2024-2025學年新教材高中數(shù)學第10章概率10.1.3古典概型鞏固練習含解析新人教A版必修第二冊

PAGE10.1.3古典概型課后訓練鞏固提升一、A組1.下列關于古典概型的說法不正確的是()A.試驗中全部可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個B.每個隨機事務出現(xiàn)的可能性相等C.每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等D.若樣本點總數(shù)為n,隨機事務A包含k個樣本點,則P(A)=k解析:依據(jù)古典概型的兩個特征及概率公式知,A,C,D正確,B中隨機事務應改為基本領件.答案:B2.有100張卡片(從1號到100號),從中任取一張卡片,則取得的卡片是7的倍數(shù)的概率是()A.320 B.13100 C.750解析:∵n=100,k=14,∴P=kn答案:C3.下列是古典概型的是()A.隨意拋擲兩枚骰子,所得點數(shù)之和作為樣本點時B.求隨意的一個正整數(shù)平方的個位數(shù)字是1的概率,將取出的正整數(shù)作為樣本點時C.從甲地到乙地共n條路途,求某人正好選中最短路途的概率D.拋擲一枚不勻稱硬幣至首次出現(xiàn)正面為止解析:A項中由于點數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等,故A不是;B中的樣本點是無限的,故B不是;C項滿意古典概型的有限性和等可能性,故C是;D項中樣本點既不是有限個也不具有等可能性.答案:C4.在兩個袋內,分別裝著寫有1,2,3,4,5,6六個數(shù)字的6張卡片,今從每個袋中各取一張卡片,則兩數(shù)之和等于9的概率為()A.13 B.16 C.19解析:用x,y分別表示從兩個袋內取出卡片的數(shù)字,如圖所示,樣本點總數(shù)為36,實心圓表示兩數(shù)之和為9,包含4個樣本點,則兩數(shù)之和為9的概率為436答案:C5.已知四條線段的長度分別是1,3,5,7,從這四條線段中任取三條,則所取出的三條線段能構成一個三角形的概率是()A.14 B.13 C.12解析:樣本空間Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},有4個樣本點,而能構成三角形的樣本點只有(3,5,7),所以所取出的三條線段能構成一個三角形的概率是P=14答案:A6.小明一家想從北京、濟南、上海、廣州四個城市中任選兩個城市作為2024年暑假期間的旅游目的地,則濟南被選入的概率是.

解析:用1,2,3,4分別表示北京、濟南、上海、廣州,則樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6個樣本點,記事務A=“濟南被選入”,則A={(1,2),(2,3),(2,4)},共有3個樣本點,所以事務“濟南被選入”的概率P=36答案:17.現(xiàn)有5根竹竿,它們的長度(單位:m)分別為2.5,2.6,2.7,2.8,2.9.若從中一次抽取2根竹竿,則它們的長度恰好相差0.3m的概率為.

解析:樣本空間Ω={(2.5,2.6),(2.5,2.7),(2.5,2.8),(2.5,2.9),(2.6,2.7),(2.6,2.8),(2.6,2.9),(2.7,2.8),(2.7,2.9),(2.8,2.9)},共有10個樣本點.相差0.3m的共有(2.5,2.8),(2.6,2.9)2個樣本點,因此P=15答案:18.某建館工程有六家企業(yè)參加競標,其中A企業(yè)來自陜西省,B,C兩家企業(yè)來自天津市,D,E,F三家企業(yè)來自北京市,現(xiàn)有一個工程須要兩家企業(yè)聯(lián)合建設,假設每家企業(yè)中標的概率相同,則中標企業(yè)中至少有一家來自北京市的概率是.

解析:從這六家企業(yè)中任選兩家,對應的樣本空間Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共有15個樣本點.設事務M=“中標企業(yè)中至少有一家來自北京市”,則M={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共有12個樣本點,則中標企業(yè)中至少有一家來自北京的概率P=45答案:49.先后拋擲兩枚質地勻稱的骰子,求:(1)點數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率;(2)點數(shù)之和大于5且小于10的概率.解:從圖中簡單看出,樣本點與所描點一一對應,共36個.(1)記事務A=“點數(shù)之和是4的倍數(shù)”,從圖中可以看出,事務A包含的樣本點共有9個:{(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),(6,6)},所以P(A)=14(2)記事務B=“點數(shù)之和大于5且小于10”,從圖中可以看出,事務B包含的樣本點共有20個(已用虛線圈出),所以P(B)=203610.某商場實行購物抽獎促銷活動,規(guī)定每位顧客從裝有編號為0,1,2,3四個相同小球的抽獎箱中,每次取出一球,登記編號后放回,連續(xù)取兩次,若取出的兩個小球號碼相加之和等于6,則中一等獎,等于5中二等獎,等于4或3中三等獎.(1)求中三等獎的概率;(2)求中獎的概率.解:設“中三等獎”為事務A,“中獎”為事務B,則樣本空間Ω={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)},共16個樣本點.(1)取出的兩個小球號碼相加之和等于4或3包含的樣本點有:(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共7個,則中三等獎的概率為P(A)=716(2)由(1)知兩個小球號碼相加之和等于3或4的取法有7種;兩個小球號碼相加之和等于5的取法有2種:(2,3),(3,2).兩個小球號碼相加之和等于6的取法有1種:(3,3).則中獎概率為P(B)=7+2+116二、B組1.甲、乙、丙三人站成一排,甲站在中間的概率是()A.16 B.12 C.13解析:樣本空間Ω={(甲,乙,丙),(甲,丙,乙),(乙,丙,甲),(乙,甲,丙),(丙,甲,乙),(丙,乙,甲)},共6個樣本點,甲站在中間的樣本點有2個,故甲站在中間的概率P=26答案:C2.設a是拋擲一枚骰子得到的點數(shù),則方程x2+ax+2=0有兩個不相等的實根的概率為()A.23 B.13 C.12解析:試驗的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6},共有6個樣本點,若方程有兩個不相等的實根,則a2-8>0,即a∈{3,4,5,6},故P=46答案:A3.從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.518 B.49 C.59解析:從標有1,2,3,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張,包含的樣本點共有9×8=72個,其中兩張卡片上的數(shù)奇偶性不同的有{(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,1),(2,3),(2,5),(2,7),(2,9),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,1),(4,3),(4,5),(4,7),(4,9),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(6,1),(6,3),(6,5),(6,7),(6,9),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7),(8,9),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)},共40個樣本點,因此所求事務的概率P=4072答案:C4.從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),則取出的2個數(shù)之差的肯定值為2的概率是()A.12 B.13 C.14解析:從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù),試驗的樣本空間Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12個樣本點,而滿意條件“2個數(shù)之差的肯定值為2”的只有(1,3),(2,4),(3,1),(4,2),共有4個樣本點,所以取出的2個數(shù)之差的肯定值為2的概率是412答案:B5.古代“五行”學說認為:物質分“金、木、水、火、土”五種屬性,“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”.從五種不同屬性的物質中隨機抽取兩種,則抽到的兩種物質不相克的概率為.

解析:試驗的樣本空間Ω={(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)},共有10個樣本點.“金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”之外的都不相克,共有5個,故抽取到的兩種物質不相克的概率為510答案:16.某食堂規(guī)定,每份午餐可以在四種水果中任選兩種,則甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同的概率為.

解析:將水果編號為1,2,3,4,則甲的選擇可以是(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6種,乙的選擇也有6種,故共有基本領件6×6=36.可以用坐標系表示,橫軸坐標6個點為甲的選擇,縱軸坐標6個點為乙的選擇,甲、乙兩同學各自所選的兩種水果相同即在坐標系中x=y直線上的點,共6個,故所求概率為636答案:17.某旅游愛好者安排從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家的概率;(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包括A1但不包括B1的概率.解:(1)依題意,從6個國家中任選2個國家,對應的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共有15個樣本點.記事務M=“所選國家都是亞洲國家”,則M={(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共有3個樣本點,因此P(M)=315(2)從亞洲國家和歐洲國家各任選1個,對應的樣本空間Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)},共有9個樣本點.記事務N=“包括A1但不包括B1”,則N={(A1,B2),(A1,B3)},共有2個樣本點,因此P(N)=298.某奶茶公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別.公司打算了兩種不同的奶茶共5杯,其顏色完全相同,并且其中3杯為A奶茶,另外2杯為B奶茶,公司要求此員工一一品嘗后,從5杯奶茶中選出2杯奶茶.若該員工2杯都選A奶茶,則評為優(yōu)秀;若2杯選對1杯A奶茶,則評為良好;否則評為及格.假設此人對A和B兩種奶茶沒有鑒別實力.(1)求此人被評為優(yōu)秀的概率;(2)求此人被評為良好及以上的概率.解:設3杯A奶茶為A1,A2,A3,2杯B奶茶為B1,B2,則從五杯奶茶中任選兩杯,對應的樣本空間Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A