安徽省合肥市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省合肥市部分學(xué)校2024—2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則.故選：A.2.下列函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，與函數(shù)不是同一函數(shù)；對(duì)于B，，與函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù)；對(duì)于C，，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，與函數(shù)不是同一函數(shù)；對(duì)于D，，與函數(shù)的定義域不同，所以與函數(shù)不是同一函數(shù).故選：B.3.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足，且存在這樣的x，y使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】由題設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，要使不等式有解，則，所以或.故選：C.4.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】，的否定是：，.故選：C.5.已知，且，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，，即，時(shí)取等號(hào).故選：A.6.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，且函數(shù)的圖象關(guān)于0,1中心對(duì)稱(chēng)，即，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，則，所以，，所以，故的周期為，因，所以.故選：B.7.已知全集，，，，，，則下列選項(xiàng)不正確的為（）A. B.的不同子集的個(gè)數(shù)為8C. D.【答案】D【解析】，由，，，，，作出圖，如圖所示，由圖可知，，，故A，正確；集合的子集個(gè)數(shù)為個(gè)，故B正確；因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤.故選：D.8.若函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，則稱(chēng)為“函數(shù)”．已知函數(shù)是“函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知的定義域?yàn)?，又因?yàn)楹瘮?shù)“函數(shù)”，故其值域?yàn)?；而，則值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，故由函數(shù)是“函數(shù)”可得，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.不等式的解集是，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.且B.不等式的解集是C.D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】對(duì)于，，，是方程的兩個(gè)根，所以，，所以，，所以，，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，，由可得不等式解集為，所以正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，所以正確；對(duì)于，由題得，因?yàn)椋?，所以，所以不等式的解集是，所以正確．故選：.10.已知全集，是的非空子集，當(dāng)時(shí)，且，則稱(chēng)為的一個(gè)“孤立元素”，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若中元素均為孤立元素，則中最多有個(gè)元素B.若中不含孤立元素，則中最少有個(gè)元素C.若中元素均為孤立元素，且僅有個(gè)元素，則這樣的集合共有個(gè)D.若中不含孤立元素，且僅有個(gè)元素，則這樣集合共有個(gè)【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)榧希?，的并集為，且集合，，中任意兩個(gè)集合的交集都為空集，若中的元素個(gè)數(shù)大于，則必有兩個(gè)元素來(lái)自集合，，中的一個(gè)，此時(shí)，集合中存在不是孤立元素的元素，故若中元素均為孤立元素，則中的元素個(gè)數(shù)小于等于，又時(shí)，中元素均為孤立元素，所以若中元素均為孤立元素，則中最多有個(gè)元素，對(duì)于B，若中只有1個(gè)元素，則必為孤立元素，又集合時(shí)，中不含孤立元素，故B正確；對(duì)于C，易知這樣的集合有，，，；，，；，；共10個(gè)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，其中不含“孤立元素”且包含有四個(gè)元素的集合有，，，，，共6個(gè)，故D正確.故選：ABD.11.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，如.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng) B.的最大值為1，沒(méi)有最小值C. D.在上是增函數(shù)【答案】ABD【解析】因?yàn)?，?huà)出的圖象如下：A選項(xiàng)，可以看出此函數(shù)不是偶函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，無(wú)最大值，有最小值0，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，故，，因?yàn)?，所以，故，C正確；D選項(xiàng)，由圖象可知在R上不是增函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)，，，.對(duì)于任意的，存在，使得，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，又?duì)于任意的，存在，使得，則，又，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，綜上，的取值范圍是.13.已知集合，若，且，則實(shí)數(shù)m所取到的值為_(kāi)_____或______．【答案】21【解析】，因?yàn)椋?，所以或，?dāng)時(shí)，可得：，得：，當(dāng)時(shí)，可得：，得：，所以實(shí)數(shù)m所取到的值為2或1.14.已知方程的兩根分別為，若對(duì)于，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)，則，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，又由方程的兩根分別為且，可得，所以，且，因?yàn)閷?duì)于，都有成立，即不等式成立，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知集合，．（1）若，全集，試求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；解：（1）解不等式得，∴，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴.（2）由（1）可知，，∵，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍：.（3）由（1）可知，，∵，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍：.16.已知函數(shù).（1）若，，函數(shù)的最小值為0，求a的值；（2）若，不等式有且僅有四個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)，，若存在實(shí)數(shù)m使得成立，求m的最小值.解：（1）當(dāng)，時(shí)，，由題意得，函數(shù)的值域，（i）時(shí)，不符合題意；（ii）時(shí)，，即；綜上，.（2）因?yàn)?，不等式轉(zhuǎn)化為，因?yàn)橛兴膫€(gè)整數(shù)解，則必有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，記為，且，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以，故不等式的解集中的四個(gè)整數(shù)解為，所以，所以，故.（3）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，對(duì)，，由題設(shè)，有，又，則，又，，故存在使成立，則，所以，令，則，，令，則，且，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.17.已知，且.（1）求最大值；（2）求最小值；（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）已知，且，，，當(dāng)且僅當(dāng)即，，取“=”.所以最大值為.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，所以最小值為.（3），當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“=”，，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.18.已知方程.（1）若，，求方程的解；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)解，且，求的最小值．解：（1），時(shí)，，解得或.（2），故，所以，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.（3）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，由韋達(dá)定理得，故，所以，此時(shí)，所以，因?yàn)?，所以，令，其在上單調(diào)遞增，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.19.若函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若存在非零?shí)數(shù)使得任意都有，且，則稱(chēng)為M上的增長(zhǎng)函數(shù)．（1）已知函數(shù)，函數(shù)，判斷和hx是否為區(qū)間-1,0上的增長(zhǎng)函數(shù)，并說(shuō)明理由：（2）已知函數(shù)，且是區(qū)間上的增長(zhǎng)函數(shù)，求正整數(shù)n的最小值；（3）如果的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，且為R上的增長(zhǎng)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）是：因?yàn)?，，；不是，反例：?dāng)時(shí)，．（2）由題意得，對(duì)于恒成立，等