下注問(wèn)題公平賭博的雙倍下注問(wèn)題(cont.)離散鞅鞅的概念和性質(zhì)如果下一次贏錢(qián)，則可得2n離散鞅鞅的概念和性質(zhì)Mn+1=2n?(2n?1)=1如果下一次仍然輸錢(qián)，則：Mn+1=?2n?(2n?1)=?2n+1+1由此可得：1 1 （ ）E(Mn |Mn)= ×1+ ×?2n+1+1=?2n+1=Mn+1 2 2可見(jiàn)，Mn是鞅。例子：波利亞壇子例子：波利亞壇子(Polya’surn)問(wèn)題離散鞅鞅的概念和性質(zhì)考慮一個(gè)裝有紅黃兩色小球的壇子。在初始狀態(tài)下，紅黃小球各一個(gè)，每次從中抽取一個(gè)小球并放回。若拿出的是紅色小球，則放回后再XnnX0離散鞅鞅的概念和性質(zhì)P(Xn+1

k=k+1|Xn=k)=n+2

, P(Xn+1

k=k|Xn=k)=1?n+2MnnMnXn/(n2)，試證明Mn是一個(gè)關(guān)于{Xn}的鞅。波利亞壇子問(wèn)題求解波利亞壇子問(wèn)題求解離散鞅離散鞅鞅的概念和性質(zhì)E(Xn+1|Xn=k)=(k+1)·P(Xn+1=k+1|Xn=k)=(k+1)·k+k·（1?k＼+k·=(k+1)·k+k·（1?k＼n+2k

n+2因此：

=k+n+2E(Xn+1

Xn|Xn)=Xn+n+2波利亞壇子問(wèn)題求解波利亞壇子問(wèn)題求解(cont.)離散鞅鞅的概念和性質(zhì)由于Mn=Xn離散鞅鞅的概念和性質(zhì)n+2E(Mn

|X,...,Xn)=E（Xn+11X,...,Xn＼+1111+1111=n+3E(Xn+1|Xn)n+31=1（Xnn+31n+3Xn=n+2=Mn因此，Mn是一個(gè)關(guān)于{Xn}的鞅。

n+2連續(xù)鞅的引入連續(xù)鞅的引入連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)可積(integrable)；域流(filtration)?？煞e的定義連續(xù)鞅可積的定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)可積的概念可積的概念對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量X1若E|X|<∞，則稱(chēng)X是可積的(integrable)；2若E(X2)<∞，則稱(chēng)X是平方可積的(squareintegrable)。根據(jù)可積的定義可知：E(X)≤E|X|<∞因此，當(dāng)隨機(jī)變量X可積時(shí)，其期望值必然是有限的。類(lèi)似地，當(dāng)X是平方可積時(shí)，其方差也必然是有限的。域流的定義連續(xù)鞅域流的定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)域流的概念域流的概念Tt[0T]σ代數(shù)F(t0stTF(s)F(t成立，則{F(t)},t[0Tσ(filtration)。F(t[0t(information)。隨著時(shí)間的推移，信息量逐漸增加，體現(xiàn)為新時(shí)刻包含了舊時(shí)刻的所有信息。由這些{F(0)F(1)F(t)F(0)F(1)···F(t)?；跅l件期望的結(jié)論基于條件期望的結(jié)論連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)對(duì)于可積隨機(jī)變量X和Y連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)E[c1X+c2Y|F]=c1E[X|F]+c2E[Y|F]其中：c1和c2是常數(shù)。若X和Y是可積隨機(jī)變量，XY可積，并且X為F可測(cè)，則有：E[XY|F]=XE[Y|F], E[X|F]=X由于X為F可測(cè)，因此F中所包含的信息足以確定X的值?；跅l件期望的結(jié)論基于條件期望的結(jié)論(cont.)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)若可積隨機(jī)變量X與F連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)E[X|F]=E[X]由于X與F獨(dú)立，因此F中所包含的信息無(wú)法確定X的值。若F?G，則對(duì)于可積隨機(jī)變量X，下式成立：EE[X|G]|Fl=E[X|F]這里由于F?G，因此F中所包含的信息要小于G，于是最終的條件期望取決于信息量較少的F。基于條件期望的結(jié)論基于條件期望的結(jié)論(cont.)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)若?(x)是關(guān)于x的凸函數(shù)，且X連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)注意：E?(X)|Fl≥?（E[|F]）注意：該結(jié)論是前面所介紹的條件期望之該結(jié)論是前面所介紹的條件期望之Jensen不等式的直接推廣。連續(xù)鞅的定義連續(xù)鞅的定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì){?FPMt滿(mǎn)足以下三個(gè)條件，則稱(chēng)其{F(t)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)對(duì)任意t，有E|Mt|<∞，即Mt是可積的；Mt對(duì)任意t均是F(t)可測(cè)的(measurable)；若s<t，則E[Mt|F(s)]=Ms, a.s.原公式等價(jià)公式連續(xù)鞅原公式等價(jià)公式連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)兩個(gè)等價(jià)公式兩個(gè)等價(jià)公式E[E[Mt|F(s)]=MsE[Mt?Ms|F(s)]=0E「MtMs1F(s)=1l例：泊松過(guò)程是鞅例：泊松過(guò)程是鞅思路：連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)假設(shè)泊松過(guò)程{N(t),t≥0}的強(qiáng)度為λ，試證：N(t)?λt思路：連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)設(shè)s>t，記X(t)=N(t)?λt，可得： l l1E[X(s)?X(t)|F(t)]=EsN(s)?λs?N(t) l l1=Es(s)?(t)l1F()1?(λs?λt)簡(jiǎn)要證明簡(jiǎn)要證明連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì) l根據(jù)泊松過(guò)程的增量獨(dú)立性，N(s)?N(t)與F連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì) lE[X(s)?X(t)|F(t)]=EN(s)?N(t)?λ(s?t)=EN(s)?EN(t)?λ(s?t)=λs?λt?λ(s?t)=0因此，X(t)=N(t)?λt是一個(gè)鞅。更進(jìn)一步地，還可以驗(yàn)證X(t)可積，即：E|X(t)|=E|N(t)?λt|≤E[(t)+λt]=E(t)+λt=2λt<∞定義連續(xù)鞅定義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)上鞅和下鞅上鞅和下鞅對(duì)于隨機(jī)過(guò)程對(duì)于隨機(jī)過(guò)程Mt，若s<t并且滿(mǎn)足：1E[Mt|F(sMsMt(submartingale)；2E[Mt|F(sMsMt(supermartingale)；對(duì)于下鞅而言下式成立：E[Mt]≥E[Ms], s<t不難看出，隨著時(shí)間的流逝，Mt的期望值趨向于增大；相反對(duì)于上鞅，Mt的期望值趨向于減小。上鞅和下鞅的含義上鞅和下鞅的含義連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)相比之下，上鞅則意味著賭徒贏錢(qián)的期望值隨時(shí)間而減小，因此是(劣賭)；下鞅意味著賭徒贏錢(qián)的期望值隨時(shí)間而增大，因此(優(yōu)賭)。布朗運(yùn)動(dòng)與鞅布朗運(yùn)動(dòng)與鞅連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)對(duì)于布朗運(yùn)動(dòng)W(t)而言，當(dāng)0連續(xù)鞅鞅的概念和性質(zhì)E[W(t)|F(s)]=E[W(t)?W(s)+W(s)|F(s)]=E[W(t)?W(s)|F(s)]+E[W(s)|F(s)]=E[W(t)?W(s)]+W(s)=W(s)其中：W(t)?W(s)與F(s)獨(dú)立，并且W(s)是F(s)可測(cè)。因此：布朗運(yùn)動(dòng)W(t)是關(guān)于F(t)的鞅。鞅的金融學(xué)意義鞅的金融學(xué)意義鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)E[X(t+u)?X(t)|F(t)]=E[X(t+u)|F(t)]?E[X(t)|F(鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)=X(t)?X(t)=0由于鞅在未來(lái)的移動(dòng)方向是不可能被預(yù)測(cè)的，因此，如果觀(guān)測(cè)到一(trajectory)有明顯的趨勢(shì)性?xún)A向或周期性規(guī)律，那么，該隨機(jī)過(guò)程一定不是鞅。(EMH)認(rèn)為，如果無(wú)法利用市場(chǎng)的歷史信息對(duì)未來(lái)資產(chǎn)價(jià)格的走勢(shì)做出任何預(yù)測(cè)，則這樣的市場(chǎng)就是有效的。這一概念與鞅的含義不謀而合。鞅的金融學(xué)意義鞅的金融學(xué)意義(cont.)鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)在金融工程當(dāng)中，往往基于無(wú)套利分析法對(duì)金融產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià)。在有效市場(chǎng)中套利機(jī)會(huì)是不存在的，正因如此，鞅可以看作無(wú)套利的數(shù)學(xué)鞅的金融學(xué)意義鞅的概念和性質(zhì)對(duì)常見(jiàn)的金融資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們并非都滿(mǎn)足鞅的特性。比如熟悉的歐式期權(quán)，其時(shí)間價(jià)值會(huì)因?yàn)楹霞s到期日的臨近而趨于減少，因此歐式期權(quán)的價(jià)值滿(mǎn)足上鞅。停時(shí)的含義停時(shí)的含義停時(shí)的含義可選抽樣定理一個(gè)定義在正實(shí)數(shù)域上的隨機(jī)變量，記作停時(shí)的含義可選抽樣定理{τ>t}∈F(t), t>0說(shuō)明：則稱(chēng)τ是停時(shí)。說(shuō)明：關(guān)于{τ>t}這一事件的信息只取決于F(t)中的信息。換句話(huà)說(shuō)，若在tτtt時(shí)刻停時(shí)仍未發(fā)生，則τ>t[0t時(shí)間段隨機(jī)變量的所有信F(t)。定理定理簡(jiǎn)要證明：停時(shí)的含義可選抽樣定理τθτθτθ簡(jiǎn)要證明：停時(shí)的含義可選抽樣定理由于τ和θ均是停時(shí)，因此滿(mǎn)足：{τ>t}∈F(t), {θ>t}∈F(t) t>0因此：{(τ∧θ)>t}={τ>t并且θ>t}={τ>t}∩{θ>t}∈F(t){(τ∨θ)>t}={τ>t或者θ>t}={τ>t}∪{θ>t}∈F(t)最后的變換來(lái)自σ-代數(shù)的性質(zhì)：對(duì)交集和并集運(yùn)算封閉。因而τ∧θ和τ∨θ都是停時(shí)。定義：停時(shí)的含義定義：停時(shí)的含義可選抽樣定理首中時(shí)刻與停時(shí)首中時(shí)刻與停時(shí)過(guò)程過(guò)程Xt首次到達(dá)x處的時(shí)刻即首中時(shí)刻，定義如下：τx=min{t:t>0,Xt=x}首中時(shí)刻可看作停時(shí)的一個(gè)特例。在時(shí)間離散時(shí)，{τxt表示首xttXsx處，即：{τx>t}={Xs x,0≤s≤t}={X0?=x}∩{X1?=x}∩···∩{Xt?=x}∈F(t), t∈N首中時(shí)刻首中時(shí)刻(cont.)停時(shí)的含義可選抽樣定理過(guò)程到達(dá)x或停時(shí)的含義可選抽樣定理τx,y=min{t:t>0,Xt=x或Xt=y}注意：（ 注意：（ ∈ ]τ=mint [0,T]:Xt=maxXs∈[0,T{ } F即：在[0,T]時(shí)間段內(nèi)，首次到達(dá)該區(qū)間最大值的對(duì)應(yīng)時(shí)點(diǎn)。因?yàn)樵谠摃r(shí)間段內(nèi)，決定τ>t這一事件是否成立的信息 (t)還不充分。類(lèi)似地，以下隨機(jī)變量τx{ } Fτx=max{t:t>0,Xt=x}即：在(0,∞)時(shí)間段內(nèi)，最后一次到達(dá)x處的時(shí)間。停時(shí)的直觀(guān)理解停時(shí)的直觀(guān)理解停時(shí)的含義可選抽樣定理2020元的前一天收盤(pán)前把它賣(mài)了”就不是一個(gè)停時(shí)規(guī)則，停時(shí)的含義可選抽樣定理停止過(guò)程停止過(guò)程停時(shí)的含義可選抽樣定理Zt是定義在正實(shí)數(shù)域上的隨機(jī)過(guò)程，并且τ是其上的停時(shí)，則定義停止過(guò)程（stoppedprocess）Zt∧τ停時(shí)的含義可選抽樣定理Zt∧τ

=Zτ, t≥τZt, t<τ停止過(guò)程在金融衍生產(chǎn)品的研究中常用于刻畫(huà)障礙期權(quán)問(wèn)題，比如對(duì)于其中的敲出期權(quán)而言，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格達(dá)到障礙價(jià)格時(shí)，該期權(quán)自動(dòng)廢止，相應(yīng)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的過(guò)程停留在期權(quán)廢止的時(shí)間，此時(shí)停τt；若在該期權(quán)到期前，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格t終止，于是標(biāo)的資產(chǎn)達(dá)到τt。可選抽樣定理可選抽樣定理(optionalsamplingtheorem)對(duì)任意停時(shí)0<τ≤t，可得：E(Mτ)=E(Mτ∧t)=E(Mτ∧0)=E(對(duì)任意停時(shí)0<τ≤t，可得：E(Mτ)=E(Mτ∧t)=E(Mτ∧0)=E(M0)注意：可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理的證明可選抽樣定理的證明可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理E[Mt|F(t?1)]=Mt?1停止過(guò)程Mt∧τ可以拆分成兩個(gè)部分，具體如下：M =M1

+M1

=Mτ, τ<t其中，

t∧τ τ{τ<t}

t{τ≥t}、t?1、

Mt, τ≥tMτ1{τ<t}= Mn1{τ=n}n=1金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國(guó)人民大學(xué)出版社金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國(guó)人民大學(xué)出版社47/57可選抽樣定理的證明可選抽樣定理的證明(cont.)可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理E[M∧τ|F(t?1)]=EMτ1{τ<t}|F(t?1)l+EMt1{τ≥t}|F(t?1)lt?1n=1、EMn1{τ=n}|F(t1)lEMt1{τ≥t}|F(tt?1n=1上式當(dāng)中，由于n≤t?1，故Mn1{τ=n}是F(t?1)可測(cè)的，另外EMt1{τ≥t}|F(t?1)l=1{τ≥t}EEMt1{τ≥t}|F(t?1)l=1{τ≥t}E[Mt|F(t?1)]=1{τ≥t}Mt?1EMn1{τ=n}|F(t?1)l=Mn1{τ=n}注意：金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE金融數(shù)學(xué)第三章鞅中國(guó)人民大學(xué)出版社PAGE53/57可選抽樣定理的證明可選抽樣定理的證明(cont.)可選抽樣定理可選抽樣定理可選抽樣定理t?1n=1E[t∧τ|F(t?1)]=、n1{τn}+1{τ≥t}M?n=1、t?2、= Mn1{τ=n}+1{τ=t?1}Mt?1+1{τ≥t}Mt?1n=1、t?2、= Mn1{τ=n}+Mt?11{τ≥t?1}n=1=M(t?1)∧τ因此，停止過(guò)程Mt∧τ是鞅。布朗運(yùn)動(dòng)首中概率的計(jì)算布朗運(yùn)動(dòng)首中概率的計(jì)算定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理aba<bX(t0時(shí)刻位于x處［(0)=x，并且a≤x≤定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理X(t)=x+W(t)記布朗運(yùn)動(dòng)首次擊中a或b的時(shí)間為τa,b，該時(shí)刻即為停時(shí)：τa,b=記布朗運(yùn)動(dòng)首次擊中a或b的時(shí)間為τa,b，該時(shí)刻即為停時(shí)：τa,b=min｛t:t≥0,X(t)=a或X(t)=b｝思路：解答：解答：定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理由于X(t)是鞅，因此根據(jù)可選抽樣定理，停止過(guò)程X(τa,b∧t)也是鞅。另外X(0)=x,a≤x≤定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理E[(τa,b)|(0)=x]=E[(0)|(0)=x]=x運(yùn)用全概率公式可得：E[(τa,b)|X(0)=x]=a·P[(τa,b=)|(0)=x]+b·P[X(τa,b=b)|X(0)=x]=x解答解答(cont.)定理的應(yīng)用舉例定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理P[X(τa,b=a)|X(0)=x]+P[X(τa,b=b)|X(0)=x]=1將兩式聯(lián)立，可得：,P[X(τab=a)|X(0)=x]=b?x,b?a,P[X(τab=b)|X(0)=x]=1?b?x=x?a,b?a b?a布朗運(yùn)動(dòng)首中的期望時(shí)間計(jì)算布朗運(yùn)動(dòng)首中的期望時(shí)間計(jì)算定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理aba<bX(t0時(shí)刻位于x處［(0)=x，并且a≤x≤定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理X(t)=x+W(t)利用W2(t)?t是鞅的性質(zhì)。思路：求布朗運(yùn)動(dòng)X利用W2(t)?t是鞅的性質(zhì)。思路：解答：解答：定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理 l lW2(t定理的應(yīng)用舉例可選抽樣定理 l lEX2(t)?t|X(0)=x=EX2(0)?0|X(0)=x=X2(0)=x2 ? |根據(jù)可選抽樣定理，停時(shí)X2(τa,b) ? |x2=EX2(τa,b) τa,bX(0)