20.5 測量與計(jì)算 同步練習(xí)

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.5測量與計(jì)算基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題1.(2023北京順義期末)如圖，為測量樓房BC的高，在距樓房50米的A處，測得樓頂?shù)难鼋菫棣?，則樓房BC的高為()A.50tanα米 B.50tanα米 C.50sinα米 D.2.(2022湖北隨州中考)如圖，已知點(diǎn)B，D，C在同一直線的水平地面上，在點(diǎn)C處測得建筑物AB的頂端A的仰角為α，在點(diǎn)D處測得建筑物AB的頂端A的仰角為β，若CD=a，則建筑物AB的高度為()A.atanα?tanβ B.atanβ3.攝樂橋，寓意“攝錄快樂之橋梁”，是太原市城北地區(qū)溝通城市東西區(qū)域的重要橋梁，曾榮獲“中國鋼結(jié)構(gòu)金獎(jiǎng)”.大橋跨幅大，采用全漂浮體系，主塔橫橋?yàn)椤癆”字形，無橫梁，整體呈扭曲面，立體效果較明顯.某數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)把“測量攝樂橋主塔頂端到橋面的距離”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，他們制訂了測量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)地測量.測量結(jié)果如表：課題測量攝樂橋主塔頂端到橋面的距離測量工具測角儀、皮尺等測量示意圖說明：A點(diǎn)為主塔頂端，DE，F(xiàn)G為路燈，且DE=FG，在B點(diǎn)處測得路燈頂點(diǎn)D與主塔頂端A在同一條直線上，且仰角為∠ABE，測點(diǎn)B到路燈DE的距離為BE的長，在C點(diǎn)處測得路燈頂點(diǎn)F與主塔頂端A在同一條直線上，且仰角為∠ACG，已知兩個(gè)路燈之間的距離為179m，點(diǎn)B，E，G，C在同一條直線上測量數(shù)據(jù)∠ABE的度數(shù)∠ACG的度數(shù)BE的長度52.5°37.6°4.6m……(1)根據(jù)上表測量結(jié)果，請你幫助該小組計(jì)算出主塔頂端到橋面的距離；(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin37.6°≈0.61，cos37.6°≈0.79，tan37.6°≈0.77，sin52.5°≈0.79，cos52.5°≈0.61，tan52.5°≈1.30)(2)請你根據(jù)所學(xué)的知識，再設(shè)計(jì)一種方案，畫出示意圖，并寫出需要測量的量.知識點(diǎn)2解直角三角形的應(yīng)用——坡角、坡度問題4.(2022湖北十堰中考)如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時(shí)，在斜坡上的樹影BC的長為m，則大樹AB的高為()A.m(cosα-sinα) B.m(sinα-cosα) C.m(cosα-tanα) D.msinα5.(2022北京石景山期末)北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競賽場地“首鋼滑雪大跳臺(tái)”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素.如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線段AB.已知坡AB的長為30m，坡角∠ABH約為37°，則坡AB的鉛直高度AH約為m.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

6.(2022湖南郴州中考)下圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD=20m，背水坡BC的坡度為i1=1∶1.為了對水庫大壩進(jìn)行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2=1∶3，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離.(參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73.結(jié)果精確到0.1m)知識點(diǎn)3解直角三角形的應(yīng)用——方向角問題7.(2022四川巴中中考)如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向，距離燈塔30海里的A處，它沿北偏東30°方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東67°方向上的B處，此時(shí)與燈塔P的距離約為

海里.參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈348.(2022湖南岳陽中考)喜迎二十大，“龍舟故里”賽龍舟.丹丹在汨羅江國際龍舟競渡中心廣場點(diǎn)P處觀看200米直道競速賽.如圖所示，賽道AB為東西方向，賽道起點(diǎn)A位于點(diǎn)P的北偏西30°方向上，終點(diǎn)B位于點(diǎn)P的北偏東60°方向上，AB=200米，則點(diǎn)P到賽道AB的距離約為米.(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732)

9.如圖，在某次軍事演習(xí)時(shí)，中國空警機(jī)A在北偏東22°方向上發(fā)現(xiàn)有不明敵機(jī)在釣魚島P附近徘徊，并快速報(bào)告給東海司令部.此時(shí)正在空警機(jī)A的正西方向200km處巡邏的中國殲擊機(jī)B接到任務(wù)，迅速趕往北偏東60°方向上的釣魚島P處，已知?dú)灀魴C(jī)B的速度是2.2馬赫(1馬赫大約等于1200km/h).請根據(jù)以上信息，求殲擊機(jī)B到達(dá)釣魚島P所需的時(shí)間.(結(jié)果精確到1s.參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，3≈1.73)能力提升全練10.(2022黑龍江牡丹江中考改編)如圖，小明去爬山，在山腳B處看山頂A的仰角為30°，沿著坡比為5∶12的山坡上走1300米到達(dá)E點(diǎn)，此時(shí)小明看山頂A的仰角為60°，則山高AC為()A.(600-2505)米 B.(6003-250)米 C.(350+3503)米 D.5003米11.(2022湖北黃石中考)某校數(shù)學(xué)興趣小組開展“無人機(jī)測旗桿”的活動(dòng)：如圖，已知無人機(jī)的飛行高度為30m，當(dāng)無人機(jī)飛行至A處時(shí)，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達(dá)B處，測得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m.(參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，結(jié)果按四舍五入法保留一位小數(shù))

12.(2022貴州黔西南州中考)如圖，我海軍艦艇在某海域C島附近巡航，計(jì)劃從A島向北偏東80°方向的B島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西40°方向.A，B之間的距離為80nmile，則C島到航線AB的距離約是nmile.(參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3≈1.7，保留整數(shù)結(jié)果)

13.(2023北京門頭溝期末)定都閣位于門頭溝潭柘寺鎮(zhèn)的定都峰上，與通州大運(yùn)河遙相呼應(yīng)，形成“東有大運(yùn)河，西有定都閣”的一道新景觀.為測得定都閣的高度，某校數(shù)學(xué)社團(tuán)登上定都峰開展實(shí)踐活動(dòng).如圖，他們利用無人機(jī)在點(diǎn)P處測得定都閣頂端A的俯角α為45°，定都閣底端B的俯角β為60°，此時(shí)無人機(jī)到地面的垂直距離PC為463米，求定都閣的高AB.(結(jié)果保留根號)14.(2023河南新鄉(xiāng)輝縣期末)如圖，在中俄“海上聯(lián)合”反潛演習(xí)中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方500米的反潛直升機(jī)B測得潛艇C的俯角為68°.試根據(jù)以上數(shù)據(jù)求潛艇C的下潛深度.(結(jié)果保留整數(shù)，sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)素養(yǎng)探究全練15.(2022湖南常德中考)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月4日至20日在北京舉行，我國冬奧選手取得了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國贏得了榮譽(yù)，激起了國人對冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情.某地模仿北京首鋼大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)(如圖1)，它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成.圖2是其示意圖，已知：助滑坡道AF=50米，弧形跳臺(tái)的跨度FG=7米，頂端E到BD的距離為40米，HG∥BC，∠AFH=40°，∠EFG=25°，∠ECB=36°.求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面BD的距離是多少米.(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.5測量與計(jì)算答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A由題意知∠C=90°，在Rt△ABC中，tanα=BCAC，∴BC=ACtanα=50tanα米.故選A.2.D設(shè)AB=x，在Rt△ABD中，tanβ=ABBD=xBD，∴BD=∴BC=CD+BD=a+xtanβ，在Rt△ABC中，tanα=ABBC解得x=atanαtan3.解析(1)過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，如圖，∵tanB=DEBE=AHBH=tan52.5°≈1.∴DE≈1.30BE=1.30×4.6=5.98(m)，BH≈AH1.30∵FG=DE，tanC=FGCG=AHCH=tan37.6°≈0.∴CG≈FG0.77≈5.980.77≈7.77(m)，CH≈∴BC=BE+EG+CG=4.6+179+7.77=191.37(m)，∵BH+CH=BC，∴AH1.30+AH0.77≈191.解得AH≈92.5(m).答：主塔頂端到橋面的距離約為92.5m.(2)如圖，在B點(diǎn)處測得路燈頂點(diǎn)D與主塔頂端A在同一條直線上的仰角∠ABE，再在E點(diǎn)處測得主塔頂端A的仰角∠AEH，再測出BE的長度即可，理由如下：過A作AH⊥BE于H，由銳角三角函數(shù)的定義可知，BH=AHtanB，EH=∵BE=BH-EH，∴BE=AHtanB-即可求出AH的長度.4.A如圖，過點(diǎn)C作水平地面的平行線，交AB的延長線于D，則∠BCD=α，∠BDC=90°，在Rt△BCD中，BC=m，∠BCD=α，則BD=BC·sin∠BCD=msinα，CD=BC·cos∠BCD=mcosα，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，則AD=CD=mcosα，∴AB=AD-BD=mcosα-msinα=m(cosα-sinα)，故選A.5.答案18解析在Rt△ABH中，∠ABH≈37°，AB=30m，∵sin∠ABH=AHAB，∴AH=AB·sin∠ABH≈30×0.60=18(m)6.解析∵i1=1∶1，CD⊥BD，∴tan∠CBD=CDBD=1，∴CD=BD∵i2=1∶3，CD⊥AD，∴tan∠CAD=CDAD=1∴AD=3CD，∵CD=20m，∴BD=20m，AD=203m，∴AB=AD-BD=203-20≈14.6m.即背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約是14.6m.7.答案50解析如圖所示標(biāo)注字母，根據(jù)題意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，∠DPC=67°，PA=30海里，∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，∴∠B=180°-90°-53°=37°，在Rt△PAB中，sin37°=APPB=30PB≈∴PB≈50海里，∴此時(shí)與燈塔P的距離約為50海里.8.答案87解析如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，則∠APH=30°，∠BPH=60°.設(shè)AH=x米，則在Rt△APH中，PH=AHtan30°=x33=3在Rt△PBH中，BH=PH·tan60°=3x·3=3x(米).∵AB=AH+BH，∴x+3x=200，∴x=50，∴PH=3x=503≈50×1.732=86.6≈87(米).9.解析如圖，過點(diǎn)P作PC⊥BA交BA的延長線于C，設(shè)AC=xkm，則BC=(200+x)km，在Rt△PAC中，tan∠APC=ACPC，∠APC=22°∴PC=ACtan∠APC≈x0.4=2.5在Rt△BCP中，tan∠PBC=PCBC，∠PBC=30°∴2.5x200+x解得x≈60，則PC=2.5x=150km，在Rt△PBC中，∠PBC=30°，∴BP=2PC=300km，∴殲擊機(jī)B到達(dá)釣魚島P所需的時(shí)間為3002.2×1200×3600≈409(s)答：殲擊機(jī)B到達(dá)釣魚島P所需的時(shí)間約為409s.能力提升全練10.B如圖，作EF⊥CB于F，ED⊥AC于D，∵斜坡BE的坡度為5∶12，∴設(shè)EF=5x米，BF=12x米，由勾股定理得(5x)2+(12x)2=(1300)2，解得x=100(舍負(fù))，則EF=500米，BF=1200米，由題意可知，四邊形DCFE為矩形，∴DC=EF=500米，DE=CF，在Rt△ADE中，tan∠AED=tan60°=ADDE，則DE=ADtan60°=33AD，在Rt△ACB中，tan∠ABC=tan30°=ACBC，∴500+AD1200+33AD∴山高AC=AD+DC=6003-750+500=(6003-250)米，故選B.11.答案12.7解析如圖，設(shè)旗桿底部為點(diǎn)C，旗桿頂部為點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，交直線AB于點(diǎn)E.則CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，設(shè)DE=xm，在Rt△BDE中，tan60°=DEBE=xBE=解得BE=33xm，∴AE=AB+BE=20+3在Rt△ADE中，tan30°=DEAE=x20+3解得x=103≈17.32，經(jīng)檢驗(yàn)，x=103≈17.32是原方程的解，且符合題意，∴CD=CE-DE=30-17.32≈12.7m.12.答案34解析如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，設(shè)CF=xnmile.由題意，得∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠CBE=40°，AD∥BE，則∠CAB=∠DAB-∠DAC=30°，∵AD∥BE，∴∠DAB+∠ABE=180°，∴∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°，∴∠ABC=∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.在Rt△ACF中，∵∠CAF=30°，∴AF=3CF=3xnmile.在Rt△CFB中，∵∠FBC=60°，∴BF=33CF=33x∵AF+BF=AB，∴3x+33x=80，解得x=203≈3