《材料力學》附錄I截面的幾何性質(zhì)習題解

...wd......wd......wd...附錄I截面的幾何性質(zhì)習題解[習題I-1]試求圖示各截面的陰影線面積對軸的靜積?！瞐〕解：〔b〕解：〔c〕解：〔d〕解：[習題I-2]試積分方法求圖示半圓形截面對軸的靜矩，并確定其形心的坐標。解：用兩條半徑線和兩個同心圓截出一微分面積如以以下列圖。；微分面積的縱坐標：；微分面積對軸的靜矩為：半圓對軸的靜矩為：因為，所以[習題I-3]試確定圖示各圖形的形心位置。〔a〕解：習題I-3(a):求門形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYc離頂邊上4002080001601280000左15020300075225000右15020300075225000140001730000123.646.4Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑Ai(b)解：習題I-3(b):求L形截面的形心位置矩形LiBiAiYciAiYciYcXciAiXciXc下1601016005800080128000左90109005549500545002500575002313250053Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai(c)解：習題I-3(c):求槽形與L形組合截面的形心位置型鋼號Ai(cm2)Yci(cm)AiYci(cm3)Yc(cm)Xci(cm)AiXci(cm3)Xc(cm)槽鋼2032.83710328.37-1.95-64.03等邊角鋼80*1015.1262.3535.5462.3535.54647.963363.927.6-28.49-0.6Yc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai[習題I-4]試求圖示四分之一圓形截面對于軸和軸的慣性矩、和慣性積。解：用兩條半徑線和兩個同心圓截出一微分面積如以以下列圖。；微分面積的縱坐標：；微分面積對軸的慣性矩為：四分之一圓對軸的慣性矩為：由圓的對稱性可知，四分之一圓對軸的慣性矩為：微分面積對軸、軸的慣性積為：[習題I-5]圖示直徑為的圓形截面，在其上、下對稱地切去兩個高為的弓形，試用積分法求余下陰影局部對其對稱軸的慣性矩。解：圓的方程為：如圖，作兩條平行軸的、相距為線段，截圓構(gòu)成微分面積，微分面積為：切去之后，剩下局部對軸的慣性矩為：[習題I-6]試求圖示正方形對其對角線的慣性矩。解：正方形四條邊的直線方程如以以下列圖〔設(shè)水平坐標軸為，豎坐標軸為〕。=故正方形對其的對角線的慣性矩為：。[習題I-7]試分別求圖示環(huán)形和箱形截面對其對稱軸的慣性矩。(a)解：(b)[習題I-8]試求圖示三角形截面對通過頂點A并平行于底邊BC的軸的慣性矩。解：三角形截面對以BC邊為軸的慣性矩是，利用平行軸定理，可求得截面對形心軸的慣性矩所以再次應用平行軸定理，得[習題I-9]試求圖示的半圓形截面對于軸的慣性矩，其中軸與半圓形的底邊平行，相距1m。解：半圓形截面對其底邊的慣性矩是，用平行軸定理得截面對形心軸的慣性矩再用平行軸定理，得截面對軸的慣性矩[習題I-10]試求圖示組合截面對于形心軸的慣性矩。解：由于三圓直徑相等，并兩兩相切。它們的圓心構(gòu)成一個邊長為的等邊三角形。該等邊三角形的形心就是組合截面的形心，因此下面兩個圓的圓心，到形心軸的距離是上面一個圓的圓心到軸的距離是。利用平行軸定理，得組合截面對軸的慣性矩如下：[習題I-11]試求圖示各組合截面對其對稱軸的慣性矩。解：〔a〕22a號工字鋼對其對稱軸的慣性矩是。利用平行軸定理得組合截面對軸的慣性矩〔b〕等邊角鋼的截面積是，其形心距外邊緣的距離是28.4mm，求得組合截面對軸的慣性矩如下：習題I-11〔b〕圖圖形bhIxcaAIx中間矩形1060018000000006000180000000上矩形25010208333052500232583333下矩形25010208333052500232583333左上L形1795100271.61926143869495右上L形1795100271.61926143869495左下L形1795100271.61926143869495右下L形1795100271.619261438694951220644645[習題I-12]試求習題I-3a圖所示截面對其水平形心軸的慣性矩。關(guān)于形心位置，可利用該題的結(jié)果。解：形心軸位置及幾何尺寸如以以下列圖。慣性矩計算如下：[習題I-12]試求圖示各截面對其形心軸的慣性矩。習題I-13(a)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上矩形100010010000065065000000225833333335145833333下矩形3006001800003005400000012554000000008212500000全圖28000011900000042513358333333習題I-13(b)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxcIx(mm4)上圖(3)2515037502751031250148703125089601489中圖(2)20015030000125375000025625000056328044以以下列圖(1)10050500025125000102104166752667577全圖387504906250127198597110習題I-13(c)圖形bihirAiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形2140115024610005751415075000271222708333159333213698275半圓790-980333335-32869266742750202791399198820222116全圖14806671086382333734134393476159半圓：半圓：習題I-13(d)圖形bihiAiYciAiYciYcaiIxciIx(mm4)從下往上2201635208281603747509349243861318014252023579603594116032482128016674107843673957728040824269940824269922014308071121898803295030733343258744594005722.52893613341270344643677352390991273413822023302914[習題I-14]在直徑圓截面中，開了一個的矩形孔，如以以下列圖。試求截面對其水平形心軸和豎直軸形心的慣性矩和。解：先求形心主軸的位置截面圖形對形心軸的靜矩〔面積矩〕等于零：〔y軸向下為正〕〔組合圖形對過圓心軸x1的慣性矩〕〔組合圖形對形心軸x的慣性矩〕習題I-14b(a)h(a)r(a)Ai(a2)Yci(a)AiYciYc(a)IxcaiIx(a4)矩形42-8.001-82.6671.189314.0圓450.2700201.062-0.1893202.942.27-8-0.1893188.9[習題I-15]正方形截面中開了一個直徑為的半圓形孔，如以以下列圖。試確定截面的形心位置，并計算對水平形心軸和豎直形心軸的慣性矩。解：習題I-15圖形bihirAiYciAiYciYcIxciaiIx正方形2002004000010040000001333333332133546801半圓50-392779-309365685977242860346全圖360733690635102130686455形心位置：X〔0，102〕。對水平形心軸的慣性矩：。對豎直形心軸的慣性矩：習題I-15圖形arIy〔mm4〕正方形200133333333.3半圓502454367全圖130878966[習題I-16]圖示由兩個號槽鋼組成的組合截面，假設(shè)欲使截面對兩對稱軸的慣性矩和相等，則兩槽鋼的間距應為多少解：20a號槽鋼截面對其自身的形心軸、的慣性矩是，；橫截面積為；槽鋼背到其形心軸的距離是。根據(jù)慣性矩定義和平行軸定理，組合截面對，軸的慣性矩分別是；假設(shè)即等式兩邊同除以2，然后代入數(shù)據(jù)，得于是所以，兩槽鋼相距[習題I-17]試求圖示截面的慣性積解：設(shè)矩形的寬為b高為h，形心主慣性軸為，則由平行移軸公式得：故，矩形截面對其底邊與左邊所構(gòu)成的坐標系的慣性積為：習題I-17圖形bhIxy左矩形10100250000下矩形:10010250000重復加的矩形10102500全圖上圖+以以下列圖-重復圖=497500[習題I-18]圖示截面由兩個的等邊角鋼及綴板〔圖中虛線〕組合而成。試求該截面的最大慣性矩和最小慣性矩。解：從圖中可知，該截面的形心C位于兩綴板共同的形心上。過C點作水平線，向右為軸正向；過C點，垂直于軸的直線為軸向上為正。把坐標繞C點逆時針轉(zhuǎn)后所得到的坐標系是截面的的兩條對稱軸，也就是該截面的形心主慣性軸。主慣性矩，查型鋼表得：12.5號等邊角鋼的參數(shù)如下：，，，角鋼形心主慣性軸與截面形心主慣性軸之間的距離：〔注：綴板用虛線畫出，表示其面積可忽略不計〕[習題I-19]試求圖示正方形截面的慣性積和慣性矩，并作出對比。解：〔為形心主慣性軸〕結(jié)論：1、過正方形形心的一對相互垂直的軸，它們的慣性矩相等，它們的慣性積為零；2、過正方形形心的一對相互垂直的軸，繞形心轉(zhuǎn)動之后，慣性矩、慣性積保持不變。[習題I-20]確定圖示截面的形心主慣性軸的位置，并求形心主慣性矩?！瞐〕解：截面的形心主慣性軸與豎直矩形的形心主慣性軸重合。IxIyIxy575146666.5183146666.6-259200000Ix0=704109187575146666.5183146666.6-259200000Iy0=54184146(b)解：以20號槽鋼〔圖I〕的下邊緣為x軸，左邊緣為y軸，建設(shè)坐標系。8號槽鋼編號為圖II。則組合截面的形心計算如下：習題I-20(b)長度單位:cm圖形AiXciYciAiXciAiYciXcYcI32.81.951064328.3II10.2-1.416-15163.8全圖43.149.4492.11.1511.4習題I-20〔b〕圖形AiIxci'Iyci'IxciIyciIxciyci'Ixciycitan2a0a0Ix0Iy0I32.8-1.430.8041913.7143.619811650-37.635II10.24.573-2.58101.316.6315.584.60-120.66全圖43.122962490-158.290.15474.42308.2237.2[習題21]試用近似法求習題I-4所示截面的，并與該題得出的準確值相對比。已矩該截面的半徑。解：圓的方程為：把y軸的半徑10等分，即。過等分點，作x軸的平行線。從下往上，每個分塊的中點的y坐標與x坐標如下表所示。習題I-21599.87510249691598.8715102224542596.8225106051543593.67351011