中考數(shù)學(xué)專項訓(xùn)練：一次函數(shù)與勾股定理（原卷版+解析）

一次函數(shù)與勾股定理專項訓(xùn)練卷

1.如圖，在AABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,。為AC的中點，過點。作DE、DF

分別交射線Afi、AC于點E、F,則所的最小值為.

2.(2019春?羅湖區(qū)期末)在AABC中，AB=10,C4=8,BC=6,NE4c的角平分線與NAC3的角平

分線相交于/,且D///3C交AB于￡>,則。/的長等于—.

3.(2019秋?甌海區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形Q4CB的頂點A、5分別

在x軸與〉軸上，已知。1=3,03=5,點。為y軸上一點，其坐標為(0,1),點尸在線段AC上運動，

當點尸與點A重合時停止運動.

(1)點尸在運動過程中，當AfiDP為直角三角形時，請直接寫出此時點尸的坐標；

4.(2021秋?東明縣期末)如圖，已知一次函數(shù)、=尤-2的圖象與y軸交于點A,一次函數(shù)y=4x+b的

圖象與y軸交于點B,且與無軸以及一次函數(shù)y=x-2的圖象分別交于點C、D,點D的坐標為(-2,-4).

(1)關(guān)于x、y的方程組卜一的解為_______.

[y-4x=b

(2)求AABD的面積；

(3)在x軸上是否存在點E,使得以點C,D,E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點E的坐

標；若不存在，請說明理由.

5.（2020秋?成都期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB:y=履+3以左/0）交x軸于點3,交y

軸于點A,AB=3710.

（1）求點A的坐標；

（2）點C為x軸正半軸上一點，ZBAO^^ZACO,點M為線段AC上一動點，設(shè)"的縱坐標為。（。/0）,

請用含。的代數(shù)式表示點M到y(tǒng)軸的距離d；

（3）在（2）的條件下，過點M作肱V/MB交x軸于點N,連接AN,當A鉆M為等腰三角形時,

求AAAW的面積.

6.（2022春?桂林期末）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形。4BC的頂點A、C坐標分別為（2,0）（1,2）.

(1)直接寫出點B的坐標，并求出直線AC的解析式;

(2)若。是直線AC上的一個動點（。與A、C不重合），當AD3C的面積是3時，請求出點。的坐標;

(3)在y軸上是否存在一點P,使得A7弘C是不以點P為直角頂點的直角三角形.若存在，請求出尸的坐

標，若不存在，請說明理由.

7.（2017?和平區(qū)三模）將一個直角三角形紙片A5O,放置在平面直角坐標系中，點A（石，0）,點8（0,3）,

點0(0,0)

（1）過邊03上的動點。（點。不與點5,O重合）作交至于點E,沿著DE折疊該紙片，點、B

落在射線80上的點尸處.

①如圖，當。為OB中點時，求E點的坐標；

②連接AF,當AA￡F為直角三角形時，求E點坐標；

（2）P是他邊上的動點（點P不與點3重合），將AAO尸沿O尸所在的直線折疊，得到△AOP,連接加，

當班取得最小值時，求尸點坐標（直接寫出結(jié)果即可）.

8.（2019秋?普陀區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，直線y=2x經(jīng)過點A（〃z,6）,點3坐標為（4,0）,

（1）求點A的坐標；

（2）若P為射線上的一點，當APO3是直角三角形時，求P點坐標.

9.（2020秋?羅湖區(qū)校級期末）（1）如圖1,在RtAABC和RtAADE中，AB^AC,AD=AE,且點。在

3c邊上滑動（點。不與點3,C重合），連接EC,

①則線段3C,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為_3C=OC+EC_；

②求證：BEr+CD1=2AD2；

（2）如圖2,在四邊形ABC。中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若瓦）=9,CD=3,求4D的長.

10.（2021?新吳區(qū)二模）已知RtAABC中，ZACB=9Q°,C4=CB=4,另有一塊等腰直角三角板的直角

頂點放在C處，CP=CQ=2,將三角板CP。繞點C旋轉(zhuǎn)（保持點P在AABC內(nèi)部），連接"、BP、

BQ.

（1）如圖1求證：AP=BQ；

（2）如圖2當三角板CP。繞點C旋轉(zhuǎn)到點A、P、。在同一直線時，求心的長；

(3)設(shè)射線AP與射線BQ相交于點E,連接EC,寫出旋轉(zhuǎn)過程中EP、EQ、EC之間的數(shù)量關(guān)系.

11.如圖所示，在AABC中，NC=90。，D是斜邊AB的中點，E,尸分別在邊AC,BC±,ZEDF=90°,

若>1E=4,CE=8,BF-CF=3,求線段AB的長度.

12.(2020秋?姑蘇區(qū)期末)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,3c=4.翻折NC,使點C落在

斜邊AB上某一點。處，折痕為EF(點E、尸分別在邊AC、3C上).

(1)當點E與A重合時，則BD=；

(2)連接CD,當NCEF=NB時，求33的長；

(3)在(2)條件下，求證：CE2+CF2=AE2+BF2.

13.(2021春?羅湖區(qū)期末)已知AAO3和AMON都是等腰直角三角形，ZAOB=ZMON=90。.

(1)如圖1：連AM,BN,求證：AAOM=ABON；

(2)若將RtAMON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當點A,M,N恰好在同一條直線上時,如圖2所示,線段OH//3N,

OH與AM交點、為H,若OB=4,ON=3,求出線段入〃的長；

(3)若將AMON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當點N恰好落在AB邊上時，如圖3所示，"N與AO交點為P,求

證：MP1+PN1=2PO2.

A

A

14.如圖1,在AABC中，CA=CB,ZACB=9Q°,。為AB的中點，M,N分別為AC,3c上的點，且

DM±DN.

(1)求證：CM+CN=^2BD；

（2）如圖2,若M,N分別在AC、CB的延長線上，探究CM、CN、SO之間的數(shù)量關(guān)系.

15.(2020春?涪城區(qū)校級期末)已知/3CD=tz,ABAD=/3,CB=CD.

(1)如圖1,若￡=尸=90。，求證：AB+AD=y/2AC；

(2)如圖2,若&=6=90。，求證：AB-AD=y/2AC；

(3)如圖3,若&=120。，4=60。.求證：AB+AD=j3AC；

16.（2020春?雨花區(qū)校級期末）如圖，在AA5c中，ZC=90°,AD,BE1是中線，BE=2y/10,AD=5,

求AB的長（提示：設(shè)CE=x,CD=y）.

一次函數(shù)與勾股定理專項訓(xùn)練卷

17.如圖，在AABC中，ZABC=9Q°,AB=6,BC=8,。為AC的中點，過點。作,

DE、DP分別交射線四、AC于點E、F,則EF的最小值為5..

【分析】首先過點。作QM，AB于點〃，作DV，3c于點N,易得四邊形DMBN是矩形，

可得AADA/SA4cB,AC7WSAC4B,又由9=6,BC=8,。為AC的中點，可求得ZW

與DN的長，然后由勾股定理求得的長，又由垂線段最短，可得當DE與DM重合，即

砂與兒火重合時，EF最短,求得答案.

【解答】解：過點。作于點作■DNLBC于點N,

.-.四邊形。MBN是矩形，

:.DM//BC,DN//AB,

:.AADM^AACB,ACDNs^CAB，

:.DM:BC=DA:AC,DN:AB=DC:AC,

:AB=6,BC=8,。為AC的中點，

DM=—BC=—x8=4,DN=—AB=—*6=3,

2222

MN=^DM2+DN2=5,

由垂線段最短，可得當DE與DM重合，即￡F與MN重合時，EF最短,

的最小值為5.

故答案為：5.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及垂線段最短的知識.此題難度

適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

18.（2019春?羅湖區(qū)期末）在AABC中，AB=1O,CA=8,BC=6,44c的角平分線

與NACB的角平分線相交于/,且0///BC交至于。，則。/的長等于-.

一2一

【分析】思想利用勾股定理的逆定理證明NACB=90。，利用面積法求出ZE,設(shè)D/=x,

DE=y,構(gòu)建方程組解決問題即可.

【解答】解：如圖，作2EJLAB于E,/GJ_AC于G,IFLBC于F.

B乙-----

?;ZIAB=ZIAC,IEA.AB,IGLAC,

:.IE=IG,同理可證：IF=IG,

,\IE=IF=IG,

???AB=10,AC=8,BC=6,

:.AB2=AC2+BC2,

ZACB=90°,

???^AC^BC=^lE^AB+AC+BC),

:.IE=2,

易證四邊形"CG是正方形，

..CG=IG=IF=CF=2,

?.?IE=IG,AI=AI,ZAEI=ZAGI=90°,

:.^AIE=\AIG{HL),

AE=AG=8—2=6,DI=x,DE=y,

x2-y2=22

則有

62+(x+2)2=(6+yf

解得

補充方法：根據(jù)〃=。8,設(shè)D/』，貝I」。石=4—九，利用勾股定理構(gòu)建方程求出工即可.

故答案為*.

2

【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

19.（2019秋?甌海區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，長方形Q4CB的

頂點A、3分別在x軸與y軸上，已知。1=3,03=5,點。為y軸上一點，其坐標

為(0,1),點尸在線段AC上運動，當點尸與點A重合時停止運動.

(1)點尸在運動過程中，當為直角三角形時，請直接寫出此時點尸的坐標;

【分析】(1)求出皮)的長，然后分NDBP和N32E)是直角兩種情況求出"，再寫出點尸

的坐標即可；

(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得N3OP=NAO尸，然后判斷出AAOP是等腰直角三角形，再根

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得然后寫出點P的坐標即可.

【解答】解：⑴-.08=5，0(0,1),

:.BD=5-1=4,

若NDBP=90。，貝IJAP=AC=5,

點P的坐標為(3,5),

若NBPD=90。,則AP=OD=1,

點P的坐標為(3,1),

以BD為直徑作圓顯然與AC沒有交點，所以ZDPB不可能是90°,

綜上所述，尸為直角三角形時，點尸的坐標為(3,5)或(3,1)；

(2)?.?點。關(guān)于O尸的對稱點落在x軸上，

:.NBOP=ZAOP=45。,

是等腰直角三角形，

AP=AO=3,

點尸的坐標為(3,3).

【點評】此題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點在

于(1)分情況討論，(2)判斷出AAOP是等腰直角三角形.

20.(2021秋?東明縣期末)如圖，已知一次函數(shù)y=x-2的圖象與y軸交于點A,一次函

數(shù)y=4x+b的圖象與y軸交于點3,且與X軸以及一次函數(shù)y=x-2的圖象分別交于

點C、。，點。的坐標為(-2,-4).

y-x=-2x=-2

(1)關(guān)于x、y的方程組的解為.

y-4x=by=-4~

(2)求4曲的面積；

(3)在無軸上是否存在點E,使得以點C,D,E為頂點的三角形是直角三角形？若存在,

求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題目中點。的坐標，從而可以得到關(guān)于尤、y的方程組一:的解;

[y-4%=。

(2)根據(jù)點。的坐標可得6=4,計算AB的長，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；

(3)根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，可知有三種情況，然后分別進行討論計算即可解答本題.

【解答】解：(1)?.?一次函數(shù)y=x-2的圖象與一次函數(shù)y=4x+6的圖象交于點。，且點D

的坐標為(-2,-4),

y的方程組;\y=4x+b\x=-2

關(guān)于X、的解是＜

J=x-2[y=-4'

y的方程組;,ry-x=-2\x=-2

關(guān)于X、的解是＜

[y-4x=b[y=-4'

x=-2

故答案為:

y=-4

(2)把點。的坐標代入一次函數(shù)y=4x+。中得：-8+Z?=T,

解得：b=4,

.-.5(0,4),

???A(0,-2),

/.AB=4-(-2)=6,

^AABD=-X6X2=6；

(3)存在，

如圖1,當點石為直角頂點時，過點。作￡＞￡，工軸于石，

.?.E(-2,0)；

當點C為直角頂點時，x軸上不存在點E；

當點。為直角頂點時，過點。作OELCD交無軸于點E,作。尸，x軸于尸，

設(shè)E?,0),

當y=0時，4X+4=0,

X=-1,

/.C(-1,O),

???F(-2,0),

CE=—1—tfEF=―2—tJ

???。(-2,-4),

:.DF=4,CF=-l-(-2)=l,

在RtADEF中，

DE2=EF2+DF2=42+(-2-t)2=t2+4t+20,

在RtACDF中，

CD2=12+42=17,

在RtACDE中，CE2=DE2+CEr,

（-I*/+4/+20+17,

解得f=-18,

￡（-18,0）,

綜上，點E的坐標為：（-2,0）或（-18,0）.

【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)與x軸、y軸的交點、待定系數(shù)法求一

次函數(shù)解析式、一次函數(shù)與方程組的關(guān)系，三角形的面積、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明

確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答.

21.（2020秋?成都期末）如圖，在平面直角坐標系xQy中，直線AB:y=履+3以左w0）交x

軸于點3,交y軸于點A,AB=3A/10.

（1）求點A的坐標；

（2）點C為x軸正半軸上一點，ZBAO=-ZACO,點”為線段AC上一動點，設(shè)M的縱

2

坐標為a（a^0）,請用含。的代數(shù)式表示點M到y(tǒng)軸的距離d；

（3）在（2）的條件下，過點加作MN/MB交x軸于點N,連接BAf,AN,當為

等腰三角形時，求AAAW的面積.

【分析】（1）用左表示出。4，OB,利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可.

（2）如圖1中，過點C作NACB的角平分線交互于利用全等三角形的性質(zhì)證明

CA=CB,由此構(gòu)建方程求解即可.

（3）在（2）的條件下，AC=BC,因為MN//AB,推出==S^MN,分兩

種情形：當=時，過點3作BG_LAC于G,②當筋=A位時，分別求出直線的

解析式，構(gòu)建方程組即可解決問題.

【解答】解：（1）由題意，直線直線AB:y=kx+3代IwO）交x軸于點8（-3,0）,交y軸于點

A（0,3人），

在RtAAOB中，AB2=O^+OB2,

32+（3Q2=（35/⑹2,

二.々=3或—3（舍棄），

:.AO=9,

.-.A（0,9）.

（2）如圖1中，過點C作NACB的角平分線交于H.

圖1

:.ZBCH=-ZACB,

2

-/ZBAO^-ZACO,

2

.?.ZBCH=ZBAO,

?.?44O+NA5C=90。，

..ZBCH+ZABO=90°,

,\ZCHB=ZCHA=90°,

???CH=CH,ZHCB=ZHCA,

AACH=ABCH(ASA),

CA—CB，

設(shè)。(人0),則5C=m+3,AC=y/m2+9,

：.m+3=yjm2+9,

/.m=12,

C(12,0),

3

/.直線AC的解析式為y=_[X+9,

,.?M的縱坐標為a(awO),點Af橫坐標為d,

3

/.a=—d+9,

4

74c

d=—。+12.

3

(3)在(2)的條件下，AC=BC,

???MN//AB,

=BN9SAAMN=SgMN'

①當=時，過點B作5G_LAC于G,

，AG=MG,

-.-ZAOB^ZBGA,ZABC=ZBAC,AB=BA,

:.AABO=ABAG(AAS)f

:.BO=AG=3,

，BN=AM=2AG=6,

.?.N(3,0),

?/MN//AB,

,直線肱V:y=3%+Z?過點N(3,0),

:.b=—9,

直線MN的表達式為y=3x-9,

2一4

3x=5

?y=—x+9立力/日

由廠4，解得，

2-7

y=3x-9y=5

*1-SMMN=S/^BMN=~'BN'yM=2X6X^"=

②當43=41/時，N(-3+3&U,0)

直線MN的表達式為y=3%+9-9-6，

x

圖2

ra[12V10

由「x+9，解得5-

y=3x+9-9M45-9^

U5

i“12函45-9?

55

。。1lor-r45-9710275/10-54

?'?S/SAMN=SABW=-'BN-yM=-3ylOx-=--

【點評】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，解直角三角形，等腰三角形的判定

和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考

問題，屬于中考壓軸題.

22.(2022春?桂林期末)如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形OABC的頂點A、C坐標分別

為(2,0)(1,2).

(1)直接寫出點3的坐標，并求出直線AC的解析式；

(2)若。是直線AC上的一個動點(。與A、C不重合)，當ADBC的面積是3時，請求出

點。的坐標；

(3)在y軸上是否存在一點P,使得AR4c是不以點尸為直角頂點的直角三角形.若存在，

請求出尸的坐標，若不存在，請說明理由.

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)確定8點坐標，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)三角形面積公式求得AD3C的高，然后利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求點。

坐標；

(3)設(shè)P點坐標為(0,相)，然后結(jié)合勾股定理列方程求解.

【解答】解：(1)在平行四邊形。4BC中，BC=OA,BC//OA,

又?.?頂點A、C坐標分別為(2,0)(1,2),

.?.3點坐標為(3,2),

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

將(2,0)(1,2)代入，

/日｛2k+b=Q

得:K=2'

解得：E=:，

[b=4

二.直線AC的解析式為：y=-2x+4；

(2)\-BC=OA=2,且ADBC的面積是3,

/.設(shè)ADBC的邊5C上的高為h，

貝(143。./1=3,

2

解得：h=3,

.?.。點縱坐標為2+3=5或2-3=-1,

又?.,￡＞是直線AC上的一個動點，

在y=-2x+4中，

當y=5時，一2%+4=5,解得：x=--,

2

當y=—1時，-2x+4=—1,解得：x=—,

2

。點坐標為(--1,5)或(g,-1)；

(3)設(shè)P點坐標為(0,加)，

由題意可得：PC2=I2+(2—m)2,AC2=I2+22=5,PA2=22+m2,

①當點。為直角頂點時，PC2+AC2=PA^,

.\l2+(2-m)2+l2+22=22+m2,

解得：m=-J

2

此時，P點坐標為(0,*；

②當點A為直角頂點時，PA?+AC2=PC2,

.,.I2+(2-m)2=I2+22+22+m2,

解得：m=—l9

此時，P點坐標為(0,-1)；

綜上，P點坐標為(0,｝或(0,-1)-

【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理解直角三角形，理

解相關(guān)性質(zhì)定理，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵.

23.（2017?和平區(qū)三模）將一個直角三角形紙片ABO,放置在平面直角坐標系中，點A（班,

0）,點2（0,3）,點0（0,0）

（1）過邊03上的動點。（點。不與點3,O重合）作交AB于點E,沿著DE折

疊該紙片，點3落在射線30上的點尸處.

①如圖，當。為C?中點時，求E點的坐標；

②連接AF,當AA￡產(chǎn)為直角三角形時，求E點坐標；

（2）P是延邊上的動點（點尸不與點3重合），將AAOP沿OP所在的直線折疊，得到△

AOP,連接皿，當班取得最小值時，求尸點坐標（直接寫出結(jié)果即可）.

【分析】（1）①由。為C?中點結(jié)合DE//Q4,可得出Z史為ABQ4的中位線，再根據(jù)點A、

B的坐標即可得出點E的坐標；

②根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合角的計算可得出ZAEF=60°w90。，分ZAFE=90。和ZEAF=90。兩

種情況考慮，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點E的坐標；

（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，找出當點A，在y軸上時，加取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可

得出直線OP的解析式，再根據(jù)點A、3的坐標利用待定系數(shù)法求出直線4?的解析式,

聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點尸的坐標.

【解答】解：（1）①:DELOB,OAA.OB,

:.DE//OA.

為03中點，

為ABQA的中位線，

.?.點E為線段A、3的中點，

.??點E的坐標為（亭，|）.

②由折疊可知：ABDE^AFDE，

:.ZEFB=ZABO^30°,DF=BD,

ZAEF=ZABO+ZBFE=60°w90。.

尸是直角三角形，

:.ZAFE^90°^ZEAF=90°.

⑺當NAFE=90。時，如圖1所示.

ZAFO=1^0°-ZAFE-ZEFB=60°.

在RtAAOF中，Z4FO=60。，AO=C,

.?.440=30。，AF=2OF,

-.?YIAF2-OF2=AO,

:.OF=l,AF=2.

F

在RtADEF中，NDFE=30。，DF=BD=--°=1f

2

:.EF=2DE,

,/VEF2—DE2=DF=1,

.n口6“2g

..DE=——,DF=-----.

33

\OD=OF+DF=2.

點石的坐標為（［,2）；

（ii）當NE4/=90。時，如圖2所示.

-.-ZAOB=90°，ZABO=30°,

:.ZBAO=60°,

ZFAO=ZEAF-ZBAO=30°.

在RtAAOF中，ZFAO=30°,AO=6

:.AF=2OF,

vyjAF2-OF2=AO,

OF=1,AF=2.

在RtADEF中，ZDFE=30°,DF=°B+°F=2,

2

:.EF=2DE,

y/EF2-DE2=DF,

..DE=------.

3

???OD=DF—OF=1,

.??點E的坐標為（手，1）.

綜上所述：當AAEF為直角三角形時，E點坐標為（手，2）或（手，1）.

(2)由折疊可知：MOP=AAOP,

;.OA:=OA=y[3,ZAOP=ZAOP,

又?.?C?=3,

當點A，在y軸上時，&V取最小值，如圖3所示.

-.■ZAOB=90°,

.-.ZAOP=45°,

直線OP的解析式為y=x.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

將4（石，0）、8（0,3）代入y=+b中，

直線AB的解析式為y=-瓜+3.

聯(lián)立直線OP、4?的解析式成方程組，

3百-3

y=xX=

-'解得:2

3也-3，

y=

2

，當班取得最小值時，尸點坐標為（當?，失二2）.

【點評】本題考查了三角形的中位線、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、含30度角的直角三

角形、勾股定理以及折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)①找出DE為ABO4的中位線；②

分NAFE=90。和NE4F=9O。兩種情況求點E的坐標；(2)根據(jù)三角形三邊關(guān)系找出54

取得最小值點A'的位置.

24.(2019秋?普陀區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，直線y=2x經(jīng)過點A(m,6),點、B

坐標為(4,0),

(1)求點A的坐標；

(2)若P為射線上的一點，當APO3是直角三角形時，求P點坐標.

【分析】(1)根據(jù)直線y=2x經(jīng)過點A(m,6),可得6=2"?,易求加=3,即可得A點坐標；

(2)考慮有兩種情況：①當NOB尸=90。時，點尸的橫坐標與點3的橫坐標相同，均為4,

把x=4代入y=2x,易求y=8,從而可得P點坐標；當NO尸3=90。時，可先設(shè)尸點坐

標是(M,2M),根據(jù)勾股定理易得n2+(2〃>+(n-4)2+(2n)2=42,解可求4=:,%=0(舍

去)，進而可求P點坐標，綜上所述：當APO3是直角三角形時，點P的坐標為(4,8)或

【解答】解：(1),直線y=2尤經(jīng)過點A(〃z,6),

/.6=2m,

解得：m=3f

.,.點A的坐標為(3,6)；

(2)①當NO^=90。時，點P的橫坐標與點6的橫坐標相同，均為4,

將％=4代入y=2x,得y=8,

，點尸的坐標為(4,8),

②當Z.OPB=90°時，PO2+PB2=OB2,

設(shè)P點坐標為(〃,2〃)，n2+(2n)2+(n-4)2+(2?)2=42,

4

解得n2=0(舍去),

.?.點p

綜上所述：當APOB是直角三角形時，點P的坐標為(4,8)

【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題、勾股定理.解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖，要根據(jù)尸

點的不同位置進行分類求解.

25.(2020秋?羅湖區(qū)校級期末)(1)如圖1,在RtAABC和RtAADE中，AB^AC,AD=AE,

且點。在3C邊上滑動(點。不與點6,C重合)，連接EC,

①則線段3C,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為_2C=OC+EC_；

②求證：BEr+CD2=2AD2；

(2)如圖2,在四邊形ABCD中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若BD=9,CD=3,求

AD的長.

【分析】(1)①證明ASW三AC4E,得出3D=CE,可得次7=。。+&9="+及：；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得=得到NDCE=90。，根據(jù)勾股定理計算即可；

(2)作AE_LAD,]tAE=AD,連接CE,DE,證明AB4D三AC4E,得至"BD=CE=9,

根據(jù)勾股定理計算即可.

【解答】(1)①解：BC^DC+EC,理由如下：

?.?N3AC=ND4E=90°,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即44D=NC4E,

AB=AC

在AS4D和AC4E中，\ABAD=ZCAE,

AD=AE

:.ABAD=^AE(SAS),

BD=EC9

BC=DC+BD=DC+EC；

故答案為：BC=DC+EC；

②證明：?.?RtAABC中，AB=AC,

.\ZB=ZACB=45°9

由(1)得，ABAD=ACAE,

:.BD=CE,ZACE=ZB=45°,

ZDCE=ZACB+ZACE=90°,

CE2+CD2=ED2,

在RtAADE中，AD1+AE1=ED1,

又=

/.BD2+CD2=2AD2；

(2)解：作使=連接CE,DE,如圖2所示:

-：ZBAC+Z.CAD=ZDAE+ZCAD,

即44D=NG4E,

AB=AC

在ABAD與AC4E中，＜ABAD=ZCAE,

AD=AE

:.ABAD=ACAE(SAS),

.\BD=CE=9,

vZAr)C=45°,ZEDA=45°,

:.ZEDC=90°,

:.DE=JCE2-CD?=,92—32=6后,

?/ZDAE=90°,

.\AD=AE=—DE=6.

2

D

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性

質(zhì)、勾股定理、直角三角形的判定等知識；本題綜合性強，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

26.（2021?新吳區(qū)二模）已知RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB=4,另有一塊等腰直

角三角板的直角頂點放在C處，CP=CQ=2,將三角板CP。繞點C旋轉(zhuǎn)（保持點尸在

AABC內(nèi)部），連接AP、BP、BQ.

（1）如圖1求證：AP=BQ；

（2）如圖2當三角板CP。繞點C旋轉(zhuǎn)到點A、P、。在同一直線時，求好的長；

（3）設(shè)射線AP與射線3。相交于點E,連接EC,寫出旋轉(zhuǎn)過程中EP、EQ、EC之間的

數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）由題意可得：ZACP=NBCQ,即可證AACP-ABC。，可得AP=CQ；

（2）作CH_LP。于由題意可求尸。=20,可得必=0,根據(jù)勾股定理可求4〃=內(nèi),

即可求AP的長；

（3）作CM_L3Q于Af,CN1EP于N,設(shè)3c交1于O,由題意可證=,

可得CN=CM,QM=PN,即可證RtACEM=RtACEN,EN=EM,

ZCEM=ZCEN=45°,則可求得EP、EQ、EC之間的數(shù)量關(guān)系.

【解答】證明：（1）如圖1中，ZACB=ZPCQ=90°,

?.ZACP=ZBCQS.AC=BC,CP=CQ

:.NACP^NBCQ{SAS)

:.PA=BQ

(2)解：如圖2中，作CHLPQ于H

圖2

?.?A、P、Q共線,PC=2,

「?尸。=20,

?;PC=CQ,CHLPQ

CH=PH=yf2

在RtAACH中，AH=y/AC2-CH2=A/14

:.PA=AH-PH=yJ14-y/2

(3)解：結(jié)論：EP+EQ=42EC

CN1EP于N,設(shè)交AE于O.

圖3

?.?AAC尸2ABCQ,

:.ZCAO=ZOBE,

?.ZAOC=ZBOE,

.\ZOEB=ZACO=90°,

-/ZM=ZCNE=ZMEN=90°,

:.ZMCN=ZPCQ=90°,

/.ZPCN=ZQCM,

vPC=CQ,ZCNP=ZM=90°,

:.\CNP=\CMQ{AAS),

:.CN=CM,QM=PN,

CE=CE,

/.RtACEM工RtACEN(HL),

:.EN=EM,ZCEM=ZCEN=45°

:.EP+EQ=EN+PN+EM-MQ=2EN,EC=yf2EN,

:.EP+EQ=-/2EC

【點評】本題考查了幾何變換綜合題，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定,

添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

27.如圖所示，在AABC中，ZC=90%。是斜邊的的中點，E,尸分別在邊AC,BC

上，ZEDF=90°,若AE=4,CE=8,BF-CF=3,求線段鉆的長度.

【分析】延長FD至點G,使得DG=Db,連接BG,EG,易證=尸，可得

AG=BF,NDAG=NB,可證明NE4G=90。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF=EG,設(shè)

BF^AG=x,由勾股定理得出方程，解方程求出加'、CF,再由勾股定理求出AB即可.

【解答】解：延長FD至點G,使得DG=DF,連接AG,EG,如圖所示：

為斜邊AB的中點，

AD=BDy

AD=BD

在AAZX7和ABD尸中，＜ZADG=ZBDF,

DG=DF

:.AADG=\BDF(SAS),

:.AG=BFfZDAG=/DBF,

ZDBF-^-ZBAC=90°,

ZDAG+ZBAC=90°,

即ZEAG=90°,

:.EG2=AG2+AE2,

設(shè)跖=AG=x,

???BF—CF=3,

:.CF=x-3,

ZEDF=90。,

:.DE工FG,

???DG=DF,

EF=EG,

EF2=EG2,

在RtACEF中，EF2=CE-+CF2,

.-.AG2+AE2=CE2+CF2,

BPX2+42=82+(X-3)2,

解得：x=-,

2

19「廠c13

BF=—,CF=x—3=—,

22

:.BC=BF+CF=16,

ZC=90°,AC=AE+CE^U,

AB=7162+122=20.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識;

證明MDG=NBDF是解題的關(guān)鍵.

28.(2020秋?姑蘇區(qū)期末)如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=3,3c=4.翻折NC,

使點C落在斜邊AB上某一點。處，折痕為(點E、F分別在邊AC、BC±).

(1)當點上與A重合時，則BD=2；

(2)連接CD,當NCEF=NB時，求瓦)的長；

(3)在(2)條件下，求證：CE2+CF2=AE2+BF2.

【分析】(1)由圖形的翻折知，AD=AC=3,即可求解；

(2)證明NFCD=NCS4,同理可得：ZA=ZACD,故80=AD=CD=^AB=2.5；

2

(3)證明^ADE=ABDG(SAS),得到DF是EG的中垂線，則FG=EF,則

FG2=FE2=CE2+CF2,再證明ZFBG=ZABC+ZDBG=ZFBG+ZA=90°,

FG2=CE2+CF2,即可求解.

【解答】解：(1)由圖形的翻折知，AD=AC=3,

圖1

在RtAABC中，AC=3,BC=4,貝!]AB=5,

i^BD^AB-AD=2,

故答案為2；

(2)連接CD,由圖形的翻折知，EF±CD,

?■?NCEF+NECD=90。,ZECD+NFCD=90。,

:.ZFCD=ZCEF,

而NCEF=NB,

:.ZFCD=ZCBA,

同理可得：ZA=ZACD,

:.BD=AD=CD=-AB=2.5;

2

(3)如圖2,延長ED取DG=￡>E,連接BG,

由(2)知AD=8D,

而NADE=NBDG,

:.AADE=ABDG(SAS),

:.DE=DG,ZA=ZDBG,

-.■ED.LFD,DG=DE,故DF是EG的中垂線,

FG=EF,則FG2=FE2=CE2+CF2,

■.■ZBAC+ZABC=90°,ZA=ZDBG,

ZFBG=ZABC+ZDBG=ZFBG+ZA=90°,

在RtABGF中，F(xiàn)G2=BG2+FB2=AE2+BF2,

MFG2=CE2+CF2,

：.CE2+CF2=AE2+BF2.

【點評】本題是幾何變換綜合題，主要考查了圖形的翻折、直角三角形的中線定理、三角形

全等、勾股定理的運用等，綜合性很強，難度較大.

29.(2021春?羅湖區(qū)期末)已知AAOB和AMON都是等腰直角三角形，

ZAOB=ZMON^90°.

(1)如圖1：連AM,BN,求證：AAOM=ABON；

(2)若將RtAMON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當點A,M,N恰好在同一條直線上時，如圖2

所示，線段OH//8N,OH與AM交點、為H,若OB=4,ON=3,求出線段A"的長；

(3)若將AMON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，當點N恰好落在邊上時，如圖3所示，MN馬AO

交點為尸，求證：MP-+PN2=2PO2.

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)S4S證明三角形全等即可.

(2)分別求出MH,47即可.

(3)如圖2中，在03上取一點T,使得OT=OP,連接PT,NT.證明

ZPAN=ZONM+ZONT=90°,D\^PT2=PN2+NT'=PN2+PM1,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：如圖1中，

ZAOB=ZMON=9Q0,

ZAOM=NBON,

AO^BO,OM=ON,

\AOM=ABON(SAS).

(2)如圖3-1中，設(shè)OA交3N于J,

■：OH//BN,

:.NHON=ZBNO=45°,

又?：ZMN0=45。,

ZHNO+ZMNO=90°,

:.BN±MN,

OH±MN,

?,/\AOM=ABON.

:.AM=BN,ZOAM=ZOBN,

?:ZAJN=ZBJO,

:.ZANJ=ZJOB=90°,

?：OM=ON=3,ZMON=90。,OH±MN

:.MN=3叵,MH=HN=OH=這，

2

.-.AH=yjOA2-OH2=5_(半了=華,

;.BN=AM=MH+AH=^^.

(3)證明：如圖2中，在OB上取一點T,使得OT=QP,連接PT,NT.

oT

???ZMON=NPOT=90°,

:.ZMOP=ZNOT,

?."OM=ON,OP=OT,

「.APOM工ATON(SAS),

:.PM=TN,ZM=ZONT=45°,

???NONM=ZONT=45。,

:.NPNT=4ONM+NONT=9QP,

PT2=PN2+NT2=PN2+PM2

???APOT是等腰直角三角形,

PT2=2OP2,

:.PM2+PN2=2OP2.

解法二：連結(jié)40,證明AAMO與ABNO全等，然后說明NMAN是直角，可得結(jié)論.

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

30.如圖1,在AABC中，CA=CB,ZACB=90°,。為AB的中點，M,N分別為AC,

3c上的點，且DM_LDN.

（1）求證：CM+CN=J2BD；

（2）如圖2,若M,N分別在AC、CB的延長線上，探究CM、CN、班）之間的數(shù)量關(guān)

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到

ZA=ZB=ZACD=ZDCB=45°,AC=BC,CDLAB,CD=BD=AD,再利用等角的

余角相等得到=然后根據(jù)“AS4”可判斷公。@三ABDN,則。W=3N；

（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到

ZA=NB=ZACD=NDCB=45。,AC^BC,CDYAB,CD=BD