幾何變換中的三角形全等模型-2023年中考數學幾何模型重點突破訓練

專題10幾何變換中的三角形全等模型

內容導航：模型分析-?典例分析T

【模型1】全等三角形中的平移變換

B

C⑺

【說明】平移前后的三角形全等。

平移的基本性質：由平移的概念知，經過平移，圖形上的每一個點都沿同一個方向移動相同的距離，平移

不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質：經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相

等.

【模型2】全等三角形中的折疊變換模型

【說明】折疊問題實質上是利用了軸對稱的性質。

軸對稱變換的性質:

①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.

【模型3】全等三角形中的旋轉變換模型

旋轉變換的性質：圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角度，任

意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等,

旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化.

【例1】如圖，AOE尸是由A48c經過平移得到的，/C分別交?！?、￡「于點G、"，若NB=120。，ZC=30°,

則NOG”的度數為（）

A.150°B.140°C.120°D.30°

【答案】A

【分析】根據平移可知：AABC.DEF,AC//DF,根據全等三角形對應角相等，得出=120。,

ZF=ZC=30°,即可得出/。的度數，再根據平行線的性質得出乙DG8的度數即可.

【解析】根據平移可知，AABC=^DEF,AC//DF,

：.ZE=ZB=\2Q°,ZF=ZC=30°,

/D=180°-NE—/F

=180°-120°-30°

=30°,

AC//DF,

：.NZ)GH+NZ)=180°,

oo

/.ZJDG//=180-ZJD=180°-30=150°,故A正確.

故選：A.

【例2】如圖，紙片ABCD的對邊,將紙片沿E尸折疊，CF的對應邊CN交/。于點G.若/G=Gb，

且4=44。，貝1J/2的大小是()

【答案】C

【分析】利用等腰三角形和平行線的性質求得//尸G=N/E8=44。，再求得

ZCFE+ZCFE=180°-ZAFB-ZAFG=92°,利用折疊的性質和平行線的性質即可求解.

【解析】解：；/G=G尸，Z1=44°,

ZAFG=Z1=44°,

,?AD//BC,Z1=44°,

/.ZAFB=Z1=44°,

ZCFE+ZCFE=180°-ZAFB-ZAFG=92°,

由折疊的性質可得ZCFE=NC'FE,

ZCF^=-x92°=46°,

2

?/AD//BC,

：.Z2=ZCFE=46°,

故選C

【例3】如圖，在等腰比△/5C和等腰而△CZ)￡中，/ACB=/DCE=90。.

(1)觀察猜想：如圖1,點E在BC上，線段/E與2。的關系是；

(2)探究證明：把△CDE繞直角頂點C旋轉到圖2的位置，(1)中的結論還成立嗎？說明理由；

(3)拓展延伸：把△<?￡>￡繞點C在平面內轉動一周，若/C=8C=10,CE=CD=5,AE,AD交于點尸時，

連接。，直接寫出尸最大面積.

【答案】(1)/￡=8。，AEYBD-.

(2)結論仍成立，理由見解析；

25+2573

2'

【分析】(1)先根據等腰三角形的定義可得/C=5C，CE=CD,再根據三角形全等的判定定理與性質可

得4E=BD,NEAC=NDBC,然后根據直角三角形兩銳角互余、等量代換即可得N4TO=90。即可；

(2)先根據三角形全等的判定定理與性質可得/￡=2。，/EAC=NDBC,再根據直角三角形兩銳角互余

可得/E4C+//OC=90。，然后根據對頂角相等、等量代換可得ND3C+/3O〃=90。，從而可得

ZOHB=90°即可；

(3)如圖：由題意可知點尸在以為直徑的O。上運動，點。在0c上運動，觀察圖形，可知當AP與OC

相切時，ABC尸面積最大；此時，四邊形CDPE為正方形，PD=CD=5；然后在五以8。。運用勾股定理求

出5D,進而求出5尸的最大值，最后運用三角形的面積公式求解即可.

【解析】(1)解：AE=BD,AEYBD,理由如下：

如圖1,延長4E交BD于H,

由題意得：AC=BC,ZACE=ZBCD=90°,CE=CD,

；."CE=^BCD(SAS),

AE=BD,NEAC=NDBC,

'：NDBC+NBDC=90°,

：.ZEAC+ZBDC=90°,

：.ZAHD=180°-(ZEAC+ABDC)=90°,即/E_L8。，

故答案為：AE=BD,AELBD.

B

AE=BDAELBD,理由如下:

如圖2,延長4E交BD于H,交于。,

ZACB=ZECD=90°f

：.ZACB-ABCE=Z.ECD-ZBCE,BPZ_ACE=Z.BCD,

在△4CE和△BCD中，

AC=BC

<AACE=/BCD,

CE=CD

AACE="CD(SAS),

：.AE=BD,NEAC=/DBC,

???4cB=90。，

???NEAC+ZAOC=90。,

ZAOC=/BOH,

：.ZDBC+ZBOH=90°fBPZOBH+ZBOH=90°f

：./OHB=T80°—(NOBH+/BOH)=90°,即/￡_L8。.

圖2

(3)解：如圖：?.?4P3=90°,

二.點尸在以43為直徑的OO上運動.

CD=CE=5,

二點。在OC上運動,

觀察圖形，可知當BP與OC相切時，ABC尸面積最大.

此時，四邊形CDPE為正方形，PD=CD=i5.

在R〃BDC中,BD=y)BC2-CD2=573.

3+5,~cL+；5”

當AHCP的面積最大時，BP=BD+DP=5j

,1-------、、、-------'、、、

/、、B/、、B

八、、,、JC:二落;

////

f?/

'、、、Jz?

''----E"'一J

一、單選題

1.如圖，三角形4BC,三角形E/G均為邊長為4的等邊三角形，點D是BC、E尸的中點，直線ZG、FC

相交于點M,三角形EFG繞點。旋轉時，線段9長的最小值為()

導

F

A.4GB.2GC.273-2D.473-4

【答案】C

【分析】首先證明"MF=90。，判定出點W在以/C為直徑的圓上運動，當M運動到時，BM最

短來解決問題.

【解析】解：如圖，連接/￡、EC、CG,AD,

?;DE=CD=DF,

:./DEC=/DCE,/DFC=/DCF,

???/DEC+ZDCE+ZDFC+/DCF=18。，

/.NECF=90。,

v^ABC.MFG是等邊三角形，D是BC、所的中點,

/.ZADC=ZGDE=90°,

:./ADE=/GDC,

\ADE=\GDC(SAS),

/.AE=CG,NDAE=NDGC,

???DA=DGf

ZDAG=ZDGA,

NGAE=ZAGC,

\AGE=\GAC{SAS),

ZGAK=NAGK,

KA=KG,

'：AC=EG,

/.EK=KC,

ZKEC=ZKCE,

ZAKG=ZEKC,

/.ZKAG=ZKCE,

\EC//AG,

ZAMF=ZECF=90°,

.??點M在以zc為直徑的圓上運動,

.,.當W_L/C時，且8、〃在/C的同側時，BM最短,

QAB=4,

OB=273>AO=OM=2,

BM的最小值為2G-2.

故選：C.

2.如圖，在正方形/BCD中，AB=4,點M在CD的邊上，且。M=l,與ZU7W關于//所在的

直線對稱，將ZUDW按順時針方向繞點N旋轉90。得到ZU8R連接￡凡則線段M的長為（）

A.3B.273C.5D.V13

【答案】C

【分析】連接瀏1.先判定當AA￡48,即可得到好=即/.再根據BC=CD=48=4,CM=3,利用

勾股定理即可得到，RtA5cM中，BM=5,進而得出E廳的長.

【解析】解：如圖，連接

MEM與\ADM關于AM所在的直線對稱，

.-.AE=AD,ZMAD=ZMAE.

V&ADM按照順時針方向繞點A旋轉90°得到KABF,

.-.AF=AM,ZFAB=ZMAD.

/./FAB=/MAE,

/.ZFAB+ZBAE=ZBAE+/MAE.

ZFAE=/MAB.

\FAE^\MAB(SAS).

：.EF=BM.

???四邊形ZBCD是正方形，

/.BC=CD=AB=4.

???DM=1,

:.CM=3.

.?.在RtA5cM中，W=732+42=5，

/.EF=5,

3.如圖，45CQ是一張矩形紙片，45=20,5C=4,將紙片沿MN折疊，點9,C分別是5,。的對應點,

MB與DC交于K,若△〃入K的面積為10,則。N的最大值是（

A.7.5B.12.5

【答案】D

【分析】作NELL9用于E,NF工BM于F,由折疊得N1=N2,根據角平分線的性質得可得四邊形3C7VF是矩形,

則入下=5。=4,根據△的區(qū)的面積為10得AK=〃K=5,根據勾股定理得KE=3,則MF=ME=MK-KE=5-3=2,設

DN=x,貝!JCN=20-x,BM=BF+MF=20-x+2=22-x,由折疊可得加gKA/,BP22-x>5.可得讓17,即可得。AK17,貝（J

ON的最大值是17.

【解析】解：如圖所示，過點N作于RNF上BM于F,

由折疊得N1=N2,

：.NE=NF,

?.?四邊形/BCD是矩形，

NB=NC=NBFN=90。,AB//CD.

，四邊形5cA下是矩形，ZDNM=Z2,

:.NE=NF=BC=4,Z1=ZDNM,

：.NK=MK,

?.,△MAK的面積為10,

yKM-NE=yKN-NF=10,

：.NK=MK=5,

:,KE=4KN--NE1=3,

在△MEN和△MEN中，

'Z1=Z2

<ZMEN=NMFN,

ME=NF

:.叢MEN94MFN(44S),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

設DN=x,則CN=BF=20-x,

:.BM=BF+MF=20-x+2=22-x,

由折疊得BM>KM,即22-x>5.

：.x<11,即。A07,

.?.￡W的最大值是17.

故選：D.

4.如圖，現有一張矩形紙片NBC。，AB=A,BC=8,點N分別在矩形的邊4D,BC上,將矩形紙片

沿直線MN折疊，使點。落在矩形的邊4D上，記為點尸，點。落在G處，連接PC,交MN于點、Q,連接

CM.下列結論：①CQ=CD；②四邊形是菱形；③尸，/重合時，MN=2y[5;④△尸。M的面積S

的取值范圍是3WSW5.其中正確的是（）

【答案】B

【分析】先判斷出四邊形CNPM是平行四邊形，再根據翻折的性質可得CN=NP,然后根據鄰邊相等的平

行四邊形是菱形證明，判斷出②正確；假設CQ=C￡>,得RfACMQqACMD,進而得

/BCP=36°,這個不一定成立，判斷①錯誤；點P與點/重合時，設BN=x,表示出/N=NC=8-x,利用

勾股定理列出方程求解得x的值，進而用勾股定理求得判斷出③正確；當過。點時，求得四邊形

CMPN的最小面積，進而得S的最小值，當尸與N重合時，S的值最大，求得最大值即可.

【解析】解：如圖b

圖1

?.?四邊形/8C。是矩形,

J.PM//CN,

ZPMN=ZMNC,

VZMNC=ZPNM（折疊的性質）,

NPMN=ZPNM,

：.PM=PN,

-：NC=NP（折疊的性質）,

：.PM=CN,

...四邊形CNPM是平行四邊形，

,:CN=NP,

二四邊形cmw■是菱形，故②正確；

J.CPLMN,ZBCP=ZMCP,

：.ZMQC=ZD=90°,

"：CM=CM,

若CQ=CD,則RtACMQ絲RtACMD(HL),

：.ZDCM=ZQCM=ZBCP=3Q°,這個不一定成立，故①錯誤;

點尸與點/重合時，如圖2所示：

圖2

設BN=x,則NN=NC=8-x,

在向ZUBN中，AB2+BN2=AN2,

即42+x2—(8-x)2,

解得x=3,

:?CN=8-3=5,AC=^AB2+BC2=742+82=4有,

/?QN=y]cN2-CQ2=V5，

：.MN=2QN=275.故③正確;

當血W過點D時，如圖3所示:

此時，CN最短，四邊形CMPN的面積最?。ㄋ倪呅蜟NPM的邊CN上的高固定為45的長），此時四邊形

CNPA/是正方形，貝ljS謖小=；5菱/CMPN=；x4x4=4,

當尸點與4點重合時，CN最長,四邊形CMPN的面積最大，則$最大=；*5*4=5,

.,.4<S<5,故④錯誤.

故選：B.

5.如圖，在瓦A48c中，ABAC=90°,AB=AC,點。為8C的中點，直角NAffiN繞點。旋轉，DM,

DV分別與邊/瓦AC交于E,尸兩點，下列結論：①A￡?EF是等腰直角三角形；②AE=CF；

③S四邊形包”;4加；@BE+CF=EF,其中正確結論的個數是（）

【答案】C

【分析】根據等腰直角三角形的性質可得/C4Z）=/B=45。，根據同角的余角相等求出/ND尸然后

利用“角邊角”證明和/全等，判斷出③正確；根據全等三角形對應邊相等可得DE=￡>F、BE=AF,

從而得到△￡>￡?是等腰直角三角形，判斷出①正確；再求出/E=CR判斷出②正確；BE+CF=AF+AE,

利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊可得BE+CF>EF,判斷出④錯誤.

【解析】?.?/B/C=90。，AB=AC,

是等腰直角三角形，NB=45°,

:點。為3c中點，

：.AD=CD=BD,ADLBC,ZCAD=45°,

:.NCAD=/B,ZBDE+ZADE=ZADB=90°

?；NAffiW是直角,

，ZADF+ZADE=90°,

：.ZADF=ZBDE,

ZCAD=ZB

在△BDE和/中,AD=BD

NADF=NBDE

.△BDE咨4ADF(ASA),

.DE=DF,BE=AF,

.△?！晔堑妊苯侨切?，故①正確;

"AE=ABBE,CF=ACAF,

.AE=CF,故②正確;

FBDE沿AADF

.SRDE=SAADF

?S四邊形ZEDF-S/^ADE+^/XADF=/XADE+^ABDE=/XBDA=AABC

故③正確;

BE+CF=AF+AE>EF,

：.BE+CF>EF,

故④錯誤;

綜上所述，正確的是①②③,

故選：C.

6.如圖，在A48c中，AB=BC,將ANBC繞點3順時針旋轉，得到V48G，/建交/C于點E,4cl分

別交NC,BC于點、D,F,則下列結論一定正確的是（）

C

A.ZCDF=ZAB.AE=CFC.ZAQE=NGD.DF=FC

【答案】B

【分析】根據將△Z8C繞點2順時針旋轉，得到△/創(chuàng)工可證明△HAFtACBE,從而可得//=（才，即

可得到答案.

【解析】解:'：AB=BC,

：.NA=NC,

?.?將△NBC繞點B順時針旋轉，得到△43G,

：.AiB=AB=BC,ZAj=ZA=ZC,

在△42尸和△C2E中

Z4=ZC

<AtB=CB,

"BF=ZCBE

：./\AiBF^/\CBE（ASA）,

：.BF=BE,

：.AiBBE=BCBF,BPAiE=CF,故3正確，

其它選項的結論都不能證明，

故選：B.

7.如圖，在矩形/BCD中，點M在48邊上，把ABCM沿直線CM折疊，使點8落在/。邊上的點￡處，

連接EC,過點B作BF_LEC,垂足為R若CD=1,C「=2,則線段/E的長為（）

D

5C

A.V5-2B.V3—1C.-D.y

3，

【答案】A

【分析】先證明45尸可得DE=CQ2,再用勾股定理求得?！?逐，從而可得NO=8C=石，最

后求得NE的長.

【解析】解：：四邊形/BCD是矩形，

：.BC=AD,ZABC=ZD=90°,AD//BC,

：.NDEC=NFCB,

BFLEC,

：./BFC=/CDE,

?.,把ABCM沿直線CM折疊，使點3落在AD邊上的點￡處,

：.BC=EC,

在△AFC與△(?￡)￡中，

'/DEC=NFCB

<NBFC=NCDE

BC=EC

：./\BFC^/\CDE(AAS),

:.DE=CF=2,

?*-CE=CD2+DE2=Vl2+22=V5，

：.AD=BC=CE=y/5,

：.AE=ADDE=45-2,

故選：A.

8.如圖，正方形/BCD中，48=12,點￡在邊BC上，BE=EC,將△OCE沿。E對折至△OFE,延長所

交邊48于點G,連接OG、3尸，給出以下結論：①△DAG妾LDFG；②2G=2/G；③SZ、DGF=48；?SABEF

.其中所有正確結論的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】①根據正方形的性質和折疊的性質可得凡NA=/GFD=90。,于是根據“乩”判定

Rt/\ADG^Rt^FDG；②再由GF+GB=G/+G8=12,EB=EF,ABGE為直角三角形，可通過勾股定理列

方程求出/G=4,BG=8,即可判斷；③根據①即可求出三角形。GB的面積；④結合①可得ZG=G凡根

據等高的兩個三角形的面積的比等于底與底的比即可求出三角形尸的面積.

【解析】解：①???四邊形是正方形，

C.AD^DC,NC=N/=90°,

由折疊可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,

：.ZDFG=lS0°-ZDFE=9Q°,

：.NDFG=NA=90°,

在RtAADG和Rt/\FDG中,

[AD=DF

[DG=DG'

:.RtAADG"RtAFDG(HL),

故①正確；

②?.?正方形邊長是12,

:.BE=EC=EF=6,

設/G=FG=x,則EG=x+6,BG=U-x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(x+6)2=62+(12-x)2,

解得：x=4,

，/G=GF=4,BG=8,BG=2AG,

故②正確；

③?：RtAADG沿RtAFDG,

：.SADGF^SAADG=IxAG?AD=yx4x12=24,

故③錯誤；

@,/SAGBE=IBE-BG=1X6X8=24,

"：GF=AG=4,EF=BE=6,

.S^BFG_GF_2

.3372

,*S&BEF=yS^GBE=WX24=—)

故④正確.

綜上可知正確的結論的是3個，

故選：B.

二、填空題

9.如圖，矩形紙片/BCD中，N2=8cm,把矩形紙片沿直線4C折疊，點2落在點E處，/￡交。C于點尸,

若/。=6cm,則/E/D的正弦值為.

E

7

【答案】五

【分析】首先根據勾股定理計算出4c的長，再根據折疊的方法可得AADFmACEF,進

而可得至I］可知/E=Z2=8cm,CE=8C=/r>=6cm,再設/尸=x，貝ijEF=DF=(8x)cm,在放△〃)廠中利用勾股定理可

得62+(8一彳尸二工？，求得/尸的長，再通過勾股定理求得。尸的長，最后可得結果.

【解析】解：：四邊形N8CD是矩形，AD=6cm,

.'.BC=AD=6cm,

AB=8cm,

AC=yjAB2+CB2=1Ocm,

矩形紙片沿直線ZC折疊，則ZE=ZB=90°,

?.?四邊形/BCD為矩形，

：.AD=BC=CE,ZD=Z5=90°,

ZE=ZD=90°,

又：ZAFD=ZEFC,

:.AADF咨4CEF(AAS),

可知AE=AB=^cm,CE=BC=AD=6cva,

設4/=工,貝1J￡F=ZXF=(8x)cm,

在放△4。月中，

AD2+DF2=AF2^

即：62+(8—x)2=x29

解得卡」25.

4

：..AF=—25.

4

7

故答案為：-

10.如圖，已知正方形48CD的邊長為3,E、F分別是N2、3c邊上的點，且NEDF=45°,將△￡>/￡1繞點

D逆時針旋轉90。，得到ADCM.若/￡=1,則尸”的長為.

【答案】2.5

【分析】由旋轉可得/EDM為直角,可得出/￡￡>尸+/地中=90。，由NED/7=45。，得到/〃。尸

為45°,可得出/￡。尸=/〃。尸，再由。尸=。尸,利用SAS可得出三角形DE廠與三角形地W全等，由全等

三角形的對應邊相等可得出E2MF；則可得到N￡=C"1,正方形的邊長為3,用/8/E求出￡8的長，再

由8C+CM求出2"的長，設EF=MF=x,可得出BF=BMFM=BMEF=4x,在直角三角形8斯中，利用勾股

定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為月0的長.

【解析】解：逆時針旋轉90。得到△水■〃,

ZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,

:.F、C、M三點共線,

：.DE=DM,ZEDM=90°,

：.ZEDF+ZFDM=90°,

ZEDF=45°,

：.ZFDM=ZEDF=45°,

在△。跖和尸中,

DE=DM

<ZEDF=ZFDM,

DF=DF

:.叢DEFQXDMF(SAS),

：.EF=MF,

設EF=MF=x,

"：AE=CM=\,且BC=3,

BM=BC+CM=3+1=4,

BF=BMMF=BMEF=4x,

"：EB=ABAE=?>\=2,

在Rt/\EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

22+(4—x)2=x2,

解得：x=2.5.

故答案為：2.5.

11.如圖，點E在正方形ABCD的CD邊上，連結BE,將正方形折疊，使點3與E重合，折痕交

3

邊于點交4D邊于點N,若tan/EMC=—,ME+CE=S,則折痕MN的長為.

【答案】3而

【分析】過N作NH_L2C于X,得到四邊形印V是矩形，根據矩形的性質得到/NHM=90。,

證明△8CE絲根據全等三角形的性質得到W=CE,設C￡=3x,則CM=4x,根據勾股定理得到

EM=5x,求出x,可得M7=9,再利用勾股定理計算即可.

【解析】解：過N作NHLBC于H,則四邊形N3//N是矩形,

1?NH=AB,NNHM=90。,

???四邊形48CD是正方形，

AZC=90°,AB=BC,

：.NH=BC,

??,將正方形折疊，使點5與七重合，

:.MN工BE,BM=ME,

：.ZHNM+ZNMH=ZEBC+/BMN=90。,

：.ZEBC=/HNM,

ZNHM=ZC

在ABCE與ANHM中,lNH=BC

ZHNM=ZCBE

:.△BCE/ANHM(ASA),

:?HM=CE,

CE3

在RtAEMC中，tanZEMC=——=-,

CM4

???設CE=3x,則CM=4x,

由勾股定理得：EM=5x,

*：ME+CE=Sf

??5x+3x=8，

??x=1,

：.EM=5,HM=CE=3,CM=4,

：.BC=BM+CM=EM+CM=9,

：.NH=9f

:?MN=s]NH2+HM2=792+32=3710，

故答案為：3V10.

12.如圖，LABC,是兩個全等的等腰直角三角形，/A4C=/PDE=90。.使的頂點P與

△/8C的頂點/重合，PD,尸￡分別與3c相交于點尸、G,若BF=6,CG=4,則尸G=.

【答案】2而

【分析】將尸繞N點逆時針旋轉，使42與/C重合，即可構建出直角三角形CG”,由勾股定理可求

出G"的長度，再證明△HGgAGN”即可.

【解析】解：將繞/點逆時針旋轉，使48與/C重合，

A4CH由AABF旋轉得到，

AZBAF=ZCAH,CH=BF=6,AF=AH,ZB=ZACH

'：^ABC,尸是兩個全等的等腰直角三角形

AZ5=45°,ZACB=45°

：.ZHCG=90°

在放△〃CG中，由勾股定理得：GH=yjcG-+CH-=2V13-

,?ZE4G=45°

：.ZBAF+ZGAC=45°

：.ZCAH+ZGAC=45°,即ZG4H=45°

在△F4G和△G/8中，

AF=AH,ZFAG=ZGAH,AG=AG

：.AE4G咨LGAH

:.FG=GH=2岳

故答案為：2后.

13.如圖，四邊形48C。為正方形，點E是8C的中點，將正方形48CD沿ZE折疊，得到點8的對應點為

點、F,延長交線段DC于點P,若AB=6,則。尸的長度為.

【答案】2

【分析】連接4P,根據正方形的性質和翻折的性質證明放△NEPgRd/DP(HL),可得PF=PD,設PF

=PD=x,則CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x,然后根據勾股定理即可解決問題.

【解析】解：連接/P,如圖所示，

：.AB=BC=AD=6,ZB=ZC=ZD=90°,

?.,點E是8c的中點，

:.BE=CE=^AB=3,

由翻折可知：AF=AB,EF=BE=3,/AFE=/B=90。,

：.AD=AF,ZAFP=ZD=90°,

在RtAAFP和RtAADP中,

(AP=AP

[AF=AD'

：.Rt/\AFP^RtAADP(HL),

:.PF=PD,

設PF=PD=x,則CP=CD—PO=6—x,EP=EF+FP=3+xf

在出△尸EC中，根據勾股定理得：EP2=EC2+CP2,

(3+x)2=32+(6—x)2,解得x=2,則。。的長度為2,

故答案為：2.

14.如圖，在邊長為6的正方形45CQ內作/E4尸=45。，AE交BC于點、E,AF交CD于點、F,連接石E將

△/￡不繞點4順時針旋轉90。得到"BG,若DF=3,則的長為.

【答案】2

【分析】根據旋轉的性質可知，△ADF/AABG,然后即可得到。尸=5G,/DAF=NBAG,然后根據已知條

件證明4區(qū)4G也△以「設BE=x,在放△?！晔?，由勾股定理可以求出的長.

【解析】解：由旋轉可知，AADFQAABG,

:?DF=BG=3,ZDAF=ZBAG,

?：/DAB=90。,ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZEAB=45°f

：.ZBAG+ZEAB=45°,

：.NEAF=NEAG,

在△￡ZG和△口產中，

AG=AF

<ZEAG=ZEAF,

AE=AE

：.△EAGQ4EAF(SAS),

:?GE=FE,

設B￡=x,貝UG￡=GB+5￡=3+x,CE=6-x,

EF=GE=3+x,

■:CD=6,DF=3,

:.CF=CD—DF=6—3=3,

VZC=90°,

...在R/ACE尸中，CE-CF?=EF?,即（6-xy+32=（3+X）2,

解得，x=2,即BE=2.

故答案為：2.

三、解答題

15.如圖，在/N8C中，ZACB=90°,AC=BC,。是邊上一點（點。與/,8不重合），連接。>,將

線CD繞點。按逆時針方向旋轉90。得到線段CE,連接。E交2。于點尸，連接8E.

⑴求證：AACDgABCE；

（2）當尸時，求/AE1尸的度數.

【答案】（1）證明見解析；（2）/3跖=67.5。

【分析】（1）利用邊角邊證明三角形全等即可；

（2）先推理得到是等腰三角形，再由全等得到/C3E=45。，即可得到尸的度數.

【解析】（1）證明：：N/C8=90°

:.ZACD+ZDCB=9Q°

又,：CD繞點C按逆時針方向旋轉90。得到線段CE

：.ZDCE=90°,CD=CE

NBCE+NDCB=90°

：.ZACD=NBCE

在和ABCE中：

'AC=BC

<AACD=NBCE

CD=CE

:.AACD-BCE(SAS)

(2)解：由第一問知，△ACD2BCE

：.AD=BE,ZCAD=ZCBE

又；AD=BF

：.BE=BF

在△ZCB中，AC=BC,ZACB=90°

ZCAD=ZCBA=45°

在△BEF中，BE=BF,ZCBE=45。

NBEF=NBFE=1(180°-45°)=67.5°

16.如圖，中，4B=AC,ABAC=42°,D為AABC內一點、,連接將/。繞點A逆時針旋轉42。,

得到NE,連接。E,BD,CE.

⑴求證：BD=CE；

（2）若求NR4。的度數.

【答案】（1）證明見解析；（2）21°

【分析】（1）根據旋轉的性質得到AD=AE,NDAE=42°,可得NCAE=ABAD,然后證明AABD必ACE,

最后利用全等三角形的性質即可證明結論；

（2）根據等腰三角形的性質得到NC/E=[NONE=21。，根據全等三角形的性質可得到結論.

2

【解析】（1）證明：???將4。繞點A逆時針旋轉42。，得到/E,

/.AD=AE,ZDAE=42°,

ZBAC=42°,

:?ABAC=ZDAE,

：.ABAD=ZCAE,

在△43。與A/CE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

：.^ABD^ACE(SAS'),

BD=CE.

(2)解：由(1)知：AD=AE,ZDAE=42°,

；DELAC,

：.ZCAE=-ZDAE=21°,

2

?：ABAD=NCAE,

：.ZBAD=21°.

17.如圖(1),已知△/3C的面積為3,MAB=AC,現將△48C沿C4方向平移C4長度得到△￡%.

（1）求△/8C所掃過的圖形面積；

（2）試判斷，/尸與8E的位置關系，并說明理由；

（3）若NBEC=15°,求NC的長.

【答案】（1）9；（2）BELAF,理由見解析；（3）26.

【分析】（1）根據平移的性質及平行四邊形的性質可得到S#E4=SABAF=SAABC,從而便可得到四邊形CEFB

的面積；

（2）由已知可證得平行四邊形EFA4為菱形，根據菱形的對角線互相垂直平分可得到//與3E的位置關系

為垂直；

（3）作ADL/C于。，結合三角形的面積求解.

【解析】解：（1）由平移的性質得

AF//BC,J.AF=BC,AEFA汜AABC

二四邊形/四。為平行四邊形

SAEE4=S*AF=SAABC=3

(2)BELAF

證明：由(1)知四邊形/ESC為平行四邊形

J.BF//AC,1.BF=AC

又,：AE=CA

C.BF//AE且BF=AE

：.四邊形EFBA為平行四邊形又已知AB=AC

：.AB=AE

.?.平行四邊形EEB/為菱形

：.BELAF-,

(3)如上圖，作ADL4c于D

VZBEC=15°,AE=AB

，ZEBA=ZBEC=15°

：.ZBAC=2ZBEC=30°

：.在RSAD中，AB=2BD

談BD=x,則NC=N8=2x

S^ABC=3,且SA/8C=；/C*BD=y,2x*x=x2

.*.x2=3

Vx為正數

'?X=y/3

：.AC=2y/3.

18.已知：點。是等腰直角三角形/2C斜邊3c所在直線上一點(不與點8重合)，連接4D.

AAA

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當點。在線段2C上時，將線段4D繞點/逆時針方向旋轉90。得到線段連接CE.直接寫

出BD和CE數量關系和位置關系.

(2)如圖2,當點。在線段8C延長線上時，將線段繞點N逆時針方向旋轉90。得到線段4B,連接CE,

畫出圖形.(1)的結論還成立嗎?若成立，請證明；若不成立，說明理由.

【答案】(1)5。和CE的數量關系是相等，位置關系是互相垂直，理由見詳解；

(2)成立，理由見詳解.

【分析】(1)由題意易得AB=AC,NBAC=ZDAE=90°,AD=AE,則有ABAD=ZCAE,然后可證△48。沿AACE,

進而問題可求解；

(2)如圖，然后根據(1)中的證明過程可進行求解.

【解析】(1)解：BD_LCE且BD=CE,理由如下：

???△N8C是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZBAC=90°,NABC=NACB=45°,

由旋轉的性質可得：ZDAE=90°,AD=AE,

：.ZBAD+ZDAC=ZCAE+Z.DAC=90°,

/BAD=/CAE,

:.LABD咨LACE(SAS),

AZABD=ZACE=45°,BD=CE,

：.ZACE+ZACB=90°,即ZBCE=90°,

J.BDLCE-,

(2)解：(1)中結論仍成立，理由如下:

由題意可得如圖所示：

圖2

,/4ABC是等腰直角三角形,

：.AB=AC,ZBAC=90°,ZABC=ZACB=45°,

由旋轉的性質可得：NDAE=90°,AD=AE,

：.ZBAC+ZDAC=ZEAD+ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE,

:.△ABD咨ZXACE(SAS),

AZABD=ZACE=45°,BD=CE,

：.NACE+NACB=90°,即NBCE=90°,

：.BD±CE.

19.如圖，在A48c中，Z5=45°,/C=60°，點￡為線段/B的中點，點尸在邊NC上，連結EF,沿E尸

將“EF折疊得到APEF.

A

八

(1)如圖1,當點P落在BC上時，求//￡尸的度數.

(2)如圖2,當尸尸_L/C時，求ZBE尸的度數.

【答案】(1)90°；(2)60°

【分析】(1)證明BE=EP,可得NEPB=NB=45。解決問題.

(2)根據折疊的性質求出NAFE=45。，根據三角形內角和求出NBAC,從而得到NAEF和/PEF,再根據

平角的定義求出/BEP.

【解析】解：(1)如圖1中，：折疊，

/.△AEF^APEF,

，AE=EP,

?.,點E是AB中點，即AE=EB,

；.BE=EP,

ZEPB=ZB=45°,

二ZPEB=90°,

.,.ZAEP=180°90°=90°.

(2)VPF±AC,

ZPFA=90°,

；沿EFWAAEF折疊得到APEF.

.,.△AEF^APEF,

ZAFE=ZPFE=45°,

VZB=45°,ZC=60°,

ZBAC=180°45o60o=75°,

ZAEF=ZPEF=180o75°45o=60°,

ZBEP=180o60°60o=60°.

20.如圖1,AB=AC,EF=EG,4ABe會4EFG,于點Z),EHLFG于點、H.

(1)直接寫出EW的數量關系：；

⑵將AEFG沿EX剪開，讓點E和點C重合.

①按圖2放置AEHG,將線段C。沿昉■平移至HV,連接/N、GN,求證：AN1GN；

②按圖3放置AEHG,B、C(E)、a三點共線，連接NG交E〃于點若BD=1,40=3,求CM的長

度.

【答案】(1)4D=EH；(2)①見解析；②2

【分析】(1)利用全等三角形的性質即可解決問題；

(2)①設/CDN=a,證明N/ND=NHVG=45O3,即可解決問題；

2

②易證明可得CA/=QMZ)C=31=2.

【解析】(□???△/^。/△瓦6，4Q_L8C于點。，EHLFG于點H,

：.AD=EH；

圖2

由題意可知：AABDQ^ACDQAEFHQ^EGH,

CD=HG,AD=CH,/ADC=/CHG=9。。,

,:DC沿CH平移至HN,

:?DN=CH,DNUCH,DC=NH,

：.AD=DN,NH=GH,

：.ZDAN=ZDNA,ZHNG=ZHGN,

設/CDN=a,

YDC/NH,DNUCH,

：.ZCDN+ZDNH=ZDNH+ZCHN=180°,

AZDNH=180°-a,ZCDN=ACHN=a,

：.ZA7/G=90°+a,

a

：.ZAND=ZHNG=45°——,

2

???ZANG=ZDNH-ZAND-ZHNG=90°,

：.AN.LGN.

②解：如圖3中,

圖3

"：AC=GC,

：.ZCAG=ZCGA,

又,：4CAD=NGCH,

：.ACAG+ACAD=ZCGA+ZGCH,

即

又：ZADM=90°,

：.ZDAM=ZDMA=45°,

：.XD=DM=?>,

,:DC=BD=\,

：.CM=DM-DC=?>-\=2.

21.如圖1,已知在必△48。中，ZACB=90°,ZA=30°,將口△/BC繞。點順時針旋轉a（0。<&<90。）

得到RtADCE

(1)當a=15。，則N/CE=°；

(2)如圖2,過點C作CA/_LBF于作CN_LEP于N,求證：CF平分/BFE.

(3)求放△Z2C繞。點順時針旋轉，當旋轉角a(0。<0(<9()。)為多少度時，△CFG為等腰三角形.

【答案】(1)15；(2)見解析；(3)40?；?0°

【分析】(1)由旋轉性質知：ZACE=ZDCB=a,求出//CE即可;

(2)由等面積法證明出CW=CN,再結合角平分線的判定，即可證CF平分NAFE；

(3)根據旋轉性質得NBFD=/BCD=a,由CE平分/8汽￡得NCFG=NCFB=-ZBFE=90-L夕,由//

22

為30。得44c尸=60。一,由//尸G=N8FD=a得/CG尸=30。+%再分CF=CG或CF=FG或CG=FG三

2

種情況討論，求出a即可.

【解析】解：(1)由旋轉性質，

得：ZACE=ZDCB=a=IS3,

故答案為：15；

(2)證明：由旋轉性質，

得：/\ACB/AECD；

AB=DE,SABC=SEDC，

?：CM1BF,CN1EF,

：.-ABCM=-DE-CN,

22

CM=CN,

:?CF平分/BFE；

(3)VZACB=90°fZA=30°f

JZB=90°-ZA=60°f

由旋轉性質，

得：/B=/D=6N,/BCD=a,

,//B+/BCD=/D+/BFD,

：.ZBFD=ZBCD=a,

JNAFG=ZBFD=a,

：.ZCGF=30°+a,NBFE=180?！狽BFD=180?！猘

由(2)知CF平分NBFE,

：.ZCFG=ZCFB=-ZBFE=9(T--a,

22

ZACF=ZCFB-ZA=60°—a,

2

①當CF=CG時，/CFG=NCGF,

90°—cc=30°+a,

2

解得：a=40。，

②當CF=FG時，ZFCG=ZCGF,

60°—a=30°+oc，

2

解得：a=20°,

③當CG=FG時，ZFCG=ZCFG,

：.90°--?=60°--a,

22

此方程無解，

綜上所述，a=20。或40。時，△CFG為等腰三角形.

22.如圖1,在口△/2C中，ZA=90°,AB=AC=y[i+\,點。，E分別在邊48,AC±,且/。=/石=1,

連接?！戡F將△4DE繞點/順時針方向旋轉，旋轉角為a,如圖2,連接C￡,BD,CD.

圖1

⑴當0°<a<180°時，求證：CE=BD；

(2)如圖3