2025《金版教程•高考數(shù)學復習創(chuàng)新方案》第9節(jié) 函數(shù)模型及其應用

第九節(jié)函數(shù)模型及其應用課標解讀考向預測1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，結合具體實例體會直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用.近三年高考考查函數(shù)模型及應用，一般出現(xiàn)在選擇題和填空題中，難度中檔偏上．預計2025年高考會考查指數(shù)函數(shù)模型或對數(shù)函數(shù)模型在生活實際中的應用，以選擇題的形式出現(xiàn).必備知識——強基礎1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)2.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質比較函數(shù)性質y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調eq\x(\s\up1(01))遞增單調eq\x(\s\up1(02))遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與eq\x(\s\up1(03))y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與eq\x(\s\up1(04))x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax3.解答函數(shù)應用題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型；(3)求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結論；(4)還原：將數(shù)學問題還原為實際問題的意義．以上過程用框圖表示如下：“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越?。?．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．()(2)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠遠大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增長速度．()(3)在選擇實際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．()答案(1)×(2)√(3)×2．小題熱身(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列結論中正確的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案B解析在同一平面直角坐標系內，根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢，當x∈(4，＋∞)時，增長速度由大到小依次為g(x)>f(x)>h(x)．故選B.(2)已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示．假設某商人持有資金120萬元，他可以在t1至t4的任意時刻買賣這兩種商品，且買賣能夠立即成交(其他費用忽略不計)．如果他在t4時刻賣出所有商品，那么他將獲得的最大利潤是()A．40萬元 B．60萬元C．80萬元 D．120萬元答案D解析當甲商品的價格為6元時，該商人全部買入甲商品，可以買120÷6＝20(萬份)，在t2時刻全部賣出，此時獲利20×2＝40(萬元)；當乙商品的價格為4元時，該商人買入乙商品，可以買(120＋40)÷4＝40(萬份)，在t4時刻全部賣出，此時獲利40×2＝80(萬元)．故該商人共獲利40＋80＝120(萬元)．故選D.(3)在數(shù)學課外活動中，小明同學進行了糖塊溶于水的試驗，將一塊質量為7克的糖塊放入一定量的水中，測量不同時刻未溶解糖塊的質量，得到若干組數(shù)據(jù)，其中在第5分鐘末測得的未溶解糖塊的質量為3.5克，同時小明發(fā)現(xiàn)可以用指數(shù)型函數(shù)S＝ae－kt(a，k為常數(shù))來描述以上糖塊的溶解過程，其中S(單位：克)代表t分鐘末未溶解糖塊的質量，則k＝()A．ln2 B．ln3C.eq\f(ln2,5) D.eq\f(ln3,5)答案C解析由題意可得，當t＝0時，S＝a＝7，因為在第5分鐘末測得的未溶解糖塊的質量為3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝eq\f(ln2,5).故選C.(4)某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x≤10，,2x＋10，10<x<100，,1.5x，x≥100，))x∈N*，其中x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為160，則該公司擬錄用人數(shù)為________．答案75解析令y＝160，若4x＝160，則x＝40＞10，不符合題意；若2x＋10＝160，則x＝75，符合題意；若1.5x＝160，則x＝eq\f(320,3)?N*，不符合題意．故擬錄用人數(shù)為75.考點探究——提素養(yǎng)考點一用函數(shù)圖象刻畫實際問題例1中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關．經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點圖．觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規(guī)律？()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0，0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0，0<a<1.故選B.【通性通法】(1)構建函數(shù)模型法：當根據(jù)題意易構建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結合模型選圖象；當根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時，則根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選出符合實際情況的答案．(2)圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依存關系，考查了數(shù)學直觀想象核心素養(yǎng)．【鞏固遷移】1.(多選)某醫(yī)藥研究機構開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y(單位：微克)與時間t(單位：小時)之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定，當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時，治療該病有效，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＝3B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時C．注射該藥物eq\f(1,8)小時后每毫升血液中的含藥量為0.5微克D．注射一次治療該病的有效時間長度為5eq\f(31,32)小時答案ACD解析將點M的坐標代入y＝kt，可得k＝4，將點M的坐標代入y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－a)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1－a)＝4，解得a＝3，所以y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t，0<t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t>1，))A正確；當0<t≤1時，由y＝4t≥eq\f(1,8)可得t≥eq\f(1,32)，此時eq\f(1,32)≤t≤1；當t>1時，由y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(t－3)≥eq\f(1,8)可得t≤6，此時1<t≤6.故不等式y(tǒng)≥eq\f(1,8)的解為eq\f(1,32)≤t≤6，所以注射一次治療該病的有效時間長度為6－eq\f(1,32)＝5eq\f(31,32)小時，B錯誤，D正確；注射該藥物eq\f(1,8)小時后每毫升血液中的含藥量為4×eq\f(1,8)＝0.5(微克)，故C正確．故選ACD.考點二根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實際問題例2(1)某社區(qū)超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當日售價x(單位：元)之間的關系為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為()A．100元 B．150元C．200元 D．250元答案B解析因為y＝－eq\f(x2,25)＋12x－210＝－eq\f(1,25)(x－150)2＋690，所以當x＝150時，y取最大值．故選B.(2)(2024·福建福州高三質量檢測)為落實黨的二十大提出的“加快建設農(nóng)業(yè)強國，扎實推動鄉(xiāng)村振興”的目標，銀行擬在鄉(xiāng)村開展小額貸款業(yè)務．根據(jù)調查的數(shù)據(jù)，建立了實際還款比例P關于貸款人的年收入x(單位：萬元)的Logistic模型：P(x)＝eq\f(e－0.9680＋kx,1＋e－0.9680＋kx)，已知當貸款人的年收入為8萬元時，其實際還款比例為50%.若銀行希望實際還款比例為40%，則貸款人的年收入為(精確到0.01萬元，參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.0986，ln2≈0.6931)()A．4.65萬元 B．5.63萬元C．6.40萬元 D．10.00萬元答案A解析由題意，得P(8)＝eq\f(e－0.9680＋8k,1＋e－0.9680＋8k)＝50%＝eq\f(1,2)，整理，得e－0.9680＋8k＝1，即－0.9680＋8k＝0，解得k＝0.121，所以P(x)＝eq\f(e－0.9680＋0.121x,1＋e－0.9680＋0.121x).令P(x)＝eq\f(e－0.9680＋0.121x,1＋e－0.9680＋0.121x)＝40%＝eq\f(2,5)，得5e－0.9680＋0.121x＝2(1＋e－0.9680＋0.121x)，整理，得e－0.9680＋0.121x＝eq\f(2,3)，兩邊取自然對數(shù)，得－0.9680＋0.121x＝lneq\f(2,3)，解得x＝eq\f(ln2－ln3＋0.9680,0.121)≈4.65.故選A.【通性通法】(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．【鞏固遷移】2．(多選)(2023·新課標Ⅰ卷)噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，其中常數(shù)p0(p0>0)是聽覺下限閾值，p是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060～90混合動力汽車1050～60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1，p2，p3，則()A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2答案ACD解析解法一：由題意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，對于A，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p0)－20×lgeq\f(p2,p0)＝20×lgeq\f(p1,p2)，因為Lp1≥Lp2，則Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)≥0，即lgeq\f(p1,p2)≥0，所以eq\f(p1,p2)≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正確；對于B，Lp2－Lp3＝20×lgeq\f(p2,p0)－20×lgeq\f(p3,p0)＝20×lgeq\f(p2,p3)，因為Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，則20×lgeq\f(p2,p3)≥10，即lgeq\f(p2,p3)≥eq\f(1,2)，所以eq\f(p2,p3)≥eq\r(10)且p2，p3>0，可得p2≥eq\r(10)p3，當且僅當Lp2＝50時，等號成立，故B錯誤；對于C，因為Lp3＝20×lgeq\f(p3,p0)＝40，即lgeq\f(p3,p0)＝2，可得eq\f(p3,p0)＝100，即p3＝100p0，故C正確；對于D，由選項A可知，Lp1－Lp2＝20×lgeq\f(p1,p2)，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，則20×lgeq\f(p1,p2)≤40，即lgeq\f(p1,p2)≤2，可得eq\f(p1,p2)≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.解法二：因為Lp＝20×lgeq\f(p,p0)隨著p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正確；由Lp＝20×lgeq\f(p,p0)，得p＝p010eq\s\up7(\f(Lp,20))，因為Lp3＝40，所以p3＝p010eq\s\up7(\f(20,40))＝100p0，故C正確；假設p2＞10p3，則p010eq\s\up7(\f(Lp2,20))＞10p010eq\s\up7(\f(Lp3,20))，所以10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp3,20))＞10，所以Lp2－Lp3＞20，該式不可能成立，故B錯誤；因為eq\f(100p2,p1)＝＝10eq\s\up7(\f(Lp2,20))－eq\s\up7(\f(Lp1,20))＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正確．故選ACD.3．某品牌汽車的月產(chǎn)量y(單位：萬輛)與月份x(3<x≤12且x∈N)滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋b，現(xiàn)已知該品牌汽車今年4月、5月的產(chǎn)量分別是1萬輛和1.5萬輛，則該品牌汽車7月的產(chǎn)量為________萬輛．答案1.875解析依題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋b＝1，,\f(1,4)a＋b＝1.5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))于是得y＝－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x－3)＋2，當x＝7時，y＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＋2＝1.875，所以該品牌汽車7月的產(chǎn)量為1.875萬輛．考點三通過構建函數(shù)模型解決實際問題(多考向探究)考向1構建二次函數(shù)模型例3(2024·湖南永州高三摸底)A，B兩城相距100km，在兩城之間距A城xkm處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10km.已知供電費用等于供電距離(單位：km)的平方與供電量(單位：億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)；(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？解(1)由題意，知x的取值范圍為[10，90]．(2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000，∴y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)y＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3)，∴當x＝eq\f(100,3)時，ymin＝eq\f(50000,3).∴核電站建在距A城eq\f(100,3)km處，供電總費用最少．【通性通法】二次函數(shù)的最值問題一般利用配方法與函數(shù)的單調性解決，但一定要注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯．【鞏固遷移】4．(2023·河北張家口高三期末)江蘇某新能源公司某年初購入一批新能源汽車充電樁，每臺13500元，到第x年年末(x∈N*)每臺設備的累計維修保養(yǎng)費用為(300x2＋3200x)元，每臺充電樁每年可給公司收益8000元．(eq\r(19)≈4.36)(1)求每臺充電樁第幾年年末開始獲利；(2)每臺充電樁在第幾年年末時，年平均利潤最大？解(1)設每臺充電樁在第x年年末的利潤為f(x)元，則f(x)＝8000x－(300x2＋3200x)－13500＝－300x2＋4800x－13500，令f(x)>0，解得8－eq\r(19)<x<8＋eq\r(19)，又eq\r(19)≈4.36，∴3.64<x<12.36，∵x∈N*，∴每臺充電樁從第4年年末開始獲利．(2)設g(x)為每臺充電樁在第x年年末的年平均利潤，則g(x)＝eq\f(f(x),x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300x＋\f(13500,x)))＋4800.∵y＝300x＋eq\f(13500,x)在(0，3eq\r(5))上單調遞減，在(3eq\r(5)，＋∞)上單調遞增，∴g(x)在(0，3eq\r(5))上單調遞增，在(3eq\r(5)，＋∞)上單調遞減，又x∈N*，3eq\r(5)≈6.708，g(6)＝750，g(7)≈771，∴g(7)>g(6)，∴每臺充電樁在第7年年末時，年平均利潤最大．考向2構建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例4牛奶中細菌的標準新國標將最低門檻(允許的最大值)調整為200萬個/毫升，牛奶中的細菌常溫狀態(tài)下大約20分鐘就會繁殖一代，現(xiàn)將一袋細菌含量為3000個/毫升的牛奶常溫放置于空氣中，經(jīng)過________分鐘就不宜再飲用．(精確到1分鐘，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477)答案188解析設經(jīng)過x個周期后細菌含量超標，即3000×2x>2000000，即2x>eq\f(2000,3)，所以x>log2eq\f(2000,3)＝eq\f(lg2000－lg3,lg2)＝eq\f(lg2＋3－lg3,lg2)≈9.4，而20×9.4＝188，因此經(jīng)過188分鐘就不宜再飲用．【通性通法】(1)在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示．通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．求解時可利用指數(shù)運算與對數(shù)運算的關系．(2)利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型解題，關鍵是對模型的判斷，先設定模型，將有關數(shù)據(jù)代入驗證，確定參數(shù)，求解時要準確進行指、對數(shù)運算，靈活進行指數(shù)與對數(shù)的互化．【鞏固遷移】5．一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有療效；而低于500mg病人就有危險．現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過________小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精確到0.1h)答案2.3解析設應在病人注射這種藥經(jīng)過x小時后再向病人的血液補充這種藥，則2500(1－20%)x＝1500，整理可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(x)＝eq\f(3,5)，所以x＝logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(3,5)，又logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(3,5)＝logeq\s\up-7(\f(8,10))eq\f(6,10)＝eq\f(lg\f(6,10),lg\f(8,10))＝eq\f(lg6－1,lg8－1)＝eq\f(lg2＋lg3－1,3lg2－1)≈2.3，所以x≈2.3.故從現(xiàn)在起經(jīng)過2.3小時向病人的血液補充這種藥，才能保持療效．考向3構建分段函數(shù)模型例5響應國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，小王大學畢業(yè)后決定利用所學專業(yè)進行自主創(chuàng)業(yè)．經(jīng)過市場調研，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本W(wǎng)(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，W(x)＝eq\f(1,3)x2＋2x.在年產(chǎn)量不小于8萬件時，W(x)＝7x＋eq\f(100,x)－37.每件產(chǎn)品售價6元．通過市場分析，小王生產(chǎn)的商品當年能全部售完．(1)寫出年利潤P(x)(單位：萬元)關于年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤＝年銷售收入－固定成本－流動成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因為每件商品售價6元，則x萬件商品銷售收入為6x萬元．依題意得，當0<x<8時，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋2x))－2＝－eq\f(1,3)x2＋4x－2；當x≥8時，P(x)＝6x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(100,x)－37))－2＝35－x－eq\f(100,x).故P(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋4x－2，0<x<8，,35－x－\f(100,x)，x≥8.))(2)當0<x<8時，P(x)＝－eq\f(1,3)(x－6)2＋10.此時，當x＝6時，P(x)取得最大值，為10.當x≥8時，P(x)＝35－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)))≤35－2eq\r(x·\f(100,x))＝15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當x＝\f(100,x)，即x＝10時取等號)).此時，當x＝10時，P(x)取得最大值，為15.因為10<15，所以當年產(chǎn)量為10萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大，最大利潤為15萬元．【通性通法】(1)在現(xiàn)實生活中，很多問題的兩變量之間的關系，不能用同一個關系式給出，而是由幾個不同的關系式構成分段函數(shù)．如出租車票價與路程之間的關系，就是分段函數(shù)．(2)分段函數(shù)主要是每一段上自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其作為幾個不同問題，將各段的規(guī)律找出來，再將其合在一起．要注意各段變量的范圍，特別是端點．(3)構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔，做到分段合理，不重不漏．【鞏固遷移】6．某企業(yè)自主開發(fā)出一款新產(chǎn)品A，計劃在2025年正式投入生產(chǎn)，已知A產(chǎn)品的前期研發(fā)總花費為50000元，該企業(yè)每年最多可生產(chǎn)4萬件A產(chǎn)品．通過市場分析知，在2025年該企業(yè)每生產(chǎn)x千件A產(chǎn)品，需另投入生產(chǎn)成本R(x)千元，且R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋60x，0<x≤10，,70x＋\f(1800,x)－230，10<x≤40.))(1)求該企業(yè)生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本p(單位：元)關于x的函數(shù)關系式，并求平均成本p的最小值；(總成本＝研發(fā)成本＋生產(chǎn)成本)(2)該企業(yè)欲使生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本p≤66元，求其年生產(chǎn)值x(單位：千件)的取值區(qū)間？解(1)由題知生產(chǎn)x千件的總成本為(R(x)＋50)千元，故生產(chǎn)一件的平均成本為eq\f(R(x)＋50,x)元，所以p(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋60＋\f(50,x)，0<x≤10，,70＋\f(1800,x2)－\f(180,x)，10<x≤40，))當x∈(0，10]時，p(x)＝eq\f(1,2)x＋60＋eq\f(50,x)單調遞減，故最小值為p(10)＝70，當x∈(10，40]時，p(x)＝1800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,20)))eq\s\up12(2)＋65.5，故最小值為p(20)＝65.5，因為70>65.5，所以生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本最低為65.5元．(2)由(1)知，要使p(x)≤66，只需考慮x∈(10，40]，即70＋eq\f(1800,x2)－eq\f(180,x)≤66，結合x>0，整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，所以當x∈[15，30]時，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本不超過66元．課時作業(yè)一、單項選擇題1．某中學體育課對女生立定跳遠項目的考核標準為：立定跳遠距離1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，滿分為120分．若某女生訓練前的成績?yōu)?0分，經(jīng)過一段時間的訓練后，成績?yōu)?05分，則該女生訓練后，立定跳遠距離增加了()A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米答案B解析該女生訓練前立定跳遠距離為1.84－0.03×eq\f(90－70,5)＝1.72(米)，訓練后立定跳遠距離為1.84＋0.1×eq\f(105－90,5)＝2.14(米)，則該女生訓練后，立定跳遠距離增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故選B.2．視力檢測結果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分數(shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄x0.10.120.15…11.21.52.0五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.3現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lgeq\f(1,x)，x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為4.7，則小明同學的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)()A．0.3 B．0.5C．0.7 D．0.8答案B解析由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調遞增，故合適的函數(shù)模型為y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故選B.3．“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內最大限度激發(fā)一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數(shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績在中等偏下的學生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績變化，構造了一個經(jīng)過時間t(30≤t≤100)(單位：天)與增加總分數(shù)f(t)(單位：分)的函數(shù)模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lg(t＋1))，k為增分轉化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且f(60)＝eq\f(1,6)P.已知某學生在高考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為(lg61≈1.79)()A．440分 B．460分C．480分 D．500分答案B解析由題意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)＝eq\f(1,6)P，∴k＝eq\f(1＋lg61,6)≈eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)≈eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴該學生在高考中可能取得的總分約為400＋62＝462≈460(分)．故選B.4．(2024·云南昆明高三模擬)單位時間內通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設施、交通服務、環(huán)境、氣候等諸多條件相關．假設某條道路一小時通過的車輛數(shù)N滿足關系N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋d0)，其中d0(單位：m)為安全距離，v(單位：m/s)為車速．當安全距離d0取30m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為()A．135 B．149C．165 D．195答案B解析由題意得，N＝eq\f(1000v,0.7v＋0.3v2＋30)＝eq\f(1000,0.7＋0.3v＋\f(30,v))≤eq\f(1000,0.7＋2\r(0.3×30))≈149，當且僅當0.3v＝eq\f(30,v)，即v＝10時取等號，所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.故選B.5．(2024·江蘇沭陽如東中學高三模擬)深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它以神經(jīng)網(wǎng)絡為出發(fā)點，在神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為L＝L0Deq\f(G,G0)，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，L0表示初始學習率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度．已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率衰減為0.4，則學習率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓練迭代輪數(shù)至少為(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010)()A．72 B．74C．76 D．78答案B解析由題意，得L＝0.5×Deq\s\up7(\f(G,18))，則0.4＝0.5×Deq\s\up7(\f(18,18))，解得D＝eq\f(4,5)，則L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(\f(G,18))，由L＝0.5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(\f(G,18))<0.2，得G>18logeq\s\up-7(\f(4,5))eq\f(2,5)＝eq\f(18(lg5－lg2),lg5－2lg2)＝eq\f(18(1－2lg2),1－3lg2)≈73.9，所以所需的訓練迭代輪數(shù)至少為74.故選B.6．“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，同時也講述了古代資源流通的不便利．如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進了社會經(jīng)濟發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝eax＋b(a，b為常數(shù))，若該果蔬在6℃的保鮮時間為216小時，在24℃的保鮮時間為8小時，那么在12℃時，該果蔬的保鮮時間為()A．72小時 B．36小時C．24小時 D．16小時答案A解析當x＝6時，e6a＋b＝216；當x＝24時，e24a＋b＝8，則eq\f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq\f(216,8)＝27，整理可得e6a＝eq\f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，當x＝12時，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq\f(1,9)×648＝72.故選A.7．“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強I與標準聲強I0(I0約為10－12，單位：W/m2)之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作L(單位：貝爾)，即L＝lgeq\f(I,I0).取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝，已知某處“喊泉”的聲音強度y(單位：分貝)與噴出的泉水高度x(單位：m)之間滿足關系式y(tǒng)＝2x，甲、乙兩名同學大喝一聲激起的涌泉的最高高度分別為70m，60m．若甲同學大喝一聲的聲強大約相當于n個乙同學同時大喝一聲的聲強，則n的值約為()A．10 B．100C．200 D．1000答案B解析設甲同學的聲強為I1，乙同學的聲強為I2，則140＝10lgeq\f(I1,10－12)，120＝10lgeq\f(I2,10－12)，兩式相減即得20＝10lgeq\f(I1,I2)，即lgeq\f(I1,I2)＝2，從而eq\f(I1,I2)＝100，所以n的值約為100.故選B.8．(2024·山東德州高三期末)已知某品牌手機電池充滿時的電量為4000(單位：毫安時)，且在待機狀態(tài)下有兩種不同的耗電模式可供選擇．模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電400(單位：毫安時)；模式B：電量呈指數(shù)衰減，即從當前時刻算起，t小時后的電量為當前電量的eq\f(1,2t)倍．現(xiàn)使該電子產(chǎn)品處于滿電量待機狀態(tài)時開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，若使其在待機10小時后有超過2.5%的電量，則x的可能取值為()A．4.6 B．5.8C．7.6 D．9.9答案C解析模式A在待機t小時后電池內電量為y＝－400t＋4000，設當前電量為Q，模式B在待機t小時后電池內電量為y＝eq\f(1,2t)Q，則該電子產(chǎn)品處于滿電量待機狀態(tài)時開啟A模式，并在x小時后，切換為B模式，其在待機10小時后的電量為eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)，由eq\f(1,210－x)(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根據(jù)選項，當x＝4.6時，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；當x＝5.8時，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；當x＝7.6時，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；當x＝9.9時，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值為7.6.二、多項選擇題9．(2024·江蘇常州高三月考)在線直播帶貨已經(jīng)成為一種重要銷售方式，假設直播在線購買人數(shù)y(單位：人)與某產(chǎn)品銷售單價x(單位：元)滿足關系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－20)－x＋40，其中20<x<100，m為常數(shù)，當該產(chǎn)品銷售單價為25時，在線購買人數(shù)為2015.假設該產(chǎn)品成本單價為20元，且每人限購1件，下列說法正確的是()A．實數(shù)m的值為10000B．銷售單價越低，直播在線購買人數(shù)越多C．當x的值為30時，利潤最大D．利潤的最大值為10000答案ABC解析將x＝25，y＝2015代入y＝eq\f(m,x－20)－x＋40，可得2015＝eq\f(m,25－20)－25＋40，解得m＝10000，故A正確；易知y＝eq\f(10000,x－20)－x＋40(20<x<100)單調遞減，故B正確；由題意可得所得利潤為f(x)＝(x－20)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10000,x－20)－x＋40))＝－x2＋60x＋9200＝－(x－30)2＋10100，所以當x＝30時，利潤最大，最大利潤為10100元，故C正確，D錯誤．故選ABC.10.甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學從家出發(fā)到乙同學家經(jīng)過的路程y(單位：km)與時間x(單位：min)的關系，下列結論正確的是()A．甲同學從家出發(fā)到乙同學家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快D．當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝eq\f(1,15)x答案BD解析甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；當0≤x≤30時，設y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正確．故選BD.三、填空題11．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了如下一組實驗數(shù)據(jù)：x22.99456.002y48.0215.993264.01現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地描述這些數(shù)據(jù)的規(guī)律：①y＝2x；②y＝eq\f(1,2)(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x，其中最接近的一個是________(只填序號)．答案④解析x22.99456.002y48.0215.993264.01①y＝2x45.9881012.004②y＝eq\f(1,2)(x2－1)1.53.977.51217.51③y＝log2x11.5822.322.59④y＝2x47.94163264.09由表格數(shù)據(jù)可知其中最接近的一個是④y＝2x.12.某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據(jù)市場分析，每輛客車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)的關系(如圖)，則每輛客車營運年數(shù)為________時，營運的年平均利潤最大．答案5解析根據(jù)題意得，拋物線的頂點為(6，11)，過點(4，7)，開口向下，設二次函數(shù)的解析式為y＝a(x－6)2＋11(a<0)，所以7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11，則營運的年平均利潤eq\f(y,x)＝eq\f(－(x－6)2＋11,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤12－2eq\r(25)＝2，當且僅當x＝eq\f(25,x)，即x＝5時取等號．13．雙碳，即碳達峰與碳中和的簡稱，2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”．為了實現(xiàn)這一目標，中國加大了電動汽車的研究與推廣，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展的機遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：A·h)，放電時間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關系的經(jīng)驗公式C＝In·t，其中n＝logeq\s\up-7(\f(3,2))2為Peukert常數(shù)．在電池容量不變的條件下，當放電電流I＝10A時，放電時間t＝57h，則當放電電流I＝15A時，放電時間為________h.答案28.5解析根據(jù)題意可得C＝57×10n，則當I＝15A時，57×10n＝15n×t，所以t＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(n)＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq\s\up-7(\f(3,2))2＝57×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))logeq\s\up-7(\f(3,2))eq\s\up7(\f(1,2))＝28.5h，即當放電電流I＝15A時，放電時間為28.5h.14．為了響應黨和國家節(jié)能減排的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進行技術攻關，把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術處理總成本y(單位：萬元)與處理量x(單位：噸)(x∈[120，500])之間的函數(shù)關系可近似表示為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144），,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))為使二氧化碳每噸處理成本最低，則處理量x為________噸．答案400解析由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144），,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]，))當x∈[120，144)時，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040，當x＝120時，S取得最小值240；當x∈[144，500]時，S＝eq\f(1,2)x－200＋eq\f(80000,x)≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，當且僅當eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時取等號，此時S取得最小值200.由于200<240，故所求處理量為400噸．四、解答題15．(2023·河北保定高三模擬)某科研團隊對某一生物生長規(guī)律進行研究，發(fā)現(xiàn)其生長蔓延的速度越來越快．開始在某水域投放一定面積的該生物，經(jīng)過2個月其覆蓋面積為18平方米，經(jīng)過3個月其覆蓋面積達到27平方米．該生物覆蓋面積y(單位：平方米)與經(jīng)過時間x(x∈N)個月的關系有兩個函數(shù)模型y＝k·ax(k>0，a>1)與y＝peq\r(x)＋q(p>0)可供選擇．(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的函數(shù)解析式；(2)問約經(jīng)過幾個月，該水域中此生物的面積是當初投放的1000倍？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73，lg2≈0.30，lg3≈0.48，精確到1月)解(1)∵函數(shù)y＝k·ax(k>0，a>1)中，y隨x的增長而增長的速