2025年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)已知復(fù)數(shù)z=i(1-i),則|z|=()

A.2B.V2C.5D.V5

2.(5分)若命題“VxeR,/+2%+3＞機”是假命題，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-8,2)B.[2,+8)C.(-8,2]D.(2,+8)

T—Ttf————,一

3.(5分)已知向量a,6滿足|a|=2,\a-2b\=4,且(b+2a),b=0,則聞=()

V2

A.1B.一C.V3D.V2

2

4.(5分)以下命題為假命題的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)尤1,XI,Xi,X4,X5,X6的方差為2,則數(shù)據(jù)2尤1-1,2X2-1,2X3-1,2x4-1,2x5-1,

2X6-1的方差為8

B.一組數(shù)據(jù)8,9,10,11,12的第80百分位數(shù)是11.5

C.一般來說，若一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰且不對稱，且直方圖在左邊“拖尾”，則這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)小于中位數(shù)

D.以模型y=ce辰去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=/wy,最終求得線性回歸方程為z=

2%+0.4,則模型中c,左的值對應(yīng)分別是0.4和2

5.(5分)動點M在曲線/+夕=1上移動，點加和定點B(3,0)連線的中點為P,則點P的軌跡方程

為()

1Q1

A.%24-y2=-B.(%—2)2+y2=4

QQ1

C.(%—2)2+y2=1D.%2+(y—2)2=

6.(5分)設(shè)函數(shù)/(%)=2s譏1％+2a%,g(x)=a(x-2)2+8a,曲線y=/(x)與y=g(x)恰有一個交

點，貝！J〃=()

2V3

A.-1B.0C.-D.—

34

7.(5分)用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.已知正四棱臺的上、下底面邊長分

n

別為1和2,側(cè)棱與底面所成的角為7則該四棱臺的體積是()

4

77^27V27V2

A.-B.——C.—D.——

6632

b—a

8.（5分）已知4,bER,f（x）-ax+b,若/（x）21恒成立，則---的取值范圍是（）

a

A.[0,+8)B.[1,+8)C.[-2,+8)D.[-1,+8)

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）對于函數(shù)f（x）=下列說法正確的有（）

A.f（X）的最小正周期為Tl

B.f（x）關(guān)于直線％=等對稱

C./（X）在區(qū)間［粵，學(xué)］上單調(diào)遞減

D.f（無）的一個零點為x=

（多選）10.（6分）已知拋物線C：y1=2px（p>0）的焦點為凡C上一點尸到尸和到y(tǒng)軸的距離分別為

12和10,且點尸位于第一象限，以線段為直徑的圓記為。，則下列說法正確的是（）

A.p=4

B.C的準線方程為y=-2

C.圓。的標準方程為（％-6）2+（y—2V5）2=36

D.若過點（0,2V5）,且與直線OP（O為坐標原點）平行的直線/與圓。相交于A,B兩點，則|4B|=4有

（多選）11.（6分）已知函數(shù)/（X）=esm-cosx+ecosx-sm（貝!j（）

A.f（X）的圖像是中心對稱圖形

B.f（x）的圖像是軸對稱圖形

C./（%）是周期函數(shù)

D.f（x）存在最大值與最小值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）記為為等差數(shù)列｛斯｝的前“項和，若02+45=8,203+04=11,則S9=.

13.（5分）已知tana,tan0是方程x2-3x-3=0的兩個實數(shù)根，tan（2a+20）=.

14.（5分）某盒中有12個大小相同的球，分別標號為1,2,12,從盒中任取3個球，記S為取出的3

個球的標號之和被3除的余數(shù)，則隨機變量^=2的概率是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=2b,cosB+2cosC=0.

(1)求cosA；

(2)若。是邊AB上一點，AD=jOB,且CD=VT7,求△ABC的面積.

16.(15分)在平行四邊形ABCQ中，ZD=60°,CD=1,AC=V3.將△ABC沿AC翻折到△APC的位

置，使得PD=遮.

(1)證明；CD_L平面APC；

(2)在線段AD上是否存在點使得二面角PC-A的余弦值為富？若存在，求出黑的值;

13\MD\

若不存在，請說明理由.

P

(I)當。=1時，求曲線y=f(無)在點(1,/(D)處的切線方程；

(II)當x€[e,+8)時，曲線>=/(x)在無軸的上方，求實數(shù)a的取值范圍.

18.(17分)為防范火災(zāi)，對某倉庫的滅火系統(tǒng)的3套噴淋裝置進行檢查，發(fā)現(xiàn)各套裝置能正常工作的概

3

率為-，且每套噴淋裝置能否正常工作是相互獨立的若有超過一半的噴淋裝置正常工作，則該倉庫的滅

4

火系統(tǒng)能正常工作，否則就需要維修.

(1)求該倉庫滅火裝置正常工作的個數(shù)的均值與方差；

(2)系統(tǒng)需要維修的概率；

(3)為提高滅火系統(tǒng)正常工作的概率，在倉庫內(nèi)增加兩套功能完全一樣的其他品牌的噴淋裝置，每套

新噴淋裝置正常工作的概率為0(0<p<l),且新增噴淋裝置后有超過一半的系統(tǒng)能正常工作，則滅火

系統(tǒng)可以正常工作.問：p滿足什么條件時可以提高整個滅火系統(tǒng)的正常工作概率？

19.(17分)已知雙曲線捻—，=l(a>0,6>0)的實軸長為2,頂點到漸近線的距離為子.

(1)求雙曲線￡的標準方程；

(2)若直線/與E的右支及漸近線的交點自上而下依次為C、A、B、D,證明：\AC\^\BD\；

xnE

(3)求二元二次方程/-3y2=1的正整數(shù)解yn)Cn>%，N*),可先找到初始解(xi,yi),

其中XI為所有解X"中的最小值，因為1=(2+百)(2-舊)=22-3XM,所以。1(2,1)；因為1=

(2+舊)2(2-V3)2=(7+4A/3)(7-4A/3)=72-3X42,所以02(7,4)；重復(fù)上述過程，因為(2+V3)n

與(2-舊產(chǎn)的展開式中，不含舊的部分相等，含8的部分互為相反數(shù)，故可設(shè)1=(2+百產(chǎn)(2-

n端所以?！?物，/).若方程E的正整數(shù)解為Qn(坳，》),

V3)=(xn+V3yn)(xn-V3yn)=/-3x

則△0&2+1的面積是否為定值？若是,請求出該定值，并說明理由.

2025年河北省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.(5分)己知復(fù)數(shù)z=i(1-力，則|z|=()

A.2B.V2C.5D.V5

【解答】解：：z=i(1-力=l+i,

\z\=Vl2+12=V2

故選：B.

2.(5分)若命題“Vx&R,/+2X+3>7〃”是假命題，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-8,2)B.[2,+8)C.(-8,2]D.(2,+°0)

【解答】解：若命題“VxeR,/+2無+3>/?"是假命題，

即存在xeR,f+2x+3Wm,

則機》(/+2x+3)min)

又因為y=f+2x+3=(x+1)~+2N2,

所以加\2,即實數(shù)機的取值范圍是[2,+8).

故選：B.

3.(5分)已知向量a,6滿足|a|=2,\a-2b\=4,且(b+2a)-6=0,貝加|=()

A.1B.—C.V3D.V2

2

T7->t—

【解答】解：由(b+2a)-/?=0,可得力2=-2a?b,

一，TTT

又因為|a|=2,\a-2b\=4,

所以「2—4G,b+4b2=16,

T——T

即4—4a?b+4b2=4+6b2=16,

從而向=V2.

故選：D.

4.(5分)以下命題為假命題的是()

A.若樣本數(shù)據(jù)XI,XI,X3,X4,X5,X6的方差為2,則數(shù)據(jù)2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-L

2x6-1的方差為8

B.一組數(shù)據(jù)8,9,10,11,12的第80百分位數(shù)是11.5

C.一般來說，若一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰且不對稱，且直方圖在左邊“拖尾”，則這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)小于中位數(shù)

D.以模型y=ce"去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出經(jīng)驗回歸方程，設(shè)z=/wy,最終求得線性回歸方程為z=

2%+0.4,則模型中c,左的值對應(yīng)分別是0.4和2

【解答】解：對A,若樣本數(shù)據(jù)xi,Xi,X6的方差為2,則數(shù)據(jù)2xi-l,2x2-1,2x3-L2x4-1,

2x5-1,2尤-1的方差為22X2=8,故A正確；

對B,數(shù)據(jù)8,9,10,11,12共5個,

11+12

5X80%=4,則其第80百分位數(shù)是二一=11.5,故3正確；

對C,一般來說，對于單峰的頻率分布直方圖，右邊“拖尾”時平均數(shù)大于中位數(shù)，左邊“拖尾”時平

均數(shù)小于中位數(shù)，故C正確；

對。，設(shè)z=/〃y,

則z—lny—lnc+lnekx=lnc+kx,

由題線性回歸方程為z=2x+0.4,

則lnc—0A,k=2,

故c,4的值分別是e°4和2,故。錯誤.

故選：D.

5.(5分)動點M在曲線7+y=1上移動，點M和定點B(3,0)連線的中點為尸，則點尸的軌跡方程

為()

1Q1

A.%2+y2=-B.(%—^)2+y2=4

QQ1

C.(%—2)2+y2=1D.%2+(y—2)2=

【解答】解：設(shè)尸(x,y),

丁點尸是動點M和定點8(3,0)連線的中點，

：.M⑵-3,2y),

又???動點M在曲線~+『=1上移動，

???(2x-3)2+(2y)2=1,

整理得，(x-|)2+/=

故選：B.

6.(5分)設(shè)函數(shù)f(%)=2s譏看％+2a%,g(x)=a(x-2)2+8a,曲線y=/(x)與y=g(x)恰有一個交

點，貝！J〃=()

_2V3

A.-1B.0C.-D.—

34

【解答】解：令函數(shù)九(%)=f(x)-g(%)=2sin^x-a(x-3)2-3a,

=2sin-^x—a(x—3)2—3a,

即h(x)=h(6-x),

所以函數(shù)Zz(x)關(guān)于直線x=3對稱，

因為函數(shù)y=/G)與y=g(%)恰有一個交點,

所以力(3)=0,

可得2$譏2-a(3—3)2—3a—2—3a—0,解得a=

當。=@,%>3時,2sin^x—3a<0/—a(x—3)2<0,

所以a=亍.

故選：C.

7.(5分)用平行于底面的平面截正四棱錐，截得幾何體為正四棱臺.已知正四棱臺的上、下底面邊長分

71

別為1和2,側(cè)棱與底面所成的角為：，則該四棱臺的體積是()

4

77V27V27V2

A.-B.-----C.-----D.-----

6632

【解答】解：如下圖所示：O,。分別為上下底面的中心，作CLELAC于點區(qū)

根據(jù)題意可知481=1,AB=2,側(cè)棱與底面所成的角即為/CiCE,可知NGCE=%

因此可得CiE=CE,

易知AC=2e，=由正四棱臺性質(zhì)可得CE=:(AC—46)=5，

所以該正四棱臺的高為C1E=CE工,

因此該四棱臺的體積是P=1(12+22+VI=不)xq=學(xué).

故選：B.

b—a,一

8.(5分)已知〃，Z?eR,f(x)-ax+b,右/(%)21恒成乂，則---的取值范圍是()

CL

A.[0,+8)B.[1,+8)C.[-2,+8)D.[-1,+8)

【解答】解：-ax+b,

?"(龍)-a,

當時，/(%)>0恒成立，則/(x)在R上單調(diào)遞增，但尤f-8時，/(x)三1不成立，顯然

不符合題意；

當a>0時，當比(-8,ina)時，f(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，當比(-8,Ina)時，f

(x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

:?于(x)min=f(Ina)=a-alna+b,

9：f(x)21恒成立，

9?a-alna+b2\,

:?b，alna-a+1,

.b-aalna-2a+l1

>=Ina+——2,

CL--------Cl-------------Q

、1

設(shè)g(〃)———2,〃>0,

則g'(a)=：9=整，

令g，(〃)=0,解得〃=1,當(0,1)時，g'(〃)<0,函數(shù)g(〃)單調(diào)遞減，

當(1,+8)時，g，(〃)>o,函數(shù)g(〃)單調(diào)遞增，

**?g(。)min=0+1-2—1,

b-a

/.---->—1.

a

故選：D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。

全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

(多選)9.(6分)對于函數(shù)/(久)=5譏(上一卷)，下列說法正確的有(

A.f(x)的最小正周期為n

B.f(x)關(guān)于直線％=粵對稱

C./(x)在區(qū)間［粵，粵］上單調(diào)遞減

D.f(x)的一個零點為x=-穹

【解答】解：由函數(shù)/⑴=sin故最小正周期為r=竽=4兀，A錯；

/(粵)=singX舞—看)==1，可知直線刀=等是對稱軸，8正確；

xe［粵，粵］時，e［|,詈］,正弦函數(shù)在區(qū)間名，著］上單調(diào)遞減，C正確；

f(—§)=sin(—可)40,可知尤=—可不是零點，D錯.

故選：BC.

(多選)10.(6分)已知拋物線C：』=2px(p>0)的焦點為尸，C上一點尸到尸和到y(tǒng)軸的距離分別為

12和10,且點尸位于第一象限，以線段尸產(chǎn)為直徑的圓記為。，則下列說法正確的是()

A.p=4

B.C的準線方程為y=-2

C.圓。的標準方程為Q-6)2+(y—2V5)2=36

D.若過點(0,2西)，且與直線OP(O為坐標原點)平行的直線/與圓Q相交于48兩點，則|4B|=4V5

【解答】解：選項A：因C上一點尸到尸和到y(tǒng)軸的距離分別為12和10,

由拋物線定義可知，\PF\=10+1=12^>p=4,

故A正確；

選項2：準線方程為x=-2,

故8錯誤；

選項C：設(shè)尸(xo,yo),yo>O,

由P到y(tǒng)軸的距離分別為10,

所以尤0=10,

則%)=4有，

即P(10,4V5),

又F(2,0),

22

_,pF|(10-2)+(4V5)

所以圓心(6,2亞),半徑2=-----------------=6,

所以圓。的標準方程為(％-6)2+(y—2V5)2=36,

故C正確；

選項D因為直線。尸(。為坐標原點)平行的直線/,

所以的=k0P=勺g=

所以直線/的方程為y=等”+2遍，

|—^X6—2V5+2V51

又圓心(6,26)到直線I的距離為—=4,

所以|4B|=2V62-42=4V5,

故。正確.

故選：ACD.

(多選)11.(6分)已知函數(shù)/(X)=esm「cosx+ecosx-sinx,貝(j()

A.f(x)的圖像是中心對稱圖形

B.f(x)的圖像是軸對稱圖形

C./(%)是周期函數(shù)

D.f(x)存在最大值與最小值

【解答】解：對于A,f(x)+f(i-x)gSin%"cosx_|_^cosx-sinx_|_^sin(-%)-cos(-%)^^cos(-%)-sin(-%)

nesiiu-cosx+ecosx-siru+e-sinx-cosx+ecos/siiu不為常數(shù)，故/(%)關(guān)于(0,y(0))不對稱,

且/(〃+%)+f(Z?-x)W常數(shù)，故A錯誤;

sinxsinx

對于8,/(J+x)=e^+e-^=-x),則/'(x)的對稱軸方程為x=?故B正確;

))-_

對于C,f(X+K)=gSin(%+TP-COS(X+TT+^COS<X+TTsin(%+n)_-sinx+cosx_|_^cosx+sinx—y(1),

則/(x)的周期為Tt,故C正確;

對于。，令f=siiu-cos尤=&sin(x―今)6[-/，V2],

令g(f)=e*+L,te[-V2,V2],g(-t)=gG),g(t)是偶函數(shù),

故只需考慮怎［0,夜］的部分，g'(?)=e'-e考t>0時,g<⑺>0,

2=g(0)<g(t)<5(V2)=+e~^,即/(x)存在最大值e四+返與最小值2,故。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)記品為等差數(shù)列｛板｝的前見項和，若及+公=8,2々3+。4=11,則S9=63

【解答】解：因為數(shù)列物為等差數(shù)列，。2+。5=8,2a3+。4=11,

a1+d+a1+4d=8

則由題意得?

2(ar+2d)+%,+3d=11'

解得月工1

QvQ

則S9=9al+=9x(-1)+36x2=63.

故答案為：63.

24

13.(5分)已知tana,tan0是方程F一3%-3=0的兩個實數(shù)根，tan(2a+20)_

【解答】解：因為tana,tan0是方程3尤-3=0的兩個實數(shù)根,

所以tana+tan0=3,tanatan0=-3,

因此tm(a+0)=罌撼吉號

3

2tan(a+^)_之24

可得tcm(2a+2)5)=

l—tan2(a+fi)1一得

24

故答案為：—

14.(5分)某盒中有12個大小相同的球，分別標號為1,2,12,從盒中任取3個球，記?為取出的3

1R

個球的標號之和被3除的余數(shù)，則隨機變量W=2的概率是_豆_

【解答】解：從12個球中任取3個球有C；2=220種不同的方法,

1到12中能被3整除的有3,6,9,12,除3余1的有1,4,7,10,除3余2的有2,5,8,11,

取出的3個球的標號之和被3除余2的情況有:

①標號被3除余數(shù)為1的球2個和標號被3整除的球1個有盤番=24；

②標號被3除余數(shù)為1的球1個和標號被3除余數(shù)為2的球2個有盤盤=24；

③標號被3除余數(shù)為2的球1個和標號被3整除的球2個有或番=24,

則P(f=2)=四翁空=堤

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)記△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=2b,cosB+2cosc=0.

Cl)求cosA；

⑵若。是邊AB上一點，AD=^DB,且CD=VT7,求△ABC的面積.

【解答】解：（1）由cos8+2cosc=0,

a2+c2-b2a2+b2-c2

由余弦定理可得:--------------+2*=0,

2ac-----------2ab

a2+4b2-b2a2+b2-4b2

將c=26代入得,----------------+2------------------=0,

2a-2b2ab

即。=萼乩

化簡得5/=9層,

廬+4b2Tb24

4b25;

人2-1-。2-「2b2+lb2-4b2區(qū).「2岳

(2)由(1)可知cosC=.邛八?

Zab

T1T

則在△OCB中，由力。=W。8,

—?T1T—

所以CD-CX=j(CB-CD),

T2T1T

所以CD=^CA+jCB,

24T21一24&T

必

--方-=^Ci42+icB2+^|Ci4|-|CB|cosC

兩邊平方可得:999c￡

42

-PT+14

9甲2+@QZ?COSC,

即17=花62,解得b=3隗，a=9.

,1

故△ABC的面積S=^absinC=27.

16.（15分）在平行四邊形ABC。中,ZD=60°,CD=1,AC=V3.將△ABC沿AC翻折到△APC的位

置，使得PD=V5.

（1）證明；CD_L平面APC；

2V39\AM\

（2）在線段上是否存在點M,使得二面角PC-A的余弦值為不一?若存在，求出的值;

\MD\

若不存在，請說明理由.

【解答】（1）證明：翻折前，在△ACD中，ZD=60°,AC=V3,CD=1,

由正弦定理得,

sinZ.ADCsin乙CAD'

所以,即s譏“ZD=I，

sin600sinZ.CAD

y,AC>CD,所以/CAO=30°,

所以/ACZJ=90°,即CD±AC,

因為PD=4,PC=2,CO=1,所以PC2+a)2=pD2,gpCDLPC,

又pcnac=c,AC,PCU平面APC,

所以CD_L平面APC.

(2)解：由(1)知CD_L平面APC,

因為CDu平面ADC,所以平面AZ)C_L平面APC,

在平行四邊形A8CD中，BA±AC,BPPALAC,

又平面ADCD平面APC=AC,Hu平面APC,

所以B4_L平面ADC,

以點C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則C(0,0,0),D(1,0,0),P(0,百，1),4(0,百，0),

-?—>―>

所以CP=(0,V3,1),AD=(1,-V3,0),CA=(0,V3,0),

設(shè)aA=；1G=4(1,-V3,0)=(4,-V3A,0),其中0W入Wl,

則CM=CZ+4M=(0,V3,0)+(4,—g,0)=(2,V3-V3A,0),

設(shè)平面MCP的法向量為蔡=(x,y,z),則卜號=8y+z=0

.m?CM=Ax+(V3—V3A)y=0

取y=入，則z=—\/3A,x=V3(入-1),所以m=(V3(入-1),入，—入),

由CD_L平面APC,知平面CB4的一個法向量為￡=(1,0,0),

因為二面角M-PC-A的余弦值為-77-,

13

所以出不，目=解)吁-『2=嚼,

lmHn|J3(A-1)2+A2+3A2X1

整理可得15入2+2入-1=0,

解得4=插入=-j(舍)，

一2439\AM\1

故線段尸。上存在點使二面角M-A3-C的余弦值為，且;=

13\MD\4

17.(15分)已知函數(shù)/(x)=x+~+alwc(tzGR).

(I)當。=1時，求曲線y=/(無)在點(1,/(D)處的切線方程；

(II)當x€[e,+8)時，曲線>=/(x)在無軸的上方，求實數(shù)°的取值范圍.

【解答】解：(I)當4=1時，/(x)=x+-+/〃X,X>0,

所以/(X)=l-^+p

所以/(I)=3,f(1)=0,

所以曲線y=/(x)在點(1,/(D)處的切線方程為y=3；

(II)因為函數(shù)/(x)=x-\-+alnx(〃ER),

當a20時，由x€[e,+8)有/(x)>0,故曲線y=/(x)在x軸的上方，

當a<0時，f(x)=]-浮+@=(%—嗎+2a),

X乙xX乙

由/(x)=0可得％=-2?；?舍去)，

所以當xE(0,-2〃)時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當在(-2a,+°°)時，f(x)>0,f(x)

單調(diào)遞增，

當-2aWe,即一片a<0時，所以/(x)在[e,+°°)上單調(diào)遞增，

則/(x)可(e)=e++a=|(a+Q2+^e>0,即曲線y=/(x)在x軸的上方，

當-2a>e,即aV—匏寸，/(無)在[e,-2a)上單調(diào)遞減，在(-2a,+°°)上單調(diào)遞增，

貝！J/(%)(-2a)=-3a+aln(-2a),

由+8)時，曲線>=/(x)在x軸的上方，

所以-3a+aln(-2〃)>0,解得〃>—

p3p

所以—2<a<—2;

3

綜上，實數(shù)。的取值范圍為(-多P，+8).

18.(17分)為防范火災(zāi)，對某倉庫的滅火系統(tǒng)的3套噴淋裝置進行檢查，發(fā)現(xiàn)各套裝置能正常工作的概

3

率為一，且每套噴淋裝置能否正常工作是相互獨立的若有超過一半的噴淋裝置正常工作，則該倉庫的滅

4

火系統(tǒng)能正常工作，否則就需要維修.

(1)求該倉庫滅火裝置正常工作的個數(shù)的均值與方差；

(2)系統(tǒng)需要維修的概率；

(3)為提高滅火系統(tǒng)正常工作的概率，在倉庫內(nèi)增加兩套功能完全一樣的其他品牌的噴淋裝置，每套

新噴淋裝置正常工作的概率為〃(0<p<l),且新增噴淋裝置后有超過一半的系統(tǒng)能正常工作，則滅火

系統(tǒng)可以正常工作.問：p滿足什么條件時可以提高整個滅火系統(tǒng)的正常工作概率？

【解答】解：記X為系統(tǒng)中可以正常工作的噴淋裝置的個數(shù).

3

(1)因為各套裝置能正常工作的概率為一，且每套噴淋裝置能否正常工作是相互獨立，

4

所以X?8(3,

所以該倉庫滅火裝置正常工作的個數(shù)的均值為E(X)=3x1=1,

QQQ

方差。(X)=3x*x(l=七

(2)記事件A為“該倉庫滅火系統(tǒng)需要維修”，

則PQ4)=P(X=0)+P(X=1)=C°(l-1)3+C居)1(1令4+好小.

所以系統(tǒng)需要維修的概率為

32

(3)記事件8為“該倉庫滅火系統(tǒng)能正常工作”，

2

由題意可知P(X=3)=內(nèi),)3.C0(1_p)2+第給2(1-1)?曲(1一P)2T+廢61(1-1)-C如2

18,279,27

=一祈22+M=一品P2+M，

P(X=4)=/弓)3?p(l一p)+C憐2(1,C2p2=_,p2+知2,

P(X=5)=C需尸.C如2=|Zp2,

則尸(B)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

92727272792727

-32P2+64-64P2+32P+64P22+32p+64)

由(2)可知滅火系統(tǒng)原來可以正常工作概率為1-PQ4)==

若新增兩個電子元件后整個系統(tǒng)的正常工作概率提高了，則-2「2+||「+/〉算成立，

。乙。乙O1,。乙

即18/-54p+27c0,即2P2-6P+3<0,

…靠一用3+V3,

解得一y-<pV=—,而0<p<l.

3—V3

綜上當^-VpVI時，可以提高整個系統(tǒng)的正常工作概率.

19.(17分)已知雙曲線E；/、=