高考數(shù)學專項復習訓練：解答中檔題型概率與統(tǒng)計綜合題

專題19解答中檔題型：概率與統(tǒng)計綜合題

1.(2223高一下?江蘇南京?期末)某市對不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識競賽，滿分100

分(90分及以上為認知程度高)，現(xiàn)從參賽者中抽取了無人,按年齡分成5組(第一組：［20,25),第二組：［25,30),

第三組：［30,35),第四組：［35,40),第五組：［40,45］),得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有5人.

(2)求抽取的尤人的年齡的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù))；

⑶以下是參賽的10人的成績：90,96,97,95,92,92,98,88,96,99,求這10人成績的20百分位數(shù).

【答案】⑴100;(2)32；(3)91

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖求出第一組頻率，由此能求出x.

(2)利用中位數(shù)的計算方法求解即可.

(3)利用百分位數(shù)的計算公式求解即可；

【詳解】(1)第一組頻率為0.01x5=0.05,

所以尤=焉=100;

(2)設(shè)中位數(shù)為。，

95

貝1|由圖可得001*5+0.07x5+(4-30)x0.06=。.5,解得。=半832,

所以抽取的x人的年齡的中位數(shù)為32；

(3)按照成績從小到大的順序排列為：88,90,92,92,95,96,96,97,98,99,

90+92

10x20%=2,故20%分位數(shù)為------=91.

2

2.(2223高一下?江蘇南通?期末)某種經(jīng)濟樹木根據(jù)其底部周長的不同售價有所差異，底部周長在

85cm~105cm為三類樹，底部周長在105cm~125cm為二類樹，底部周長大于或等于125cm為一類樹.為了

解一大片該經(jīng)濟林的生長情況，隨機測量其中100株樹木的底部周長(單位：cm),數(shù)據(jù)均落在85cm~135cm

之間，按照［85,95),［95,105),［105,115),［115,125),［125,135］分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

頻率

組距

(1)估計該片經(jīng)濟林中二類樹約占多少；

(2)將同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間中點的數(shù)值代替，試估計該經(jīng)濟林中樹木的平均底部周長.

【答案】(1)60%；(2)111.9cm

【分析】(1)根據(jù)頻率之和為1即可求解a=0.021,即可求解二類樹的頻率，

(2)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算公式即可求解.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得，

0.007xl0+0.018xl0+0.039xl0+axl0+0.015xl0=l,

所以10a=0.21,解得a=0.021.

因為底部周長在105cm~125cm為二類樹，

所以由圖可得，0.039x10+0.021x10=0.6.

答：該片經(jīng)濟林中二類樹木約占60%.

(2)由題意可得，

90x0.07+100x0.18+110x0.39+120x0.21+130x0.15

=6.3+18+42.9+25.2+19.5

=111.9cm

答：估計該經(jīng)濟林中樹木的平均底部周長為1H.9cm.

3.(2223高一下?江蘇常州?期末)為豐富學生的學習生活，某高中開設(shè)了“校本課程”.為了解學生對“校本

課程”工作的認可程度，學校隨機調(diào)查了600名學生.根據(jù)這600名學生對“校本課程”工作認可程度給出的

評分，分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(2)為了解部分學生給“校本課程”工作評分較低的原因，學校從評分低于80分的學生中用分層抽樣的方法隨

機選取30人進行座談，求應(yīng)選取評分在［60,70)的學生人數(shù)；

(3)若學生認可系數(shù)］認可系數(shù)=認可不藍平均分］不低于。85,“校本課程”工作按原方案繼續(xù)實施，否則需

進一步整改.根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識.結(jié)合認可系數(shù)，判斷“校本課程”工作是否需要進一步整改，并說明理

由.

【答案】(1)了=0。1,85；(2)10；(3)“校本課程”工作需要進一步整改，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程，求出x的值，再根據(jù)百分位數(shù)的

計算規(guī)則計算可得；

(2)首先求出三組的比例，再按照分層抽樣計算可得；

(3)求出平均數(shù)，即可判斷.

【詳解】(1)由圖可知：10x(x+0.015+0.02+0.03+0.025)=l,

解得x=0.01.

因為［50,80)內(nèi)的頻率為0.1+0.15+0.2=0.45<0.6,

［50,90)內(nèi)的頻率為0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6,

所以第60百分位數(shù)位于區(qū)間［80,90)內(nèi)，設(shè)為加，

所以0.45+(〃?—80)x0.03=0.6,解得m=85,所以第60百分位數(shù)為85.

(2)低于80分的學生中三組學生的人數(shù)比例為01:0.15:0.2=2:3:4,

30x10

則應(yīng)選取評分在［60,70)的學生人數(shù)為：2+3+4=(人)；

(3)由圖可知，認可程度平均分為：

jc=55x0.1+65x0.15+75x0.2+85x0.3+95x0.25=79.5<0.85x100=85,

所以“校本課程”工作需要進一步整改.

4.（2223高一下?江蘇徐州?期末）近年來，“直播帶貨''受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動消費的一

種流行營銷形式.某直播平臺有800個直播商家，對其進行調(diào)查統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、

玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖①所示.為了更好地服務(wù)買賣雙方，該直播平臺打算用分層抽

（1）應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？

（2）在問詢了解直播商家的利潤狀況時，工作人員對抽取的60個商家的平均日利潤進行了統(tǒng)計（單位：元），

所得頻率直方圖如圖②所示.

（i）估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)與平均數(shù)（求平均數(shù)時同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點的數(shù)

值為代表）；

（ii）若將平均日利潤超過470元的商家稱為“優(yōu)質(zhì)商家”，估計該直播平臺“優(yōu)質(zhì)商家”的個數(shù).

【答案】（1）小吃類21家，生鮮類9家；（2）（i）中位數(shù)為與元，平均數(shù)為440元；（ii）256

【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計算即可；

（2）（i）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計算即可；

（ii）根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個數(shù)來估計總體中“優(yōu)秀商家”的個數(shù)即可.

【詳解】（1）根據(jù)分層抽樣知：

應(yīng)抽取小吃類60x(1-30%—15%-10%—5%—5%)=21家，生鮮類60*15%=9家,

所以應(yīng)抽取小吃類21家，生鮮類9家.

(2)(i)根據(jù)題意可得(0.002x3+24+0.006)x50=1,解得。=0.004,

設(shè)中位數(shù)為x,因為(0.002+0.004)x50=0.3,(0.002+0.004+0.006)x50=0.6,

所以(x-400)x0.006+0.3=0.5,解得x=

1300-

所以該直播平臺商家平均日利潤的中位數(shù)為7L-

3

平均數(shù)為(325x0.002+375x0.004+425x0.006+475x0.004+525x0.002+575x0.002)x50=440,

所以該直播平臺商家平均日利潤的平均數(shù)為440元.

500-470*++0.0021x50x800=256,

(ii)00040002

50)

所以估計該直播平臺“優(yōu)秀商家”的個數(shù)為256.

5.（2223高一下?江蘇南京?期末）某商場為了制定合理的停車收費政策，需要了解顧客的停車時長（單位:

分鐘）.現(xiàn)隨機抽取了該商場到訪顧客的100輛車進行調(diào)查，將數(shù)據(jù)分成6組：（0,100],（100,200],（200,300],

（300,400],（400,500],（500,600],并整理得到如下頻率分布直方圖:

（1）若某天該商場到訪顧客的車輛數(shù)為1000,根據(jù)頻率分布直方圖估計該天停車時長在區(qū)間（400,600]上的車

輛數(shù)；

（2）為了吸引顧客，該商場準備給停車時長較短的車輛提供免費停車服務(wù).若以第30百分位數(shù)為標準，請你根

據(jù)頻率分布直方圖，給出確定免費停車時長標準的建議（數(shù)據(jù)取整數(shù)）.

【答案】（1）50；（2）免費停車時長為153分鐘

【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1列出方程，求出（400,500]的頻率，從而得到樣本中停車時長在區(qū)間（400,600]

上的頻率并估計該天停車時長在區(qū)間（400,600]上的車輛數(shù);

（2）先確定第30百分位數(shù)位于（100,200]之間，列出方程，求出答案.

【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有頻率和為1，設(shè)（400,500]的頻率為尤,

可歹J等|式為（0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034）X100+X=1,

/.x=0.03j

所以樣本中停車時長在區(qū)間（400,600]上的頻率為0.05,

估計該天停車時長在區(qū)間（400,600]上的車輛數(shù)是50；

(2)設(shè)免費停車時間長不超過y分鐘，又因為(0,1。。］的頻率為0.13<30%,

并且(0,200］的頻率為0.45>30%,所以y位于(100,200］之間，

貝1|滿足。.13+(y-100)x0.0032=0.3,

/,y?153,

確定免費停車時長為153分鐘.

6.(2223高一下?江蘇南通?期末)為慶?！拔逅摹鼻嗄旯?jié)，廣州市有關(guān)單位舉行了“五四”青年節(jié)團知識競賽活

動，為了解全市參賽者成績的情況，從所有參賽者中隨機抽樣抽取100名，將其成績整理后分為6組，畫出

頻率分布直方圖如圖所示(最低90分，最高150分)，但是第一、二兩組數(shù)據(jù)丟失，只知道第二組的頻率是

(1)求第一組、第二組的頻率各是多少？

(2)現(xiàn)劃定成績大于或等于上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)為“良好”以上等級，根據(jù)直方圖，估計全市“良好”以

上等級的成績范圍(保留1位小數(shù))；

(3)現(xiàn)知道直方圖中成績在［130,140)內(nèi)的平均數(shù)為136,方差為8,在［140,150］內(nèi)的平均數(shù)為144,方差為4,

求成績在［130,150］內(nèi)的平均數(shù)和方差.

【答案】⑴第一組的頻率為0.04,第二組的頻率為0.08；⑵［129.7,150］；(3)平均數(shù)為138,方差為19

【分析】(1)設(shè)第一組的頻率為。，則第二組的頻率為2a,利用頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1

可求得。的值，即可得解；

(2)計算出樣本的第75百分位數(shù)，即可得出全市“良好”以上等級的成績范圍；

(3)利用總體的平均數(shù)和方差公式可求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)第一組的頻率為環(huán)則第二組的頻率為2“，

由題意可得3a+(0.034+0.03+0.018+0.006)xl0=l,解得a=0.04,

因此，第一組的頻率為0.04,第二組的頻率為0.08.

(2)解：設(shè)樣本的第75百分位數(shù)為加，前三個矩形的面積之和為0.12+0.34=046,

前四個矩形的面積之和為046+0.3=0.76,所以，e(120,130),

由百分位數(shù)的定義可得。46+(加-120)x0.03=0.75,解得機近29.7,

所以，估計全市“良好”以上等級的成績范圍為［129.7,150］.

(3)解：成績在［130,140)的頻數(shù)為100x0.18=18,成績在［140,150］的頻數(shù)為100x0.06=6,

又因為直方圖中成績在［130,140)內(nèi)的平均數(shù)為136,方差為8,在［140,150］內(nèi)的平均數(shù)為144,方差為4,

所以，成績在［130,150］內(nèi)的平均數(shù)為，1^><136+五%><144=138,

方差為瑞［8+036一138『卜品卜+(144一138419.

7.(2223高一下?江蘇無錫?期末)某大型連鎖超市隨機抽取了100位客戶，對去年到該超市消費情況進行調(diào)

查.經(jīng)統(tǒng)計，這100位客戶去年到該超市消費金額(單位：萬元)均在區(qū)間［020.8］內(nèi)，按

［0.2,0.31,(0.3,0.41,(0.4,0.51,(0.5,0.61,(0.6,0.71,(0.7,0.816組，其頻率分布直方圖如圖所示.

頻率

o

.

.0

.Q8

.O6

⑴求頻率分布直方圖中〃的值，并估計樣本中消費金額的中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.01)；

(2)求出這100位客戶最近一年到該超市消費金額的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值

作代表).

【答案】(l)a=L3,0.46萬元；(2)0.466

【分析】(1)由頻率和為1,列方程可求出。的值，先判斷出中位數(shù)在第三組，然后列方程求解即可，

(2)根據(jù)平均數(shù)的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解.

【詳解】(1)由題可知，2xax0.1+2.0x0.1+3.0x0.1+1,8x0.1+0.6x0,1=l

即0.2〃=0.26,所以a=1.3.

因為前兩組的頻率和為0.lx(1.3+2.0)=0.33v0.5,前三組的頻率和為0.1x(1.3+2.0+3.0)=0.63>0.5,

所以中位數(shù)在第三組，設(shè)中位數(shù)為X,則0.13+0.2+(x—0.4)x3.0=0.5,解得xgO.46,

所以樣本中消費金額的中位數(shù)約為0.46萬元；

(2)由頻率分布直方圖可得

7=0.25x0.13+0.35x0.2+0.45x0.3+0.55x0.18+0.65x0.13+0.75x0.06=0.466

因此，這100位客戶最近一年到該超市消費金額的平均數(shù)為0.466萬元.

8.(2122高一下?江蘇無錫?期末)我國是世界上嚴重缺水的國家之一，為提倡節(jié)約用水，我市為了制定合理

的節(jié)水方案，對家庭用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了2021年100個家庭的月均用水量(單位：t),

將數(shù)據(jù)按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求全市家庭月均用水量不低于6t的頻率；

(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)都用該組區(qū)間的中點值代替，求全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計值；

(3)求全市家庭月均用水量的75%分位數(shù)的估計值(精確到0.01).

【答案】(1)0.3；(2)4.92(t)；(3)6.56

【分析】(1)直接由頻率分布直方圖計算；

(2)用每組區(qū)間的中點值乘以相應(yīng)的頻率再相加可得均值；

(3)由頻率分布直方圖分別求出前3組和前4組的頻率，得出75%分位數(shù)在第4組，求出頻率0.75對應(yīng)的

值即可得.

【詳解】(1)全市家庭月均用水量不低于6t的頻率為(0.09+0.06)x2=0.3.

(2)全市家庭月均用水量平均數(shù)的估計值為

0.06x2xl+0.11x2x3+0.18x2x5+0.09x2x7+0.06x2x9=4.92(t)；

(3)因為0.06x2+0.11x2+0.18x2=0.7<0.75,0.06x2+0.11x2+0.18x2+0.09x2=0.88>0.75,

n7c_n7

所以全市家庭月均用水量的75%分位數(shù)為6+x2x6.56.

0.18

9.(2122高一下?江蘇無錫?期末)我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了了

解全市居民生活用水量分布情況，通過抽樣，獲得100戶居民月均用水量(單位：n?),將數(shù)據(jù)按照［0,4),

［4,8),…，［32,36)分成9組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.為了鼓勵居民節(jié)約用水，該市政府在本市實

行居民生活用水“階梯水價”：第一階梯為每戶每月用水量不超過20m3的部分按3元/n?收費，第二階梯為

超過20m3但不超過28m3的部分按5元/n?收費，第三階梯為超過28m3的部分按8元/??收費.

頻率/組距

0.020

0.015

0.010

0.005

12162024283236月均用水量

(1)求直方圖中。的值；

(2)已知該市有20萬戶居民，估計全市居民中月均用水費用不超過60元的用戶數(shù)，并說明理由；

(3)該市政府希望使至少有95%的用戶每月用水量不超過第二階梯收費標準，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)判斷，現(xiàn)行

收費標準是否符合要求？若不符合，則應(yīng)該將第二階梯用水量的上限至少上調(diào)到多少n??

【答案】(1)a=0.0375；(2)146000,理由見解析；(3)現(xiàn)行收費標準不符合要求，需將第二階梯用水量

的上限至少上調(diào)到29m3

【分析】(1)頻率分布直方圖中的所有矩形的面積之和為1建立關(guān)于。的方程，求出。的值；

(2)由“階梯水價”知“用戶月均用水費用不超過60元即“用戶月均用水不超過20m3”，算出頻率，得出全市

7320萬戶居民中月均用水費用不超過60元的用戶數(shù)；

(3)抽取的100戶居民月均用水量不超過28m3的頻率為0.94<0.95,所以現(xiàn)行收費標準不符合要求.抽取

的100戶居民月均用水量不超過32m3的頻率為1,現(xiàn)行收費標準不符合要求，需將第二階梯用水量的上限

至少上調(diào)到29n?.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得

(0.010+0.020+a+0.050+0.065+(2+0.015+0.010+0.005)x4=l,解得a=0.0375.

(2)由“階梯水價”知“用戶月均用水費用不超過60元即“用戶月均用水不超過20m3”，則100戶居民中有

(0.010+0.020+0.0375+0.050+0.065)x4xl00=73,由此可以估計全市7320萬戶居民中月均用水費用不超

73

過60元的用戶數(shù)為——x200000=146000.

(3)抽取的100戶居民月均用水量不超過28m3的頻率為:

(0.010+0.020+0.0375+0.050+0.065+0.375+0.015)x4=0.94,

0.94<0.95，所以現(xiàn)行收費標準不符合要求.

抽取的100戶居民月均用水量不超過32m3的頻率為:

(0.010+0.020+0.0375+0.050+0.065+0.375+0.015+0.010)x4=0.98,

095-094

-----------x(32-28)=l,

0.98-0.94

現(xiàn)行收費標準不符合要求，需將第二階梯用水量的上限至少上調(diào)到29m二

10.(2122高一下?江蘇南通?期末)立德中學高一年級800名學生參加某項測試，測試成績均在65分到145分

之間，現(xiàn)隨機抽取50名學生的測試成績，分8組：第1組［65,75),第2組［75,85),L,第8組［135,145］,

(2)估計學生測試成績的平均數(shù)；

(3)估計學生測試成績的中位數(shù).

【答案】(1)。=0.034；(2)100.8；(3)100.29

【分析】(1)利用頻率之和為1，求出。的值;

(2)根據(jù)頻率分布圖的平均數(shù)的運算規(guī)則計算即可；

(3)根據(jù)中位數(shù)的定義計算即可.

【詳解】(1)解：由題意可得，(0.004+0.012+0.016+4+0.020+0.006+0.004+0.004)x10=1,

解得a=0.034

(2)學生測試成績的平均數(shù)為：

0.004x10x70+0.012x10x80+0.016x10x90+0.034x10x100+0.020x10x110+

0.006x10x120+0.004x10x130+0.004x10x140=100.8

（3）設(shè)中位數(shù)為x,貝

0.004x10+0.012x10+0.016*10+（x-95）x0.034=0.5,

解得x。100.29

11.（2122高一下.江蘇宿遷?期末）庚子新春，“新冠”病毒肆虐，習近平總書記強調(diào)要“人民至上、生命至上，

果斷打響疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)”，教育部也下發(fā)了“停課不停學，停課不停教”的通知.為

了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學校開展組織學生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中

抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：

（1）若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；

（2）以樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；

（3）若學校安排甲、乙兩位同學參加第二輪的復賽，己知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率為g,乙復賽獲優(yōu)秀等級

的概率為=,甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率.

4

【答案】（1）2人；（2）平均數(shù)為71,中位數(shù)為2答20；（3）首11

【分析】（1）先根據(jù)各矩形的面積之和為1,求得。，再根據(jù)各層的人數(shù)比例抽??；

（2）利用平均數(shù)和中位數(shù)公式求解；

（3）法一，分一人或二人獲優(yōu)秀，利用互斥事件和獨立事件的概率求解；法二：利用對立事件的概率求解.

【詳解】（1）解：由（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+4）x10=1,

得a=0.03,

因為0.01x10x200=20（人），0.015x10x200=30（人）.

20

所以不高于50分的抽5x市市=2（人）；

(2)平均數(shù)于=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.。5=71.

因為在［40,70］內(nèi)共有80人，則中位數(shù)位于［70,80］內(nèi)，

則中位數(shù)為TO+^xlOn丁;

603

(3)記“至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級”為事件A,

32311

則P(A)=—X——F—X——|-—X—=

答：至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率為1.

法二：記“至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級”為事件A

-1111

P(A)=1-P(A)=1——x-=—

3412

答：至少有一位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率為

12.(2122高一下?江蘇鹽城?期末)為了有效抗擊疫情，保衛(wèi)師生健康，某校鼓勵學生在食堂就餐，為了更

好地服務(wù)學生，提升食堂的服務(wù)水平，學校采用了問卷調(diào)查的形式調(diào)研了學生對食堂服務(wù)的滿意程度，滿

分是100分，將問卷回收并整理評分數(shù)據(jù)后,把得分分成了5m：[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100],并繪制成如圖所示的頻率直方圖.

0.020

0.015

5060708090100評分

(1)計算a的值和樣本的平均分；

(2)為了更全面地了解師生對食堂服務(wù)水平的評價，求該樣本的50百分位數(shù)(精確到0.01).

【答案】(1)4=0.005,樣本平均分為71分；(2)68.18分

【分析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)直方圖求樣本平均分；

(2)首先判斷50百分位數(shù)所在區(qū)間，再由百分數(shù)求法求得50百分位數(shù).

【詳解】(1)由直方圖知：(0.055+0.02+0.015+2a)*10=1,可得。=0.005,

樣本平均分為(55x0.005+65x0.055+75x0.02+85x0.015+95x0.005)x10=71^".

(2)由(0.005+0.055)x10=0.6>0.5>0.005xlO=0.05,

所以50百分位數(shù)在[60,70)區(qū)間內(nèi)，令50百分位數(shù)為x,

貝0.005x10+(%—60)x0.055=0.5,可得%。68.18分.

13.(2122高一下?江蘇南京?期末)為了調(diào)查疫情期間物理網(wǎng)課學習情況，某校組織了高一年級學生進行了

物理測試.根據(jù)測試成績(總分100分)，將所得數(shù)據(jù)按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),

[90,100]分成6組，其頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求圖中a的值;

(2)試估計本次物理測試成績的平均分；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)

(3)該校準備對本次物理測試成績優(yōu)異(將成績從高到低排列，排在前13%的為優(yōu)異)的學生進行嘉獎，則

受嘉獎的學生分數(shù)不低于多少？

【答案】(1)0.025；(2)71；(3)88

【分析】(1)由直方圖區(qū)間頻率和為1求參數(shù)

(2)根據(jù)直方圖求物理測試成績的平均分即可;

(3)根據(jù)直方圖求出成績從高到低排列且頻率為0.13對應(yīng)分數(shù)即可.

【詳解】(1)由(0.005+0.010+0.015x2+4+0.030)x10=1,解得。=0.025；

(2)45x0.05+55x0.15+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.1=71,

故本次防疫知識測試成績的平均分為71；

(3)設(shè)受嘉獎的學生分數(shù)不低于x分，

因為[80,90),[90,100]對應(yīng)的頻率分別為0.15,0.1,

所以(907)x0.015+。1=013,解得》=88,

故受嘉獎的學生分數(shù)不低于88分.

14.（2122高一下?江蘇連云港?期末）2021年4月23日“世界讀書日”來臨時，某校為了解中學生課外閱讀情

況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，整理得到下表.

（2）根據(jù)頻率直方圖估計該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；

（3）現(xiàn)從第4、5組中用比例分配的分層抽樣方法抽取6人參加校中華詩詞比賽，經(jīng)過比賽后，第4組得分的

平均數(shù)；=7,方差/=2,第5組得分的平均數(shù)］=7,方差則這6人得分的平均數(shù)1和方差分別

為多少（方差精確到0.01）?

【答案】（1）。=35；人=0.30；作圖見解析；（2）眾數(shù)的估計值為7.5；中位數(shù)的估計值為11.67；（3）平均數(shù)為

7,方差為1.67

【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1,以及頻數(shù)之和為樣本容量，即可求解.

（2）根據(jù)頻率分步直方圖，可求眾數(shù)以及中位數(shù).

（3）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式即可求解.

【詳解】⑴：5+4+30+20+10=100,...4=35.

0.05+0.35+5+0.20+0.10=1,AZ?=0.30.

易知中位數(shù)應(yīng)在[10,15)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x,

貝U0.05+0.35+(x—10)x0.06=0.5,解得x°11.67,故中位數(shù)的估計值為11.67.

(3):第4組和第5組的頻數(shù)之比為2：1,.?.從第4組抽取4人，第5組抽取2人.

?、?/?ZR/<4xx+2xy4x7+2x7

..這6人得分的平均數(shù)a=--------------=--------------=7,

方差

QL67

即這6人得分的平均數(shù)為7,方差為1.67.

15.(2223高一下?江蘇無錫?期末)某高中高一500名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分

層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30),[30,40),…,[80,90],

并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.

(1)從總體的500名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于60的概率;

(2)估計測評成績的第75%分位數(shù)；

(3)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，其中3名男生；分數(shù)小于30的學生有2人，其中1名男生.從樣

本中分數(shù)小于40的學生中隨機抽取一人，貝廠抽到的學生分數(shù)小于30”與“抽到的學生是男生”這兩個事件是

否獨立?請證明你的結(jié)論.

【答案】⑴0.2；(2)78.75；(3)不相互獨立，證明見解析

【分析】(1)由對立事件結(jié)合頻率分布直方圖先得出數(shù)不小于60的頻率，即可得出分數(shù)小于60的頻率，

從而得解；

(2)先判斷測評成績的第75%分位數(shù)所在區(qū)間，再利用百分位數(shù)的計算方法求解即可；

(3)依題意分別求得這兩事件與交事件的概率，再利用獨立事件的概率公式判斷即可.

【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得分數(shù)不小于60的頻率為：(0.02+0.04+0.02)x10=0.8,

則分數(shù)小于60的頻率為：1-0.8=02,

故從總體的500名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于60的概率估計為0.2；

(2)由頻率分布直方圖易得分數(shù)小于70的頻率為0.4,分數(shù)小于80的頻率為0.8,

則測評成績的第75%分位數(shù)落在區(qū)間［70,80)上，

所以測評成績的第75%分位數(shù)為70+10x用035=78.75；

0.4

(3)依題意，記事件A="抽到的學生分數(shù)小于30”，事件8="抽到的學生是男生”，

因為分數(shù)小于40的學生有5人，其中3名男生；

所以“抽到的學生是男生”的概率為尸(可=1,

因為分數(shù)小于30的學生有2人，其中1名男生，

所以“抽到的學生分數(shù)小于30”的概率為尸(A)=(,

因為事件AB表示“抽到的學生分數(shù)小于30且為男生”，滿足條件的只有1名男生，

所以尸(4B)=g,

因為P(A)尸(B)NP(AB),

所以這兩個事件不相互獨立.

16.(2223高一下?江蘇蘇州?期末)數(shù)字人民幣在數(shù)字經(jīng)濟時代中體現(xiàn)的價值、交易媒介和支付手段職能，

為各地數(shù)字經(jīng)濟建設(shè)提供了安全、便捷的支付方式，同時也為金融監(jiān)管、金融產(chǎn)品設(shè)計提供更多選擇性和

可能性.蘇州作為全國首批數(shù)字人民幣試點城市之一，提出了2023年交易金額達2萬億元的目標.現(xiàn)從使

用數(shù)字人民幣的市民中隨機選出200人，并將他們按年齡（單位:歲）進行分組:第1組［15,25）,第2組［25,35）,

第3組［35,45）,第4組［45,55）,第5組［55,65］,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

⑵在這200位市民中用分層隨機抽樣的方法從年齡在［25,35）和［45,55）內(nèi)抽取6位市民做問卷調(diào)查，并從中

隨機抽取兩名幸運市民，求兩名幸運市民年齡都在［25,35）內(nèi)的概率.

2

【答案】（1）。=0.035,第25百分位數(shù)為30；⑵］

【分析】（1）根據(jù)頻率和為1可求。的值，判斷第25百分位數(shù)在第二組，設(shè)為無，列方程可求解；

（2）用分層隨機抽樣的方法抽取年齡在［25,35）的人數(shù)為4人，年齡在［45,55）的人數(shù)為2人，利用列舉法，

根據(jù)古典概型概率公式求解即可.

【詳解】（1）（a+0.03+0.015+0.01x2）xl0=l=>a=0.035,

因為第一組的頻率為0.01x10=0.1,0.1<0.25,

第二組的頻率為0.03x10=0.3,0.1+0.3>0,25,

比一25

所以第25百分位數(shù)在第二組，設(shè)為無，貝。0.1+二一、0.3=0.25=》=30,

所以第25百分位數(shù)為30.

（2）年齡在［25,35）的市民人數(shù)為200x0.3=60,年齡在［45,55）的市民人數(shù)為200x0.15=30,

用分層隨機抽樣的方法抽取年齡在［25,35）的人數(shù)為6x^^=4人，年齡在［45,55）的人數(shù)為6x而普=2人,

設(shè)年齡在［25,35）的4人為A,B,C,D,年齡在［45,55）的2人為E,F,

從這6為市民中抽取兩名的樣本事件為

其中2名年齡都在［25,35)內(nèi)的樣本事件有{(AB),(AC),(AD),(3C),(3。),(CD)}6種，

所以兩名幸運市民年齡都在［25,35)內(nèi)的概率為2=|.

17.(2223高一下?江蘇宿遷?期末)一只不透明的口袋內(nèi)裝有大小、質(zhì)地相同，編號分別為1、2的兩個球,

從口袋內(nèi)隨機取1個球，記下號碼后放回，這樣重復取3次球，用有序?qū)崝?shù)組來表示樣本點，如“(1,2,

2)”表示第一次取到的是1號球，第二、第三次取到的都是2號球.

⑴請你寫出該隨機試驗的樣本空間。；

(2)記“前兩次取到的號碼相同”為事件A,“后兩次取到的號碼相同”為事件反

①試判斷事件A與事件8是否為相互獨立事件；

②求事件A+8的概率尸(A+B).

【答案】⑴。={(1」,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)}；(2)①事件A與事件B為相互

獨立事件；②二3

【分析】(1)根據(jù)已知，寫出即可；

(2)①根據(jù)已知寫出事件A8,48包含的樣本點，根據(jù)古典概型計算出尸(A),尸(3),P(AB)的值，根據(jù)獨立

事件概率的乘法公式，計算即可判斷；②方法一：列出事件A+3包含的樣本點，根據(jù)古典概型計算即可;

方法二：寫出對立事件包含的樣本點，計算得出概率，然后根據(jù)對立事件的概率公式，計算即可；方法三：

根據(jù)①的概率，結(jié)合事件的運算關(guān)系，計算即可得出答案.

【詳解】(1)根據(jù)已知，可得樣本空間

O={(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1),(2,2,2)},包含8個等可能的樣本點.

(2)①由(1)可知,事件A包含的樣本點有：(1,1,1),(1,1,2),(2,2,1),(2,2,2),

41

故尸(A)=d=彳；

o2

事件3包含的基本事件有：QU),(2,1,1),(1,2,2),(2,2,2),

41

故P(B)=W=7；

o2

事件AB包含的基本事件有：(1,1,1),(2,2,2),

故P(AB)=~=~;

84

因P(A)P(B)=|x1=l=P(AB),

故事件A與事件B為相互獨立事件.

②方法一：事件A+8包含的基本事件有：

(1,1,1),(1,1,2),(2,2,1),(2,2,2),(2,1,1),(1,2,2),

故P(A+B)W.

84

方法二：設(shè)事件A+3的對立事件為C,則事件。包含的基本事件有：(1,2,1),(2,1,2),

21

故P(C)=7=T，

84

13

P(A+B)=l-P(C)=l--=-.

44

1113

方法三:尸(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+---=-.

2244

18.(2223高一下?江蘇揚州?期末)某村為響應(yīng)國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，扎實推動鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)，提高村民收益，種

植了一批培溪蜜柚.現(xiàn)為了更好地銷售，從該村的蜜柚樹上隨機摘下了100個蜜柚進行測重，測得其質(zhì)量(單

位：千克)均分布在區(qū)間［157.5］內(nèi)，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：

(1)按分層隨機抽樣的方法從質(zhì)量落在區(qū)間［253.5),［3,5,4.5)的蜜柚中隨機抽取5個，再從這5個蜜柚中隨

機抽取2個，求這2個蜜柚質(zhì)量至少有一個小于3.5千克的概率；

(2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平，以頻率代表概率，已知該村的蜜柚樹上大約還有5000

個蜜柚待出售，某電商提出兩種收購方案：

A.所有蜜柚均以20元/千克收購；

B.低于4.5千克的蜜柚以70元/個的價格收購，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/個的價格收購.

請你通過計算為該村選擇收益最好的方案.

7

【答案】⑴記；⑵方案A

【分析】(1)依題意可得蜜柚質(zhì)量在區(qū)間［25,3.5)和［35,4.5)的比為2：3,則分別在質(zhì)量為［2.5,3.5),［3,5,4.5)

的蜜柚中抽取2個和3個，求出從這5個蜜柚中隨機抽取2個的可能情況，再求出至少有一個小于3.5千克

的方法種數(shù)，由古典概率公式代入即可得出答案.

（2）分別計算兩種方案的收益，比較兩者的大小即可得出答案.

【詳解】（1）由題意得：x=l—（0.1x2+0.4+0.2+0.05）=0.15

所以蜜柚質(zhì)量在區(qū)間[2,5,3.5）和[3.5,4.5）的比為2：3,

所以應(yīng)分別在質(zhì)量為[25,3.5）,[3.5,4.5）的蜜柚中抽取2個和3個.

記抽取的2個蜜柚中質(zhì)量至少有一個小于3.5千克為事件A

抽取的質(zhì)量在區(qū)間[2.5,3.5）的蜜柚分別記為生,出，質(zhì)量在區(qū)間[3.5,4.5）的蜜柚分別記為a，b2,

則從這5個蜜柚中隨機抽取2個，

樣本空間￡2=｛a1a^卬片巧仇,0163M261M24嗎。3,姑2,他3也4｝，共10個樣本點

解法一：事件&=｛<21%,014,014,014，%4，%4，生。3｝，共7個樣本點,

7

所以尸（田=正.

解法二：事件A對立事件入=抄也，貼3也4｝，共3個樣本點，

所以尸（A）=l一P（同=1一f

（2）方案A好，

由題中頻率分布直方圖可知，蜜柚質(zhì)量在區(qū)間[L5,2.5）,[253.5）,[3.5,4.5）,[4.5,5.5）,[5.5,6.5）,[6.5,7.5）

的頻率依次為0.1,0.1,0.15,0.4,0,2,0.05,

若按方案A收購：由題意知各區(qū)間的蜜柚個數(shù)依次為500,500,750,2000,1000,250,

于是總收益為

1.5+2.5_??2.5+3.5_??3.5+4.5_?4.5+5.5_???

----------x500+-----------x500+-----------x750+------------x2000

2222

5.5+6.5see6.5+7.5

+-----------x1000+-----------x250x20=465000（元）.

22

若按方案B收購：由題意知蜜柚質(zhì)量低于4.5千克的個數(shù)為1750,

蜜柚質(zhì)量高于或等于4.5千克的個數(shù)為5000-1750=3250,

所以總收益為1750x70+3250x90=415000（元）.

因為415000<465000,

所以方案A的收益比方案B的收益高，應(yīng)該選擇方案A.

19.（2223高一下?江蘇淮安?期末）為全面貫徹落實習近平總書記“把周總理的家鄉(xiāng)建設(shè)好，很有象征意義”

的殷切囑托，近年來，淮安加快建設(shè)稻米、小龍蝦、規(guī)模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大產(chǎn)業(yè)集群，小龍蝦產(chǎn)

業(yè)獲批國家優(yōu)勢特色產(chǎn)業(yè)集群，創(chuàng)成以小龍蝦為主導的國家現(xiàn)代農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)園、特色農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)勢區(qū).為了進一

步擴大產(chǎn)業(yè)規(guī)模，某村農(nóng)業(yè)綜合服務(wù)中心決定對20戶養(yǎng)殖戶進行技術(shù)幫扶，每戶配發(fā)同樣重量的龍蝦苗，

經(jīng)過一段時間的養(yǎng)殖后，根據(jù)這20戶未存活的龍蝦苗重量（單位：公斤）繪制如下頻率直方圖，未存活重

量超過30公斤的養(yǎng)殖戶，列為“重點幫扶養(yǎng)殖戶”.

I頻率/組距

0.03......1-

0.02———

0.01....................1

0右2。304050未存卷蝦苗重量（公斤）

（1）根據(jù)頻率直方圖估計這20戶的未存活龍蝦苗的平均數(shù)和中位數(shù)；

（2）現(xiàn)從“重點幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機抽取兩戶調(diào)查其養(yǎng)殖情況，求抽出來的養(yǎng)殖戶中恰有一戶未存活龍蝦苗重

量在（40,50］的概率.

【答案】（1）平均數(shù)23；中位數(shù)/70；（2）尚2

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)的概念運算求解；

（2）先求每組的人數(shù)，再結(jié)合古典概型運算求解.

【詳解】（1）根據(jù)頻率直方圖可得：每組的頻率依次為020.2,0.3,0.2,0.1,

估計平均數(shù)最為：^=5x0.2+15x0.2+25x0.3+35x0.2+45x0.1=23-

因為0.2+0.2=0.4<0.5,0.2+0.2+0.3=0.7>0.5,

可知中位數(shù)位于［20,30）內(nèi)，設(shè)為加，

70

則0.4+0.03（加一20）=0.5,解得m=1,

70

所以可估計中位數(shù)為

3

（2）由（1）可知：未存活龍蝦苗重量在（30,40］的養(yǎng)殖戶有20x0.2=4個，記為A,B,C,Z）；

未存活龍蝦苗重量在（40,50］的養(yǎng)殖戶有20x0.1=2個，記為。，b-,

從“重點幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機抽取兩個，則有A3,AC,AD,Aa,Ab,BC,BD,Ba,Bb,CD,Ca,

Cb,Da,Db,ab,共15種情況,

其中有且僅有一個“重點幫扶養(yǎng)殖戶”在(40,50]的情況有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,Da,Db,共8

種情況，

o

所以恰有一戶未存活龍蝦苗重量在(40,50]的概率P=己.

20.(2223高一下?江蘇泰州?期末)一個袋子中裝有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅球(標號為1

和2),2個白球(標號為3和4),甲、乙兩人先后從袋中不放回地各摸出1個球.設(shè)“甲摸到紅球”為事件與，

“乙摸到紅球”為事件

(1)小明同學認為：由于甲先摸球，所以事件與發(fā)生的可能性大于與發(fā)生的可能性.小明的判斷是否正確，請

說明理由；

(2)判斷事件均與此是否相互獨立，并證明.

【答案】見解析

【分析】(1)先求出摸球的所有情況，利用古典概率求解尸(A),尸(鳥)，比較即可判斷；

(2)利用獨立事件的判定方法進行判斷.

【詳解】(1)兩人摸出球的所有情況：(1,2),(1,3).(1.4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),

(4.1)(4,2),(4,3),共12種；

事件屬包含的情況有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),共6種；

事件&包含的情況有：(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)(4,2),共6種；

所以P出)=P(鳥)=：,故小明的判斷不正確.

21

(2)事件飛鳥包含的情況有：(1,2),(2,1),故/

12o

因為尸=P(RR2)*P⑻P⑻;

所以事件均與國不相互獨立.

21.(2223高一下?江蘇揚州?期末)某中學為了制定培養(yǎng)學生閱讀習慣，指導學生提高閱讀能力的方案，需

了解全校學生的課外閱讀情況，現(xiàn)隨機調(diào)查了100名學生本學期開學以來(60天)的課外閱讀時間，把他

們的閱讀時間分為5組：[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),并繪制如圖所示的頻率分布直方

圖.

（1）求X的值及這100名學生課外閱讀時間的平均數(shù).（各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)值代表這組數(shù)據(jù)的平均水平）

（2）為查找影響學生閱讀時間的因素，學校團委決定采用分層抽樣的方法，從閱讀時間為［10,20）,［20,30）的

學生中抽取6名參加座談會.再從這6名學生中隨機抽取2人，求恰好有一人讀書時間在［10,20）的概率.

O

【答案】⑴0。3；平均數(shù)為26；（2）記

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1求出x,再根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；

（2）利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】（1）由題意得：x=1-10（-05x2+0.02+0.04）=，

10

這100名學生閱讀時間的平均數(shù)為：

5x0.05+15x0.2+25x0.4+35x0.3+45x0.05=26,

所以這100名學生閱讀時間的平均數(shù)為26；

（2）由直方圖得：課外閱讀時間為［10,20）與［20,30）的學生數(shù)的比為1:2,

所以，課外閱讀時間在［10,20）有2名，閱讀時間在［20,30）有4名.

記從這6名學生中隨機抽取2人，

恰好有一人讀書時間在［10,20）為事件M

課外閱讀時間在［10,20）的2名學生分別記為a、b,

閱讀時間在［20,30）的4名學生分別記為A、B、C、D,

所以從這6人中任意抽取2人，

樣本空間

O={(a,b),(a,A),(a,8),(a,C),(a,￡>),(%,A),(6,8),0,C),(6,￡)),

(AB),(AC),(AD),(B,C),(B,￡>)?,￡>)},共15個樣本點,

其中M={(a,A),(a,B),(a,C),(a,0,0,A),(b,B),(女C),但,0},共8個樣本點,

所以尸（"）=（.

22.（2223高一下?江蘇南通?期末）某校知識競賽分初賽、復賽兩輪.某班從甲、乙兩名學生中選拔一人參加學

校知識競賽（初賽），抽取了兩人6次模擬測試的成績，統(tǒng)計結(jié)果如下表：

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲的成績（分）10090120130105115

乙的成績（分）9512511095100135

（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)比較兩名同學的水平，并確定參加初賽的對象；

（2）初賽要求如下：參賽者從5道試題中隨機抽取3道作答，至少答對2道方可進入復賽.若某參賽者會5道

中的3道，求該參賽者能進入復賽的概率.

7

【答案】（1）甲、乙的平均分相同，但甲的成績比乙穩(wěn)定；選甲參加知識競賽較合適；（2）歷

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)計算平均數(shù)和方差，比較即可確定人選；

（2）列舉總的基本事件和所求事件包含的基本事件，利用古典概率概率計算公式即可求解.

——100+90+120+130+105+115…

【詳解】（1）