2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：復(fù)數(shù)（習(xí)題含解析）

第4節(jié)復(fù)數(shù)

考試要求1.理解復(fù)數(shù)的基本概念2理解復(fù)數(shù)相等的充要條件3了解復(fù)數(shù)的代

數(shù)表示法及其幾何意義.4.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算5了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式

的加、減運算的幾何意義.

I知識診斷?基礎(chǔ)夯實

知識梳理

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

⑴定義:我們把集合C={a+歷|a,b￡R}中的數(shù),即形如a+bi（a,6WR）的數(shù)

叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)z的實部,5叫做復(fù)數(shù)z的虛部（i為虛數(shù)單位）.

⑵分類：

滿足條件（a,6為實數(shù)）

a+bi為實數(shù)Qb=0

復(fù)數(shù)的

a+bi為虛數(shù)

分類

a+bv為純虛數(shù)0a=0且6W0

(3)復(fù)數(shù)相等：a+Z?i=c+diQa=c且b=d(a,b,c,d?R).

(4)共輾復(fù)數(shù)：a+歷與c+di共扼Qa=c,b=—d(a,b,c,d?R).

(5)模：向量花的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作也土圓或團(tuán),即|z|=|a+Z?i|=

\la2-\-b2(a,6?R).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+歷與復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,加及平面向量改=(a,b)(a,6GR)是---對

應(yīng)關(guān)系.

3.復(fù)數(shù)的運算

(1)運算法則：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di,a,b,c,d?R.

P__JZ\±z2人(a+bi)±(c+di)={a±c)+S±《)]

二/z.Z2K(a+6i)(c+di)=(ac-6/)+(6c+aa)i

ac+bclbcad

7_+-i(c+dio)

(2)幾何意義:

復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.

如圖給出的平行四邊形。Z1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減

法的幾何意義，即定=國土函，z^2=dz2-dzi.

常用結(jié)論

Li的乘方具有周期性

14n—j|4?+14n+24n+344n+14n+24+3

1,i=-l,i=-i,i?+i+i+i?=0,

,9.1+i,1—i.

2.(l±i)-=±2i,=i；而=—L

3.復(fù)數(shù)的模與共振復(fù)數(shù)的關(guān)系

z-z=|z|2=|z|2.

診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“X”)

⑴復(fù)數(shù)z=o+歷(a,5GR)中，虛部為歷.()

⑵復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()

(3)原點是實軸與虛軸的交點.()

(4)復(fù)數(shù)的模實質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)

的向量的模?()

答案(1)X(2)X(3)V(4)V

解析(1)虛部為(2)虛數(shù)不可以比較大小.

2.(2021.北京卷)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(1—i>z=2,則z=()

A.lB.iC.l-iD.l+i

答案D

解析由題意可得2=4==l+i.

1—1(1—1)(1+1)

3.(2021.新高考n卷)復(fù)數(shù)三卷在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

2—i（2—i）（l+3i）5+5i1+i

解析匚曠（］二一（］+3力=F~=亍,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的

點為a，該點在第一象限.

4.(2021?上海卷)已矢口z=l—3i,貝U|z—i|=.

答案小

解析?:2=1—3i,；.z=l+3i,z—i=14~3i—i=1+2i,\z—i|=^l*12+22=

小.

1—i

5.已知a+0i(a,5?R)是幣的共利復(fù)數(shù)，則o+》=.

答案1

解析由門」、―7~,—r—=—i,得a+0i=i,即a=0,b=l,則a+b

1十111~ri）11—1）

=1.

6.（易錯題）i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1+而）（i+2）是純虛數(shù)，則實數(shù)機(jī)等于..

答案2

解析因為（l+zni）（i+2）=2—機(jī)+（1+2機(jī)）i是純虛數(shù)，所以2—加=0,且1+

2機(jī)W0,解得機(jī)=2.

考點突破?題型剖析

考點一復(fù)咿摩

1.（2022.北京朝陽區(qū)一模）如果復(fù)數(shù)上產(chǎn)S?R）的實部與虛部相等，那么b=

（）

A.-2B.lC.2D.4

答案A

（2+

解析^=b-2i,所以實部為。，虛部為一2,故6的值

111—17

為一2,故選A.

2

2.（多選）若復(fù)數(shù)z=不，其中i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）

A.z的虛部為一1

B.|z|=V2

C/為純虛數(shù)

D.z的共輾復(fù)數(shù)為一1一i

答案ABC

解析2=7777=z.i-x—71丁=-5-=1-i，對于A,z的虛部為一1,正確;

1+1(1+1)(1—1)2

對于B,模長|才=讓，正確；

對于C,因為z2=(l—i)2=—2i,故z2為純虛數(shù)，正確；

對于D,z的共扼復(fù)數(shù)為1+i,錯誤.

3.(多選)設(shè)Zl,Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是()

A.若|zi—Z2|=0,則Z1=Z2

B.若Z1=Z2,則Z1=Z2

C.若|zi|=|Z2|,則Z「Z1=Z2?Z2

D.若|Z1|=|Z2|,則z?=z5

答案ABC

解析對于A,若|zi—Z2|=0,則Zl—Z2=0,Z1=Z2,所以Z1=Z2為真；

對于B,若Zl=12,則Z1和Z2互為共軻復(fù)數(shù)，所以Z1=Z2為真；

對于C,設(shè)zi=ai+6ii,Z2=a2+》2i,a\,b\,ai,AzGR,

若|Z1|=|Z2|,則十濟(jì)+濟(jì)=?漫+胡,

即況+身=屆+的,

所以Zl-Zl=cd+bi=C&+bi=Z2-Z2,

所以Z[Z1=Z2?Z2為真;

對于D,若Z1=1,Z2=i,

則|Z1|=|Z2|,而Z?=l,z3=—l,

所以z+=z2為假.故選ABC.

4.若復(fù)數(shù)z=(%2—l)+(x—l)i為純虛數(shù)，則實數(shù)X的值為.

答案T

%2—1=0,

解析:z為純虛數(shù)，

x—1W0,

??x=-1.

感悟提升1.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6GR),其中a,人分別是它的實部和虛部.若z為

實數(shù)，則虛部人=0,與實部a無關(guān)；若z為虛數(shù)，則虛部6W0,與實部a無關(guān);

若z為純虛數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a=0且6W0.

2.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6?R)的模記作|z|或|a+歷即|z|=|a+歷尸人a2十后

3.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,b@R)的共機(jī)復(fù)數(shù)為z=a一歷，則z-z=\z\2=\z\2,即|z|=|z|=

"\lz-z,若z?R,貝Uz=z.

|考點二復(fù)數(shù)的四則運算

例1(1)(2021?遼寧百校聯(lián)盟質(zhì)檢)麥4=()

1515

B?百一百

「1.5.

c.一記+逐D-13131

答案D

(l-i)(2-3i)2—3—2i—3i15.

用牛刃1原式一J

(2+3i)(2-3i)—22+32—1313

(2)(2021?全國乙卷)設(shè)iz=4+3i,貝Iz=()

A.-3-4iB.-3+41

C.3—4iD.3+4i

答案C

4+3i(4+3i)(—i)-4i-3i2

解析因為iz=4+3i,所以z=?Y=3—41

1i(-i)

(3)(2021?全國乙卷)設(shè)2(z+z)+3(z—z)=4+6i,則z=()

A.l-2iB.l+2iC.l+iD.l-i

答案C

解析設(shè)z=。+歷(a,5?R),則z=。一bi,代入2(z+z)+3(z—z)=4+6i,可得

4a+6歷=4+6i,所以。=1,b=l,故z=l+i.

感悟提升（1）復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算；（2）復(fù)數(shù)的除法關(guān)鍵是分子

分母同乘以分母的共機(jī)復(fù)數(shù).

訓(xùn)練1（1）（2021?全國甲卷）已知（l—i）2z=3+2i,則z=（）

A.-1—|iB.—1+^i

33.

C.一1+iD.一2一i

答案B

a+i3+2i3+2i3i-2上

-1+L

解析z-2-_2i2_2

(2)(2021?新高考I卷)已知z=2—i,則z(z+i)=()

A.6-2iB.4~2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析因為z=2—i,

所以z(z+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i.

(3)(多選)(2022?湛江一模)若復(fù)數(shù)z=4—i,貝U()

A.|z|=2

B.|z|=4

C.z的共輾復(fù)數(shù)z=4+i

D.z2=4-2^31

答案AC

解析依題意得|z|=N(小)2+(—1)2=2,故A正確，B錯誤；

zf+i,C正確；

z2=(小一i)2=3—2小i+i2=2—2小i,D錯誤.

考點三復(fù)整電幾何意義_________________

例2(1)(2021珠海一模)設(shè)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)Zl=i2021,復(fù)數(shù)Z2=E樣,則Z1

+Z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限

c.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A

14—3il5(4—3i)434

解析因為復(fù)數(shù)Zl=i2°21=i,Z2;先"”=Ji,所以Zl+Z2=]+

4+3123333

|1,故Z1+Z2在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(I，1｝在第一象限.

⑵(2021.衡水聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z=a+(a—l)i(aGR),則|z|的最小值為()

A1R正「近n1

答案B

解析因為z=a+(a—l)i,所以|z|=N/+(.—1)2,—g+]力乎，所

以|z|的最小值為坐.

2

(3)(多選)(2021.德州二模)已知復(fù)數(shù)zi=Fpy(i為虛數(shù)單位)，下列說法正確的是

()

Az對應(yīng)的點在第三象限

B.zi的虛部為一1

C.zf=4

D.滿足|z|=|zi|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心，2為半徑的圓上

答案AB

解析由題意，復(fù)數(shù)zi=—X7

一i十1

2(—1—1)

=(T+D—(_]_i)=一]一i,所以復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點是(一1,—

1),位于第三象限，所以A正確；

復(fù)數(shù)zi的虛部為一1,所以B正確；

zt=(-l-i)4=[(-l-i)2]2=(2i)2=-4,所以C不正確；

由㈤=7(—1)2+(—1)2=巾,得滿足團(tuán)=㈤的復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點在以原點為

圓心，正為半徑的圓上，所以D不正確.

感悟提升1.復(fù)數(shù)z=a+歷(a,5?R)一—一對—一z(a,b)---對應(yīng)+花=(々,母

2.由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了—對應(yīng)的關(guān)系，因此解題時可運用數(shù)形結(jié)合

的方法，把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，使問題的解決更加直觀.

訓(xùn)練2(1)(2022.長沙一模)已知復(fù)數(shù)2=於，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于

()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

2—i(2—i)(1—i)13

解析因為2=幣=---------------=＞宏，所以復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的

點為g—1),在第四象限.

(2)若復(fù)數(shù)z=(2+ai)(a—i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，其中a?R,i為虛

數(shù)單位，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(一也，y/2)B.(一也，0)

C.(0,y/2)D.[0,y/2)

答案B

解析z=(2+ai)(a—i)=3a+(4—2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，

3。＜0,廣

2解得一也＜a＜0-

(3)如圖，若向量O,Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z,則z+54表示的復(fù)數(shù)為(

A.l+3iB.-3-i

C.3-iD.3+i

答案D

44

解析由題圖可得Z(l,—1),即z=l-i,所以-+7=l-i+T—=l-i+

4(1+i).4+4i

(1—i)(1+i)='—i+2l-i+2+2i=3+i.

考點四復(fù)數(shù)與方程

例3已知x=-1+i是方程%2+QX+~=O(Q,b￡R)的一個根.

⑴求實數(shù)。，b的值；

(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個根，并給予證明.

解(1)把X——1+i代入方程x2+^x+Z?=0,得(一□+/?)+(〃-2)i=0,

—tz+Z?=O,a=2,

c—c解得

2—0,

(2)由(1)知方程為^+2%+2=0.

設(shè)另一個根為X2,由根與系數(shù)的關(guān)系,

得一l+i+%2=—2,

?*.X2=一1一i.

把X2=—1—i代入方程X2+2X+2=0,

則左邊=(-1—i)2+2(—1—i)+2=0=右邊，

.,.X2=-1—1是方程的另一個根.

感悟提升(1)對實系數(shù)二次方程來說，求根公式、韋達(dá)定理、判別式的功能沒

有變化，仍然適用.(2)對復(fù)系數(shù)(至少有一個系數(shù)為虛數(shù))方程，判別式判斷根的功

能失去了，其他仍適用.

訓(xùn)練3在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程一一江+i—1=0.

解因為。=1,b=—i,c—i—1,

所以/=(一評一4XlX(i—1)=3—4i.

加——2==3,

設(shè)(加+ni)2=3—4i,則，

2mn——4,

m=2,[m=-2,

解得1或1

n=—l,[n=l.

所以3—4i的平方根為±(2-i),

“7~b+”/的平方根”i土(2—i)

所以x=方=2X1，

i+2—ii-2+i

傳XI二219X2-2-1+i,

即原方程的根為xi=1,Xi——1+i.

I分層訓(xùn)練?鞏固提升

LA級恚礎(chǔ)鞏固

1.(2021?浙江卷)已知aGR,(l+ai)i=3+i(i為虛數(shù)單位)，則a=()

A.-lB.lC.-3D.3

答案C

解析法一因為（l+ai）i=—a+i=3+i,所以一a=3,解得a=-3.

3|j

法二因為（1+〃i）i=3+i,所以l+oi=-j—=1—3i,所以〃=—3.

2.（2021.岳陽一模）已知—=l+i（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)|z|=（）

A.iB.-iC.lD.2

答案C

解析因為——=1+i,所以z=]故|z|=]+j1.

3.（2021.石家莊二模）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=U不（i為虛數(shù)單位），則z對應(yīng)的點的

坐標(biāo)為（）

A.（3,4）B.（—4,3）

eg-I）D.0,-|）

答案D

金+u___5i_______5i（3+4i）______3i~443.缶”__4_3.

--+1）

解析因為z―3_今一（3_4i）（3+4i）-555所以z——5一

所以復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點的坐標(biāo)為層，一|；

4.（2021?日照一模）復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i（a—i）（a<0）的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析z=i（a—i）=l+ai表示的點為（1,。），因為a<0,所以點（1,a）位于第四

象限.

5.（2021.南京三模）已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=；+坐i,則復(fù)數(shù)1■的虛部為（）

近

A—2R亞.2「居21-口L*?居21

答案A

解析

虛部為

2,

6.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=|z+i|,i為虛數(shù)單位，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z(x,y),

則下列結(jié)論一定正確的是()

A.x=lB.y—1C.x=OD.y=0

答案D

解析因為滿足|z—i|=|z+i|的點Z為復(fù)平面內(nèi)到點(0,—1)和(0,1)的距離相等

的點的集合，所以Z(x,y)的軌跡為x軸，其方程為y=0.

7.(多選)(2021.重慶質(zhì)檢)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=音，則以下說法正確的是

()

A.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限

7

B.z的虛部是一5

C.|z|=3小

D.若復(fù)數(shù)zi滿足|zi—z|=l,則㈤的最大值為1+隼

答案AD

EW3+2i(3+2i)(2+i)4,7??丁一上,、山一,

斛析?z=-^~~r=~r~-.=-+~i,..z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為

2—1(2—1)(2+1)55

序5V在第一象限，故A正確；

7.

z的虛部是予故B不正確；

回=卡第二平，故c不正確；

22、

設(shè)zi=x+yi,x,yGR,由|zi—z|=l得+(y~=1,則點(x,y)在以停,1

為圓心，以1為半徑的圓上，則Q,y)到(0,0)的距離的最大值為+3)

=1+5＞即01的最大值為1十七一，故D正確.

8.如果關(guān)于x的方程2—+3奴+/—。=。至少有一個模等于1的根，那么實數(shù)0

的值()

A.不存在B.有一個

C.有三個D.有四個

答案C

解析(1)當(dāng)根為實數(shù)時，將x=l代入原方程得次+2。+2=0,無解；

將x=—1代入原方程得/—加+2=0,解得。=2/，都符合要求；

(2)當(dāng)根為虛數(shù)時,C=a(a+8)V0,

**?—8VaV0.

次一a

此時有X1X2=(X1)2=1=-2-，

即a2—a—2=0.

解得a=—1或〃=2(舍去)，故〃的值共有三個.

9.若復(fù)數(shù)(1—2i)(a+i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為.

答案一2

解析(1—2i)(a+i)=a+2+(l—2a)i,

由已知，得〃+2=0,1—2QW0,

:?〃=-2.

10.若復(fù)數(shù)2=+12。22,則Z+4的模等于..

答案6啦

解析z=i+i2022=i—i,z+￥=l+i+y^j=6+6i,其模為6g.

11.設(shè)。是坐標(biāo)原點，向量以，油對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—3i,—3+2i.那么向量就

對應(yīng)的復(fù)數(shù)是..

答案5-5i

解析：向量為，油對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2—3i,—3+2i,

：.OA=(2,-3),彷=(—3,2),

：.BA=0A-0B=(5,-5),其對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5—5i.

12.若2—3i是方程x2—4x+a=0(aGR)的一個根，則其另外一個根是

答案2+3i13

解析設(shè)方程的另外一根為x,則x+2—3i=4,故x=2+3i,a=(2—3i)(2+3i)

=13.

|B級能力提我

13.(多選)(2022.福州一模)設(shè)z為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.|z|2=z?z

B.Z2=|Z|2

C.若|z|=l,則|z+i|的最大值為2

D.若|z—1|=1,貝U0W|z|W2

答案ACD

解析對于A,設(shè)2=.十歷(a,》?R),

則2=。一歷，

/.\z\2=a2~\~b2,而2?2=次+序，

所以|z|2=Z-Z成立;

對于B,z=a+bi(a,5?R),當(dāng)ab均不為0時,z2=(a+Z?i)2=a2—Z?2+2abi,而

|z|2=a2+Z?2,所以z2=|zF不成立;

對于C,|z|=l可以看成以。(0,0)為圓心，1為半徑的圓上的點P,|z+i|可以看

成點P到Q(0,—1)的距離，所以當(dāng)P(0,1)時，可取|z+i|的最大值2；

對于D,|z—1|=1可以看成以“(1,0)為圓心，1為半徑的圓上的點N,則|z|表

示點N到原點的距離，故。，N重合時，|z|=0最小，當(dāng)。，M,N三點共線時,

|z|=2最大,故0W|z|W2.故選ACD.

14.(多選)(2021.濟(jì)南十一學(xué)校聯(lián)考)歐拉公式eH=cosx+isinx(其中i為虛數(shù)單位,

x?R)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),

建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被

譽為數(shù)學(xué)中的“天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是()

A.復(fù)數(shù)e2i對應(yīng)的點位于第三象限

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B.e?為純虛數(shù)