遞推函數(shù)-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題08遞推函數(shù)

【方法點(diǎn)撥】

類比于數(shù)列的遞推關(guān)系，我們把具有兀￥+1)=2/(x)等形式的函數(shù)稱為遞推函數(shù).諸如函數(shù)

凡x+l)="尤)，意即變量的值增加1,其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是原來函數(shù)值的2倍，類似函數(shù)的周

期性，但有一個(gè)倍數(shù)關(guān)系.依然可以考慮利用周期性的思想，在作圖時(shí)，以一個(gè)“周期”圖像

為基礎(chǔ)，其余各部分按照倍數(shù)調(diào)整圖像即可.凡x)=Ax—l)+l等以此類推.

【典型題示例】

例1設(shè)函數(shù)式尤)的定義域?yàn)镽,滿足_/(x+l)=紈x),且當(dāng)xG(0,l]時(shí)，犬x)=x(x—1).若對(duì)

Q

任意工￡(—8,m],都有1工)之一則根的取值范圍是()

Q

【分析】作出圖示，求出函數(shù)的解析式，求出/■(%)=-§成立的X的值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的

思想可得選項(xiàng).

【解析一】：xe(0,l]時(shí)，/(x)=x(x—1),/Q)極小值=/(：)=—；

.?.當(dāng)xe(l,2]時(shí)，X-1G(O,1],故/(%)=/((%—1)+1)=2/(%—1)=2(%—1)(龍—2),

31

/(x)極小值=/(5)=—5

同理，當(dāng)xe(2,3]時(shí)，/(x)=22(x—2)(x—3),.../(x)極小值=/(5)=—1,

當(dāng)無￡(左，左+1](左￡Z)時(shí)，/(X)=21九一人)[九一(左+1)],

???/(X)極小值=//+：)=-貨

所以，當(dāng)xe(-oo,2],/(x)min=/(-)=-->--

Q

當(dāng)xe(2,3]時(shí)，/(X)=22(X-2)(X-3),令/(x)=Z??！?)(x—3)=—],

7X

解之得：%=—或%=—

33

o7

為使對(duì)任意xe(—8,〃a,都有y(x)?—?jiǎng)t機(jī)的取值范圍是a

故選B.

【解析二】當(dāng)一1<立0時(shí)，0<r+lWl,則式x)=T於+l)=T(x+l)x；當(dāng)1X2時(shí)，04—1口，

則Kx)=^(x—l)=2(x—l)(x—2)；當(dāng)2y3時(shí)，0<%—2勺，則/CDu^x-DnZ^x一

2)—22(X—2)(x—3),...,由此可得

%+lx,—l<x<0,

五?=<XX—1,O<X<1,由此作出函數(shù)/U)的圖象，如圖所示.由圖可知當(dāng)2<g3

2x—lx—2,l<x<2f

<22x—2x—3,2<x<3,

時(shí)，令22(x—2>(x—3)=—*整理，得(3X—7)(3L8)=0,解得了=,或x=當(dāng)，將這兩個(gè)

o7

值標(biāo)注在圖中.要使對(duì)任意Xd(-oo,詞都有式工巨一§,必有機(jī)外，即實(shí)數(shù)加的取值范圍是

則函數(shù)y=2歡x)—3在區(qū)間(1,2015)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

【答案】11

3

2x—2,1<JS2,x

7

【解析一】由題意得當(dāng)1q<2時(shí)，J(x)=3設(shè)x￡[2Li，2〃)(〃￡N*),則調(diào)T

4—2xf2<X<2.

當(dāng)言e1，I]時(shí)，則xe[2「i32「2],所以#犬)=^/[^^)=*(2-*彳一2),

所以2歡勸-3=2彳?/2)—3=0,整理得/一2?2"-2彳一3.22"-4=0.解得彳=32廠2

或尤=一2"一2.由于xd[2"F32L2],所以彳=32廠2；

②當(dāng)券e?,2)時(shí)，貝心6(32廠2,2"),所以於尸圭壯^二泰.一?不、,，所以

2求x)—3=2不擊(4一券)-3=0,整理得/一42廠2%+3.22"-4=0.解得x=32「2或無

=2"一2.由于天e(32廠2,2"),所以無解.

綜上所述，尤=3吃"-2.由尤=32廠26(1,2。15),得好11,所以函數(shù)y=2狀尤)一3在區(qū)間(1,2

015)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.

【解法二】由題意得當(dāng)xW[2"F2")時(shí)，因?yàn)槿?(x)max=/(82Li)=/T.

令8代尸奈當(dāng)x=|.2"—i時(shí),g(x)=g^2G)=5號(hào)，

3

所以當(dāng)xd[2"f2")時(shí)，尤=72"一1為>="乃-3的一個(gè)零點(diǎn).

下面證明：當(dāng)xG[2"f2")時(shí)，y=2求x)-3只有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)尤2[2"-1，3?2"-2]時(shí)，>=/&)單調(diào)遞增，y=g(x)單調(diào)遞減，五3?2"-2)=g(32廠2),所以正

[2〃-I，32「2]時(shí)，有一零點(diǎn)尤=3吃"一2；當(dāng)了6(3?2"-2,2")時(shí)，y=/0)=，一擊卷一3),

ki—f(x)——22n~3,g(")=狒，k2—g'(x)——2fe(一—再開7),所以左i〈左2.又因?yàn)?/p>

432「2)=g(3.2"-2),所以當(dāng)xe[2"F2")時(shí),y=2就勸一3只有一個(gè)零點(diǎn).由尤=32廠2華1,2

015),得花11,所以函數(shù)y=2求X)—3在區(qū)間(1,2015)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.

33

【解法三】分別作出函數(shù)丁=八x)與y=正的圖像，如圖，交點(diǎn)在看=],%2=3,為=6,…，

為=3?2『2處取得.由X=3?2〃-2￡(1,2015),得正11,所以函數(shù)y=2歡九)一3在區(qū)間(1,2

015)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是11.

-(X-1)2+1,^<2

例3已知函數(shù)/Xx)/1，若函數(shù)尸(%)=/(%)一如有4個(gè)零點(diǎn)，則

-f(x-2),x>2

、乙

實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A-1-苑WB-1-倔3-2&)C.怎,3-2向D.心力

【答案】B

-(X-1)2+1,X<2

【解析】函數(shù)/(1)々1,函數(shù)尸(%)=/(%)一如有4個(gè)零點(diǎn)，即

-/(%-2),%>2

、乙

/(%)=〃a有?四個(gè)不同交點(diǎn).畫出函數(shù)〃龍)圖像如下圖所示:

1

由圖可知，當(dāng)2Wx<4時(shí),

當(dāng)4Wx<6時(shí)，設(shè)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的頂點(diǎn)為3,則31.所以

20

口-〈根〈工.當(dāng)直線y=m與2Wx<4時(shí)的函數(shù)圖像相切時(shí)與函數(shù)/(X)圖像有三個(gè)交點(diǎn),

206

y=mx

2

此時(shí)<y=-3j+g化簡(jiǎn)可得X2+（2/w—6）x+8=0.A=（2m-6）-4x8=0?

解得根=3-20,加=3+20(舍)；當(dāng)直線V=癖與4Wx<6時(shí)的函數(shù)圖像相切時(shí)與

y=mx

函數(shù)/(無)圖像有五個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)《1,化簡(jiǎn)可得

+—

4

x2+（4m-10）x+24=0.A=（4m-10）2-4x24=0?解得根=3—m=—+y16

(舍)；故當(dāng)/(%)=如有四個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)加?一布,3-20).故選：B.

【鞏固訓(xùn)練】

(2~x—1,x<0,

1.已知函數(shù)y(x)的定義域?yàn)镽,且/(尤)=1,若方程|尤)=尤+。有兩個(gè)不同實(shí)根,

x>0,

則a的取值范圍為.

[x-[x],x>0,

2.已知函數(shù)40=,、其中國(guó)表示不超過x的最大整數(shù).若直線

[f(x+1),x<0,

>0)與函數(shù)y=/U)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是.

jy+2?01

3.已知函數(shù)f(x)=]'-，當(dāng)尤1[0,100]時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)=x-1的

f/(%-1)+l,x>05

所有解的和為。

1—|x—1|,x<2,

4.已知函數(shù)/'(x)=i，則方程對(duì)'(%)—1=0根的個(gè)數(shù)為一.

-f(x-2),x>2,一

5.已知函數(shù)7(x)的定義域?yàn)镽,且?)=2/(x),當(dāng)尤e［0,兀)時(shí)，/(x)=-sinx.若

存在8,機(jī)］,使得/(入0)<-6，則機(jī)的取值范圍為.

"2『1口，Q<x<2,

6.已知函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí),用0=<1那么函數(shù)g(無)=動(dòng);x)

于(%—2),x>2,

—1在［―7,+s)上的所有零點(diǎn)之和為.

7.己知函數(shù)/(x)是定義在(―8,0)U(0"8)上的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，

2|x-11-1,0<x<2

8)=[“(尤-2),x〉2則函數(shù)g(x)=4/(x)-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.4B.6C.8D.10

8.已知函數(shù)/(x)=］U：；W給出下列命題，其中正確的有()

A./(2020)=2507；

B.方程=有四個(gè)實(shí)根；

C.當(dāng)xe[6,10)時(shí)，/(x)=8|x-8|-16；

8

D.若函數(shù)y=/(x)T在(-8,10)上有8個(gè)零點(diǎn)X，(i=1,2,3,…,8),則￡西“玉)的取值范

i=l

圍為(T6,0).

9.定義在R上的函數(shù)/(x),恒有/［%一叁］=1■/+當(dāng)xe［0,;r)時(shí)，/(x)=sinx,

若Vxe(-oo,a］，恒有f(x)<4>/3,則a的取值集合為.

10.已知函數(shù)/(X)滿足當(dāng)尤40時(shí)，2/(尤-2)=/(無)，且當(dāng)xe(-2,0］時(shí)，/(x)=|x+l|-l；當(dāng)

x>0時(shí)，/(x)=log“x(a>0且。*1).若函數(shù)/(x)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)恰好有3對(duì),

則”的取值范圍是()

A.(625,+co)B.(4,64)C.(9,625)D.(9,64)

11.定義在R上函數(shù)滿足了（尤+l）=g〃x），且當(dāng)xe[0.1）時(shí)，/（力=1_母-1卜則使得

J在上〃,內(nèi)）上恒成立的根的最小值是（）

16

791315

A.—B.-C.—D.—

2244

【答案或提示】

1.【答案】（—00,1）

【解析】?jī)矗r(shí)，fix）=2~x-l,

0<后1時(shí)，-l<x-l<0,

心）=危-1）=2一（廠1）_1.

故x>0時(shí)，人x）是周期函數(shù)，

如圖所示.

若方程段）=x+a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)式x）的圖象與直線y=x+“有兩個(gè)不同交點(diǎn),

故即。的取值范圍是（一8,1）.

2.【答案】［不3)

【解析】根據(jù)印表示的意義可知，當(dāng)OSxVl時(shí)，/(x)=x,當(dāng)lSrV2時(shí)，危)=%—1,當(dāng)2sx

V3時(shí)，?x)=x—2,以此類推，當(dāng)―〈人+1時(shí)，兀x)=x一左，Jtez,當(dāng)一1勺VO時(shí)，?x)

=x+l,作出函數(shù)“r)的圖象如圖，直線y=Z(x+l)過點(diǎn)(一1,0),當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(3,1)時(shí)恰

有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(2,1)時(shí)恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，在這兩條直線之間時(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，故

「11、

仁自，3；.

3.【答案】10000

1

【提示】當(dāng)0<xWl時(shí)，x-l<0,/(x)=/(x—l)+l=f9,止匕時(shí)/'(x)=x—g的兩根之

和是1

當(dāng)1<XW2時(shí)，0<x—1W1,/(x)=/(x—l)+l=(x—iy+1,此時(shí)f(x)=x—二的兩根

之和是3

當(dāng)2<%W3時(shí)，l<x—1W2,/(X)=/(X-1)+1=(X-2)2+2,

此時(shí)/(x)=x-1的兩根之和是5

以此類推，當(dāng)99<xW100時(shí)，/(x)=x—g的兩根之和是199

所以方程F(x)=x-1的所有解的和為1+3+5+…+199=10000.

4.【答案】6

【提示】轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=/(%)>y=-交點(diǎn)個(gè)數(shù).

X

..10zr

5.【答案】§，+00)

【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)圖像，如下:

"1°萬

故----.

3

6.【答案】8

【提示】轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)丁=/(尤)、y=!在［-7,+◎上的所有交點(diǎn)橫坐標(biāo)和的問題，兩

函數(shù)均為奇函數(shù)，故在［—7,7］上橫坐標(biāo)和為0,只需考慮尤6(—7,+8)即可，利用遞推關(guān)

系作出圖象.

7.【答案】D

【分析】由/(九)為偶函數(shù)可得：只需作出正半軸的圖像，再利用對(duì)稱性作另一半圖像即可,

當(dāng)xe(O,2］時(shí)，可以利用丁=2工利用圖像變換作出圖像，x>2時(shí)，/(%)=1/(x-2),

即自變量差2個(gè)單位，函數(shù)值折半，進(jìn)而可作出(2,4］,(4,6］,的圖像，g(x)的零