貴州省部分校2025屆高三年級上冊第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

高三聯(lián)考數(shù)學(xué)

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在

本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)z=—2i(—l+2i)的虛部為

A.-2B.2C.-4D.4

2.已知命題p：VxeR,一-一<1,命題q：3x>0,x3<x2，則

|x|+l

A.p和q都是真命題B.和q都是真命題

C.p和「q都是真命題D.和-都是真命題

3.已知單位向量Q,加滿足〃?石二工，則|〃+B|=

2

A.1B.2C.V2D.目

4.已知sin1]—5,0],貝山^夕+.二

1111

A.-B.一一C.一一D.-

2233

22

5.設(shè)橢圓C：\+多=1(?！?〉0)的左、右焦點分別為片，I馬，過歹2作平行于y軸的直線交C于A,

ab

8兩點，若|￡A|=10,|AB|=12,則C的離心率為

1V21y[3

A.-B.-----C.-D.

2233

6.已知函數(shù)/(x)=xsin%-l與g(x)=〃(%2+1)的圖象恰有一個交點，則4=

1

A.-1B.——C.1D.2

2

7.已知數(shù)據(jù)再，/，…，%(%￡Z,i=l,2,???,5)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差均為4,則這組數(shù)據(jù)的極

差為

A.3B.4C.5D.6

8.已知定義在(0,+oo)上的函數(shù)/(九)滿足：對任意的西,9￡(0,+oo),玉W九2，都有

(々-/'(%)—/(xj+21n土<0,且/(2)=41112.滿足不等式/(%—2022)>2111(2%—4044)的

-尤2_

X的取值范圍是

A.(-00,2022)B.(2022,2024)C.[2022,+oo)D.[2024,+oo)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin|x|,則

A.f(x)的最小正周期為兀B.f(x)的最大值為1

JT

C.fCx)是偶函數(shù)D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=]對稱

10.已知數(shù)列｛4｝的前"項和為S”，則下列結(jié)論正確的是

A.若｛%｝是等差數(shù)列，且5“="+2”+左，則左=0

B.若｛4｝是等比數(shù)列，且S.=32M+Z,則左=—3

C.若5“=3”2一2〃+1,則｛4｝是等差數(shù)列

D.若｛4｝是公比大于1的等比數(shù)列，則反”〉25”

222

11.星形線或稱為四尖瓣線，是一個有四個尖點的內(nèi)擺線.已知星形線C：Q+y3=a"a>0)上的點到

無軸的距離的最大值為1,則

A.a=l

B.。上的點到原點的距離的最大值為1

c.c上的點到原點的距離的最小值為變

2

D.當點(九0,%)在C上時,

O

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知,+￡|(2x—必了的展開式中各項系數(shù)的和為%貝!j.=.

13.已知產(chǎn)為函數(shù)〃x)=上'圖象上一點，則曲線y=/(x)在點尸處的切線的斜率的最小值為.

14.已知某三棱臺的高為2遍，上、下底面分別為邊長為和6石的正三角形，若該三棱臺各頂點都在

球。的球面上，則球O的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

記AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2a—c=b2+ac=a"+c2.

(1)求C；

(2)若AABC的面積為史［8,求c.

2

16.(15分)

已知拋物線C：必=20；(〃>0)的焦點為尸，且尸與圓M：d+(y+2)2=i上點的距離的最小值為2.

(1)求p；

(2)已知點P(-1,-2),PA,P8是拋物線C的兩條切線，A,8是切點，求|AB|.

17.(15分)

如圖，在直三棱柱ABC—A4cl中，AB±AC,AB=AC=2,且A&=4,CQ=4CE,直線AE與

AC交于點F.

A

(1)證明：AC，平面ABE.

(2)求二面角A—BE—A的正弦值.

18.(17分)

在一個盒子中有2個白球,3個紅球，甲、乙兩人輪流從盒子中隨機地取球，甲先取，乙后取,然后甲再取,……,

每次取1個，取后不放回，直到2個白球都被取出來后就停止取球.

(1)求2個白球都被乙取出的概率；

(2)求2個白球都被甲取出的概率；

(3)求將球全部取出才停止取球的概率.

19.(17分)

擬合和插值都是利用已知的離散數(shù)據(jù)點來構(gòu)造一個能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)，并以此預(yù)測或估計

未知數(shù)據(jù)的方法.擬合方法在整體上尋求最好地逼近數(shù)據(jù)，適用于給定數(shù)據(jù)可能包含誤差的情況，比如線

性回歸就是一種擬合方法；而插值方法要求近似函數(shù)經(jīng)過所有的已知數(shù)據(jù)點，適用于需要高精度模型的場

景，實際應(yīng)用中常用多項式函數(shù)來逼近原函數(shù)，我們稱之為多項式插值.例如，為了得到sin」的近似值,

2

我們對函數(shù)/(x)=sin[]xj進行多項式插值.設(shè)一次函數(shù)"％)=依+6滿足可得/

(x)在[0,1]上的一次插值多項式L(x)=x,由此可計算出sing的“近似值”

0.32,顯然這個“近似值”與真實值的誤差較大.為了減小插值估計的誤差,

2^71)1兀J兀

除了要求插值函數(shù)與原函數(shù)在給定節(jié)點處的函數(shù)值相等，還可要求在部分節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要

求高階導(dǎo)數(shù)也相等.滿足這種要求的插值多項式稱為埃爾米特插值多項式.已知函數(shù)/(x)=sin[]x]在

H⑼=〃0),

[0,1]上的二次埃爾米特插值多項式〃(%)=依2+桁+C滿足｛H(l)=7(1),

"⑼=r⑼.

(1)求HG),并證明當xe[0,l]時，/(x)^H(x)；

(2)當尤e[0,l]時，"(X)—求/的取值范圍；

(3)利用HG)計算sin—的近似值，并證明其誤差不超過0.1.

2

(參考數(shù)據(jù)：--0.32,-4-0.10,結(jié)果精確到0.01)

高三聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案

1.Bz=-2i(-l+2i)=4+2i,所以復(fù)數(shù)z的虛部為2.

Y

2.A對于p,因為所以-----<1,故p是真命題，Y是假命題.

1x1+1

對于9，當Ovxvl時，X3<X2,故q是真命題，丑是假命題.

綜上，p和q都是真命題.

3.D因為|a+B|2=J+B?+2〃/=3,所以|〃+石|=百.

，所以cos6=@，又因為，e

5

tan0+1_1

tan8=----=-2,故tan

cos。1一tan。3

XVu

5.A由題可知A,B,F2三點的橫坐標相等，設(shè)A在第一象限，將x=c代入二+4=1,得>=土一,

即Ac,—,B---，故|AB|==12,|AF21——=6.

1

因為|A7"+|AEJ=2a=16,解得a=8,所以后=48,c2=a2-b2=16,c=4,所以e=—=—.

a2

6.A令/(%)=g(x),即xsinx-l=a(%2+i),可得xsinxuox?+〃+l.

由題意可得函數(shù)丁=xsinx與y=〃/+〃+i的圖象恰有一個交點.

因為函數(shù)y=xsinx與y=ax?+a+l都是偶函數(shù)，所以交點只能在y軸上，即0=。+1,解得。=一1.

若。=一1,令/(x)=g(x),可得sinx=—尤，即x+sinx=O.令函數(shù)/z(x)=x+sinx,

"(x)=l+cosx20,所以〃(無)在R上單調(diào)遞增.因為〃(0)=0,所以方程x+sin》=O有且僅有一個

實根0,即函數(shù)〃x)=xsinx—1與g(x)=a(/+i)的圖象恰有一個交點，所以a=—1符合題意.

7.D不妨設(shè)%4看《七4》44毛，因為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)均為4,所以］=七=4,

%+々+4+匕=16①.因為這組數(shù)據(jù)的方差為4,所以

—X(X]-4『+伍-4)2+伍-4)2+(七-4『=4,即

(%—4)2+(9—4)2+(七—4)2+(毛一4)2=20.因為%eZ(i=l,2,4,5),所以

|xi-4|GZ(z=l,2,4,5).要使得4個非負整數(shù)的平方和等于20,這4個數(shù)為0,0,2,4或1,1,3,3.若

5―4|0=1,2,4,5)為0,0,2,4,不存在%eZ(i=1,2,4,5)使得①成立，所以|七一4|?=1,2,4,5)為

1,1,3,3,%。=1,2,4,5)分別為1,3,5,7,所以這組數(shù)據(jù)的極差為6.

8.B不妨設(shè)々AX],則4-%>0，所以[/(々)-21n尤2]—[/(%)-21nxi]<0,

即/(%)—21nx2</(x1)-21n^.

設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)-21nx,則g(%2)<g(%)，所以g(X)在(。，+@上單調(diào)遞減.

/(x-2022)>21n(2x-4044),即/(x—2022)—21n(x—2000)>21n2,

因為/(2)=4如2,所以g⑵=/(2)—21n2,即g(x—2022)>g⑵,

%-2022>0,

解得{x|2022<x<2024}.

%-2022<2,

由圖可得，A,D錯誤，B,C正確.

10.AB由S“="2+2〃+k,可得q=￡=3+左，a2—S2——5,a3—S3——7.

因為｛。“｝是等差數(shù)列，所以。1+%=2。2，解得左=0，A正確.

5

由5“=32田+左，可得4=51=27+1,%=$2-H=8x33,a3=S3-S2=8x3.

因為｛q,｝是等比數(shù)列，所以q%=a；，解得左=一3，B正確.

若S“=3"？-2n+1,則4=2.當〃三2時，an-Sn--6n-5.顯然〃=1時不滿足?！?6〃-5,

2n=l

所以a”=<，故｛4｝不是等差數(shù)列，C錯誤.

6〃—5,“三2.

6(1T)a1

,所以3=1+/.因為4>1,所以二L〉2.當％<0時，Sn<0,

"qsaS"

邑“<2S”，當q〉0時，S,>0,S2n>2Sn,D錯誤.

ll.ABD令x=0,得y=±a,所以C與y軸的交點為(0,±a).由圖可得，C上的點到x軸的距離的

最大值為同，即|。|=1,因為。>0,所以。=1,A正確.由圖可得，C上的點到原點的距離的最大值為1,

3

22(2^2

B正確.設(shè)C上的點為P(%,%)，則"+*=1，所以為=1-xJ二點P到原點的距離為

I7

I(2?廠z-rz1V11五

片+[1—X”=13k—3焉+1=卡卜3—9+[三當且僅當/=±拳時,

等號成立，所以C上的點到原點的距離的最小值為;，C錯誤.當點(七,%)在C上時，

22/22[

芯+需=l22qx彳算,所以D正確?

12.3令％=1,貝Ul+a=4,解得a=3.

13.2f(x)的定義域為(YO,0)U(0，+8)?f'(x)=\+JC^2,當且僅當X=±1時，等號成立，故曲

X

線y=/(%)在點尸處的切線的斜率的最小值為2.

14.144兀如圖，設(shè)H,G分別為△￡>￡1/和AA8C的中心.由題意可得。E=46，3c=6石，HG=2小，

DH=BDE=4,BG=?BC=6.因為OD=OB,所以O(shè)H?+。52=OG2+BG?,所以

33

(OG+2V5)2+42=：OG2+62,解得OG=0,即點。與點G重合.球。的半徑即5G=6,則球。的

表面積為144兀.

2.2721

由余弦定理有cosB=-——-------二—

2ac2

JT

因為3e(O,7i),所以8=]

1

因為sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-^-cosC+—sinC,

—cosC+-sinc]-sinC=—,即cosC=^

所以2

S2J22

jr

因為CG(O,TI),所以C=W

⑵由⑴可得4=兀苫三得

...5兀.兀兀血66\A/6+72

sinA=sin——=sm—+—二x-------1------X—=---------------

124622224

ab

由正弦定理有

.571.兀.兀

sin——sin—sin—

1234

仄而a=近衛(wèi)Wc=4c,6=3.缶=^c

4222

A/3+1A/6

%BC=gabsinC=1V23+^/3

一,-----------c----c,......---------'解得°=2.

22228

16.解：(1)拋物線C的焦點為/[0,記圓〃的圓心為M(-2,0),\FM\=^+2.

尸與圓M：爐+(丁+2)2=1上點的距離的最小值為_|+2-1=2,解得夕=2.

(2)拋物線C的方程為V=4〉.

設(shè)過點P的直線方程為y=左(1+1)—2.

工2-4V

聯(lián)立Jz、得％2_4丘—軟+8=0.

y=k(x+l)-2,

令A(yù)=16左2—4(-k+8)=0,解得左=1或左=—2,

所以直線出，的方程分別為y=x—1,y=-2x-4.

聯(lián)立|尤=4%得/―4%+4=O,解得％=2,y=l.

y=x-1,

聯(lián)立,*=4%得/+8%+16=0,解得無=T,y=4.

y=-2x-4,

所以點A,3的坐標分別為(2,1),(-4,4).

|AB\=J(2+4)2+(1-4)2=3下.

17.(1)證明：因為2=生=2,所以4AC=NACE=5,所以△AACS/KACE,

ACCE"2

兀71

所以NA41c=NCAE,所以+=1AE+NC4E=],ZAE4,=-,AE±AXC.

在直三棱柱ABC—中，A4]，平面ABC,所以

因為ABLAC,AC^\AAi=A,所以AB，平面AC￡4,所以A5，AC.

因為ABnAE=A,所以AC，平面ABE.

(2)解：以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，A4為z軸，建立空間直角坐標系，B(2,0,0),E(0,

2,1),4(0,0,4),C(0,2,0),

率=(2,0,T),BE=(-2,2,1),汞=(O,2,T).

設(shè)平面A.BE的法向量為n=(x,y,z),

n-A,B=2x-4z=0,一..

則__L取x=4,得“=（4,3,2）.

n-BE=-2x+2y+z=0,

由（1）可得“為平面A3E的法向量.

設(shè)二面角4—BE—A的大小為6,

\AlC-n\_V145

IACII”I145

sin*忘嬴隹磬

所以二面角A-BE-A的正弦值為.

18.解：(1)若2個白球都被乙取出，則第一次甲取出紅球，第二次乙取出白球，第三次甲取出紅球，第

32211

四次乙取出白球，結(jié)束取球，其概率為一x—x—x—=一.

543210

(2)若2個白球都被甲取出，有三種情況.

2311

第一種情況:第一次甲取出白球,第二次乙取出紅球,第三次甲取出白球,結(jié)束取球,其概率為一x—x-=—.

54310

第二種情況：第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出紅球，第五次甲

23211

取出白球，結(jié)束取球，其概率為一x—x—x—xl=一.

543210

第三種情況：第一次甲取出紅球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，第四次乙取出紅球，第五次甲

32211

取出白球，結(jié)束取球，其概率為一X—X—X—xl=一.

543210

故所求概率為工+工+工3

10101010

(3)若將球全部取出才停止取球，則最后一次即第五次取出的一定是白球，共四種情況.

2321I

①第一次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是紅球,其概率為一x^x—x—xl=—

543210

32211

②第二次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是紅球,其概率為三X—X—X—xl=—

543210

3221i

③第三次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是紅球,其概率為3x—x—x—xl=—

543210

32))

④第四次和第五次取出的是白球,另外三次取出的是紅球,其概率為一x-x-xlxl=-.

54310

故所求概率為工+工+工+工2

101010105

71

19.解：(1)/(x)=sin~X,/(1)=1,/(0)=0,〃x)='cos

H^x)=ax2+bx+c,H'^x)=2ax+b.

兀

u—1—,

Mo)=〃o)，c=0,2

兀2兀

由=得＜a+b+c=l,解得＜b=g所以=XH------X.

2

“'(o)=r(o),,兀c=0,

71JT

設(shè)廠(%)=/(x)-H(x)=sin-X1-|XG[0,1],

z71

F(x)=-1-cos~X2-K)X-|

兀2

令函數(shù)耳(%)二尸(力,則=-1Sin牙—2+兀.

兀3

兀

令函數(shù)月(%)=婷(%),則居(％)=一"—cos-XW0,所以耳'(1)在［0,1］上單調(diào)遞減.

-8

又因為片'(0)=—2+兀